Theoretical Physics 1 (Classical Mechanics) - Cheatsheet.pdf

Bewegungsgleichungen und deren Lösungen

Definition:

Beschreibt die Entwicklung eines physikalischen Systems über die Zeit.

Details:

• Newtonsche Bewegungsgleichungen: \(\textbf{F} = m\textbf{a}\)
• Lagrange-Gleichungen: \[\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]
• Hamiltonsche Bewegungsgleichungen: \[\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\]
• Für die Lösung: Anfangsbedingungen notwendig
• Lösungstechniken: Analytische Methoden, Numerische Integration

Lagrange-Formalismus und seine Anwendungen

Definition:

Der Lagrange-Formalismus dient zur Beschreibung der Bewegung von Systemen durch die Lagrange-Gleichungen. Er basiert auf der Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie (Lagrange-Funktion).

Details:

• Lagrange-Funktion: \( L = T - V \)
• Lagrangesche Gleichungen 2. Art: \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \)
• Verwende generalisierte Koordinaten \( q_i, \dot{q}_i \) zur Beschreibung komplexer Systeme.
• Anwendungen: z.B. Pendel, Feder-Masse-System, Rotation starrer Körper, Zweikörperproblem.
• Ermöglicht Vereinfachung von Systemen mit Zwangsbedingungen.

Kinetische Energie und Arbeit

Definition:

Kinetische Energie: Energie eines bewegten Körpers. Arbeit: Energieübertragung durch Kraft entlang eines Wegs.

Details:

• Kinetische Energie: \[ E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2 \] , wobei \(m\) die Masse und \(v\) die Geschwindigkeit ist.
• Arbeit: \[ W = \int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} \] , wobei \(\mathbf{F}\) die Kraft und \(d\mathbf{s}\) der Weg ist.
• Arbeit-Energie-Satz: \[ W = \Delta E_{kin} \]

Impulserhaltungssatz

Definition:

Satz, der besagt, dass der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems konstant ist, sofern keine äußeren Kräfte wirken.

Details:

• Gesamtimpuls: \(\vec{P} = \sum \vec{p}_i\)
• Abgeleitet aus dem zweiten Newtonschen Gesetz: \(\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{P}}{dt}\)
• Wenn \(\vec{F}_{ext} = 0\), dann \(\frac{d\vec{P}}{dt} = 0\) und \(\vec{P}\) = konstant.
• Komponentenweise: \(P_x, P_y, P_z\)
• Anwendung bei Kollisionen und Explosionen.

Erstes Newtonsches Gesetz: Trägheitsprinzip

Definition:

Trägheitsprinzip: Ein Körper bleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.

Details:

• Formel: \( \sum F = 0 \)
• Gilt im Inertialsystem
• Trägheit: Widerstand eines Körpers gegen Bewegungsänderungen

Drehmoment und Drehimpuls

Definition:

Drehmoment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft auf einen Körper. Drehimpuls ist das Produkt aus Ortsvektor und Impulsvektor eines Massepunkts.

Details:

• Drehmoment: \(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\)
• Drehimpuls: \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) und \(\vec{L} = I \vec{\omega}\) für starre Körper
• Gesetz: \(\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}\)
• Erhaltung des Drehimpulses bei Drehmomentfreiheit

Zweiter Newtonsches Gesetz: F = ma

Definition:

Zweites Newtonschen Gesetz: Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung

Details:

• Formel: \[ F = ma \]
• Kraft (\( F \)) in Newton (N)
• Masse (\( m \)) in Kilogramm (kg)
• Beschleunigung (\( a \)) in Meter pro Quadratsekunde (\( m/s^2 \))
• Kraft und Beschleunigung haben Richtung (Vektoren)
• Gültig im Inertialsystem

Energieumwandlung und Energiebilanzen

Definition:

Analyse der Energiearten und ihrer Umwandlung in abgeschlossenen Systemen.

Details:

• Energieerhaltungssatz: Gesamtenergie bleibt konstant.
• Kinetische Energie: \[ E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}mv^2 \]
• Potentielle Energie: \[ E_{\text{pot}} = mgh \]
• Mechanische Energie: \[ E_{\text{mech}} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} \]
• Arbeit: \[ W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} \]
• Leistung: \[ P = \frac{dW}{dt} \]
• Interne Energie bei thermischen Prozessen: \[ \Delta U = Q - W \]
• Energieumwandlung ohne Reibung: mechanische Energie bleibt erhalten.
• Energieumwandlung mit Reibung: ein Teil der mechanischen Energie wird in Wärme umgewandelt.
• Energiebilanzen nutzen, um Bewegungs- und Strukturänderungen zu berechnen.