Mathematics for Physicists 2 (Analysis 1) - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die Folge \ \(a_n = \frac{1}{n}\) und die Funktion \ \(f(x) = \frac{1}{x}\). Untersuche ihre Grenzwerte und untersuche das Verhalten beider mathematischen Objekte, wenn sich ihre Variablen gegen bestimmte Werte bewegen.

a)

Zeige, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen null konvergiert. Verwende die epsilon-Definition des Grenzwerts einer Folge, um rigoros zu beweisen, dass \( \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0 \).

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen null konvergiert, verwenden wir die Epsilon-Definition des Grenzwerts einer Folge.

• Definition: Eine Folge \(a_n\) konvergiert gegen den Grenzwert \(L\), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt: \(\|a_n - L\| < \epsilon\).

Wir möchten also zeigen, dass \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen null (also \(L = 0\)) konvergiert. Das bedeutet, wir müssen zeigen, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt: \(\left|\frac{1}{n} - 0\right| < \epsilon\).

• Beweis:
  • Fixiere ein \(\epsilon > 0\).
  • Setze \(N = \left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil\). Das bedeutet, \(N\) ist die kleinste natürliche Zahl, die größer oder gleich \(\frac{1}{\epsilon}\) ist.
  • Für alle \(n > N\) haben wir: \(n > \left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil\), also ist \(n\) größer als oder gleich \(\frac{1}{\epsilon}\).
  • Daraus folgt: \(\frac{1}{n} < \frac{1}{N}\).
  • Da \(N\) so gewählt ist, dass \(N \geq \frac{1}{\epsilon}\), gilt: \(\frac{1}{N} \leq \epsilon\).
  • Also: \(\frac{1}{n} < \epsilon\) für alle \(n > N\).
• Schlussfolgerung: Damit haben wir gezeigt, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt: \(\left|\frac{1}{n}\right| < \epsilon\). Dies beweist, dass \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0\). Folglich konvergiert die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen null.

c)

Bestimme den Grenzwert der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) für \(x \to \infty\). Zeige dies durch eine geeignete Grenzwertbetrachtung und die Definition des Grenzwerts für Funktionen.

Lösung:

Um den Grenzwert der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) für \(x \to \infty\) zu bestimmen, verwenden wir die Definition des Grenzwerts für Funktionen:

• Definition: Eine Funktion \(f(x)\) hat den Grenzwert \(L\) für \(x \to \infty\), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(M > 0\) existiert, sodass für alle \(x > M\) gilt: \(|f(x) - L| < \epsilon\).

Wir möchten also zeigen, dass \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0\). Das bedeutet, wir müssen zeigen, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(M > 0\) existiert, sodass für alle \(x > M\) gilt: \(|\frac{1}{x} - 0| < \epsilon\).

• Beweis:
  • Fixiere ein \(\epsilon > 0\).
  • Setze \(M = \frac{1}{\epsilon}\). Das bedeutet, \(M\) ist eine positive Zahl, die größer ist als \(\frac{1}{\epsilon}\).
  • Für alle \(x > M\) haben wir: \(x > \frac{1}{\epsilon}\).
  • Daraus folgt: \(\frac{1}{x} < \frac{1}{M} = \epsilon\).
  • Also: \(\left|\frac{1}{x} - 0\right| = \frac{1}{x} < \epsilon\) für alle \(x > M\).
• Schlussfolgerung: Damit haben wir gezeigt, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(M > 0\) existiert, sodass für alle \(x > M\) gilt: \(\left|\frac{1}{x}\right| < \epsilon\). Dies beweist, dass \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0\). Folglich konvergiert die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) gegen null, wenn \(x\) gegen unendlich geht.

d)

Zeige, dass die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) für \(x \to 0^+\) gegen \(\infty\) divergiert. Beweise dies formell und diskutiere, warum dies als Divergenz und nicht als Konvergenz betrachtet wird.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) für \(x \to 0^+\) gegen \(\infty\) divergiert, verwenden wir die Definition der Divergenz gegen \(\infty\):

• Definition: Eine Funktion \(f(x)\) divergiert gegen \(\infty\) für \(x \to a\), wenn für jedes \(M > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass für alle \(x\) mit \(0 < |x - a| < \delta\) gilt: \(f(x) > M\).

In unserem Fall wollen wir zeigen, dass \(\frac{1}{x}\) gegen \(\infty\) divergiert, wenn \(x\) gegen \(0\) von rechts (\(x \to 0^+\)) geht. Das bedeutet, wir müssen zeigen, dass für jedes \(M > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass für alle \(x\) mit \(0 < x < \delta\) gilt: \(\frac{1}{x} > M\).

• Beweis:
  • Fixiere ein \(M > 0\).
  • Setze \(\delta = \frac{1}{M}\). Das bedeutet, \(\delta\) ist eine positive Zahl.
  • Für alle \(0 < x < \delta\) haben wir: \(x < \delta = \frac{1}{M}\).
  • Daraus folgt: \(\frac{1}{x} > M\).
  • Also gilt: \(\frac{1}{x} > M\) für alle \(x\) mit \(0 < x < \delta\).
• Schlussfolgerung: Damit haben wir gezeigt, dass für jedes \(M > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass für alle \(x\) mit \(0 < x < \delta\) gilt: \(\frac{1}{x} > M\). Dies beweist, dass \(\frac{1}{x}\) gegen \(\infty\) divergiert, wenn \(x\) gegen \(0\) von rechts geht (\(x \to 0^+\)).

Diese Divergenz bedeutet, dass der Funktionswert von \(\frac{1}{x}\) beliebig groß wird, je näher \(x\) an \(0\) heranrückt. Dies wird als Divergenz und nicht als Konvergenz betrachtet, weil der Funktionswert nicht gegen einen endlichen Wert strebt, sondern gegen \(\infty\). In diesem Sinne haben wir nicht eine Annäherung an einen bestimmten Wert, sondern eine unbeschränkte Zunahme, was charakteristisch für Divergenz ist.

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktion:

• f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-a} & \text{für } x > a \ \frac{1}{a-x} & \text{für } x < a \end{cases}
Diese Funktion hat eine Definitionslücke bei Punkt a. Analysiere das Verhalten dieser Funktion in der Nähe des Punktes a und in unendlicher Entfernung.

a)

Untersuche den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert von f(x) bei a = 1. Zeige die Schritte der Grenzwertbildung und bestimme die Werte:

• • Für den rechtsseitigen Grenzwert: \( \lim_{{x \to 1^+}} \frac{1}{x-1} \) Für den linksseitigen Grenzwert: \( \lim_{{x \to 1^-}} \frac{1}{1-x} \)

  Lösung:

  Untersuche den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert von f(x) bei a = 1. Zeige die Schritte der Grenzwertbildung und bestimme die Werte:

  • • Für den rechtsseitigen Grenzwert: \[ \lim_{{x \to 1^+}} \frac{1}{x-1}\] Für den rechtsseitigen Grenzwert betrachten wir die Funktion \[ \frac{1}{x-1} \] für Werte von \( x \) die größer sind als 1 (also von rechts nach 1 gehen):
      • • \[ \rightarrow \text{Substituieren wir } y = x - 1, \text{ wobei } y \rightarrow 0^+ \text{ wenn } x \rightarrow 1^+ \] \[\rightarrow\text{ So wird } \frac{1}{x-1} = \frac{1}{y}\] \[\rightarrow\lim_{{y \to 0^+}} \frac{1}{y} = + \infty\] Also ist der rechtsseitige Grenzwert: \(\boxed{+ \text{Unendlich}} \)
        • • • Für den linksseitigen Grenzwert: \[ \lim_{{x \to 1^-}} \frac{1}{1-x}\] für Werte von \( x \) die kleiner sind als 1 (also von links nach 1 gehen): \[ \rightarrow \text{Substituieren wir } y = 1 - x, \text{ wobei } y \rightarrow 0^+ \text{ wenn } x \rightarrow 1^-\] Also: \[ \frac{1}{1-x} = \frac{1}{y}\] \[\rightarrow\lim_{{y \to 0^+}} \frac{1}{y} = + \infty\] Also ist der linksseitige Grenzwert: \(\boxed{+ \text{Unendlich}} \) Fazit: Die Funktion hat eine Definitionslücke bei Punkt \( a \) , aber der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert von \( f(x) \) im Punkt \( a = 1 \) gehen beide gegen +Unendlich.

            b)

            Bestimme den Grenzwert von f(x) für x gegen Unendlich und Minus Unendlich. Zeige die Schritte der Grenzwertbildung und bestimme die Werte:

            • Für x \to \infty : \( \lim_{{x \to \infty}} f(x) \)
            • Für x \to -\infty: \( \lim_{{x \to -\infty}} f(x) \)

          Lösung:

          Bestimme den Grenzwert von f(x) für x gegen Unendlich und Minus Unendlich. Zeige die Schritte der Grenzwertbildung und bestimme die Werte:

          • • Für \( x \to \infty \): \( \lim_{{x \to \infty}} f(x) \)Betrachten wir die Funktion \( f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x-a} & \text{für } x > a \ \frac{1}{a-x} & \text{für } x < a \end{cases} \) für \( x \to \infty \):
              • Fall 1: Wenn \( x > a \): \( f(x) = \frac{1}{x-a} \)
                • Da \( x \to \infty \), wird \( x - a \to \infty \).
                • Somit nähert sich \( \frac{1}{x-a} \) 0 an: \[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x-a} = 0 \]
              • Fall 2: Wenn \( x < a \): \( f(x) = \frac{1}{a-x} \)
                • Da \( x \to \infty \) irrelevant in diesem Fall ist (wir betrachten \( x \geq a \) für \( x \to \infty \)), ist dieser Fall nicht relevant für große positive \( x \).
              Also ist der Grenzwert für \( x \to \infty \): \( \boxed{0} \)
          • Für \( x \to -\infty \): \( \lim_{{x \to -\infty}} f(x) \)Betrachten wir die Funktion \( f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x-a} & \text{für } x > a \ \frac{1}{a-x} & \text{für } x < a \end{cases} \) für \( x \to -\infty \):
            • Fall 1: Wenn \( x > a \): \( f(x) = \frac{1}{x-a} \)
              • Da \( x \to -\infty \) irrelevant in diesem Fall ist (wir betrachten \( x \leq a \) für \( x \to -\infty \)), ist dieser Fall nicht relevant für große negative \( x \).
            • Fall 2: Wenn \( x < a \): \( f(x) = \frac{1}{a-x} \)
              • Da \( x \to -\infty \), wird \( a - x \to \infty \).
              • Somit nähert sich \( \frac{1}{a-x} \) 0 an: \[ \lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{a-x} = 0 \]
            Also ist der Grenzwert für \( x \to -\infty \): \( \boxed{0} \)
          • Fazit: Die Funktion \( f(x) \) geht sowohl für \( x \to \infty \) als auch für \( x \to -\infty \) gegen 0.

          Aufgabe 3)

          Betrachte die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), die durch \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) definiert ist. Untersuche die Stetigkeit dieser Funktion an verschiedenen Punkten. Beachte dabei die Definition der Stetigkeit und die entsprechende Grenzwertbetrachtung.

          a)

          Zeige, dass die Funktion \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) im Punkt \( x_0 = 1 \) stetig ist. Berechne dazu zunächst \( f(1) \) sowie den Grenzwert von \( f(x) \), wenn sich \( x \) dem Wert 1 nähert.

          Lösung:

          Um die Stetigkeit der Funktion f an der Stelle x₀ = 1 zu überprüfen, müssen wir zeigen, dass:

          • Der Wert der Funktion an der Stelle 1 existiert: f(1).
          • Der Grenzwert der Funktion, wenn sich x 1 nähert, existiert und gleich dem Funktionswert f(1) ist.

          Gegeben sei die Funktion:

          f(x) = x^2 - 4x + 3

          Schritt 1: Berechnung von f(1).
          • Setze x = 1 in die Funktion ein:

          f(1) = 1^2 - 4*1 + 3

          = 1 - 4 + 3

          = 0

          Also, f(1) = 0.

          Schritt 2: Bestimmung des Grenzwerts von f(x), wenn sich x dem Wert 1 nähert. Der Grenzwert von f(x), wenn sich x dem Wert 1 nähert, wird durch Limes bestimmt:
          • lim(x → 1) f(x)

          Ersetze f(x) durch den gegebenen Ausdruck:

          lim(x → 1) (x^2 - 4x + 3)

          Setze den Wert 1 in die Funktion ein:

          1^2 - 4*1 + 3

          = 1 - 4 + 3

          = 0

          Also:

          lim(x → 1) f(x) = 0.

          • Da der Grenzwert f(x) = f(1) ist, ist f stetig in x_0 = 1.

          c)

          Bestimme allgemeiner den Punkt \( x_0 \), an dem die Funktion \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) unstetig wäre, falls ein solcher Punkt existiert. Begründe, warum die Funktion an diesem Punkt nicht stetig wäre oder zeige, dass die Funktion überall stetig ist.

          Lösung:

          Um die Stetigkeit der Funktion f(x) = x^2 - 4x + 3 an jedem Punkt x_0 zu untersuchen, müssen wir die Definition der Stetigkeit anwenden. Eine Funktion ist an einem Punkt x_0 stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt existiert und dem Funktionswert an diesem Punkt entspricht.

          Das bedeutet:

          • Der Funktionswert f(x_0) muss existieren.
          • Der Grenzwert der Funktion f(x), wenn x sich x_0 nähert, muss existieren.
          • Der Grenzwert muss gleich dem Funktionswert f(x_0) sein.

          Gegeben ist die Funktion:

          \[ f(x) = x^2 - 4x + 3 \]

          Schritt 1: Berechnung des Funktionswerts f(x_0)
          • Der Wert f(x_0) ist einfach zu berechnen:

          Setze x = x_0 in die Funktion ein:

          \[ f(x_0) = (x_0)^2 - 4x_0 + 3 \]

          Schritt 2: Bestimmung des Grenzwerts von f(x), wenn sich x dem Punkt x_0 nähert
          • Der Grenzwert von f(x), wenn sich x dem Punkt x_0 nähert, wird durch den Limes bestimmt:

          \[ \lim_{{x \to x_0}} f(x) \]

          Ersetze f(x) durch den gegebenen Funktionsterm:

          \[ \lim_{{x \to x_0}} (x^2 - 4x + 3) \]

          Setze x = x_0 in den Funktionsterm ein:

          \[ (x_0)^2 - 4x_0 + 3 = f(x_0) \]

          Da der Grenzwert \[ \lim_{{x \to x_0}} f(x) \] für jeden Punkt x_0 existiert und gleich dem Funktionswert f(x_0) ist, folgt, dass die Funktion f(x) = x^2 - 4x + 3 überall stetig ist.

          Es gibt also keinen Punkt x_0, an dem die Funktion f(x) unstetig wäre. Die Funktion ist demnach überall stetig.

          Aufgabe 4)

          Zwischenwertsatz und Anwendungen in der PhysikEine stetige Funktion auf einem Intervall nimmt jeden Wert zwischen den Funktionswerten an den Intervallgrenzen an. Der Zwischenwertsatz besagt: Für eine stetige Funktion \( f \, : \, [a,b] \to \, \mathbb{R} \) existiert für jeden Wert \( c \) zwischen \( f(a) \) und \( f(b) \) ein Punkt \( \xi \, \, \in \, [a,b] \), sodass \( f(\xi) \, = \, c \). Dies ist wichtig für den Nachweis der Existenz von Lösungen. In der Physik wird der Zwischenwertsatz angewendet, um beispielsweise Temperaturen, Druck oder andere physikalische Größen zu modellieren, die zwischen zwei Messpunkten ihre Werte annehmen können.

          b)

          (b) Betrachte eine physikalische Anwendung: Eine Metallstange wird an einem Ende auf 100°C und am anderen Ende auf 0°C erhitzt. Angenommen, die Temperatur \( T(x) \) entlang der Stange ist eine stetige Funktion, die den Punkt \( x \) auf der Stange zuordnet. Zeige mit dem Zwischenwertsatz, dass es einen Punkt gibt, an dem die Temperatur genau 50°C beträgt.

          Lösung:

          • Gegeben: Eine Metallstange wird an einem Ende auf 100°C und am anderen Ende auf 0°C erhitzt. Die Temperatur

             T(x) 

            entlang der Stange ist eine stetige Funktion, die den Punkt

             x 

            auf der Stange zuordnet.
          • Ziel: Zeige, dass es einen Punkt

             x_0 

            auf der Stange gibt, an dem die Temperatur genau 50°C beträgt.
          • Schritt 1: Definiere die Funktion

             T(x) 

            und ihre Werte an den Intervallgrenzen.
            • Angenommen, die Stange hat eine Länge von

               L 

              und

               x = 0 

              entspricht dem Ende der Stange mit 100°C und

               x = L 

              entspricht dem Ende der Stange mit 0°C.
            • Also,

               T(0) = 100 

              und

               T(L) = 0 

              .
          • Schritt 2: Anwenden des Zwischenwertsatzes:
            • Die Funktion

               T(x) 

              ist stetig auf dem Intervall

               [0, L] 

              .
            • Der Wert

               50°C 

              liegt zwischen

               T(0) = 100 

              und

               T(L) = 0 

              .
            Der Zwischenwertsatz besagt: Da

             T(x) 

            eine stetige Funktion auf dem Intervall

             [0, L] 

            ist und der Wert 50°C zwischen

             T(0) 

            und

             T(L) 

            liegt, existiert mindestens ein Punkt

             x_0 \in [0, L] 

            , sodass

             T(x_0) = 50 

            .
          • Folglich existiert ein Punkt

             x_0 

            entlang der Stange, an dem die Temperatur genau 50°C beträgt.