Supplement to Quantum Mechanics - Cheatsheet.pdf

Zustandsgleichungen und Operatoren: Definition und Verwendung

Definition:

Zustandsgleichungen und Operatoren: Wichtige Werkzeuge in der Quantenmechanik zur Beschreibung von Systemen und deren zeitlicher Entwicklung.

Details:

• Ein Zustand eines quantenmechanischen Systems: Durch Wellenfunktion $\psi$ oder Zustandsvektor $|\psi ⟩$ beschrieben
• Operatoren: Mathematische Objekte, die auf Zustände wirken, z.B. Hamiltonoperator $\hat{H}$, Impulsoperator $\hat{p}$, Ortsoperator $\hat{x}$.
• Eigenwertgleichung: $\hat{O}|\psi ⟩=o|\psi ⟩$, wobei $\hat{O}$ ein Operator und $o$ der zugehörige Eigenwert ist
• Zeitevolution: Durch Schrödinger-Gleichung $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$

Postulate der Quantenmechanik: Überblick und Anwendung

Definition:

Postulate der Quantenmechanik: grundlegende Prinzipien und Regeln zur Beschreibung quantenmechanischer Systeme.

Details:

• Zustände: Zustände eines Systems werden durch Vektoren im Hilbertraum dargestellt.
• Observable: Observable entsprechen selbstadjungierten Operatoren. Messergebnisse sind ihre Eigenwerte.
• Messprozess: Der Messprozess kollabiert den Zustand auf einen Eigenzustand des Operators.
• Zeitentwicklung: Die Zeitentwicklung wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben: $i\frac{d}{dt}|\text{ψ}(t)⟩=\text{Ĥ}|\text{ψ}(t)⟩$.
• Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit für ein Messergebnis ist gegeben durch das Betragsquadrat des Skalarprodukts: $P(a)=|⟨a|\text{ψ}⟩{|}^2$.

Wellenfunktionsnormalisierung und Orthogonalität

Definition:

Normalisierung und Orthogonalität sind essentielle Eigenschaften von Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.

Details:

• Eine normalisierte Wellenfunktion $\psi$ erfüllt $\int |\psi (x){|}^{2}dx=1$.
• Orthogonale Wellenfunktionen ${\psi }_n,{\psi }_m$ erfüllen $\int {\psi }_n^{\ast }(x){\psi }_m(x)dx={\delta }_{nm}$.
• Normalisierung und Orthogonalität gewährleisten, dass Wellenfunktionen physikalisch sinnvolle Lösungen der Schrödingergleichung sind.

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: Lösungsmethoden und Anwendungen

Definition:

Beschreibung der zeitlichen Evolution eines Quantensystems.

Details:

• Allgemeine Form: $$i\frac{\text{d}}{\text{d}t}|\tilde{u}(t)⟩=𝐇(t)|\tilde{u}(t)⟩$$
• Wellenfunktionen: $$\tilde{u}(x,t)=\tilde{u}(x,0)e^{-\frac{iEt}{\text{ħ}}}$$
• Trennung der Variablen: $$\tilde{u}(x,t)=\tilde{u}(x)e^{-\frac{i{E}_{n}t}{\text{𝒉}}}$$
• Nutzung von Lösungsmethoden wie: Trennung der Variablen, Operatorenansatz, Numerische Methoden (Finite-Differenzen-Methoden, explizite/implizite Integration)
• Anwendungen: Atom- und Molekülphysik, Quantenfeldtheorie, Optik

Berechnung und Bedeutung von Erwartungswerten

Definition:

Berechnung und Bedeutung von Erwartungswerten - Erwartungen aus quantenmechanischen Zuständen.

Details:

• Erwartungswert eines Operators: $$⟨A⟩=⟨\psi |A|\psi ⟩$$
• In Integral-Schreibweise: $$⟨A⟩=\int {\psi }^{\ast }(x)A\psi (x)dx$$
• Bedeutung: Durchschnittlicher Wert, den man bei vielen Messungen erhält.
• Operatoren $\hat{x}$, $\hat{p}$: z.B. Orts- und Impulsoperatoren.
• Eigenwerte: Mögliche Messergebnisse.

Heisenbergsche Unschärferelation: Mathematische und physikalische Aspekte

Definition:

Heisenbergsche Unschärferelation beschreibt die fundamentale Grenze der gleichzeitigen Bestimmung bestimmter Paaren von Observablen (z.B. Ort und Impuls) eines Teilchens.

Details:

• Mathematische Formulierung: $\mathrm{△}x\mathrm{△}p\ge \frac{\hslash }{2}$
• Wichtig für das Verständnis der Quantenmechanik und der Natur nicht-kommutativer Operatoren.
• Physikalische Konsequenz: Absolute Gleichzeitigkeit exakter Werte bestimmter Komplementärvariablen ausgeschlossen.
• Veranschaulicht durch Experimente wie Doppelspaltexperiment.

Quantentunnelung und Tunneleffekt: Mechanismus und Anwendungen

Definition:

Quantentunnelung beschreibt das Phänomen, dass Teilchen durch eine Potentialbarriere hindurchgehen können, die sie klassisch nicht überwinden könnten. Der Tunneleffekt beruht auf der Wellennatur von Teilchen in der Quantenmechanik.

Details:

• Wellenfunktion $\mathrm{\Psi }(x)$ beschreibt Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
• Wahrscheinlichkeit für Tunnelereignis: $$T\propto e^{-2\gamma a}$$ mit $$\gamma =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$$
• Vorkommen in Halbleitern, Kernfusion und Rastertunnelmikroskopie.
• Anwendungen:
• - Tuneldioden
• - SQUIDs
• - Alpha-Zerfall
• - Quantencomputing (Qubits)

Quantenverschränkung: Theorie, Experiment und Konsequenzen

Definition:

Verknüpfung von zwei oder mehr Teilchen, sodass der Zustand des einen Teilchens abhängig vom Zustand des anderen ist, unabhängig von der Entfernung.

Details:

• Theorie: Zustand $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩+|10⟩)$ beschreibt verschränkte Teilchen.
• Experiment: Nachweis durch Bell-Tests und Verletzung von Bells Ungleichung.
• Konsequenzen: Nicht-Lokalität, Anwendungen in Quantencomputing und Quantenkryptographie.