Mathematics for Physicists 3 (Analysis 2) - Cheatsheet.pdf

Konvergenzkriterien für Reihen und Folgen (Wurzel- und Quotientenkriterium)

Definition:

Konvergenzkriterien für Reihen und Folgen; wichtig für Bestimmung der Konvergenz oder Divergenz

Details:

• Wurzelkriterium: Betrachte die Zahlenfolge \(a_n\). Wenn \, \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L\, dann:\
  • L < 1: Reihe konvergiert absolut
  • L > 1: Reihe divergiert
  • L = 1: Keine Aussage möglich
• Quotientenkriterium: Betrachte die Zahlenfolge \(a_n\). Wenn \, \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = q\, dann:\
  • q < 1: Reihe konvergiert absolut
  • q > 1: Reihe divergiert
  • q = 1: Keine Aussage möglich

Partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit

Definition:

Partielle Ableitungen geben die Änderungsrate einer Funktion hinsichtlich einer Variable, während alle anderen konstant gehalten werden. Totale Differenzierbarkeit erweitert das Konzept der Differenzierbarkeit auf Funktionen mehrerer Variablen.

Details:

• Partielle Ableitung von f bezüglich x_i: \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\)
• Wenn alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, kann totale Differenzierbarkeit geprüft werden.
• Totale Differenzierbarkeit: \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) ist total differenziierbar in \( a \), wenn \( f(a + h) - f(a) = Df(a)h + o(\|h\|) \) für \( h \to 0 \)
• Jacobi-Matrix \( Df(a) \): enthält alle ersten partiellen Ableitungen in \( a \)
• Totale Ableitung: Linearabbildung, die durch die Jacobi-Matrix beschrieben wird.

Multiple Integrale und der Satz von Fubini

Definition:

Mehrdimensionale Integrationsmethoden und Fubinis Satz, um Mehrfachintegrale als iterierte Integrale auszuwerten.

Details:

• Für Funktionen f(x,y) kann das zweifache Integral über ein Rechteck R als iteriertes Integral geschrieben werden:
• \[ \iint_{R} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \, dy \, dx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) \, dx \, dy \]
• Fubinis Satz: Wenn f(x,y) stetig ist, gilt die obige Gleichung.
• Für n-fache Integrale: \[ \iiint \ldots \int f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \, dx_1 \, dx_2 \, \ldots \, dx_n \]

Lagrange-Multiplikatoren für Optimierungsprobleme

Definition:

Lagrange-Multiplikatoren ermöglichen die Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen.

Details:

• Ziel: Finde Extremstellen einer Funktion $f(x, y, z, ...)$ unter Nebenbedingungen $g_i(x, y, z, ...) = 0$.
• Lagrange-Funktion: \[ \mathcal{L}(x, y, z, ..., \lambda_1, \lambda_2, ...) = f(x, y, z, ...) + \sum_{i} \lambda_i g_i(x, y, z, ...) \]
• Bedingung: Setze die partiellen Ableitungen auf 0: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 0, ..., \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda_i} = g_i(x, y, z, ...) = 0 \]
• Finde Lösungen für \(x, y, z, ..., \lambda_1, \lambda_2, ...\).
• Physikalische Anwendungen: Energie-Minimierung, Stabilitätsanalyse.

Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen

Definition:

Verschiedene analytische und numerische Techniken zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs).

Details:

• Separation der Variablen: Meist genutzt für trennbare ODEs - bringe alle Terme mit der gesuchten Funktion auf eine Seite und die anderen auf die andere Seite.
• Lineare ODEs: Lösung mit dem Ansatz der Superposition, wenn die Gleichung linear ist. Verwende homogene und partikuläre Lösungen.
• Variation der Konstanten: Methode zur Lösung inhomogener linearer ODEs, indem die Konstanten der homogenen Lösung als Funktionen betrachtet werden.
• Numerische Methoden: Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren, etc. zur approximativen Lösung von ODEs.
• Integrationstechniken: Direkte Integration für einfache Differentialgleichungen.
• Laplacetransformation: Umwandlung der ODE in eine algebraische Gleichung zur einfacheren Lösung.

Laplace- und Fourier-Transformationen zur Lösung von Differentialgleichungen

Definition:

Laplace- und Fourier-Transformationen werden genutzt, um Differentialgleichungen in eine einfachere Form zu überführen und deren Lösung zu erleichtern.

Details:

• Laplace-Transformation: Transformiert Funktion f(t) in Bildfunktion F(s). Anwendung bei Anfangswertproblemen; Umkehrtransformation notwendig.
• \[ F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \]
• \[ f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} \]
• Erhaltung linearer Operatoren und Ableitungen. Vereinfacht Lösen von Differentialgleichungen.
• Fourier-Transformation: Transformiert Funktion f(t) in Frequenzbereich. Anwendung bei Randwertproblemen und periodischen Funktionen.
• \[ \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt \]
• \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega \]
• Hilfreich bei der Lösung von Differentialgleichungen durch Zerlegung in Sinus- und Kosinusfunktionen.