Mathematics for Physicists 3 (Analysis 2) - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die Reihe \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{3^n \cdot (n+1)}. Bestimme, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert, indem Du zuerst das Wurzelkriterium und dann das Quotientenkriterium anwendest.

a)

Anwenden des Wurzelkriteriums: Bestimme \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)} \right|} und überprüfe, ob die Reihe absolut konvergiert, divergiert oder ob das Kriterium keine Aussage erlaubt. Zeige alle Zwischenschritte.

Lösung:

Anwendung des Wurzelkriteriums:

• Gegeben sei die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{3^n \cdot (n+1)}\).
• Um das Wurzelkriterium anzuwenden, müssen wir den Grenzwert bestimmen:

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)} \right|}\]

Beginnen wir mit dem Ausdruck innerhalb der Wurzel:

• \(\left| \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)} \right| = \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)}\)

Nun die n-te Wurzel anwenden:

• \(\sqrt[n]{\left| \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)} \right|} = \sqrt[n]{\frac{n!}{3^n \cdot (n+1)}}\)

Wir prüfen den Grenzwert dieses Ausdrucks. Dazu zerlegen wir den Ausdruck:

• Dadurch ergibt sich:
• \[\frac{1}{(n+1)^{1/n}}\]
• Nun den Bruch als Produkt darstellen:
• \[\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{3^n}\right)^{1/n} \cdot \lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^{1/n}}\]

Der zweite Faktor, \lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^{1/n}}, geht gegen 1, da \((n+1)^{1/n}\) gegen 1 konvergiert.

• Der Grenzwert hängt also nur vom ersten Faktor ab:

• \[\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{3^n}\right)^{1/n}\]

Um den Grenzwert zu bestimmen, verwenden wir Stirling's Näherung:

• \(n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\)

• Dadurch ergibt sich:
• \[\left(\frac{\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{3^n}\right)^{1/n} \approx \left(\frac{\sqrt{2 \pi n} \cdot n^n}{e^n \cdot 3^n}\right)^{1/n} = (\sqrt{2 \pi n})^{1/n} \cdot \left(\frac{n}{3}\right) = (2 \pi n)^{1/2n} \cdot \frac{n}{3}\]

Da \( (2 \pi n)^{1/2n}\) gegen 1 konvergiert, bleibt:

• \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{3}\right) = \infty\]

Da dieser Grenzwert \(\infty\) ist, divergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.

b)

Anwenden des Quotientenkriteriums: Berechne \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| mit \displaystyle a_n = \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)} und überprüfe entsprechend, ob die Reihe absolut konvergiert, divergiert oder keine Aussage möglich ist. Zeige alle Zwischenschritte.

Lösung:

Anwendung des Quotientenkriteriums:

• Gegeben sei die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)}\).
• Um das Quotientenkriterium anzuwenden, berechnen wir den Grenzwert:

\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\]

Dabei ist \(a_n = \frac{n!}{3^n \cdot (n+1)}\).

Zuerst bestimmen wir \(a_{n+1}\):

• \[a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{3^{n+1} \cdot (n+2)}\]
• Berechnen wir nun \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):
• \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{3^{n+1} \cdot (n+2)}}{\frac{n!}{3^n \cdot (n+1)}} = \frac{(n+1)! \cdot 3^n \cdot (n+1)}{3^{n+1} \cdot (n+2) \cdot n!}\]
• Vereinfachen wir den Ausdruck:
• \[= \frac{(n+1) \cdot (n+1) \cdot 3^n}{3^{n+1} \cdot (n+2)} = \frac{(n+1)^2}{3 \cdot (n+2)}\]

Bestimmen wir nun den Grenzwert dieses Ausdrucks:

• \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^2}{3 \cdot (n+2)} \right| \]
• Dividieren wir Zähler und Nenner durch \(n\):
• \[= \lim_{n \to \infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2}{3 \left(1 + \frac{2}{n}\right)}\]
• Da \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{n} \) gegen 0 gehen, erhalten wir:
• \[= \frac{1^2}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} \]

Da \( \frac{1}{3} \lt 1 \), konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut.

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktion f(x, y) = x^2y + e^{xy}. Untersuche die Differenzierbarkeit dieser Funktion in der Umgebung des Punktes (1, 0).

c)

• Überprüfe, ob f an der Stelle (1, 0) total differenzierbar ist.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die Funktion f(x, y) = x^2 y + e^{xy} an der Stelle (1, 0) total differenzierbar ist, müssen wir die folgenden Schritte durchführen:

1. Berechne die partiellen Ableitungen:
   • Partielle Ableitung bezüglich x:

   \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + e^{xy}) \ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) \ &= 2xy + y e^{xy} \end{align*} 

   Bewertet an der Stelle (1, 0):

   \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(1, 0) &= 2 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot e^{1 \cdot 0} \ &= 0 \end{align*} 

2. Partielle Ableitung bezüglich y:

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + e^{xy}) \ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) \ &= x^2 + x e^{xy} \end{align*} 

Bewertet an der Stelle (1, 0):

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial y}(1, 0) &= 1^2 + 1 \cdot e^{1 \cdot 0} \ &= 1 + 1 \ &= 2 \end{align*} 

3. Überprüfe die Stetigkeit der partiellen Ableitungen:
   • Stetigkeit der partiellen Ableitung bezüglich x:

   \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) &= 2xy + y e^{xy} \end{align*} 

   Diese Funktion ist eine Summe von Produkten stetiger Funktionen (Polynome und die Exponentialfunktion sind stetig), daher ist \( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \) überall stetig.

4. Stetigkeit der partiellen Ableitung bezüglich y:

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) &= x^2 + x e^{xy} \end{align*} 

Auch diese Funktion ist eine Summe von Produkten stetiger Funktionen, daher ist \( \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \) überall stetig.

Da die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, ist die Funktion f(x, y) = x^2 y + e^{xy} an der Stelle (1, 0) total differenzierbar.

Aufgabe 4)

Gegeben sei eine Funktion f(x, y, z), deren Extrema unter der Nebenbedingung g(x, y, z) = 0 gefunden werden sollen. Zur Lösung des Problems sollen die Lagrange-Multiplikatoren verwendet werden.Die Lagrange-Funktion lautet:\[ \mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) + \lambda g(x, y, z) \]Die Bedingung zur Bestimmung der Extrema ist:\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 0, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = g(x, y, z) = 0 \]

a)

Bestimme die Extrema der Funktion \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) unter der Nebenbedingung \( g(x, y) = x + y - 1 = 0 \). Finde die Lösungen für \( x, y \) und den Lagrange-Multiplikator \( \lambda \).

Lösung:

Schritt-für-Schritt-Lösung des Teilproblems:

• Gegebene Funktion und Nebenbedingung:
  • Funktion: \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)
  • Nebenbedingung: \( g(x, y) = x + y - 1 = 0 \)
• Lagrange-Funktion definieren: Die Lagrange-Funktion ist: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) = x^2 + y^2 + \lambda (x + y - 1) \]
• Partielle Ableitungen berechnen: Die Bedingungen zur Bestimmung der Extrema sind die partiellen Ableitungen nach \(x\), \(y\) und \(\lambda\):
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0 \)
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda = 0 \)
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x + y - 1 = 0 \)
• Gleichungssystem lösen: Wir haben jetzt folgendes Gleichungssystem:
  • 1. Gleichung: \(2x + \lambda = 0\)
  • 2. Gleichung: \(2y + \lambda = 0\)
  • 3. Gleichung: \(x + y - 1 = 0\)
  Schritt 1: Aus den ersten beiden Gleichungen können wir \(\lambda\) eliminieren:
  • \(2x + \lambda = 0 \rightarrow \lambda = -2x\)
  • \(2y + \lambda = 0 \rightarrow \lambda = -2y\)
  Da \(\lambda\) in beiden Fällen gleich sein muss, setzen wir \(-2x = -2y\) und erhalten: \[ x = y \] Schritt 2: Setze \(x = y\) in die dritte Gleichung ein: \[ x + x - 1 = 0 \rightarrow 2x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \] Schritt 3: Bestimme \(y\): \[ y = x = \frac{1}{2} \] Schritt 4: Bestimme \(\lambda\): \[ \lambda = -2x = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \]
• Ergebnis:
  • \( x = \frac{1}{2} \)
  • \( y = \frac{1}{2} \)
  • \( \lambda = -1 \)

b)

Gegeben sei die Funktion \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \) unter der Nebenbedingung \( g(x, y, z) = x + 2y + 3z - 6 = 0 \). Finde die Extrema dieser Funktion und bestimme die Werte von \( x, y, z \) und \( \lambda \).

Lösung:

Schritt-für-Schritt-Lösung des Teilproblems:

• Gegebene Funktion und Nebenbedingung:
  • Funktion: \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \)
  • Nebenbedingung: \( g(x, y, z) = x + 2y + 3z - 6 = 0 \)
• Lagrange-Funktion definieren: Die Lagrange-Funktion ist: \[ \mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x + 2y + 3z - 6) \]
• Partielle Ableitungen berechnen: Die Bedingungen zur Bestimmung der Extrema sind die partiellen Ableitungen nach \(x\), \(y\), \(z\) und \(\lambda\):
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0 \)
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + 2\lambda = 0 \)
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 2z + 3\lambda = 0 \)
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x + 2y + 3z - 6 = 0 \)
• Gleichungssystem lösen: Wir haben jetzt folgendes Gleichungssystem:
  • 1. Gleichung: \(2x + \lambda = 0\)
  • 2. Gleichung: \(2y + 2\lambda = 0\)
  • 3. Gleichung: \(2z + 3\lambda = 0\)
  • 4. Gleichung: \(x + 2y + 3z - 6 = 0\)
  Schritt 1: Aus der ersten Gleichung lösen wir \(\lambda\): \[\lambda = -2x\] Schritt 2: Setze \(\lambda = -2x\) in die zweite Gleichung ein: \[ 2y + 2(-2x) = 0 \rightarrow 2y - 4x = 0 \rightarrow y = 2x \] Schritt 3: Setze \(\lambda = -2x\) in die dritte Gleichung ein: \[ 2z + 3(-2x) = 0 \rightarrow 2z - 6x = 0 \rightarrow z = 3x \] Schritt 4: Setze \(y = 2x\) und \(z = 3x\) in die vierte Gleichung ein: \[ x + 2(2x) + 3(3x) - 6 = 0 \rightarrow x + 4x + 9x - 6 = 0 \rightarrow 14x - 6 = 0 \rightarrow 14x = 6 \rightarrow x = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \] Schritt 5: Bestimme \(y\) und \(z\): \[ y = 2x = 2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{7} \] \[ z = 3x = 3 \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{7} \] Schritt 6: Bestimme \(\lambda\): \[ \lambda = -2x = -2 \cdot \frac{3}{7} = -\frac{6}{7} \]
• Ergebnis:
  • \( x = \frac{3}{7} \)
  • \( y = \frac{6}{7} \)
  • \( z = \frac{9}{7} \)
  • \( \lambda = -\frac{6}{7} \)

c)

Anwendung in der Thermodynamik. Ermittle das Minimum der Energie \( E(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + 3z^2 \) unter Berücksichtigung der Nebenbedingung \( g(x, y, z) = x + y + z - 3 = 0 \). Berechne die Extrema und gib die Werte für \( x, y, z \) und den Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) an.

Lösung:

Schritt-für-Schritt-Lösung des Teilproblems:

• Gegebene Funktion und Nebenbedingung:
  • Funktion: \( E(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + 3z^2 \)
  • Nebenbedingung: \( g(x, y, z) = x + y + z - 3 = 0 \)
• Lagrange-Funktion definieren: Die Lagrange-Funktion ist: \[ \mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = 2x^2 + y^2 + 3z^2 + \lambda (x + y + z - 3) \]
• Partielle Ableitungen berechnen: Die Bedingungen zur Bestimmung der Extrema sind die partiellen Ableitungen nach \(x\), \(y\), \(z\) und \(\lambda\):
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 4x + \lambda = 0 \)
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda = 0 \)
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 6z + \lambda = 0 \)
  • \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x + y + z - 3 = 0 \)
• Gleichungssystem lösen: Wir haben jetzt folgendes Gleichungssystem:
  • 1. Gleichung: \(4x + \lambda = 0\)
  • 2. Gleichung: \(2y + \lambda = 0\)
  • 3. Gleichung: \(6z + \lambda = 0\)
  • 4. Gleichung: \(x + y + z - 3 = 0\)
  Schritt 1: Aus der ersten Gleichung lösen wir \(\lambda\): \[\lambda = -4x\] Schritt 2: Setze \(\lambda = -4x\) in die zweite Gleichung ein: \[ 2y - 4x = 0 \rightarrow y = 2x \] Schritt 3: Setze \(\lambda = -4x\) in die dritte Gleichung ein: \[ 6z - 4x = 0 \rightarrow z = \frac{2x}{3} \] Schritt 4: Setze \(y = 2x\) und \(z = \frac{2x}{3}\) in die vierte Gleichung ein: \[ x + 2x + \frac{2x}{3} - 3 = 0 \rightarrow 3x + \frac{2x}{3} = 3 \rightarrow \frac{9x + 2x}{3} = 3 \rightarrow \frac{11x}{3} = 3 \rightarrow 11x = 9 \rightarrow x = \frac{9}{11} \] Schritt 5: Bestimme \(y\) und \(z\): \[ y = 2x = 2 \cdot \frac{9}{11} = \frac{18}{11} \] \[ z = \frac{2x}{3} = \frac{2 \cdot \frac{9}{11}}{3} = \frac{18}{33} = \frac{6}{11} \] Schritt 6: Bestimme \(\lambda\): \[ \lambda = -4x = -4 \cdot \frac{9}{11} = -\frac{36}{11} \]
• Ergebnis:
  • \( x = \frac{9}{11} \)
  • \( y = \frac{18}{11} \)
  • \( z = \frac{6}{11} \)
  • \( \lambda = -\frac{36}{11} \)