Mathematics for Physicists (Analysis 3) - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Gegeben sei eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form \[a_2\frac{d^2y}{dx^2} + a_1\frac{dy}{dx} + a_0y = f(x)\] Sei die spezifische Gleichung: \[ y'' - y' - 6y = e^{2x} \] . . Führe die Lösung in vier Schritten aus:

Aufgabe 3)

Gegeben sind die Punkte \((x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) und \((x_3, y_3)\). Deine Aufgabe ist es, Interpolationsmethoden anzuwenden und ein Approximationsverfahren zur Modellierung der Kurve durch diese Punkte zu verwenden.

a)

Bestimme das Lagrange-Polynom, welches durch die gegebenen Punkte \((x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) und \((x_3, y_3)\) verläuft. Berechne die explizite Form des Polynoms.

Lösung:

Um das Lagrange-Polynom zu bestimmen, welches durch die gegebenen Punkte \((x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) und \((x_3, y_3)\) verläuft, gehen wir wie folgt vor:

• Das Lagrange-Polynom für n gegebene Punkte hat die Form:

\[L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \, l_i(x)\]

• Hierbei ist \(l_i(x)\) das Lagrange-Basis-Polynom:

\[l_i(x) = \prod_{\substack{0 \le j \le n \ j eq i}} \frac{(x - x_j)}{(x_i - x_j)}\]

• Für n = 3 (also vier Punkte) ergibt sich das Polynom als:

\[L(x) = y_0 \, l_0(x) + y_1 \, l_1(x) + y_2 \, l_2(x) + y_3 \, l_3(x)\]

• Die einzelnen Lagrange-Basis-Polynome \(l_i(x)\) lauten:

\[l_0(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)(x_0 - x_3)}\]

\[l_1(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)}\]

\[l_2(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)}\]

\[l_3(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_0)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}\]

• Setzen wir alle Basispolynome zusammen, erhalten wir das endgültige Lagrange-Polynom:
• \[L(x) = y_0 \, \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)(x_0 - x_3)} + y_1 \, \frac{(x - x_0)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} + y_2 \, \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} + y_3 \, \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_0)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}\]

Das ist die explizite Form des Lagrange-Polynoms für die gegebenen vier Punkte.

b)

Verwende die Least-Squares-Approximation, um eine Quadratische Funktion zu finden, die die gegebenen Punkte \((x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) und \((x_3, y_3)\) bestmöglich approximiert. Berechne die Koeffizienten der quadratischen Funktion.

Lösung:

Um mit der Least-Squares-Approximation eine quadratische Funktion der Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) zu finden, die die gegebenen Punkte \((x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) und \((x_3, y_3)\) bestmöglich approximiert, folgen wir diesen Schritten:

• Aufstellen des Gleichungssystems in der Form \(\textbf{A} \textbf{p} = \textbf{y}\).

Hierbei ist:

• \(\textbf{A} = \begin{bmatrix} x_0^2 & x_0 & 1 \ x_1^2 & x_1 & 1 \ x_2^2 & x_2 & 1 \ x_3^2 & x_3 & 1 \end{bmatrix}\)
• \(\textbf{p} = \begin{bmatrix} a \ b \ c \end{bmatrix}\)
• \(\textbf{y} = \begin{bmatrix} y_0 \ y_1 \ y_2 \ y_3 \end{bmatrix}\)

• Löse das Gleichungssystem mit der Methode der kleinsten Quadrate, um die Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) zu finden. Dies geschieht durch:

\[ \textbf{A}^T \textbf{A} \textbf{p} = \textbf{A}^T \textbf{y} \]

• Berechne \(\textbf{A}^T\):

\(\textbf{A}^T = \begin{bmatrix} x_0^2 & x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \ x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

• Berechne das Produkt \(\textbf{A}^T \textbf{A}\):

\[ \textbf{A}^T \textbf{A} = \begin{bmatrix} \sum x_i^4 & \sum x_i^3 & \sum x_i^2 \ \sum x_i^3 & \sum x_i^2 & \sum x_i \ \sum x_i^2 & \sum x_i & 4 \end{bmatrix} \]

• Berechne das Produkt \(\textbf{A}^T \textbf{y}\):

\[ \textbf{A}^T \textbf{y} = \begin{bmatrix} \sum x_i^2 y_i \ \sum x_i y_i \ \sum y_i \end{bmatrix} \]

• Löse das lineare Gleichungssystem \( \textbf{A}^T \textbf{A} \textbf{p} = \textbf{A}^T \textbf{y} \)

Die individuellen Summen ergeben sich aus den gegebenen Punkten:

• \( \sum x_i^4 = x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 \)
• \( \sum x_i^3 = x_0^3 + x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 \)
• \( \sum x_i^2 = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \)
• \( \sum x_i = x_0 + x_1 + x_2 + x_3 \)
• \( \sum x_i^2 y_i = x_0^2 y_0 + x_1^2 y_1 + x_2^2 y_2 + x_3^2 y_3 \)
• \( \sum x_i y_i = x_0 y_0 + x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 \)
• \( \sum y_i = y_0 + y_1 + y_2 + y_3 \)

Wenden wir diese Berechnungen an, erhalten wir die Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) für die quadratische Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Um das System zu lösen, können wir numerische Methoden, wie beispielsweise die Verwendung eines Computers und Software für lineare Algebra (z.B. MATLAB, NumPy), einsetzen.

Aufgabe 4)

Gegeben sei eine Funktion f, die analytisch und somit holomorph in einem Gebiet G ist. Es sei \tau eine geschlossene, positiv orientierte Kurve in G, und z_0 ein Punkt im Inneren der Kurve \tau. Die Cauchysche Integralformel besagt, dass der Wert der Funktion an z_0 durch das Integral gegeben ist:

• \[ f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\tau} \frac{f(z)}{z - z_0}\, dz \]

Nehmen wir an, dass die Funktion f durch f(z) = z^2 gegeben ist und dass \tau der Einheitskreis |z| = 1 ist.

a)

Teilaufgabe 1: Berechne das Integral

• \[ I = \oint_{\tau} \frac{z^2}{z - z_0} \, dz \]

Lösung:

Teilaufgabe 1:

Um das Integral \( I = \oint_{\tau} \frac{z^2}{z - z_0} \, dz \) für \( z_0 = 0.5 \) unter Verwendung der Cauchyschen Integralformel zu berechnen, folge diesen Schritten:

• 1. Die Cauchysche Integralformel lautet:
• \[ f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\tau} \frac{f(z)}{z - z_0}\, dz \]

• 2. Im gegebenen Beispiel ist die Funktion \( f(z) = z^2 \).
• 3. Setze die Funktion \( f(z) \) in die Formel ein:
• \[ f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\tau} \frac{z^2}{z - z_0} \, dz \]

• 4. Der Punkt \( z_0 = 0.5 \) liegt tatsächlich innerhalb des Einheitskreises, da \( |0.5| < 1 \). Das ist eine notwendige Voraussetzung für die Anwendung der Cauchyschen Integralformel.

• 5. Berechne das Integral:
• \[ I = \oint_{\tau} \frac{z^2}{z - 0.5} \, dz \]

• Gemäß der Cauchyschen Integralformel:
• \[ f(0.5) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\tau} \frac{z^2}{z - 0.5} \, dz \]

• 6. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(2 \pi i\):
• \[ 2 \pi i \, f(0.5) = \oint_{\tau} \frac{z^2}{z - 0.5} \, dz \]

• 7. Verwende die Funktion \( f(z) = z^2 \) an der Stelle \( z_0 = 0.5 \):
• \[ f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]

• 8. Setze diesen Wert in die Gleichung ein:
• \[ 2 \pi i \, 0.25 = \oint_{\tau} \frac{z^2}{z - 0.5} \, dz \]

• 9. Daher ist das Integral:
• \[ I = \oint_{\tau} \frac{z^2}{z - 0.5} \, dz = 0.5 \pi i \]

Das Ergebnis lautet:

• \[ I = 0.5 \pi i \]

b)

Teilaufgabe 2: Bestimme eine allgemeine Ausdruck für das n-te Integral der Form

• \[ I_n = \oint_{\tau} \frac{z^n}{z - z_0} \, dz \]

Lösung:

Teilaufgabe 2:

Um einen allgemeinen Ausdruck für das n-te Integral der Form

• \[ I_n = \oint_{\tau} \frac{z^n}{z - z_0} \ dz \]

• 1. Die Cauchysche Integralformel lautet:
• \[ f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\tau} \frac{f(z)}{z - z_0}\ dz \]

• 2. Wir setzen die Funktion \( f(z) = z^n \) in die Formel ein:
• \[ f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\tau} \frac{z^n}{z - z_0}\, dz \]

• 3. Daraus ergibt sich direkt:
• \[ f(z_0) = (z_0)^n = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\tau} \frac{z^n}{z - z_0}\, dz \]

• 4. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \( 2 \pi i \), erhalten wir:
• \[ 2 \pi i \,(z_0)^n = \oint_{\tau} \frac{z^n}{z - z_0}\, dz \]

Das geschlossene Ergebnis lautet somit:

• \[ I_n = \oint_{\tau} \frac{z^n}{z - z_0}\, dz = 2 \pi i\,(z_0)^n \]