Theoretical Physics 1 (Classical Mechanics) - Exam.pdf

Aufgabe 2)

Betrachte ein einfaches Pendel der Länge l mit einer Masse m, das sich unter dem Einfluss der Schwerkraft g bewegt. Das Pendel wird ausgelenkt und schwingt in einer vertikalen Ebene.

a)

1. Stelle die Lagrange-Funktion für das System auf. Berücksichtige hierbei, dass die generalisierte Koordinate der Winkel \theta ist, den das Pendel mit der vertikalen Achse bildet.

Lösung:

Um die Lagrange-Funktion für das einfache Pendel zu bestimmen, folgen wir den grundlegenden Schritten der Lagrange-Mechanik:

• Kinetische Energie (T):Die kinetische Energie eines Körpers ist gegeben durch\[T = \frac{1}{2} m v^2\]Da das Pendel eine Masse m hat und sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt, müssen wir v in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit \dot{\theta} ausdrücken. Im Falle des Pendels ist \[v = l \dot{\theta}\]wobei l die Pendellänge ist. Somit ist die kinetische Energie:\[T = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2\]
• Potentielle Energie (U):Die potentielle Energie des Pendels in Bezug auf seine Höhe, gemessen von der niedrigsten Position, ist\[U = mgl(1 - \cos\theta)\]Hierbei ist g die Erdbeschleunigung und \(\cos\theta\) beschreibt die Höhe des Pendels relativ zu seiner vertikalen Ruhelage.
• Lagrange-Funktion (L):Die Lagrange-Funktion ist definiert als\[L = T - U\]also:\[L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta)\]

b)

2. Leite die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art für das Pendelsystem her. Bestimme die Bewegungsgleichung des Pendels.

Lösung:

Um die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art für das Pendelsystem abzuleiten und die Bewegungsgleichung des Pendels zu bestimmen, benötigen wir die Lagrange-Funktion, die wir bereits hergeleitet haben:

• Lagrange-Funktion (L):\[L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta)\]

Die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art sind gegeben durch

• \[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0\]

Wir berechnen die erforderlichen partiellen Ableitungen:

1. \[\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} \left( \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta) \right) = ml^2 \dot{\theta}\]
2. \[\frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta) \right) = mgl \sin\theta\]

Nun setzen wir diese in die Lagrangesche Gleichung ein:

• \[\frac{d}{dt} (ml^2 \dot{\theta}) - mgl \sin\theta = 0\]

Das vereinfacht sich zu:

• \[ml^2 \ddot{\theta} + mgl \sin\theta = 0\]

Da es sich um eine Differentialgleichung handelt, die die Bewegung beschreibt, können wir sie weiter vereinfachen, indem wir durch \(ml^2\) teilen:

• \[\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0\]

Dies ist die Bewegungsgleichung des Pendels:

• \[\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0\]

c)

3. Bestimme die Kleinwinkelnäherung der Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen (\theta << 1) und löse diese Differentialgleichung, um die Schwingungsfrequenz des Pendels zu ermitteln.

Lösung:

Um die Kleinwinkelnäherung der Bewegungsgleichung des Pendels zu bestimmen, betrachten wir zunächst die hergeleitete Bewegungsgleichung:

• \[\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0\]

Für kleine Auslenkungen (\theta << 1) kann die Sinusfunktion durch ihren Argumentwert approximiert werden, also:

• \[\sin\theta \approx \theta\]

Damit vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu:

• \[\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = 0\]

Dies ist eine gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, die die Form hat:

• \[\ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0\]

wo \(\omega\) die Kreisfrequenz ist. Durch Vergleich erhalten wir:

• \[\omega^2 = \frac{g}{l}\]
• \[\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\]

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist:

• \[\theta(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)\]

Hier sind A und B Konstanten, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Die Schwingungsfrequenz \(f\) des Pendels ist die Kreisfrequenz \(\omega\) geteilt durch \(2\pi\):

• \[f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}\]

Das ist die Schwingungsfrequenz des Pendels in der Kleinwinkelnäherung.

d)

4. Betrachte nun ein doppeltes Pendel, bei dem ein zweites Pendel der Länge l_2 und Masse m_2 am Ende des ersten Pendels befestigt ist. Stelle die Lagrange-Funktion für dieses System auf und bestimme die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art. Analysiere qualitativ das Verhalten dieses Systems.

Lösung:

Um die Lagrange-Funktion für ein doppeltes Pendel zu bestimmen und die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art aufzustellen, gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Systembeschreibung:Das doppelte Pendel besteht aus zwei Pendeln: das erste Pendel hat eine Länge l_1 und Masse m_1, das zweite Pendel hat eine Länge l_2 und Masse m_2. Beide schwingen in einer vertikalen Ebene. Die generalisierten Koordinaten sind die Winkel \(\theta_1\) und \(\theta_2\), die die Pendel mit der vertikalen Achse bilden.

• Kinetische Energie (T):Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie der beiden Massen m_1 und m_2. Betrachten wir zuerst m_1, die sich mit einer Geschwindigkeit v_1 bewegt, gegeben durch:\[v_1 = l_1 \dot{\theta}_1\]Die kinetische Energie von m_1 ist:\[T_1 = \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2\]Für m_2 müssen wir sowohl die Bewegung des ersten Pendels als auch die Bewegung des zweiten Pendels berücksichtigen:\[v_2 = \sqrt{(l_1 \dot{\theta}_1 \cos\theta_1 + l_2 \dot{\theta}_2 \cos\theta_2)^2 + (l_1 \dot{\theta}_1 \sin\theta_1 + l_2 \dot{\theta}_2 \sin\theta_2)^2}\]Nach Vereinfachung ergibt dies:\[v_2 = \sqrt{l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}\]Die kinetische Energie von m_2 ist:\[T_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_2 (l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2))\]Die Gesamtkinetische Energie ist somit:\[T = T_1 + T_2 = \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 (l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2))\]
• Potentielle Energie (U):Die potentielle Energie der Massen m_1 und m_2 ergibt sich aus ihrer Lage relativ zur Ruhelage. Die potentielle Energie von m_1 ist:\[U_1 = -m_1 g l_1 \cos\theta_1\]Die potentielle Energie von m_2 ist:\[U_2 = -m_2 g (l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos\theta_2)\]Die Gesamtpotentielle Energie ist somit:\[U = U_1 + U_2 = -m_1 g l_1 \cos\theta_1 - m_2 g (l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos\theta_2)\]

• Lagrange-Funktion (L):Die Lagrange-Funktion ist definiert als\[L = T - U\]also:\[L = \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 (l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)) + m_1 g l_1 \cos\theta_1 + m_2 g (l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos\theta_2)\]

Lagrangesche Gleichungen 2. Art:

• Die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art für die beiden Winkel \(\theta_1\) und \(\theta_2\) sind gegeben durch:
• \[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = 0\]\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_2} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = 0\]

• Partielle Ableitungen:
• \[\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_1} = m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1 + m_2 (l_1^2 \dot{\theta}_1 + l_1 l_2 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2))\]
• \[\frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -m_1 g l_1 \sin\theta_1 - m_2 g l_1 \sin\theta_1 + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \sin(\theta_1 - \theta_2)\]
• \[\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_2} = m_2 (l_2^2 \dot{\theta}_2 + l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \cos(\theta_1 - \theta_2))\]
• \[\frac{\partial L}{\partial \theta_2} = -m_2 g l_2 \sin\theta_2 - m_2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \sin(\theta_1 - \theta_2)\]

Qualitative Analyse des Systems:

Das doppelte Pendel ist ein klassisches Beispiel für ein nichtlineares dynamisches System. Aufgrund der Kopplung der zwei Pendel durch die Lagrangeschen Gleichungen, ergibt sich ein sehr komplexes Verhalten:

• Chaotisches Verhalten: Das doppelte Pendel kann chaotische Bewegungen ausführen, d.h., die Bewegung wird sehr empfindlich gegenüber den Anfangsbedingungen. Kleine Unterschiede in den Anfangsbedingungen können zu stark unterschiedlichen Bewegungen führen.
• Energieübertragung: Die Energie kann zwischen den beiden Pendeln hin- und hergeschoben werden, was zu komplexen Oszillationsmustern führt.
• Periodische Bewegungen: Unter bestimmten Bedingungen (kleine Auslenkungen und gleiche Pendellängen) kann das doppelte Pendel auch periodische, regelmäßige Schwingungen ausführen.

Aufgabe 3)

Betrachte einen Massenpunkt der Masse m, der sich unter dem Einfluss einer variablen Kraft F(x) entlang der x-Achse bewegt. Anfangs ist der Massenpunkt in Ruhe bei x = 0. Die Kraft F(x) hängt von der Position ab und ist gegeben durch:

• F(x) = kx (mit k als Konstante)

a)

Berechne die Arbeit, die durch die Kraft F(x) verrichtet wird, wenn der Massenpunkt sich von x=0 bis x=d bewegt. Zeige alle Schritte der Integration und erkläre die Bedeutung des Arbeit-Ernergie-Satzes in diesem Kontext.

Lösung:

Um die Arbeit zu berechnen, die durch die Kraft F(x) verrichtet wird, wenn sich der Massenpunkt von x = 0 bis x = d bewegt, müssen wir das Integral der Kraft über die entsprechende Strecke berechnen.

• Die gegebenen Informationen: F(x) = kx , wobei k eine Konstante ist.

Die Arbeit W kann als das Integral der Kraft F(x) über die Strecke von x = 0 bis x = d geschrieben werden:

Schritt-für-Schritt-Derivation:

1. Formulieren des Integrals:

\[ W = \int_{0}^{d} F(x) \, dx\] 

2. Ersetzen von F(x):

\[ W = \int_{0}^{d} kx \, dx\] 

3. Integration durchführen:

\[ W = k \int_{0}^{d} x \, dx\] \[ W = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{d} \]  \[ W = k \left( \frac{d^2}{2} - 0 \right) \]  \[ W = \frac{kd^2}{2} \]

Die Arbeit, die durch die Kraft F(x) verrichtet wird, wenn sich der Massenpunkt von x = 0 bis x = d bewegt, beträgt somit \(W = \frac{kd^2}{2}\).

Arbeit-Energie-Satz:

Der Arbeit-Energie-Satz besagt, dass die Arbeit, die an einem Körper verrichtet wird, gleich der Änderung seiner kinetischen Energie ist:

\[ W = \Delta E_k \]

In diesem Fall, da der Massenpunkt bei x = 0 in Ruhe war, bedeutet die verrichtete Arbeit, dass die gesamte Arbeit in kinetische Energie umgewandelt wurde. Deshalb ist:

\[ W = \frac{1}{2}mv^2\]

und weil wir bereits die Arbeit W als \(\frac{kd^2}{2}\) berechnet haben, können wir diese nutzen um die Geschwindigkeit am Punkt x = d herauszufinden, falls gewünscht.

b)

Bestimme die kinetische Energie des Massenpunkts bei x=d. Verwende hierzu die Arbeit, die du in der ersten Teilaufgabe berechnet hast, und wende den Arbeit-Energie-Satz an. Berechne auch die Geschwindigkeit des Massenpunkts bei x=d.

Lösung:

Um die kinetische Energie des Massenpunkts bei x = d zu bestimmen, verwenden wir die in der ersten Teilaufgabe berechnete Arbeit und den Arbeit-Energie-Satz.

Erinnerung: In der ersten Teilaufgabe haben wir die Arbeit W berechnet, die von der Kraft F(x) verrichtet wird, wenn sich der Massenpunkt von x = 0 bis x = d bewegt. Diese Arbeit beträgt: \[ W = \frac{kd^2}{2} \]

Arbeit-Energie-Satz:

Der Arbeit-Energie-Satz besagt, dass die verrichtete Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie ist:

\[ W = \Delta E_k \]

Da der Massenpunkt am Anfang in Ruhe ist (also keine Anfangs-Kinetische Energie besitzt), ist die gesamte Arbeit, die verrichtet wird, gleich der kinetischen Energie des Massenpunkts bei x = d:

\[ \Delta E_k = E_k(d) - E_k(0) \]

Da \( E_k(0) = 0 \), haben wir:

\[ E_k(d) = W = \frac{kd^2}{2} \]

Die kinetische Energie des Massenpunkts bei x = d beträgt somit \( E_k(d) = \frac{kd^2}{2} \).

Berechnung der Geschwindigkeit:

Die kinetische Energie kann auch durch folgende Formel ausgedrückt werden:

\[ E_k = \frac{1}{2} mv^2 \]

Da wir wissen, dass \( E_k(d) = \frac{kd^2}{2} \), setzen wir dies in die Gleichung ein:

\[ \frac{1}{2} mv^2 = \frac{kd^2}{2} \]

Durch Multiplizieren beider Seiten mit 2 und anschließendes Teilen durch die Masse m erhalten wir:

\[ v^2 = \frac{kd^2}{m} \]

Schließlich nehmen wir die Quadratwurzel, um die Geschwindigkeit v zu erhalten:

\[ v = \sqrt{ \frac{kd^2}{m} } \]

Die Geschwindigkeit des Massenpunkts bei x = d beträgt somit:

\[ v = d \sqrt{ \frac{k}{m} } \]

`

c)

Diskutiere, wie sich die Ergebnisse ändern würden, wenn die Kraft F(x) statt linear quadratisch mit der Position anstiege, z.B. F(x) = kx^2. Skizziere kurz den neuen Berechnungsweg und die physikalischen Unterschiede.

Lösung:

Wenn die Kraft F(x) statt linear quadratisch mit der Position anstiege, also F(x) = kx^2, ändern sich die Berechnungen und physikalischen Resultate wie folgt:

Neue Berechnung der Arbeit:

Um die Arbeit zu berechnen, die durch die quadratische Kraft F(x) = kx^2 verrichtet wird, wenn sich der Massenpunkt von x = 0 bis x = d bewegt, integrieren wir die Kraft über die Strecke:

• Formulieren des Integrals:

  \[ W = \int_{0}^{d} F(x) \, dx \]

• Ersetzen von F(x):

  \[ W = \int_{0}^{d} kx^2 \, dx \]

• Integration durchführen:

  \[ W = k \int_{0}^{d} x^2 \, dx \] \[ W = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{d} \] \[ W = k \left( \frac{d^3}{3} - 0 \right) \] \[ W = \frac{kd^3}{3} \]

Die verrichtete Arbeit bei einer quadratischen Kraft beträgt somit:

\( W = \frac{kd^3}{3} \)

Änderung der kinetischen Energie und Geschwindigkeit:

Wenden wir den Arbeit-Energie-Satz an, um die neue kinetische Energie bei x = d zu finden:

\[ E_k(d) = W = \frac{kd^3}{3} \]

Die kinetische Energie des Massenpunkts bei x = d ist jetzt:

\( E_k(d) = \frac{kd^3}{3} \)

Für die Geschwindigkeit verwenden wir erneut die Beziehung:

\[ E_k = \frac{1}{2} mv^2 \]

Setzen wir \( E_k(d) = \frac{kd^3}{3} \) in die Gleichung ein:

\[ \frac{1}{2} mv^2 = \frac{kd^3}{3} \]

Multiplizieren beider Seiten mit 2 und Dividieren durch m ergibt:

\[ v^2 = \frac{2kd^3}{3m} \]

Die Geschwindigkeit beträgt somit:

\[ v = \sqrt{ \frac{2kd^3}{3m} } \]

Physikalische Unterschiede:

• Die verrichtete Arbeit und damit die kinetische Energie steigen nun mit der dritten Potenz der Strecke d anstatt der zweiten Potenz wie im linearen Fall.
• Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Massenpunkts bei x = d stärker von der Distanz und der Kraftkonstanten abhängt als im linearen Fall.
• Die Beschleunigung des Massenpunkts ist ebenfalls nicht mehr konstant, da die Kraft jetzt nicht linear, sondern quadratisch mit der Position ansteigt. Das führt zu einem schnelleren Anstieg der Energie und Geschwindigkeit mit zunehmender Strecke.
• Im Bereich der Mechanik zeigt dies den Einfluss von nicht-linearen Kräften, die in vielen physikalischen Systemen auftreten können, und wie diese die Bewegung und Energieverteilung beeinflussen.

Aufgabe 4)

Betrachte ein System aus zwei Massen m1 und m2, die sich in einem geschlossenen System, in dem keine äußeren Kräfte wirken, bewegen. Die Massen sind ursprünglich in Bewegung, mit m1, die sich mit einer Geschwindigkeit \(\vec{v}_1\) und m2 mit einer Geschwindigkeit \(\vec{v}_2\) bewegt. An einem bestimmten Punkt kollidieren die beiden Massen elastisch und bewegen sich nach der Kollision mit neuen Geschwindigkeiten. Angenommen, die Kollision findet in zwei Dimensionen statt (xy-Ebene).

a)

(a) Bestimme den Gesamtimpuls des Systems vor der Kollision. Zeige, dass der Gesamtimpuls im System durch \(\vec{P} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2\) gegeben ist. Gehe davon aus, dass die Geschwindigkeiten vor der Kollision in der xy-Ebene wie folgt gegeben sind: \(\vec{v}_1 = v_{1x} \hat{i} + v_{1y}\hat{j}\) und \(\vec{v}_2 = v_{2x} \hat{i} + v_{2y}\hat{j}\).

Lösung:

(a) Bestimme den Gesamtimpuls des Systems vor der Kollision. Zeige, dass der Gesamtimpuls im System durch \(\vec{P} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2\) gegeben ist. Gehe davon aus, dass die Geschwindigkeiten vor der Kollision in der xy-Ebene wie folgt gegeben sind: \(\vec{v}_1 = v_{1x} \hat{i} + v_{1y}\hat{j}\) und \(\vec{v}_2 = v_{2x} \hat{i} + v_{2y}\hat{j}\).Um den Gesamtimpuls des Systems vor der Kollision zu bestimmen, folge diesen Schritten:

• Wir wissen, dass der Impuls eines Körpers durch das Produkt seiner Masse und seiner Geschwindigkeit gegeben ist. Der Impuls von Masse m1 ist also \(\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1\) und der Impuls von Masse m2 ist \(\vec{p}_2 = m_2 \vec{v}_2\).
• Der Gesamtimpuls des Systems ist die Summe der Impulse der einzelnen Massen:

\[\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 \]\[\vec{P} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 \]

• Da die Geschwindigkeiten vor der Kollision in der xy-Ebene vorgegeben sind, können wir die Geschwindigkeitsvektoren für \(\vec{v}_1\) und \(\vec{v}_2\) in ihre Komponenten zerlegen:
• \(\vec{v}_1 = v_{1x} \hat{i} + v_{1y} \hat{j}\) und \(\vec{v}_2 = v_{2x} \hat{i} + v_{2y} \hat{j}\)
• Der Gesamtimpuls des Systems kann dann wie folgt dargestellt werden:

\[\vec{P} = m_1 (v_{1x} \hat{i} + v_{1y} \hat{j}) + m_2 (v_{2x} \hat{i} + v_{2y} \hat{j}) \]

• Durch das Ausmultiplizieren der Massen erhältst Du:

\[\vec{P} = (m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}) \hat{i} + (m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y}) \hat{j} \]

• Das ist der Gesamtimpuls des Systems vor der Kollision in Komponentenform.
• Zusammengefasst zeigt das, dass der Gesamtimpuls vor der Kollision durch \(\vec{P} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2\) gegeben ist.

b)

(b) Nach der elastischen Kollision bewegen sich die Massen mit neuen Geschwindigkeiten \(\vec{v}'_1\) und \(\vec{v}'_2\). Ergibt sich aus dem Impulserhaltungssatz, dass der Gesamtimpuls des Systems nach der Kollision gleich dem Gesamtimpuls vor der Kollision ist? Drücke dies mathematisch aus.

Lösung:

(b) Nach der elastischen Kollision bewegen sich die Massen mit neuen Geschwindigkeiten \(\vec{v}'_1\) und \(\vec{v}'_2\). Ergibt sich aus dem Impulserhaltungssatz, dass der Gesamtimpuls des Systems nach der Kollision gleich dem Gesamtimpuls vor der Kollision ist? Drücke dies mathematisch aus.Um die Frage zu beantworten, folge diesen Schritten:

• Der Impulserhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenen System, in dem keine äußeren Kräfte wirken, der Gesamtimpuls erhalten bleibt. Das bedeutet, dass der Gesamtimpuls des Systems vor der Kollision gleich dem Gesamtimpuls des Systems nach der Kollision ist.
• Wir haben bereits den Gesamtimpuls vor der Kollision als \(\vec{P}\) gegeben durch:

\[\vec{P} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2\]

• Nach der Kollision bewegen sich die Massen mit neuen Geschwindigkeiten \(\vec{v}'_1\) und \(\vec{v}'_2\). Der Gesamtimpuls nach der Kollision \(\vec{P'}\) ist:

\[\vec{P'} = m_1 \vec{v}'_1 + m_2 \vec{v}'_2\]

• Da der Gesamtimpuls erhalten bleibt, setzen wir die beiden Ausdrücke gleich:

\[m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{v}'_1 + m_2 \vec{v}'_2\]

• Das ist die mathematische Ausdrucksweise, die besagt, dass der Gesamtimpuls des Systems nach der Kollision gleich dem Gesamtimpuls vor der Kollision ist.
• In Komponentenform bedeutet das:

\[m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v'_{1x} + m_2 v'_{2x}\]\[m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} = m_1 v'_{1y} + m_2 v'_{2y}\]

• Dies zeigt, dass sowohl die x-Komponente als auch die y-Komponente des Gesamtimpulses erhalten bleiben.

c)

(c) Berechne die neuen Geschwindigkeiten \(\vec{v}'_1\) und \(\vec{v}'_2\), wenn zwei Massen folgende Werte haben: \(m_1 = 2 kg\), \(m_2 = 3 kg\), \(\vec{v}_1 = (3, 4) m/s\) und \(\vec{v}_2 = (-1, 2) m/s\). Verwende sowohl den Impulserhaltungssatz als auch den Energieerhaltungssatz (\text{Hinweis: für eine elastische Kollision gilt zusätzlich die Erhaltung der kinetischen Energie}). Zeige alle notwendigen Berechnungen.

Lösung:

(c) Berechne die neuen Geschwindigkeiten \(\vec{v}'_1\) und \(\vec{v}'_2\), wenn zwei Massen folgende Werte haben: \(m_1 = 2 \text{ kg}\), \(m_2 = 3 \text{ kg}\), \(\vec{v}_1 = (3, 4) \text{ m/s}\) und \(\vec{v}_2 = (-1, 2) \text{ m/s}\). Verwende sowohl den Impulserhaltungssatz als auch den Energieerhaltungssatz (\text{Hinweis: für eine elastische Kollision gilt zusätzlich die Erhaltung der kinetischen Energie}). Zeige alle notwendigen Berechnungen.Um die neuen Geschwindigkeiten zu berechnen, nutzen wir den Impulserhaltungssatz und den Energieerhaltungssatz:

• Der Gesamtimpuls vor der Kollision ist:

\[\vec{P} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2\]

• Setzen wir die Werte ein:

\[\vec{P} = 2 \text{ kg} \cdot (3 \text{ m/s}, 4 \text{ m/s}) + 3 \text{ kg} \cdot (-1 \text{ m/s}, 2 \text{ m/s})\]\[\vec{P} = (6, 8) \text{ kg m/s} + (-3, 6) \text{ kg m/s}\]\[\vec{P} = (3, 14) \text{ kg m/s}\]

• Der Gesamtimpuls nach der Kollision ist:

\[\vec{P}' = m_1 \vec{v}'_1 + m_2 \vec{v}'_2\]

• Aus dem Impulserhaltungssatz folgt:

\[2 \vec{v}'_1 + 3 \vec{v}'_2 = (3, 14)\]

• Für die x-Komponente erhalten wir:

\[2 v'_{1x} + 3 v'_{2x} = 3\]

• Für die y-Komponente erhalten wir:

\[2 v'_{1y} + 3 v'_{2y} = 14\]

• Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die gesamte kinetische Energie vor und nach der Kollision gleich ist:

\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v'^2_1 + \frac{1}{2} m_2 v'^2_2\]

• Setzen wir die Werte ein:

\[\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (3^2 + 4^2) + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot ((-1)^2 + 2^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot ((v'_{1x})^2 + (v'_{1y})^2) + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot ((v'_{2x})^2 + (v'_{2y})^2)\]\[\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot ((v'_{1x})^2 + (v'_{1y})^2) + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot ((v'_{2x})^2 + (v'_{2y})^2)\]\[25 + 7.5 = (v'_{1x})^2 + (v'_{1y})^2 + \frac{3}{2} ((v'_{2x})^2 + (v'_{2y})^2)\]

• Ein vereinfachtes Gleichungssystem ergibt:

\[32.5 = (v'_{1x})^2 + (v'_{1y})^2 + \frac{3}{2} ((v'_{2x})^2 + (v'_{2y})^2)\]

• Um die neuen Geschwindigkeiten \(\vec{v}'_1\) und \(\vec{v}'_2\) zu finden, muss das Gleichungssystem gelöst werden. Es kann nützlich sein, diese Gleichungen linear und nicht-linear zu lösen, eventuell durch numerische Methoden, da es mehrstufig ist.