Experimental Physics 4 (Atomic Physics and Thermodynamics) - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Teilchen-Welle-DualismusDas Phänomen, dass Materie und Strahlung sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzen.

• De-Broglie-Wellenlänge: \[ \lambda = \frac{h}{p} \]
• Heisenbergsche Unschärferelation: \[ \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \]
• Beobachtung durch Doppelspaltexperiment
• Wichtig für Verständnis von Quantenmechanik

a)

Ein Elektron wird im Doppelspaltexperiment mit einer Geschwindigkeit von 2\times 10^6 m/s auf eine Spaltblende geschossen. Die Masse des Elektrons beträgt 9.11\times 10^{-31} kg. Berechne die de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons.

• Wie veränderte sich die Wellenlänge, wenn das Elektron durch einen Magneten beschleunigt wird, so dass seine Geschwindigkeit verdoppelt wird?

Lösung:

Teilchen-Welle-DualismusDas Phänomen, dass Materie und Strahlung sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzen.

• De-Broglie-Wellenlänge: \( \lambda = \frac{h}{p} \)
• Heisenbergsche Unschärferelation: \( \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \)
• Beobachtung durch Doppelspaltexperiment
• Wichtig für Verständnis von Quantenmechanik

Subübung:Ein Elektron wird im Doppelspaltexperiment mit einer Geschwindigkeit von \(2 \times 10^6 \text{ m/s}\) auf eine Spaltblende geschossen. Die Masse des Elektrons beträgt \(9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\). Berechne die de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons.

• Wie veränderte sich die Wellenlänge, wenn das Elektron durch einen Magneten beschleunigt wird, so dass seine Geschwindigkeit verdoppelt wird?

Lösung:Um die de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons zu berechnen, verwenden wir die Formel:\( \lambda = \frac{h}{p} \)wobei:

• \( \lambda \) die de-Broglie-Wellenlänge ist.
• \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum ist, \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
• \(p\) der Impuls des Teilchens ist.

Der Impuls \(p\) eines Teilchens ist das Produkt seiner Masse \(m\) und seiner Geschwindigkeit \(v\):\( p = m \times v \)Also, für das Elektron:\( p = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg} \times 2 \times 10^6 \text{ m/s} \)\( p = 1.822 \times 10^{-24} \text{ kg} \text{ m/s} \)Jetzt setzen wir diesen Wert in die de-Broglie-Wellenlängengleichung ein:\( \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.822 \times 10^{-24}} \approx 3.64 \times 10^{-10} \text{ m}\)Wenn die Geschwindigkeit des Elektrons verdoppelt wird, wird auch der Impuls verdoppelt:\( p' = m \times (2 \times v) = 2 \times (m \times v) = 2 \times p \)Die neue Wellenlänge \( \lambda' \) wäre dann:\( \lambda' = \frac{h}{p'} = \frac{h}{2 \times p} \approx \frac{1}{2} \times \lambda \)Also, die neue de-Broglie-Wellenlänge wäre:\( \lambda' = \frac{3.64 \times 10^{-10}}{2} \approx 1.82 \times 10^{-10} \text{ m} \)Zusammenfassung:

• Die ursprüngliche de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons beträgt \(3.64 \times 10^{-10} \text{ m} \).
• Wenn die Geschwindigkeit des Elektrons verdoppelt wird, beträgt die neue Wellenlänge \(1.82 \times 10^{-10} \text{ m} \).

b)

In einem hypothetischen Szenario misst ein Wissenschaftler die Position eines Elektrons mit einer Präzision von 1 nm.

• Berechne die minimale Unschärfe im Impuls des Elektrons gemäß der Heisenbergschen Unschärferelation.Hinweis: Setze \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{Js} \).
• Erläutere qualitativ, was die Unschärferelation für das Verhalten von Elektronen in diesem Zustand bedeutet.

Lösung:

Teilchen-Welle-DualismusDas Phänomen, dass Materie und Strahlung sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzen.

• De-Broglie-Wellenlänge: \( \lambda = \frac{h}{p} \)
• Heisenbergsche Unschärferelation: \( \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \)
• Beobachtung durch Doppelspaltexperiment
• Wichtig für Verständnis von Quantenmechanik

Subübung:In einem hypothetischen Szenario misst ein Wissenschaftler die Position eines Elektrons mit einer Präzision von 1 nm.

• Berechne die minimale Unschärfe im Impuls des Elektrons gemäß der Heisenbergschen Unschärferelation.Hinweis: Setze \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
• Erläutere qualitativ, was die Unschärferelation für das Verhalten von Elektronen in diesem Zustand bedeutet.

Lösung:Um die minimale Unschärfe im Impuls des Elektrons zu berechnen, verwenden wir die Heisenbergsche Unschärferelation:\( \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \)Hierbei ist:

• \( \Delta x \) die Unschärfe in der Position
• \( \Delta p \) die Unschärfe im Impuls
• \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum, \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}\)

Gegeben ist die Präzision der Positionsmessung: \( \Delta x = 1 \text{ nm} = 1 \times 10^{-9} \text{ m} \)Berechne die minimale Unschärfe im Impuls:\( \Delta p \geq \frac{h}{4\pi \Delta x} \)Setze die gegebenen Werte ein:\( \Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4\pi \times 1 \times 10^{-9}} \)\( \Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-9}} \)\( \Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.25664 \times 10^{-8}} \)\( \Delta p \geq 5.27 \times 10^{-26} \text{ kg m/s} \)Zusammenfassung:

• Die minimale Unschärfe im Impuls des Elektrons beträgt \(5.27 \times 10^{-26} \text{ kg m/s} \).

Erläuterung:Die Heisenbergsche Unschärferelation bedeutet, dass man nicht gleichzeitig sowohl die Position als auch den Impuls eines Teilchens mit beliebig hoher Präzision messen kann. In diesem Fall, wenn die Position eines Elektrons sehr genau (auf 1 nm) gemessen wird, ist die Unschärfe im Impuls relativ groß. Dies bedeutet, dass das Elektron keine exakt definierte Geschwindigkeit oder Flugrichtung hat. Diese Unschärfe im Impuls führt zu einer Verteilung der möglichen Impulswerte, was zeigt, dass das Verhalten des Elektrons in einem solchen Zustand nicht genau vorhergesagt werden kann. Dies ist ein fundamentales Prinzip der Quantenmechanik und verdeutlicht die Grenzen der Messbarkeit auf subatomaren Skalen.

Aufgabe 2)

Heisenbergsche Unschärferelation beschreibt die Unmöglichkeit, bestimmte Paare von Observablen (z.B. Ort und Impuls) eines Teilchens gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen.

• Mathematische Formulierung: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• \( \Delta x \): Standardabweichung der Ortsmessung
• \( \Delta p \): Standardabweichung der Impulsmessung
• \( \hbar \): Reduzierte Planck-Konstante (\( \hbar = \frac{h}{2\pi} \))

a)

• Teil 1: Bestimme die minimal mögliche Produktunsicherheit \( \Delta x \cdot \Delta p \) für ein Elektron, wenn gegeben ist, dass \( \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s} \).

Tipp: Verwende die Heisenbergsche Unschärferelation, um die minimal mögliche Produktunsicherheit zu berechnen. Zeige alle Schritte der Berechnung deutlich auf.

Lösung:

Heisenbergsche Unschärferelation beschreibt die Unmöglichkeit, bestimmte Paare von Observablen (z.B. Ort und Impuls) eines Teilchens gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen.

• Mathematische Formulierung: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• \( \Delta x \): Standardabweichung der Ortsmessung
• \( \Delta p \): Standardabweichung der Impulsmessung
• \( \hbar \): Reduzierte Planck-Konstante (\( \hbar = \frac{h}{2\pi} \))

Lösen wir nun die gegebene Teilaufgabe:

• Teil 1: Bestimme die minimal mögliche Produktunsicherheit \( \Delta x \cdot \Delta p \) für ein Elektron, wenn gegeben ist, dass \( \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s} \).

Lösungsschritte:

1. Schreibe die Heisenbergsche Unschärferelation auf:\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
2. Setze den gegebenen Wert für \( \hbar \) in die Gleichung ein: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{2} \]
3. Berechne den Ausdruck auf der rechten Seite:\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2} \approx 5.272859 \times 10^{-35} \text{ J} \cdot \text{s} \]
4. Daraus folgt, dass die minimal mögliche Produktunsicherheit\( \Delta x \cdot \Delta p \) beträgt:\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-35} \text{ J} \cdot \text{s} \]

Zusammengefasst zeigt uns dies, dass die minimal mögliche Produktunsicherheit für ein Elektron, unter Verwendung der gegebenen reduzierten Planck-Konstante, etwa \( 5.272859 \times 10^{-35} \text{ J} \cdot \text{s} \) beträgt.

b)

• Teil 2: Ein Elektron bewegt sich entlang der x-Achse und seine Position wird mit einer Genauigkeit von \( \Delta x = 1.0 \times 10^{-10} \text{ m} \) gemessen. Berechne die minimale Unsicherheit im Impuls \( \Delta p \) des Elektrons.

Tipp: Nutze den in Teil 1 bestimmten Wert der minimal möglichen Produktunsicherheit \( \Delta x \cdot \Delta p \), um die Unsicherheit im Impuls zu bestimmen.

Lösung:

Heisenbergsche Unschärferelation beschreibt die Unmöglichkeit, bestimmte Paare von Observablen (z.B. Ort und Impuls) eines Teilchens gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen.

• Mathematische Formulierung: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• \( \Delta x \): Standardabweichung der Ortsmessung
• \( \Delta p \): Standardabweichung der Impulsmessung
• \( \hbar \): Reduzierte Planck-Konstante (\( \hbar = \frac{h}{2\pi} \))

Lösen wir nun die gegebene Teilaufgabe:

• Teil 2: Ein Elektron bewegt sich entlang der x-Achse und seine Position wird mit einer Genauigkeit von \( \Delta x = 1.0 \times 10^{-10} \text{ m} \) gemessen. Berechne die minimale Unsicherheit im Impuls \( \Delta p \) des Elektrons.

Lösungsschritte:

1. Verwende die Heisenbergsche Unschärferelation: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
2. Setze den in Teil 1 bestimmten Wert der minimal möglichen Produktunsicherheit ein:\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-35} \text{ J} \cdot \text{s} \]
3. Setze den gegebenen Wert für \( \Delta x \) ein:\[ 1.0 \times 10^{-10} \text{ m} \cdot \Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-35} \text{ J} \cdot \text{s} \]
4. Löse nach \( \Delta p \) auf:\[ \Delta p \geq \frac{5.272859 \times 10^{-35} \text{ J} \cdot \text{s}}{1.0 \times 10^{-10} \text{ m}} \]
5. Berechne den Ausdruck auf der rechten Seite:\[ \Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-25} \text{ kg} \cdot \text{m/s} \]

Zusammengefasst zeigt uns dies, dass die minimale Unsicherheit im Impuls \( \Delta p \) des Elektrons etwa \( 5.272859 \times 10^{-25} \text{ kg} \cdot \text{m/s} \) beträgt.

Aufgabe 3)

Betrachten wir ein geschlossenes System, für das der erste Hauptsatz der Thermodynamik gilt. Du sollst in diesem Kontext verschiedene Konfigurationen und Szenarien analysieren und berechnen, wie sich die inneren Energieänderungen, die zugeführte Wärme und die geleistete Arbeit zueinander verhalten.

a)

Ein geschlossenes System beginnt bei einer inneren Energie von 1500 J. Es wird eine Wärme von 300 J zugeführt und gleichzeitig leistet das System 200 J Arbeit. Berechne die Änderung der inneren Energie des Systems. Verwende die Formel des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik.

Lösung:

Um die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) eines geschlossenen Systems zu berechnen, können wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik verwenden. Dieser lautet:

• Erster Hauptsatz der Thermodynamik:

\[\ \Delta U = Q - W \]

• \(\ Q\) ist die zugeführte Wärme
• \(\ W\) ist die geleistete Arbeit

In diesem Fall haben wir:

• Startinnere Energie: 1500 J
• Zuge­führte Wärme: \(\ Q = 300 \) J
• Geleis­tee Arbeit: \(\ W = 200 \) J

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

\[\ \Delta U = Q - W = 300 J - 200 J = 100 J \]

Die Änderung der inneren Energie ist also \(\Delta U = 100 J\)

Daher erhöht sich die innere Energie des Systems um 100 J.

b)

Ein Gas wird in einem Kolben isotherm (d.h. bei konstanter Temperatur) komprimiert. Während dieses Prozesses wird eine Arbeit von 500 J am System verrichtet. Wie groß ist die zugeführte oder abgeführte Wärme unter der Annahme, dass die innere Energie des Gases konstant bleibt?

Lösung:

Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir erneut den ersten Hauptsatz der Thermodynamik:

• Erster Hauptsatz der Thermodynamik:

\[\ \Delta U = Q - W \]

• \(\ Q\) ist die zugeführte oder abgeführte Wärme
• \(\ W\) ist die am System verrichtete Arbeit
• \(\ \Delta U\) ist die Änderung der inneren Energie

In diesem Szenario wissen wir, dass die Temperatur des Gases konstant ist (isothermer Prozess). Für ein ideales Gas bedeutet das, dass die innere Energie \(\ \Delta U\) konstant bleibt. Daher ist:

\[\ \Delta U = 0 \]

Setze dies in den ersten Hauptsatz der Thermodynamik ein:

\[\ 0 = Q - W \]

Dies bedeutet, dass die zugeführte oder abgeführte Wärme gleich der am System verrichteten Arbeit sein muss:

\[\ Q = W \]

Da eine Arbeit von 500 J am System verrichtet wird:

\[\ Q = 500 J \]

Der Betrag der zugeführten Wärme ist also 500 J. Da das System Arbeit aufnimmt, muss diese Wärme zugeführt werden, um die konstante innere Energie aufrechtzuerhalten.

Zusammengefasst: Es muss eine Wärme von 500 J zugeführt werden.

c)

In einem adiabatischen Prozess (also ohne Wärmeaustausch) erfährt das System eine Verringerung seiner inneren Energie um 250 J. Wie viel Arbeit wurde vom System geleistet?

Lösung:

Um die geleistete Arbeit in einem adiabatischen Prozess zu berechnen, verwenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Dieser lautet:

• Erster Hauptsatz der Thermodynamik:

\(\ \Delta U = Q - W \)

• \(\ Q\) ist die zugeführte Wärme
• \(\ W\) ist die geleistete Arbeit
• \(\ \Delta U\) ist die Änderung der inneren Energie

In einem adiabatischen Prozess gibt es keinen Wärmeaustausch, daher ist \(\ Q = 0 \).

Setzen wir dies in die Formel ein:

\(\ \Delta U = 0 - W \)

Da das System eine Verringerung seiner inneren Energie um 250 J erfährt, ist \(\ \Delta U = -250 J \).

Setzen wir diesen Wert in die Gleichung ein:

\(\ -250 J = 0 - W \)

Das vereinfacht sich zu:

\(\ W = 250 J \)

Daher beträgt die vom System geleistete Arbeit 250 J.

Zusammengefasst: In diesem adiabatischen Prozess wurde eine Arbeit von 250 J vom System geleistet.

d)

In einem Zyklusprozess nimmt ein System im ersten Schritt 400 J Wärme auf und leistet 200 J Arbeit. Im zweiten Schritt gibt es 300 J Wärme ab und nimmt 100 J Arbeit auf. Berechne die gesamte Änderung der inneren Energie des Systems nach einem vollständigen Zyklus.

Lösung:

Um die gesamte Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) eines Systems nach einem vollständigen Zyklus zu berechnen, müssen wir die Änderungen der inneren Energie in jedem Schritt des Zyklus berücksichtigen.

Erster Hauptsatz der Thermodynamik:

• \(\Delta U = Q - W\)

• \(\ Q\) ist die zugeführte oder abgeführte Wärme
• \(\ W\) ist die geleistete oder aufgenommene Arbeit

Gegeben sind:

• Im ersten Schritt nimmt das System 400 J Wärme auf und leistet 200 J Arbeit:

\(\Delta U_1 = Q_1 - W_1 = 400 J - 200 J = 200 J\)

• Im zweiten Schritt gibt das System 300 J Wärme ab und nimmt 100 J Arbeit auf:

\(\Delta U_2 = Q_2 - W_2 = -300 J - (-100 J) = -300 J + 100 J = -200 J\)

Da es sich um einen Zyklusprozess handelt (bei dem das System am Anfangs- und Endpunkt wieder in denselben Zustand gelangt), muss die gesamte Änderung der inneren Energie \(\Delta U_{gesamt}\) eines vollständigen Zyklus null sein:

\(\Delta U_{gesamt} = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 200 J - 200 J = 0 J\)

Zusammengefasst: Die gesamte Änderung der inneren Energie des Systems nach einem vollständigen Zyklus beträgt 0 J. Ein Zyklusprozess führt nicht zu einer Nettoänderung der inneren Energie.

Aufgabe 4)

Entropie und thermodynamische Prozesse:Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems und ein zentraler Begriff in der Thermodynamik. Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik bleibt die Energie in einem geschlossenen System erhalten, beschrieben durch die Gleichung: \(\Delta U = Q - W\) Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Entropie eines isolierten Systems niemals abnehmen kann: \(\Delta S \geq 0\) Die Entropieänderung bei einem reversiblen Prozess wird durch das Integral der zugeführten Wärme geteilt durch die Temperatur gegeben: \(\Delta S = \int \frac{dQ_{rev}}{T}\) Bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu: \(\Delta S > 0\) Ein adiabatischer Prozess ist ein Prozess ohne Wärmeübertragung. Bei reversiblen adiabatischen Prozessen bleibt die Entropie konstant: \(\Delta S = 0\) Die freie Energie, auch als Helmholtz-Funktion bezeichnet, wird definiert durch: \(\ F = U - TS \) Maxwell'sche Beziehungen verbinden verschiedene thermodynamische Zustandsgrößen und leiten sich von den fundamentalen thermodynamischen Potenzialen ab.

a)

1. Betrachte ein ideales Gas, das in einem reversiblen isothermen Prozess vom Volumen \( V_1 \) auf \( V_2 \) expandiert.

• a) Berechne die Entropiezunahme \( \Delta S \) des Gases während dieses Prozesses. Nutze die Beziehung zwischen dem Druck, Volumen und Temperatur für ein ideales Gas.
• b) Erläutere, wie die Entropieänderung in einem irreversiblen Prozess, bei dem das Volumen abrupt von \( V_1 \) auf \( V_2 \) geändert wird, sich von der oben berechneten Entropieänderung unterscheidet.

Lösung:

Entropie und thermodynamische Prozesse:Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems und ein zentraler Begriff in der Thermodynamik. Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik bleibt die Energie in einem geschlossenen System erhalten, beschrieben durch die Gleichung: \( \Delta U = Q - W \) Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Entropie eines isolierten Systems niemals abnehmen kann: \( \Delta S \geq 0 \) Die Entropieänderung bei einem reversiblen Prozess wird durch das Integral der zugeführten Wärme geteilt durch die Temperatur gegeben: \( \Delta S = \int \frac{dQ_{rev}}{T} \) Bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu: \( \Delta S > 0 \) Ein adiabatischer Prozess ist ein Prozess ohne Wärmeübertragung. Bei reversiblen adiabatischen Prozessen bleibt die Entropie konstant: \( \Delta S = 0 \) Die freie Energie, auch als Helmholtz-Funktion bezeichnet, wird definiert durch: \( \ F = U - TS \) Maxwell'sche Beziehungen verbinden verschiedene thermodynamische Zustandsgrößen und leiten sich von den fundamentalen thermodynamischen Potenzialen ab.Unteraufgabe:1. Betrachte ein ideales Gas, das in einem reversiblen isothermen Prozess vom Volumen \( V_1 \) auf \( V_2 \) expandiert.

• a) Berechne die Entropiezunahme \( \Delta S \) des Gases während dieses Prozesses. Nutze die Beziehung zwischen dem Druck, Volumen und Temperatur für ein ideales Gas.
• b) Erläutere, wie die Entropieänderung in einem irreversiblen Prozess, bei dem das Volumen abrupt von \( V_1 \) auf \( V_2 \) geändert wird, sich von der oben berechneten Entropieänderung unterscheidet.

Lösung:1. Betrachte ein ideales Gas, das in einem reversiblen isothermen Prozess vom Volumen \( V_1 \) auf \( V_2 \) expandiert.Um die Entropiezunahme \( \Delta S \) während dieses Prozesses zu berechnen, verwenden wir die Beziehung für die Entropieänderung bei einem reversiblen isothermen Prozess und das ideale Gasgesetz.a) Berechnung der Entropiezunahme \( \Delta S \)Bei einem reversiblen isothermen Prozess wird die Entropieänderung durch folgende Formel gegeben:

• \(Q_{rev} = nRT \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}} \right) \)
• Die Entropieänderung ist dann \( \Delta S = \frac{Q_{rev}}{T}\)
• \( \Delta S = nR \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}} \right) \)

• Dabei ist
• \( n \) die Stoffmenge des Gases
• \( R \) die universelle Gaskonstante
• \( V_1 \) und \( V_2 \) sind die Anfangs- und Endvolumina des Gases.

b) Entropieänderung in einem irreversiblen ProzessBei einem irreversiblen Prozess, bei dem das Volumen abrupt von \( V_1 \) auf \( V_2 \) geändert wird, ist die Situation anders. Während die Entropie eines reversiblen Prozesses den maximalen Grad der Ordnung (also minimale zusätzliche Entropieproduktion) darstellt, führt ein irreversibler Prozess zu zusätzlicher Entropieproduktion.

• Das bedeutet, dass die Entropiezunahme bei einem irreversiblen Prozess größer ist als die Entropiezunahme bei einem reversiblen Prozess, obwohl sich das Volumen in beiden Fällen von \( V_1 \) auf \( V_2 \) ändert.
• Mathematisch könnte man das so ausdrücken:
• \(\Delta S_{reversibel} < \Delta S_{irreversibel} \)
• Diese zusätzliche Entropie entsteht aufgrund von Dissipationsprozessen wie Reibung, Wärmeleitung und irreversiblen Expansionen, die im realen Leben immer vorhanden sind.

b)

2. Ein thermodynamisches System durchläuft einen zyklischen Prozess, bei dem in einem Teil des Prozesses Wärme \( Q_{zu} \) bei konstanter Temperatur \( T \) aufgenommen wird und in einem anderen Teil Wärme \( Q_{ab} \) abgegeben wird.

• a) Berechne die Entropieänderungen \( \Delta S_1 \) und \( \Delta S_2 \) für die beiden Teilprozesse (Wärmeaufnahme und Wärmeabgabe) und zeige, dass die Gesamtentropieänderung nach einem kompletten Zyklus null ist.
• b) Diskutiere die Konsequenzen des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik in Bezug auf die Entropieproduktion und Effizienz eines idealen und eines realen zyklischen Prozesses. Benutze hierfür das Konzept der freien Energie und der irreversiblen Prozesse.

Lösung:

Entropie und thermodynamische Prozesse:Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems und ein zentraler Begriff in der Thermodynamik. Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik bleibt die Energie in einem geschlossenen System erhalten, beschrieben durch die Gleichung: \(\Delta U = Q - W\). Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Entropie eines isolierten Systems niemals abnehmen kann: \(\Delta S \geq 0\). Die Entropieänderung bei einem reversiblen Prozess wird durch das Integral der zugeführten Wärme geteilt durch die Temperatur gegeben: \(\Delta S = \int \frac{dQ_{rev}}{T}\). Bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu: \(\Delta S > 0\). Ein adiabatischer Prozess ist ein Prozess ohne Wärmeübertragung. Bei reversiblen adiabatischen Prozessen bleibt die Entropie konstant: \(\Delta S = 0\). Die freie Energie, auch als Helmholtz-Funktion bezeichnet, wird definiert durch: \( F = U - TS\). Maxwell'sche Beziehungen verbinden verschiedene thermodynamische Zustandsgrößen und leiten sich von den fundamentalen thermodynamischen Potenzialen ab.Unteraufgabe:2. Ein thermodynamisches System durchläuft einen zyklischen Prozess, bei dem in einem Teil des Prozesses Wärme \(Q_{zu}\) bei konstanter Temperatur \(T\) aufgenommen wird und in einem anderen Teil Wärme \(Q_{ab}\) abgegeben wird.

• a) Berechne die Entropieänderungen \(\Delta S_1\) und \(\Delta S_2\) für die beiden Teilprozesse (Wärmeaufnahme und Wärmeabgabe) und zeige, dass die Gesamtentropieänderung nach einem kompletten Zyklus null ist.
• b) Diskutiere die Konsequenzen des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik in Bezug auf die Entropieproduktion und Effizienz eines idealen und eines realen zyklischen Prozesses. Benutze hierfür das Konzept der freien Energie und der irreversiblen Prozesse.

Lösung:2. Ein thermodynamisches System durchläuft einen zyklischen Prozess...a) Berechnung der Entropieänderungen \(\Delta S_1\) und \(\Delta S_2\)Zur Berechnung der Entropieänderungen während der Wärmeaufnahme und -abgabe verwenden wir die allgemeine Entropieformel:\(\Delta S = \frac{Q}{T}\)

• Für den Teilprozess der Wärmeaufnahme (\(Q_{zu}\)) bei konstanter Temperatur \(T\):\(\Delta S_1 = \frac{Q_{zu}}{T}\)
• Für den Teilprozess der Wärmeabgabe (\(Q_{ab}\)) bei konstanter Temperatur \(T\):\(\Delta S_2 = \frac{-Q_{ab}}{T}\)

Gesamtentropieänderung nach einem kompletten Zyklus:

• Die Gesamtentropieänderung \(\Delta S_{gesamt}\) nach einem vollen Zyklus ist die Summe der Entropieänderungen der beiden Teilprozesse:\(\Delta S_{gesamt} = \Delta S_1 + \Delta S_2\)
• Setzen wir die Werte ein:\(\Delta S_{gesamt} = \frac{Q_{zu}}{T} + \frac{-Q_{ab}}{T}\)\(\Delta S_{gesamt} = \frac{Q_{zu} - Q_{ab}}{T}\)
• Da \(Q_{zu} = Q_{ab}\) in einem idealen zyklischen Prozess:\(\Delta S_{gesamt} = \frac{Q_{zu} - Q_{ab}}{T} = 0\)
• Daher ist die Gesamtentropieänderung nach einem kompletten Zyklus null:\(\Delta S_{gesamt} = 0\).

b) Konsequenzen des zweiten Hauptsatzes der ThermodynamikEntropieproduktion und Effizienz in idealen und realen Prozessen:Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nimmt die Entropie eines Systems und seiner Umgebung in einem irreversiblen Prozess immer zu:\(\Delta S_{irreversibel} > 0\)Ideal zyklische Prozesse:In einem idealen Kreisprozess, wie z.B. dem Carnot-Kreisprozess, wird die maximale Effizienz erreicht und die Entropieproduktion ist minimal:

• \(\eta_{ideal} = 1 - \frac{T_{kalt}}{T_{heiß}}\)
• Die Entropieänderung des Systems und der Umgebung ist null:\(\Delta S_{ideal} = 0\)

Reale zyklische Prozesse:In realen Prozessen gibt es immer irreversible Effekte wie Reibung und Wärmeverluste, die zu zusätzlicher Entropieproduktion führen:

• \(\eta_{real} < \eta_{ideal}\)
• Die Entropie des Gesamtsystems nimmt zu:\(\Delta S_{real} > 0\)

Freie Energie und irreversible Prozesse:Die freie Energie (Helmholtz-Energie) wird definiert durch:\(F = U - TS\)In einem irreversiblen Prozess nimmt die freie Energie ab, was die Effizienz des Prozesses mindert:

• \(\frac{dF}{dt} = -T\frac{dS_{produziert}}{dt} < 0\)
• Dies bedeutet, dass Arbeit verloren geht, die Entropieproduktion steigt und die Effizienz des Prozesses reduziert wird.