Supplement to Quantum Mechanics - Cheatsheet.pdf

Zustandsgleichungen und Operatoren: Definition und Verwendung

Definition:

Zustandsgleichungen und Operatoren: Wichtige Werkzeuge in der Quantenmechanik zur Beschreibung von Systemen und deren zeitlicher Entwicklung.

Details:

• Ein Zustand eines quantenmechanischen Systems: Durch Wellenfunktion \(\psi\) oder Zustandsvektor \(\left| \psi \right\rangle\) beschrieben
• Operatoren: Mathematische Objekte, die auf Zustände wirken, z.B. Hamiltonoperator \(\hat{H}\), Impulsoperator \(\hat{p}\), Ortsoperator \(\hat{x}\).
• Eigenwertgleichung: \(\hat{O} \left| \psi \right\rangle = o \left| \psi \right\rangle\), wobei \(\hat{O}\) ein Operator und \(o\) der zugehörige Eigenwert ist
• Zeitevolution: Durch Schrödinger-Gleichung \(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi(t) \right\rangle = \hat{H} \left| \psi(t) \right\rangle\)

Postulate der Quantenmechanik: Überblick und Anwendung

Definition:

Postulate der Quantenmechanik: grundlegende Prinzipien und Regeln zur Beschreibung quantenmechanischer Systeme.

Details:

• Zustände: Zustände eines Systems werden durch Vektoren im Hilbertraum dargestellt.
• Observable: Observable entsprechen selbstadjungierten Operatoren. Messergebnisse sind ihre Eigenwerte.
• Messprozess: Der Messprozess kollabiert den Zustand auf einen Eigenzustand des Operators.
• Zeitentwicklung: Die Zeitentwicklung wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben: \(i \frac{d}{dt} |\text{ψ}(t)\rangle = \text{Ĥ} |\text{ψ}(t)\rangle\).
• Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit für ein Messergebnis ist gegeben durch das Betragsquadrat des Skalarprodukts: \(P(a) = |\braket{a|\text{ψ}}|^2\).

Wellenfunktionsnormalisierung und Orthogonalität

Definition:

Normalisierung und Orthogonalität sind essentielle Eigenschaften von Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.

Details:

• Eine normalisierte Wellenfunktion \(\psi\) erfüllt \(\int |\psi(x)|^2 dx = 1\).
• Orthogonale Wellenfunktionen \(\psi_n, \psi_m\) erfüllen \(\int \psi_n^*(x) \psi_m(x) dx = \delta_{nm}\).
• Normalisierung und Orthogonalität gewährleisten, dass Wellenfunktionen physikalisch sinnvolle Lösungen der Schrödingergleichung sind.

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: Lösungsmethoden und Anwendungen

Definition:

Beschreibung der zeitlichen Evolution eines Quantensystems.

Details:

• Allgemeine Form: \[ i\frac{\text{d}}{\text{d}t}|\tilde{u}(t)\rangle = 𝐇(t)|\tilde{u}(t)\rangle \]
• Wellenfunktionen: \[ \tilde{u}(x,t) = \tilde{u}(x,0) e^{-\frac{iEt}{\text{ħ}}} \]
• Trennung der Variablen: \[ \tilde{u}(x,t) = \tilde{u}(x)e^{-\frac{iE_{n}t}{\text{𝒉}}} \]
• Nutzung von Lösungsmethoden wie: Trennung der Variablen, Operatorenansatz, Numerische Methoden (Finite-Differenzen-Methoden, explizite/implizite Integration)
• Anwendungen: Atom- und Molekülphysik, Quantenfeldtheorie, Optik

Berechnung und Bedeutung von Erwartungswerten

Definition:

Berechnung und Bedeutung von Erwartungswerten - Erwartungen aus quantenmechanischen Zuständen.

Details:

• Erwartungswert eines Operators: \[ \left< A \right> = \left< \psi | A | \psi \right> \]
• In Integral-Schreibweise: \[ \left< A \right> = \int \psi^{*} (x) A \psi (x) dx \]
• Bedeutung: Durchschnittlicher Wert, den man bei vielen Messungen erhält.
• Operatoren \(\hat{x}\), \(\hat{p}\): z.B. Orts- und Impulsoperatoren.
• Eigenwerte: Mögliche Messergebnisse.

Heisenbergsche Unschärferelation: Mathematische und physikalische Aspekte

Definition:

Heisenbergsche Unschärferelation beschreibt die fundamentale Grenze der gleichzeitigen Bestimmung bestimmter Paaren von Observablen (z.B. Ort und Impuls) eines Teilchens.

Details:

• Mathematische Formulierung: \( \triangle x \triangle p \geq \frac{ \hbar }{2} \)
• Wichtig für das Verständnis der Quantenmechanik und der Natur nicht-kommutativer Operatoren.
• Physikalische Konsequenz: Absolute Gleichzeitigkeit exakter Werte bestimmter Komplementärvariablen ausgeschlossen.
• Veranschaulicht durch Experimente wie Doppelspaltexperiment.

Quantentunnelung und Tunneleffekt: Mechanismus und Anwendungen

Definition:

Quantentunnelung beschreibt das Phänomen, dass Teilchen durch eine Potentialbarriere hindurchgehen können, die sie klassisch nicht überwinden könnten. Der Tunneleffekt beruht auf der Wellennatur von Teilchen in der Quantenmechanik.

Details:

• Wellenfunktion \( \Psi(x) \) beschreibt Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
• Wahrscheinlichkeit für Tunnelereignis: \[T \propto e^{-2 \gamma a}\] mit \[\gamma = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}\]
• Vorkommen in Halbleitern, Kernfusion und Rastertunnelmikroskopie.
• Anwendungen:
• - Tuneldioden
• - SQUIDs
• - Alpha-Zerfall
• - Quantencomputing (Qubits)

Quantenverschränkung: Theorie, Experiment und Konsequenzen

Definition:

Verknüpfung von zwei oder mehr Teilchen, sodass der Zustand des einen Teilchens abhängig vom Zustand des anderen ist, unabhängig von der Entfernung.

Details:

• Theorie: Zustand \( | \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 1 \rangle + | 1 0 \rangle ) \) beschreibt verschränkte Teilchen.
• Experiment: Nachweis durch Bell-Tests und Verletzung von Bells Ungleichung.
• Konsequenzen: Nicht-Lokalität, Anwendungen in Quantencomputing und Quantenkryptographie.