Introduction to Condensed Matter Physics - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Bravais-Gitter und Kristallsymmetrie: Ein Bravais-Gitter ist eine Anordnung von Punkten im dreidimensionalen Raum, die eine Translationssymmetrie aufweist. In der Kristallsymmetrie werden die Symmetrieeigenschaften eines Kristallgitters betrachtet.

• Es gibt 14 verschiedene Bravais-Gitter in 3D.
• Kristalle werden anhand von Symmetrieelementen wie Dreh- und Spiegelsymmetrie klassifiziert.
• Primitive Basisvektoren: \( \vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3 \)
• Translationsvektor: \( \vec{R} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 \)
• Klassifikation der Kristallstrukturen: Kubisch, hexagonal, tetragonal, etc.
• Wichtige Symmetrieoperationen: Identität, Spiegelung, Drehung, Inversion

a)

Beschreibe das kubische Bravais-Gitter und seine Symmetrieeigenschaften. Zeichne das kubische primitive Gitter und erkläre, weshalb es nur eine primitive Zelle enthält. Berechne die Menge des Basisvolumens für das kubische primitive Gitter.

Lösung:

Kubisches Bravais-Gitter und seine Symmetrieeigenschaften:

• Das kubische Bravais-Gitter ist eines der 14 möglichen Bravais-Gitter und zeigt eine hohe Symmetrie. Es gibt drei Typen von kubischen Gittern: einfach kubisch (Simple Cubic, SC), raumzentriert kubisch (Body-Centered Cubic, BCC) und flächenzentriert kubisch (Face-Centered Cubic, FCC).
• Symmetrieeigenschaften:
• Das kubische Gitter hat vier 3-zählige Rotationsachsen entlang der Raumdiagonalen.
• Es besitzt sechs 2-zählige Rotationsachsen entlang der Mitten der Edges.
• Es gibt zudem neun Spiegelebenen: drei parallel zu den Flächen und sechs diagonal zwischen den Flächen.

Zeichnung des kubischen primitiven Gitters (SC):

Eine Zeichnung kann hier nicht direkt erstellt werden, aber stelle Dir ein einfach kubisches Gitter als Würfel vor, bei dem sich an jedem Eckpunkt eines Würfels ein Gitterpunkt befindet. Jeder Würfel hat somit acht Gitterpunkte (einen an jeder Ecke).

Primitive Zelle:

Eine primitive Zelle enthält genau einen Gitterpunkt pro Zelle. Bei einem einfach kubischen (SC) Gitter ist die primitive Zelle ein Würfel, bei dem acht Gitterpunkte an den Ecken sitzen. Jeder Gitterpunkt wird also auf acht Zellen verteilt (\frac{1}{8} pro Ecke), sodass schließlich genau ein Gitterpunkt innerhalb einer Zelle liegt.

Berechnung des Basisvolumens für das kubische primitive Gitter (einfach kubisches Gitter):

• Primitive Basisvektoren:
  • \vec{a}_1 = a \hat{i}
  • \vec{a}_2 = a \hat{j}
  • \vec{a}_3 = a \hat{k}
  (Hierbei ist a die Kantenlänge des Würfels.)
• Das Basisvolumen ergibt sich aus dem Skalarprodukt der Vektoren: \(V = a^3\) (Einfach das Volumen eines Würfels mit den Seitenlängen a.)

b)

Ein Kristall wird durch die Basisvektoren: \( \vec{a}_1 = a \hat{i}, \vec{a}_2 = a \hat{j}, \vec{a}_3 = a \hat{k} \) beschrieben. Bestimme den Translationsvektor für einen Punkt, der durch \( n_1=2, n_2=1, n_3=3 \) gegeben ist. Berechne zusätzlich den Abstandsvektor zwischen den Punkten \( \vec{R}_1 = \vec{a}_1 + 2\vec{a}_2 \) und \( \vec{R}_2 = 2\vec{a}_1 + 3\vec{a}_2 + \vec{a}_3 \).

Lösung:

Translationsvektor Berechnung:

Ein Kristall wird durch die Basisvektoren beschrieben:

• \( \vec{a}_1 = a \hat{i} \)
• \( \vec{a}_2 = a \hat{j} \)
• \( \vec{a}_3 = a \hat{k} \)

Der Translationsvektor für einen Punkt, der durch \( n_1 = 2 \), \( n_2 = 1 \), \( n_3 = 3 \) gegeben ist, bestimmt sich wie folgt:

• \( \vec{R} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 \)
• \( \vec{R} = 2a \hat{i} + a \hat{j} + 3a \hat{k} \)
• \( \vec{R} = 2a \hat{i} + a \hat{j} + 3a \hat{k} = a (2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) \)

Abstandsvektor Berechnung:

Gegeben sind die Punkte:

• \( \vec{R}_1 = \vec{a}_1 + 2 \vec{a}_2 \)
• \( \vec{R}_2 = 2 \vec{a}_1 + 3\vec{a}_2 + \vec{a}_3 \)

Um den Abstandsvektor \( \vec{R}_{\text{Abstand}} \) zwischen \( \vec{R}_1 \) und \( \vec{R}_2 \) zu berechnen, subtrahieren wir \( \vec{R}_1 \) von \( \vec{R}_2 \):

• \( \vec{R}_{\text{Abstand}} = \vec{R}_2 - \vec{R}_1 \)
• \( = (2 \vec{a}_1 + 3 \vec{a}_2 + \vec{a}_3) - (\vec{a}_1 + 2 \vec{a}_2) \)
• \( = (2 \vec{a}_1 - \vec{a}_1) + (3 \vec{a}_2 - 2 \vec{a}_2) + \vec{a}_3 \)
• \( = \vec{a}_1 + \vec{a}_2 + \vec{a}_3 \)
• Der resultierende Abstandsvektor ist:
• \( \vec{R}_{\text{Abstand}} = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \)

Aufgabe 2)

Du arbeitest als Physiker in einem Labor, das sich auf die Untersuchung von Kristallstrukturen spezialisiert hat. Eine deiner Aufgaben besteht darin, die Kristallographischen Eigenschaften verschiedener Kristalle zu analysieren, insbesondere die Bestimmung der Miller-Indizes für bestimmte Ebenen und die Identifizierung von kristallographischen Richtungen innerhalb der Kristalle.

In einem Experiment hast Du einen kubischen Kristall, in dem eine spezielle Ebene und eine Richtung von Interesse sind. Du hast folgende Daten ermittelt:

• Deine Ebene schneidet die x-Achse bei a/2, die y-Achse bei a und die z-Achse bei unendlich.
• Die kristallographische Richtung geht vom Punkt (0,0,0) zu (1,1,2) im Gitter.

a)

(a) Bestimme die Miller-Indizes (hkl) der gegebenen Ebene. Führe dazu alle notwendigen Berechnungen durch.

• Schneidet die x-Achse bei a/2
• Schneidet die y-Achse bei a
• Schneidet die z-Achse bei unendlich

Zeige und erkläre jeden Schritt der Berechnung.

Lösung:

Um die Miller-Indizes (hkl) der gegebenen Ebene zu bestimmen, müssen wir die folgenden Schritte durchlaufen:

• Schritt 1: Bestimme die Schnittstellen der Ebene mit den Achsen

Es wurde angegeben:

• Die Ebene schneidet die x-Achse bei a/2.
• Die Ebene schneidet die y-Achse bei a.
• Die Ebene schneidet die z-Achse bei unendlich.

Daraus erhalten wir die Schnittpunktkoordinaten:

• x: a/2
• y: a
• z: ∞ (unendlich)

• Schritt 2: Bestimme die reziproken Achsenabschnitte

Die reziproken Achsenabschnitte für jede Achse werden wie folgt berechnet:

• x: \(\frac{a}{a/2} = 2\)
• y: \(\frac{a}{a} = 1\)
• z: \(\frac{a}{\text{unendlich}} = 0\)

• Schritt 3: Bestimme die Miller-Indizes (hkl)

Die Miller-Indizes sind die reziproken dieser Achsenabschnitte:

• h = 2
• k = 1
• l = 0

Also sind die Miller-Indizes der gegebenen Ebene:

(hkl) = (210)

b)

(b) Bestimme die kristallographische Richtung [uvw] für die Linie, die vom Ursprung (0,0,0) zum Punkt (1,1,2) verläuft. Beschreibe den Prozess der Bestimmung der kristallographischen Richtung und erläutere die Bedeutung dieser Richtung in Bezug auf die Kristallstruktur.

Lösung:

Um die kristallographische Richtung [uvw] zu bestimmen, die vom Ursprung (0,0,0) zum Punkt (1,1,2) verläuft, folge diesen Schritten:

• Schritt 1: Bestimme die Differenzen der Koordinaten

Gegeben sind zwei Punkte in einer kubischen Struktur: der Ursprung (0,0,0) und der Punkt (1,1,2). Die Richtung wird durch die Differenzen der Koordinaten der beiden Punkte gefunden:

• \(u = x_2 - x_1 = 1 - 0 = 1\)
• \(v = y_2 - y_1 = 1 - 0 = 1\)
• \(w = z_2 - z_1 = 2 - 0 = 2\)

Der Richtungsvektor, der diese Differenzen bezeichnet, ist also (1,1,2).

• Schritt 2: Normalisiere den Richtungsvektor

Da der Richtungsvektor (1,1,2) bereits aus ganzen Zahlen besteht, ist keine weitere Normalisierung erforderlich.

• Schritt 3: Schreibe die kristallographische Richtung in eckigen Klammern

Die kristallographische Richtung für diese Linie ist deswegen

[uvw] = [112]

Bedeutung dieser Richtung:

Die Richtung [112] gibt an, wie sich die Atome in der Kristallstruktur relativ zueinander ausrichten bzw. angeordnet sind. Diese Information ist entscheidend für das Verständnis der physikalischen Eigenschaften des Kristalls, wie z.B. der mechanischen Festigkeit, der elektrischen Leitfähigkeit und der optischen Eigenschaften. Die Richtungsindizes [uvw] helfen dabei, bestimmte Richtungen innerhalb des Kristallgitters zu identifizieren, was für die Analyse und das Design von Materialien wichtig ist.

Aufgabe 4)

Eine tiefere Einsicht in die Elektronenbandtheorie und Zonentheorie ist grundlegend für das Verständnis der elektronischen Eigenschaften von Festkörpern. Diese Theorie beschreibt die energetischen Zustände, die ein Elektron in einem Kristall einnehmen kann. In der Bandstruktur von Festkörpern können Elektronen nur bestimmte Energieniveaus annehmen. Dies führt zu einer Unterteilung in verschiedene Bänder:

• Leitungsband: Die energetisch höchste besetzbare Zone, die für die elektrische Leitfähigkeit verantwortlich ist.
• Valenzband: Die energetisch höchste besetzte Zone.
• Bandlücke (\textit{band gap}): Ein Energieintervall, in dem keine erlaubten Zustände vorhanden sind.
• Halbmetalle: Festkörper, bei denen das Leitungsband teilweise gefüllt ist.
• Diamagnetismus und Paramagnetismus: Magnetische Eigenschaften, die durch die Bandtheorie modelliert werden können.

a)

(a) Berechne die Größe der Bandlücke: In einem Halbleiter beträgt die Energiedifferenz zwischen dem obersten besetzten Zustand des Valenzbands und dem untersten unbesetzten Zustand des Leitungsbands 1,1 eV. Ermittle die Größe der Bandlücke und erkläre die Bedeutung dieser Größe für die Leitfähigkeit von Halbleitern.

Lösung:

Um die Größe der Bandlücke in einem Halbleiter zu berechnen, verwenden wir die bereitgestellten Informationen: Die Energiedifferenz zwischen dem obersten besetzten Zustand des Valenzbands und dem untersten unbesetzten Zustand des Leitungsbands beträgt 1,1 eV. Diese Differenz wird als Bandlücke (\textit{band gap}) bezeichnet.

Somit ergibt sich:

E_{g} = 1,1 \text{ eV}

Berechnung der Größe der Bandlücke:

Die Größe der Bandlücke E_g beträgt 1,1 eV.

Bedeutung der Bandlücke für die Leitfähigkeit von Halbleitern:

• Die Bandlücke ist ein entscheidender Faktor für die elektrischen Eigenschaften von Halbleitern.
• Eine größere Bandlücke bedeutet, dass mehr Energie benötigt wird, um Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband zu bewegen, was zu einer geringeren intrinsischen Leitfähigkeit bei Raumtemperatur führt.
• Halbleiter mit kleinerer Bandlücke benötigen weniger Energie (z.B. durch thermische Energie oder Licht), um Elektronen ins Leitungsband zu überführen, was zu einer höheren Leitfähigkeit führt.
• Ein Beispiel für einen Halbleiter mit einer solchen Bandlücke ist Silizium, dessen Bandlücke etwa 1,1 eV beträgt. Dies ermöglicht es, dass bei Raumtemperatur ausreichend Elektronen vorhanden sind, um elektrische Ströme zu leiten.
• Materialien mit sehr großen Bandlücken sind in der Regel Isolatoren, da kaum Elektronen genug Energie haben, um die Bandlücke zu überwinden.

b)

(b) Unterschied zwischen Halbleiter, Leiter und Isolator: Erkläre anhand der Bandtheorie den Unterschied zwischen einem Halbleiter, einem Leiter und einem Isolator. Erläutere, wie unterschiedliche Bandlücken oder deren Abwesenheit die elektrischen Eigenschaften dieser Materialien beeinflussen.

Lösung:

Um den Unterschied zwischen einem Halbleiter, einem Leiter und einem Isolator anhand der Bandtheorie zu erklären, sind die Bandlücke und die Position der Elektronen in den Energiebändern von zentraler Bedeutung:

• Leiter (Metalle):

  Leiter haben entweder überlappende Valenz- und Leitungsbänder oder ein teilweise gefülltes Leitungsband. Dies bedeutet, dass Elektronen leicht in höher gelegene Energiezustände im Leitungsband angehoben werden können, ohne eine signifikante Energiebarriere überwinden zu müssen.

  • Überlappende Bänder: Die energetischen Zustände im Valenzband überlappen mit denen im Leitungsband, sodass Elektronen kontinuierlich zur elektrischen Leitfähigkeit beitragen können.
  • Teilweise gefülltes Leitungsband: Einige Elektronen befinden sich bereits im Leitungsband, sodass sie frei beweglich sind und eine elektrische Leitfähigkeit ermöglichen.
  • Elektrische Leitfähigkeit: Sehr hoch, da viele frei bewegliche Elektronen zur Verfügung stehen.
• Halbleiter:

  Halbleiter besitzen eine moderate Bandlücke (\textit{typischerweise zwischen 0,1 und 4 eV}). Bei Raumtemperatur ist genug thermische Energie vorhanden, um einige Elektronen aus dem Valenzband in das Leitungsband zu heben, was eine gewisse Leitfähigkeit zur Folge hat.

  • Bandlücke: Endliche Größe, jedoch kleiner als bei Isolatoren. Ein typisches Beispiel ist Silizium mit einer Bandlücke von etwa 1,1 eV.
  • Elektrische Leitfähigkeit: Bei niedrigen Temperaturen gering, steigt jedoch mit Temperatur und Dotierung (Einführung von Fremdatomen).
• Isolatoren:

  Isolatoren haben eine große Bandlücke (typischerweise größer als 4 eV), was bedeutet, dass es für Elektronen sehr schwierig ist, genügend Energie zu erwerben, um vom Valenzband in das Leitungsband zu gelangen. Daher sind die elektrischen Leitfähigkeiten von Isolatoren extrem niedrig.

  • Bandlücke: Sehr groß, typischerweise größer als 4 eV. Ein Beispiel ist Diamant mit einer Bandlücke von etwa 5,5 eV.
  • Elektrische Leitfähigkeit: Sehr gering, da kaum Elektronen ins Leitungsband angehoben werden können.

Zusammenfassung:

• Leiter: Entweder keine Bandlücke oder überlappende Bänder; sehr hohe Leitfähigkeit.
• Halbleiter: Endliche, aber moderate Bandlücke; Leitfähigkeit steigt mit Temperatur und Dotierung.
• Isolator: Sehr große Bandlücke; sehr geringe Leitfähigkeit.