Theoretical Physics 2 (Electrodynamics) - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Gauss’sches Gesetz für das elektrische FeldDas Gauss’sche Gesetz für das elektrische Feld beschreibt den Zusammenhang zwischen der elektrischen Ladung in einem Volumen und dem elektrischen Fluss durch die Oberfläche dieses Volumens. Es ist gegeben durch die Formel:

• Mathematische Formulierung: \[\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{innen}}}{\varepsilon_0}\]
• \(\mathbf{E}\): Elektrische Feldstärke
• \(\mathrm{d}\mathbf{A}\): Oberflächenelement
• \(Q_{\text{innen}}\): Eingeschlossene Ladung
• \(\varepsilon_0\): Elektrische Feldkonstante
• Anwendung: Berechnung von elektrischen Feldern bei symmetrischen Ladungsverteilungen

a)

Teilaufgabe ABerechne das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) aufgrund einer punktförmigen Ladung \(Q\), die sich im Mittelpunkt einer kugelförmigen Oberfläche mit Radius \(R\) befindet. Gehe von einer Vakuumumgebung aus.

Lösung:

Teilaufgabe A: Berechnung des elektrischen Felds \(\mathbf{E}\) aufgrund einer Punktladung \(Q\) im Mittelpunkt einer kugelförmigen Oberfläche

Um das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) aufgrund einer punktförmigen Ladung \(Q\), die sich im Mittelpunkt einer kugelförmigen Oberfläche mit Radius \(R\) befindet, zu berechnen, können wir das Gauss'sche Gesetz anwenden und die Symmetrien der Kugel nutzen.

Schritte zur Lösung:

• Wähle eine gauss'sche Fläche, die mit der symmetrischen Ladungsverteilung kongruent ist. In diesem Fall ist eine kugelförmige Oberfläche mit Radius \(R\) sinnvoll, da die Ladung im Zentrum der Kugel platziert ist.
• Schreibe das Gauss'sche Gesetz auf:
• \[\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{innen}}}{\varepsilon_0}\]
• Aufgrund der Symmetrie des Problems ist das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) auf der gesamten Kugeloberfläche mit Radius \(R\) überall gleich und radial. Daher können wir \(\mathbf{E}\) als konstant annehmen.
• Der Ausdruck \(\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}\) lässt sich vereinfachen zu \(E \cdot A\), wobei \(A\) die Gesamtfläche der Kugel ist. Hierbei wissen wir, dass \(A = 4\pi R^{2}\).
• \[E \cdot 4\pi R^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\]
• Löse diese Gleichung nach \(E\) auf:
• \[E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^{2}}\]
• Das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) aufgrund einer punktförmigen Ladung \(Q\), die sich im Mittelpunkt einer Kugeloberfläche mit Radius \(R\) befindet, ist somit gegeben durch:
• \[\mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^{2}} \hat{r}\]
• Hierbei ist \(\hat{r}\) ein Einheitsvektor, der radial nach außen zeigt.

Zusammenfassend ergibt sich, unter Berücksichtigung der kugelförmigen Symmetrie und Anwendung des Gauss'schen Gesetzes, dass das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) aufgrund einer punktförmigen Ladung \(Q\) am Mittelpunkt einer Kugel mit Radius \(R\) gegeben ist durch:\[\mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^{2}} \hat{r}\]

b)

Teilaufgabe BBetrachte eine unendliche gleichmäßig geladene Ebene mit Flächenladungsdichte \(\sigma\). Berechne das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in einem Abstand \(d\) von der Ebene. Nutze dabei die Symmetrie des Problems und das Gauss’sche Gesetz.

Lösung:

Teilaufgabe B: Berechnung des elektrischen Felds \(\mathbf{E}\) aufgrund einer unendlichen gleichmäßig geladenen Ebene mit Flächenladungsdichte \(\sigma\)

Um das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) aufgrund einer unendlichen gleichmäßig geladenen Ebene mit Flächenladungsdichte \(\sigma\) in einem Abstand \(d\) von der Ebene zu berechnen, nutzen wir die Symmetrie des Problems und das Gauss’sche Gesetz.

Schritte zur Lösung:

• Da die Ebene unendlich und gleichmäßig geladen ist, ist das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in jedem Punkt senkrecht zur Ebene und hat dieselbe Stärke in gleicher Entfernung von der Ebene auf beiden Seiten.
• Wählen wir eine geeignete gauss'sche Fläche: Ein Zylinder (Gaussian Pillbox) ist aufgrund der Planarsymmetrie der Fläche sinnvoll. Der Zylinder sollte so platziert werden, dass seine Grundflächen parallel zur geladenen Ebene sind und er sich zu gleichen Teilen auf beiden Seiten der Ebene erstreckt.
• Die Höhe des Zylinders beträgt 2\(d\), und die beiden Grundflächen haben eine Fläche von \(A\).
• Die Flächenladungsdichte \(\sigma\) beschreibt die Ladung pro Flächeneinheit:
• \[Q_{\text{innen}} = \sigma A\]
• Das Gauss'sche Gesetz lautet:
• \[\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{innen}}}{\varepsilon_0}\]
• Da das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) senkrecht zur Fläche steht und in beiden Grundflächen in die gleiche Richtung zeigt, integriert sich der Fluss über die Seitenflächen des Zylinders zu null, und der Beitrag der beiden Grundflächen summiert sich zu:
• \[2E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\]
• Die Fläche \(A\) kürzt sich heraus und wir erhalten:
• \[2E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\]
• Teilen durch 2 ergibt das elektrische Feld:
• \[E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\]
• Das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in einem Abstand \(d\) von einer unendlichen gleichmäßig geladenen Ebene ist daher unabhängig von der Entfernung \(d\) und gegeben durch:
• \[\mathbf{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}\]
• Hierbei ist \(\hat{n}\) ein Einheitsvektor, der senkrecht zur Ebene steht und von ihr weg zeigt.

Zusammenfassend ergibt sich, dass das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in einem Abstand \(d\) von einer unendlichen gleichmäßig geladenen Ebene mit Flächenladungsdichte \(\sigma\) gegeben ist durch:\[\mathbf{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}\]

c)

Teilaufgabe CFinde das elektrische Feld innerhalb und außerhalb einer gleichmäßig geladenen Kugelschale mit Gesamtladung \(Q\) und Radius \(R\). Beschreibe, wie sich das elektrische Feld an der Oberfläche der Kugelschale verhält.

Lösung:

Teilaufgabe C: Berechnung des elektrischen Felds innerhalb und außerhalb einer gleichmäßig geladenen Kugelschale

Um das elektrische Feld innerhalb und außerhalb einer gleichmäßig geladenen Kugelschale mit Gesamtladung \(Q\) und Radius \(R\) zu berechnen, wenden wir das Gauss'sche Gesetz an.

Schritte zur Lösung:

• Wir betrachten zwei Fälle: innerhalb der Kugelschale (\(r < R\)) und außerhalb der Kugelschale (\(r \geq R\)).

1. Innerhalb der Kugelschale (\(r < R\)):

• Wählen wir eine kugelförmige gauss'sche Fläche mit Radius \(r\), die sich innerhalb der Kugelschale befindet.
• Innerhalb der Kugelschale gibt es keine eingeschlossene Ladung (\(Q_\text{innen} = 0\)).
• Das Gauss'sche Gesetz lautet:
• \[\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{innen}}}{\varepsilon_0} = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0\]
• Da der linke Ausdruck des Gauss'schen Gesetzes null ist, erhalten wir:
• \[E \cdot 4\pi r^2 = 0\]
• Daraus folgt:
• \[E = 0\]
• Das elektrische Feld innerhalb der Kugelschale ist also null.

2. Außerhalb der Kugelschale (\(r \geq R\)):

• Wählen wir eine kugelförmige gauss'sche Fläche mit Radius \(r\), die sich außerhalb der Kugelschale befindet.
• Die gesamte Ladung \(Q\) ist eingeschlossen.
• Das Gauss'sche Gesetz lautet:
• \[\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\]
• Aufgrund der Symmetrie ist das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) überall auf der Oberfläche der gauss'schen Fläche gleich und radial:
• \[E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}\]
• Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir:
• \[E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\]
• Das elektrische Feld außerhalb der Kugelschale verhält sich also wie das Feld einer Punktladung \(Q\) am Zentrum.

Verhalten des elektrischen Felds an der Oberfläche der Kugelschale (\(r = R\)):

• Da das elektrische Feld innerhalb der Kugelschale null ist und außerhalb durch \(E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}\) gegeben ist, folgt, dass das elektrische Feld an der Oberfläche der Kugelschale genau diesen Wert hat:
• \[E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}\]
• Abgesehen davon gibt es kein abruptes Übergangs- oder Singularverhalten, weil das Feld innerhalb der Schale null ist und außerhalb kontinuierlich vom oben berechneten Wert fortgesetzt wird.

Zusammenfassend ergibt sich:

• Innerhalb der Kugelschale:\[\mathbf{E} = 0\]
• Außerhalb der Kugelschale:\[\mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \hat{r}\]
• \(\hat{r}\) ist ein Einheitsvektor, der radial von der Mitte der Kugelschale zeigt.
• An der Oberfläche der Kugelschale:\[E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}\]

d)

Teilaufgabe DEin zylinderförmiger Leiter mit unendlicher Länge besitzt eine lineare Ladungsdichte \(\lambda\). Berechne das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in einem Abstand \(r\) von der Achse des Zylinders. Nutze das Gauss’sche Gesetz für die Berechnung.

Lösung:

Teilaufgabe D: Berechnung des elektrischen Felds \(\mathbf{E}\) eines zylinderförmigen Leiters mit unendlicher Länge und linearer Ladungsdichte \(\lambda\)

Um das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in einem Abstand \(r\) von der Achse eines zylinderförmigen Leiters mit unendlicher Länge und linearer Ladungsdichte \(\lambda\) zu berechnen, nutzen wir das Gauss’sche Gesetz.

Schritte zur Lösung:

• Betrachte einen zylinderförmigen Leiter mit unendlicher Länge und einer linearen Ladungsdichte \(\lambda\) (Ladung pro Längeneinheit).
• Wähle eine geeignete gauss'sche Fläche: In diesem Fall ist ein Zylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(L\), der koaxial zur Achse des Leiters ist, sinnvoll.

Gauss'sche Fläche:

• Der zylindrische Gauss'sche Zylinder hat eine Oberfläche, die aus der Mantelfläche und den beiden Basen besteht:
• Der elektrische Fluss durch die Basen des Zylinders ist null, da das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) parallel zu den Basen verläuft.
• Der Fluss durch die Mantelfläche des Zylinders entspricht dem Produkt aus der Feldstärke \(E\) und der Mantelfläche \(A\) des Zylinders:
• \[\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = E \times 2\pi r L\]
• Nutzen wir das Gauss'sche Gesetz:
• \[\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{innen}}}{\varepsilon_0}\]
• Die eingeschlossene Ladung ist die Gesamtladung \(Q\) innerhalb des Zylinders:
• \[Q_{\text{innen}} = \lambda L\]
• Setzen wir dies in das Gauss'sche Gesetz ein:
• \[E \times 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\]
• Durch Kürzen von \(L\) ergibt sich:
• \[E \times 2\pi r = \frac{\lambda}{\varepsilon_0}\]
• Löse diese Gleichung nach \(E\) auf:
• \[E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}\]
• Das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in einem Abstand \(r\) von der Achse eines zylinderförmigen Leiters mit unendlicher Länge und linearer Ladungsdichte \(\lambda\) ist somit gegeben durch:
• \[\mathbf{E} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}\hat{r}\]
• Hierbei ist \(\hat{r}\) ein Einheitsvektor, der radial von der Achse des Zylinders nach außen zeigt.

Zusammenfassend ergibt sich, dass das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in einem Abstand \(r\) von der Achse eines zylinderförmigen Leiters mit unendlicher Länge und linearer Ladungsdichte \(\lambda\) gegeben ist durch:

• \[\mathbf{E} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}\hat{r}\]

Aufgabe 3)

Gegeben sind die Wellengleichungen für das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) und das magnetische Feld \(\mathbf{B}\) in einem vakuumierten Raum:

• \[\Delta \mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0\]
• \[\Delta \mathbf{B} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0\]

Hierbei ist \(c\) die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.