Mathematics for Physicists 2 (Analysis 1) - Cheatsheet.pdf

Definition und grundlegende Begriffe von Grenzwerten

Definition:

Kurzinformation über Grenzwerte, wie sie in der Analysis vorkommen.

Details:

• Grenzwert einer Folge: Ausdruck, der beschreibt, wie eine Folge sich verhält, wenn sie gegen einen bestimmten Wert strebt.
• Formal: Eine Folge \(a_n\) hat den Grenzwert \(a\) (\( \lim_{{n \to \infty}} a_n = a \)), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass \( |a_n - a| < \epsilon \) für alle \(n > N\).
• Grenzwert einer Funktion: Beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes.
• Formal: Eine Funktion \(f(x)\) hat den Grenzwert \(L\) für \(x \to a\) (\( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \)), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass \( |f(x) - L| < \epsilon \) für alle \(0 < |x - a| < \delta\).
• Begriffe:
  • Konvergenz: Eine Folge oder Funktion konvergiert gegen einen Grenzwert.
  • Divergenz: Eine Folge oder Funktion besitzt keinen endlichen Grenzwert.

Einseitige Grenzwerte und unendliche Grenzwerte

Definition:

Einseitige Grenzwerte untersuchen das Verhalten einer Funktion, wenn sich die Variable einem bestimmten Punkt von einer Seite nähert (links oder rechts). Unendliche Grenzwerte beschreiben das Verhalten einer Funktion, wenn die Variable gegen Unendlich oder Minus Unendlich strebt.

Details:

• Rechtsseitiger Grenzwert: \( \lim_{{x \to a^+}} f(x) \)
• Linksseitiger Grenzwert: \( \lim_{{x \to a^-}} f(x) \)
• Existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \) mit \( \lim_{{x \to a^+}} f(x) = \lim_{{x \to a^-}} f(x) = L \)
• Unendliche Grenzwerte: \( \lim_{{x \to \infty}} f(x) \) oder \( \lim_{{x \to -\infty}} f(x) \)
• Verhalten einer Funktion bei großen Werten von x analysieren.

Definition der Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt

Definition:

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn der Grenzwert an diesem Punkt existiert und gleich dem Funktionswert ist.

Details:

• Formale Definition: Eine Funktion \( f \) ist stetig im Punkt \( x_0 \), falls gilt: \( \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \).
• Anschaulich: Keine Sprünge, Lücken oder Unstetigkeiten an dem Punkt \( x_0 \).
• In Symbolen: \( \lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0) \).

Zwischenwertsatz und Anwendungen in der Physik

Definition:

Stetige Funktion auf Intervall nimmt jeden Wert zwischen Funktionswerten an den Intervallgrenzen an.

Details:

• Zwischenwertsatz: Für eine stetige Funktion \( f \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \), existiert für jeden Wert \( c \) zwischen \( f(a) \) und \( f(b) \) ein Punkt \( \xi \in [a,b] \), sodass \( f(\xi) = c \).
• Wichtig für Nachweis der Existenz von Lösungen.
• Wendet man in der Physik an, um z.B. Temperaturen, Druck, oder andere physikalische Größen zu modellieren, die zwischen zwei Messpunkten Werte annehmen.

Regeln der Differentiation: Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel

Definition:

Regeln zur Ableitung von Funktionen. Wichtig für die Analyse komplexer Funktionen.

Details:

• Produktregel: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \)
• Quotientenregel: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]
• Kettenregel: \[ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Taylorreihen und ihre Anwendungen

Definition:

Taylorreihen sind Reihenentwicklungen, mit denen eine differenzierbare Funktion um einen Punkt als unendliche Summe ihrer Ableitungen dargestellt wird.

Details:

• Allgemeine Form der Taylorreihe um den Punkt a: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]
• Nützlich zur Approximation von Funktionen und in der theoretischen Physik.
• Wenn a=0, spricht man von einer Maclaurin-Reihe.
• Konvergenzbereich und Fehlerabschätzung sind wichtig.
• Anwendungen: Lösung von Differentialgleichungen, Näherungsmethoden in der Quantenmechanik, Berechnungen in der Thermodynamik.

Grundlegende Integrationsmethoden: Substitution und Partielle Integration

Definition:

Methoden, um komplexe Integrale zu vereinfachen und zu lösen.

Details:

• Substitution: Ersetze Variable durch eine neue Variable.
• Setze: \( u = g(x) \), dann \( du = g'(x)dx \).
• Das Integral wird zu: \(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u) du \).
• Wähle \( u \) und \( du \) so, dass das Integral einfacher wird.
• Partielle Integration: Zerlegt Integral in zwei Teile.
• Formel: \(\int u dv = uv - \int v du \).
• Wähle \( u \) so, dass \( du \) einfacher ist und \( dv \) so, dass \( v \) einfach zu integrieren ist.

Fourieranalyse und ihre Anwendungen in der Physik

Definition:

Fourieranalyse: Mathematisches Werkzeug zur Zerlegung einer Funktion in Sinus- und Kosinusfunktionen.

Details:

• Fourierreihe: Darstellung periodischer Funktionen durch \[ f(x) = a_0 + \sum{a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)} \]
• Fouriertransformation: Verallgemeinerung für nicht-periodische Funktionen \[ F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i k x} \, dx \]
• Rücktransformation: \[ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(k) e^{2 \pi i k x} \, dk \]
• Anwendungen: Signalverarbeitung, Quantenmechanik, Wärmeleitung, Wellenbewegung