Mathematics for Physicists (Analysis 3) - Cheatsheet.pdf

Lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung

Definition:

Lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten inhomogene oder homogene DGL, Lösungen durch Variation der Konstanten oder homogene Lösungen und spezielle Lösung kombinieren.

Details:

• 1. Ordnung: \(a_1\frac{dy}{dx} + a_0y = f(x)\).
• 2. Ordnung: \(a_2\frac{d^2y}{dx^2} + a_1\frac{dy}{dx} + a_0y = f(x)\).
• Homogene Lösung: Nullstellen des charakteristischen Polynoms verwenden.
• Partikuläre Lösung: Ansatz zur Bestimmung spezifischer Lösungen in inhomogenem Fall.
• Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Integrationsfaktor, charakteristische Gleichung.

Partielle Differentialgleichungen

Definition:

Partielle Differentialgleichungen (PDGL) sind Differentialgleichungen, die partielle Ableitungen enthalten.

Details:

• Beschreiben zeitliche und räumliche Änderungen physikalischer Systeme.
• Häufige PDGLs: Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung, Laplace-Gleichung.
• Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Fourier-Transformation, numerische Methoden.
• Z.B.: Laplace-Gleichung: \[ \Delta u = 0 \]
• Wellengleichung: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \Delta u \]

Interpolations- und Approximationsmethoden

Definition:

Interpolationsmethoden finden eine Kurve durch gegebene Punkte, Approximationsmethoden finden eine Kurve, die die Punkte 'ungefähr' wiedergibt.

Details:

• Polynominterpolation: Nutze Lagrange- oder Newtonpolynome.
• Spline-Interpolation: Konstruktion von stückweise definierten Polynomen (meist kubisch).
• Least-Squares-Approximation: Minimiere den quadratischen Fehler.
• Fourier-Approximation: Zerlege Funktionen in sinus- und cosinusartige Anteile.
• Lagrange-Polynom:

Analytische Funktionen und Cauchysche Integralformel

Definition:

Analytische Funktionen sind komplexe Funktionen, die in einer Umgebung jeder Stelle holomorph sind. Die Cauchysche Integralformel gibt den Wert einer holomorphen Funktion innerhalb einer geschlossenen Kurve durch das Integral über diese Kurve an.

Details:

• Eine Funktion ist analytisch, wenn sie in einer Umgebung jeder Stelle durch eine Potenzreihe darstellbar ist.
• Holomorphie: Eine Funktion ist holomorph, wenn sie in einem Gebiet differenzierbar ist.
• Cauchysche Integralformel: Für eine Funktion \( f \), die holomorph in einem Gebiet \( G \) ist, und eine geschlossene Kurve \( \, \gamma \, \) in \( G \), gilt für jedes \( \, z_0 \, \) im Inneren von \( \, \gamma \, \)
• \[ f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0}\, dz \]

Spektraltheorie und Eigenwertprobleme

Definition:

Spektraltheorie untersucht die Struktur linearer Operatoren durch deren Eigenwerte und Eigenvektoren. Eigenwertprobleme suchen nach Lösungen der Gleichung \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\).

Details:

• Eigenwert \(\lambda\) und Eigenvektor \(\mathbf{v}\) einer Matrix oder eines Operators \(A\)
• Spektrum: Menge aller Eigenwerte eines Operators
• Spektralsatz: Aussage über Existenz und Gestalt von Eigenwerten und Eigenvektoren in bestimmten Räumen
• Hermitesche und unitäre Operatoren besitzen reelle bzw. normierte Eigenwerte
• Diagonealisierbarkeit: Möglichkeit, eine Matrix durch eine Eigenwertzerlegung in Diagonalform zu überführen

Anwendungen der Fourier- und Laplace-Transformationen in der Physik

Definition:

Verwendung der Fourier- und Laplace-Transformationen zur Analyse und Lösung von physischen Problemen, insbesondere bei Differentialgleichungen und Systemen, die mit Funktionen und Frequenzen arbeiten.

Details:

• Fourier-Transformation (FT): Umwandlung einer Funktion vom Zeitbereich in den Frequenzbereich.
• Formel: \( \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \, dt \)
• Anwendungen: Signalverarbeitung, Quantenmechanik, Wärmeleitung.
• Laplace-Transformation (LT): Umwandlung einer Funktion vom Zeitbereich in den komplexen Frequenzbereich.
• Formel: \( F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt \)
• Anwendungen: Regelungstechnik, Lösung von linearen Differentialgleichungen, elektrische Netzwerke.
• Beziehung: LT kann als Verallgemeinerung der FT betrachtet werden, wenn \( s = i\omega \).