Mathematics for Physicists 1 (Linear Algebra) - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Gegeben sei der Vektorraum V mit der Menge aller möglichen Vektoren v und den folgenden Operationen und Eigenschaften:

• Vektoraddition: Für alle u, v ∈ V gilt u + v ∈ V
• Kommutativität: u + v = v + u
• Assoziativität der Addition: u + (v + w) = (u + v) + w
• Existenz des neutralen Elements: Es gibt ein 0 ∈ V sodass v + 0 = v für alle v ∈ V
• Existenz des inversen Elements: Für jedes v ∈ V gibt es ein -v ∈ V sodass v + (-v) = 0
• Skalarmultiplikation: Für alle a ∈ ℝ und v ∈ V gilt av ∈ V
• Distributivität der Skalarmultiplikation: a(u + v) = au + av
• Distributivität über die Addition der Skalare: (a + b)v = av + bv
• Assoziativität der Skalarmultiplikation: a(bv) = (ab)v
• Existenz des Einselements: 1v = v für alle v ∈ V

Arbeite mit diesen Eigenschaften des Vektorraums V und bearbeite die folgenden Aufgaben:

a)

Zeige, dass das neutrale Element 0 in V eindeutig ist. Angenommen es gäbe ein weiteres neutrales Element 0' in V, welches ebenfalls die Additionseigenschaft erfüllt. Führe einen Widerspruchsbeweis.

Lösung:

Um zu zeigen, dass das neutrale Element 0 in V eindeutig ist, nehmen wir an, es gäbe ein weiteres neutrales Element 0' in V, das ebenfalls die Additionseigenschaft erfüllt. Wir führen dazu einen Widerspruchsbeweis durch:

• Nach Definition des neutralen Elements gilt für alle v ∈ V, dass v + 0 = v und v + 0' = v.
• Insbesondere gilt diese Eigenschaft auch für das spezielle Element 0. Setzen wir v = 0, so erhalten wir:

• 0 + 0' = 0
• Setzen wir v = 0', so erhalten wir auch:
• 0' + 0 = 0'

• Aus der ersten Gleichung haben wir 0 + 0' = 0'.
• Aus der zweiten Gleichung haben wir 0' + 0 = 0.
• Da die Vektoraddition kommutativ ist, wissen wir, dass 0' + 0 = 0 + 0'.

• Aus 0' + 0 = 0 und 0' + 0 = 0' folgt, dass 0 = 0'.

• Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element 0 in V einzigartig ist, da unser angenommenes weiteres neutrale Element 0' identisch zu 0 ist.

b)

Beweise, dass das inverse Element -v in V eindeutig ist. Angenommen es gäbe ein weiteres inverses Element -v' in V, welches ebenfalls die Inverse-Eigenschaft erfüllt. Führe einen Widerspruchsbeweis.

Lösung:

Um zu zeigen, dass das inverse Element -v in V eindeutig ist, nehmen wir an, es gäbe ein weiteres inverses Element -v' in V, das ebenfalls die Inverse-Eigenschaft erfüllt. Wir führen dazu einen Widerspruchsbeweis durch:

• Nach Definition des inversen Elements gilt für jedes v ∈ V, dass v + (-v) = 0 und v + (-v') = 0 gilt.
• Wir wissen, dass jeder Vektor eine eindeutige additive Inverse hat:

• Setzen wir w = -v, so ergibt das v + w = 0.
• Setzen wir w = -v', so ergibt das v + w = 0.

• Nun setzen wir die beiden Gleichungen in Beziehung zueinander:
• v + (-v) = 0
• und
• v + (-v') = 0.

• Setze beide in einer Gleichung gleich und nutze die Verknüpfung mit der Kommutativität:
• 0 = v + (-v).
• Da die Addition kommutativ ist, haben wir 0 = (-v) + v.

• Nun nehmen wir die Inverse-Eigenschaften von -v' und -v:
• (-v') + v = 0 und (-v') = -v.

• Zusammengeführt ergibt dies:
• -v = -v'.

• Damit haben wir gezeigt, dass das inverse Element -v in V einzigartig ist, da unser angenommenes weiteres inverses Element -v' identisch zu -v ist.

c)

Sei V der Vektorraum der zweidimensionalen reellen Vektoren. Betrachte die Vektoren u = (2, 3) und v = (5, -1). Bestimme das Ergebnis der Operation u + v sowie das Ergebnis der Skalarmultiplikation 2v und überprüfe, ob diese Ergebnisse den Vektorraumaxiomen genügen.

Lösung:

In diesem Beispiel betrachten wir den Vektorraum der zweidimensionalen reellen Vektoren V und die Vektoren u und v:

• u = (2, 3)
• v = (5, -1)

Jetzt führen wir die geforderten Berechnungen durch:

• u + v = (2, 3) + (5, -1)
• Dies erfolgt komponentenweise:
• u + v = (2+5, 3+(-1)) = (7, 2)

• 2v = 2 * (5, -1)
• Auch dies erfolgt komponentenweise:
• 2v = (2*5, 2*(-1)) = (10, -2)

Nun überprüfen wir, ob diese Ergebnisse den Vektorraumaxiomen genügen:

• Kommutativität: u + v = v + u = (7, 2)
• Assoziativität der Addition: u + (v + w) = (u + v) + w für beliebige w
• Setzen wir w = (1, 1):
• u + (v + w) = (2, 3) + (5, -1) + (1, 1) = (2, 3) + (6, 0) = (8, 3)
• (u + v) + w = (7, 2) + (1, 1) = (8, 3)
• Existenz des neutralen Elements: u + 0 = u = (2, 3) wobei 0 = (0, 0)
• Existenz des inversen Elements: u + (-u) = 0 = (2, 3) + (-2, -3) = (0, 0)
• Distributivität der Skalarmultiplikation: a(u + v) = au + av
  • Setzen wir a = 2:
  • a(u + v) = 2 * (7, 2) = (14, 4)
  • au + av = 2 * (2, 3) + 2 * (5, -1) = (4, 6) + (10, -2) = (14, 4)
• Distributivität über die Addition der Skalare: (a + b)v = av + bv
  • Setzen wir a = 2 und b = 3:
  • (a + b)v = (2 + 3) * (5, -1) = 5 * (5, -1) = (25, -5)
  • av + bv = 2 * (5, -1) + 3 * (5, -1) = (10, -2) + (15, -3) = (25, -5)
• Assoziativität der Skalarmultiplikation: a(bv) = (ab)v
  • Setzen wir a = 2 und b = 3:
  • a(bv) = 2 * (3 * (5, -1)) = 2 * (15, -3) = (30, -6)
  • (ab)v = (2 * 3) * (5, -1) = 6 * (5, -1) = (30, -6)
• Existenz des Einselements: 1v = v = (5, -1)

Alle berechneten Ergebnisse erfüllen die Vektorraumaxiome.

Aufgabe 2)

• Nullraum (Kern) einer linearen Abbildung: Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Für eine Abbildung \(T: V \rightarrow W\): \(\text{ker}(T) = \{ \mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \}\).
• Eigenschaften des Nullraums: Untervektorraum von \(V\).
• Bild einer linearen Abbildung: Menge aller erreichbaren Vektoren in \(W\). Für eine Abbildung \(T: V \rightarrow W\): \(\text{im}(T) = \{ T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V \}\).
• Eigenschaften des Bildes: Untervektorraum von \(W\).
• Rang und Dimensionsformel: \(\text{dim}(\text{im}(T)) + \text{dim}(\text{ker}(T)) = \text{dim}(V)\).

a)

Sei \(T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3\) eine lineare Abbildung, dargestellt durch die folgende Matrix:

'T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}'

(a) Bestimme eine Basis des Nullraumes von \(T\). Berechne dazu den Rang der Matrix und nutze die Dimensionsformel.

Lösung:

Sei T: \(\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3\) eine lineare Abbildung, dargestellt durch die folgende Matrix:

T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

(a) Bestimme eine Basis des Nullraumes von T. Berechne dazu den Rang der Matrix und nutze die Dimensionsformel.

Die Schritte, um eine Basis des Nullraums zu finden, sind wie folgt:

• 1. Wende die Gauß-Jordan-Eliminationsmethode an, um die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen.

Die ursprüngliche Matrix lautet:

T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Subtrahiere das Zweifache der ersten Zeile von der dritten Zeile:

T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 0 & -5 & 1 & -2 \end{pmatrix}

• 2. Setze die Gauß-Jordan-Eliminationsmethode fort:

Addiere 5-mal die zweite Zeile zur dritten Zeile:

T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 16 & 18 \end{pmatrix}

Teile die dritte Zeile durch 16:

T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 1 & \frac{9}{8} \end{pmatrix}

Subtrahiere 3-mal die dritte Zeile von der zweiten Zeile:

T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \ 0 & 0 & 1 & \frac{9}{8} \end{pmatrix}

Subtrahiere 2-mal die zweite Zeile von der ersten Zeile:

T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \ 0 & 0 & 1 & \frac{9}{8} \end{pmatrix}

• 3. Bestimme den Rang der Matrix:

Die Zeilenstufenform zeigt, dass der Rang der Matrix 3 ist, da es drei nicht-Null-Zeilen gibt.

• 4. Nutze die Dimensionsformel:

Die Dimensionsformel besagt:

\(\text{dim}(\text{im}(T)) + \text{dim}(\text{ker}(T)) = \text{dim}(V)\)

Da \(\text{dim}(\text{im}(T)) = 3\) und \(\text{dim}(V) = 4\), erhalten wir:

\(\text{dim}(\text{ker}(T)) = 4 - 3 = 1\)

Der Nullraum hat also Dimension 1.

• 5. Bestimmen wir nun die Basisvektoren:

Um den Nullraum zu finden, lösen wir:

T\mathbf{x} = 0 \implies \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \ 0 & 0 & 1 & \frac{9}{8}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}

Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:

• \(x_1 = 0\)
• \(x_2 + \frac{1}{2}x_4 = 0\)
• \(x_3 + \frac{9}{8}x_4 = 0\)

Nun lösen wir nach \(x_4\) auf:

• \(x_1 = 0\)
• \(x_2 = -\frac{1}{2}x_4\)
• \(x_3 = -\frac{9}{8}x_4\)

Mit \(x_4\) als freiem Parameter ergibt sich ein Basisvektor des Nullraums:

\begin{pmatrix} 0 \ -\frac{1}{2} \ -\frac{9}{8} \ 1 \end{pmatrix}

Deshalb ist die Basis des Nullraums von \(T\):

• \(\left\{ \begin{pmatrix} 0 \ -\frac{1}{2} \ -\frac{9}{8} \ 1 \end{pmatrix} \right\}\)

Aufgabe 3)

Betrachte die lineare Abbildung \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) definiert durch \(T(x, y, z) = (x + z, 2y - z)\). Bestimme die Matrixdarstellung von \( T \) bezüglich der Standardbasen von \( \mathbb{R}^3 \) und \( \mathbb{R}^2 \).

a)

Sei die lineare Abbildung \( T \) wie oben definiert.

• Bestimme die Bilder der Basisvektoren \( e_1 = (1, 0, 0) \), \( e_2 = (0, 1, 0) \) und \( e_3 = (0, 0, 1) \) unter der Abbildung \( T \).
• Schreibe die Ergebnisse als Linearkombinationen der Basisvektoren von \( \mathbb{R}^2 \).

Lösung:

Um die Matrixdarstellung der linearen Abbildung

\( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) zu berechnen, müssen wir die Bilder der Basisvektoren von \( \mathbb{R}^3 \) unter T bestimmen. Die Basisvektoren von \( \mathbb{R}^3 \) sind:

• \( e_1 = (1, 0, 0) \)
• \( e_2 = (0, 1, 0) \)
• \( e_3 = (0, 0, 1) \)

Bestimme die Bilder der Basisvektoren:

• Bild von \(e_1\):\(T(e_1) = T(1, 0, 0) = (1 + 0, 2 \times 0 - 0) = (1, 0)\)Als Linearkombination der Basisvektoren von \( \mathbb{R}^2 \):\( 1 \times (1, 0) + 0 \times (0, 1) = (1, 0) \)
• Bild von \(e_2\):\(T(e_2) = T(0, 1, 0) = (0 + 0, 2 \times 1 - 0) = (0, 2)\)Als Linearkombination der Basisvektoren von \( \mathbb{R}^2 \):\( 0 \times (1, 0) + 2 \times (0, 1) = (0, 2) \)
• Bild von \(e_3\):\(T(e_3) = T(0, 0, 1) = (0 + 1, 2 \times 0 - 1) = (1, -1)\)Als Linearkombination der Basisvektoren von \( \mathbb{R}^2 \):\( 1 \times (1, 0) + (-1) \times (0, 1) = (1, -1) \)

Aufgabe 4)

Gegeben sei die 3x3 Matrix Deriv_NC

a)

a) Berechne die Determinante von Matrix A. Verwende hierfür die Regel von Sarrus. Verwende Verwende :

• Spalten und Zeilen einer Matrix multiplizieren
• Berücksichtige das Vorzeichen

Lösung:

Gegeben sei die 3x3 Matrix A:

• \[ \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} \]

Die Regel von Sarrus besagt, dass die Determinante einer 3x3 Matrix folgendermaßen berechnet wird:

1. Wiederhole die ersten beiden Spalten rechts neben der Matrix:

  \[ \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \ a & b \ d & e \end{pmatrix} \]  

2. Multipliziere die Elemente entlang der drei Diagonalen von oben links nach unten rechts:

• \(a \times e \times i\)
• \(b \times f \times g\)
• \(c \times d \times h\)

• \(g \times e \times c\)
• \(h \times f \times a\)
• \(i \times d \times b\)

 \( a \times e \times i + b \times f \times g + c \times d \times h \) 

 \( g \times e \times c + h \times f \times a + i \times d \times b \) 

 \( \text{det}(A) = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb \) 

c)

c) Berechne die Determinante der transponierten Matrix A^T und zeige, dass sie gleich der Determinante von A ist.

Lösung:

Gegeben sei die 3x3 Matrix A:

• \[ \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} \]

c) Berechne die Determinante der transponierten Matrix A^T und zeige, dass sie gleich der Determinante von A ist.

Die transponierte Matrix A^T wird gebildet, indem die Zeilen und Spalten von A vertauscht werden. Das ergibt:

• \[ \begin{pmatrix} a & d & g \ b & e & h \ c & f & i \end{pmatrix} \]

Nun berechnen wir die Determinante von A^T:

1. Wir verwenden die Regel von Sarrus:

\[ \text{det}(A^T) = aei + dhc + gbf - ceg - bdi - afh \]

Dies zeigt sich, da beim Betrachten der Terme der transponierten Matrix die Produkte und Subtraktions-Reihenfolgen erhalten bleiben.

1. Erweiterung: Wiederhole die ersten beiden Spalten rechts neben der Matrix:

 \[ \begin{pmatrix} a & d & g \ b & e & h \ c & f & i \ a & d \ b & e \end{pmatrix} \]

2. Multipliziere die Elemente entlang der drei Diagonalen von oben links nach unten rechts:

• \(a \times e \times i\)
• \(d \times h \times c\)
• \(g \times b \times f\)

• \(g \times e \times c\)
• \(h \times f \times a\)
• \(i \times d \times b\)

 \( aei + dhc + gbf \) 

 \( gec + hfa + idb \) 

 \[ \text{det}(A^T) = aei + dhc + gbf - gec - hfa - idb \] 

Vergleich mit der Determinante von A:

 \[ \text{det}(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \] 

Durch den Vergleich der Formeln sehen wir, dass:

 \[ \text{det}(A^T) = \text{det}(A) \] 

Dies zeigt, dass die Determinante einer Matrix gleich der Determinante ihrer Transponierten ist.