Supplement to Quantum Mechanics - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte ein quantenmechanisches System, dessen Zustand durch die Wellenfunktion \( \psi(x,t) \) beschrieben wird. Es wird ein Hamiltonoperator \( \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}) \) verwendet, wobei \( \hat{p} \) der Impulsoperator und \( \hat{x} \) der Ortsoperator sind. Zu dessen Aufgaben gehört es, das System zu untersuchen und durch die Schrödinger-Gleichung die zeitliche Entwicklung zu beschreiben.

a)

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Wellenfunktion \( \psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \) eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ist, wenn das Potential \( V(x) = 0 \) ist, und um \( \omega \) in Abhängigkeit von \( k \) zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

• Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (SE) lautet:

\[ i \hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(x,t) \]

• Da das Potential \( V(x) = 0 \) ist, reduziert sich der Hamiltonoperator \( \hat{H} \) auf:

\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \]

• Setze die Wellenfunktion \( \psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \) in die Schrödinger-Gleichung ein und berechne die partiellen Ableitungen:

• Die partielle Ableitung nach der Zeit \( t \) ist:

\[ \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -i \omega A e^{i(kx - \omega t)} \]

• Die zweite partielle Ableitung nach dem Ort \( x \) ist:

\[ \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x} = i k A e^{i(kx - \omega t)} \]\[ \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} = -k^2 A e^{i(kx - \omega t)} \]

• Setze diese Ableitungen in den Hamiltonoperator ein:

\[ \hat{H} \psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -k^2 A e^{i(kx - \omega t)} \right) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx - \omega t)} \]

• Setze nun \( \hat{H} \psi(x,t) \) und \( i \hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} \) in die Schrödinger-Gleichung ein:

\[ i \hbar \left( -i \omega A e^{i(kx - \omega t)} \right) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx - \omega t)} \]

Dies vereinfacht sich zu:

\[ \hbar \omega A e^{i(kx - \omega t)} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx - \omega t)} \]

• Da diese Gleichung für alle \( x \) und \( t \) gelten muss, kürzen wir \( A e^{i(kx - \omega t)} \) heraus. Somit erhalten wir:

\[ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} \]

• Damit ist gezeigt, dass die Wellenfunktion \( \psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \) eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ist, wenn das Potential \( V(x) = 0 \) ist, und dass \( \omega \) in Abhängigkeit von \( k \) durch die Beziehung \( \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} \) gegeben ist.

b)

Lösung:

Um die Eigenenergie \( E \) eines Zustands in einem potentialfreien System (\( V(x) = 0 \)) zu berechnen, nutzen wir die Gleichung:

\[ \hat{H} \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle \]

Da das Potential \( V(x) \) Null ist, reduziert sich der Hamiltonoperator \( \hat{H} \) auf:

\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} \]

• Für einen freien Teilchenzustand, der durch die Wellenfunktion \( \psi(x) = A e^{ikx} \) beschrieben wird, gilt:

\[ \hat{p} = -i \hbar \frac{d}{dx} \]

Nun wenden wir den Impulsoperator zweimal an:

\[ \hat{p}^2 \psi(x) = \left( -i \hbar \frac{d}{dx} \right)^2 \psi(x) = -\hbar^2 \frac{d^2}{dx^2} A e^{ikx} \]

• Berechne die zweite Ableitung von \( \psi(x) \):

\[ \frac{d}{dx} \psi(x) = \frac{d}{dx} \left( A e^{ikx} \right) = ik A e^{ikx} \]

\[ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = \frac{d}{dx} \left( ik A e^{ikx} \right) = -k^2 A e^{ikx} \]

• Setze dies in den Hamiltonoperator ein:

\[ \hat{p}^2 \psi(x) = -\hbar^2 \left( -k^2 A e^{ikx} \right) = \hbar^2 k^2 \psi(x) \]

Nun haben wir:

\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hat{p}^2}{2m} \psi(x) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi(x) \]

• Vergleiche dies mit der Eigenwertgleichung:

\[ \hat{H} \psi(x) = E \psi(x) \]

• Es folgt, dass die Eigenenergie \( E \) gegeben ist durch:

\[ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \]

Damit haben wir die Eigenenergie eines Zustands in einem potentialfreien System berechnet.

c)

Lösung:

Um die Form der Wellenfunktion \( \psi(x,t) \) zu bestimmen, die eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für das gegebene Potential \( V(x) = \frac{1}{2}m \omega^2 x^2 \) darstellt, betrachten wir zunächst die Schrödinger-Gleichung:

\[ i \hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \left( \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2 \right) \psi(x,t) \]

Dieses Potential beschreibt einen harmonischen Oszillator, und daher hat das System quantisierte Energiezustände. Die Wellenfunktionen für die Eigenzustände des harmonischen Oszillators sind gegeben durch:

\[ \psi_n(x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x) e^{-\frac{m \omega x^2}{2\hbar}} \]

Hier sind \( H_n \) die Hermite-Polynome, und \( n \) ist eine nicht-negative ganze Zahl (\( n = 0, 1, 2, \ldots \)).

Die Gesamtwellenfunktion \( \psi(x,t) \) erhält man durch Multiplikation der Ortswellenfunktion \( \psi_n(x) \) mit einem zeitabhängigen Phasenfaktor:

\[ \psi_n(x,t) = \psi_n(x) e^{-i E_n t / \hbar} \]

Die Energieeigenwerte \( E_n \) für den harmonischen Oszillator sind gegeben durch:

\[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \]

Setzt man dies in den Phasenfaktor ein, erhält man:

\[ \psi_n(x,t) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x) e^{-\frac{m \omega x^2}{2 \hbar}} e^{-i \left(n + \frac{1}{2}\right) \omega t} \]

Physikalische Interpretation:

• Die Wellenfunktionen \( \psi_n(x,t) \) beschreiben quantisierte Zustände eines harmonischen Oszillators. Jeder Zustand ist durch die Quantenzahl \( n \) charakterisiert, die die Energie und die Form der Wellenfunktion bestimmt.
• Je höher die Quantenzahl \( n \), desto höher ist die Energie des Zustands. Die niedrigste Energie \( E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega \) ist der Grundzustand, bei dem der Oszillator seine geringste mögliche Energie hat (Nullpunktenergie).
• Die Lösungen \( \psi_n(x,t) \) zeigen, dass sich die Wellenpakete im Zeitverlauf mit einer Frequenz \( \omega \) drehen, entsprechend den diskreten Energieeigenwerten des harmonischen Oszillators.

Aufgabe 4)

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist zentral für das Verständnis der quantenmechanischen Evolution von Systemen. Gegeben sei das zeitabhängige Schrödinger-Gleichungssystem:

• Allgemeine Form: \[ i\frac{\text{d}}{\text{d}t}|\tilde{u}(t)\rangle = 𝐇(t)|\tilde{u}(t)\rangle \]
• Wellenfunktionen: \[ \tilde{u}(x,t) = \tilde{u}(x,0) e^{-\frac{iEt}{\text{ħ}}} \]
• Trennung der Variablen: \[ \tilde{u}(x,t) = \tilde{u}(x)e^{-\frac{iE_{n}t}{\text{𝒉}}} \]
• Nutzung von Lösungsmethoden wie: Trennung der Variablen, Operatorenansatz, Numerische Methoden (Finite-Differenzen-Methoden, explizite/implizite Integration)
• Anwendungen: Atom- und Molekülphysik, Quantenfeldtheorie, Optik