Introduction to Condensed Matter Physics - Cheatsheet.pdf

Bravais-Gitter und Kristallsymmetrie

Definition:

Bravais-Gitter: Anordnung von Punkten in dreidimensionalem Raum mit translationaler Symmetrie; Kristallsymmetrie: Symmetrieeigenschaften eines Kristallgitters

Details:

• Es gibt 14 verschiedene Bravais-Gitter in 3D
• Kristalle werden anhand von Symmetrieelementen (Dreh-, Spiegelsymmetrie) klassifiziert
• Primitive Basisvektoren: \( \vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3 \)
• Translationsvektor: \( \vec{R} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 \)
• Klassifikation der Kristallstrukturen: Kubisch, hexagonal, tetragonal, etc.
• Wichtige Symmetrieoperationen: Identität, Spiegelung, Drehung, Inversion

Miller-Indizes und kristallographische Richtungen

Definition:

Miller-Indizes: Darstellen von Ebenen in Kristallen \( (hkl) \); Kristallographische Richtungen: Darstellung der Richtungen in Kristallen \( [uvw] \)

Details:

• Miller-Indizes: Ganzzahlige Vielfache der reziproken Schnitte mit den Achsen
• Kristallographische Richtungen: Vektoren zwischen zwei Punkten im Gitter
• Bestimmung der Miller-Indizes: Schnittpunkte der Ebene mit Achsen bestimmen, Kehrwerte nehmen, und auf niedrigste ganze Zahlen bringen
• Bedeutung: Wichtige Rolle bei der Bestimmung der Kristallstruktur und -eigenschaften

Landau-Theorie der Phasenübergänge

Definition:

Landau-Theorie beschreibt Phasenübergänge nahe der kritischen Temperatur durch Entwicklung des Ordnungsparameters in eine Potenzreihe.

Details:

• Ordnungsparameter \( \eta \) beschreibt den Zustand des Systems
• Freie Energie nahe kritischer Temperatur als Potenzreihe des Ordnungsparameters \[ F(\eta) = a(T - T_c)\eta^2 + b\eta^4 + \ldots \]
• Symmetriebrüche und kritisches Verhalten analysiert durch minimale Bedingungen der freien Energie
• Übergang erster Ordnung: Diskontinuierlicher Ordnungsparameter
• Übergang zweiter Ordnung: Stetiger Ordnungsparameter, divergenz der Suszeptibilität

Elektronenbandtheorie und Zonentheorie

Definition:

Grundlage zum Verständnis der elektronischen Eigenschaften von Festkörpern. Erklärt die energetischen Zustände der Elektronen in Kristallen.

Details:

• In der Bandstruktur von Festkörpern können Elektronen nur bestimmte Energieniveaus annehmen.
• Leitungsband: Energetisch höchste besetzbare Zone, wichtig für elektrische Leitfähigkeit.
• Valenzband: Energetisch höchste besetzte Zone.
• Bandlücke (\textit{band gap}): Energieintervall ohne erlaubte Zustände.
• Halbmetalle: Teilweise gefülltes Leitungsband.
• Diamagnetismus und Paramagnetismus lassen sich durch Bandtheorie modellieren.

Fermi-Flächen und Zustandsdichte

Definition:

Fermi-Flächen: Oberflächen im k-Raum, die alle Zustände mit der Fermi-Energie enthalten. Zustandsdichte: Anzahl der Zustände pro Energieintervall und Volumeneinheit.

Details:

• Fermi-Fläche ist definiert durch \( \epsilon(k_F) = E_F \)
• Form und Größe der Fermi-Fläche bestimmen elektrische und thermische Eigenschaften
• Zustandsdichte \( g(E) = \sum_k \delta(E - \epsilon(k)) \)
• 3D Fall: \( g(E) \propto \sqrt{E} \) für freie Elektronen
• 1D und 2D Fälle unterscheiden sich

Magnetische Hysterese und Domänentheorie

Definition:

Magnetische Hysterese beschreibt die Verzögerung der Magnetisierung eines Materials bei Veränderung des äußeren Magnetfeldes. Domänentheorie erklärt die Existenz von magnetischen Domänen, Bereichen einheitlicher Magnetisierung innerhalb eines Ferromagneten.

Details:

• Hysteresezyklus zeigt Beziehung zwischen Magnetfeld H und Magnetisierung M.
• Remanenz: Magnetisierung bei H=0 nach Sättigung.
• Koerzitivfeld: Feldstärke H, bei der M=0 nach Sättigung.
• Domänen: Bereiche gleicher Magnetisierungsrichtung.
• Wände zwischen Domänen (Bloch-Wände) können sich bewegen, um den Gesamtzustand des Magneten zu ändern.
• Energetische Überlegungen bestimmen die Größe und Orientierung der Domänen.

BCS-Theorie der Supraleitung

Definition:

BCS-Theorie beschreibt Supraleitung durch Bildung von Cooper-Paaren bei tiefen Temperaturen, was zu einem Energielückenöffnung im Leitungselektronenensemble führt.

Details:

• Cooper-Paare: gebundene Zustände von zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin und Impuls
• Energielücke \(\Delta\): Stabilität der supraleitenden Phase
• Kritische Temperatur \(T_c\): Temperatur, unter der Supraleitung auftritt
• BCS-Zustand: Quantenüberlagerungszustand vieler Cooper-Paare
• Hamiltonian: \(H = \sum_k \epsilon_k c_k^\dagger c_k + \sum_{k,k'} V_{kk'} c_k^\dagger c_{-k}^\dagger c_{-k'} c_{k'}\)

Meissner-Effekt und London-Gleichungen

Definition:

Der Meissner-Effekt beschreibt das vollständige Ausstoßen eines Magnetfeldes aus einem Supraleiter beim Übergang in den supraleitenden Zustand.

Details:

• London-Gleichungen beschreiben die makroskopischen elektromagnetischen Eigenschaften von Supraleitern.
• Zweite London-Gleichung: