Theoretical Physics 3 (Quantum Mechanics) - Cheatsheet.pdf

Superpositionsprinzip und Kohärenz

Definition:

Das Superpositionsprinzip beschreibt die Überlagerung von Quantenzuständen, während Kohärenz die phasengleiche Überlagerung dieser Zustände darstellt.

Details:

• Superpositionsprinzip: Ein System kann in einer Überlagerung von Eigenzuständen sein.
• Mathematisch: \[ \left| \psi \right> = \sum_i c_i \left| \phi_i \right> \]
• Kohärenz: Erhaltung der festen Phasenbeziehung zwischen Zuständen.
• Verlust von Kohärenz: Dekohärenz, oft durch Wechselwirkung mit der Umgebung.

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Definition:

Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Systems.

Details:

• Grundgleichung der Quantenmechanik für nicht-stationäre Zustände.
• Differentialgleichung: \[ i\frac{\text{d}}{\text{d}t} |\text{Ψ}(t)\rangle = \text{H} |\text{Ψ}(t)\rangle,\]
• \( |\text{Ψ}(t)\rangle \): Zustandsvektor (Wellenfunktion).
• \( \text{H} \): Hamiltonoperator (Gesamtenergie des Systems).
• \( i \): Imaginäre Einheit.
• Lösung: \[ |\text{Ψ}(t)\rangle = e^{-\frac{it}{\text{ħ}} \text{H}} |\text{Ψ}(0)\rangle, \]
• \( \text{ħ} \): Plancksches Wirkungsquantum \( (\text{ħ} = h/2\text{π}) \).

Bell'sche Ungleichungen und ihre Bedeutung

Definition:

Bell'sche Ungleichungen testen lokale Realismus-Theorien gegen die Vorhersagen der Quantenmechanik.

Details:

• Zeigen Unterschiede zwischen Quantenmechanik und klassischer Physik
• Experimente bestätigen Verletzungen der Ungleichungen, unterstützen Quantenverschränkung
• Lokaler Realismus: Annahme, dass Eigenschaften von Teilchen unabhängig von Messungen existieren und keine Signalübertragung schneller als Licht möglich ist
• Mathematische Form: \[|E(a,b) + E(a,b') + E(a',b) - E(a',b')| \leq 2\]
• Bezug zu EPR-Paradoxon und Quantenverschränkung

Definition und Berechnung von Erwartungswerten

Definition:

Erwartungswert: Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Beobachtungsgröße.

Details:

• Für eine Observable \(\hat{A}\) in Zustand \(\vert \psi \rangle\) ist der Erwartungswert \( \langle \hat{A} \rangle = \langle \psi \vert \hat{A} \vert \psi \rangle \)
• Orthogonalitätsrelation: \( \sum_{i} \vert \phi_i \rangle \langle \phi_i \vert = \mathbb{I} \)
• Integralform: \( \langle \hat{A} \rangle = \int \psi^*(x) \hat{A} \psi(x) dx \)
• Diskretisierte Form: \( \langle \hat{A} \rangle = \sum_{i} \vert c_i \vert^2 a_i \), wobei \( a_i \) Eigenwerte sind

Kommutatoren und deren Bedeutung

Definition:

Mathematischer Ausdruck der Nichtvertauschbarkeit von zwei Operatoren in der Quantenmechanik: \( [A, B] = AB - BA \).

Details:

• Essentiell zur Beschreibung der Unsicherheitsrelationen.
• Falls \( [A, B] = 0 \): A und B kommutieren, gleichzeitig messbar.
• Wichtige Anwendungen: Heisenbergsche Unschärferelation, Ermittlung von Eigenwerten und Eigenzuständen.
• Beispiel: Positions- und Impulsoperator \( [x, p] = i\bar{h} \).

Energieeigenwerte und Eigenzustände

Definition:

In der Quantenmechanik sind Eigenzustände und Energieeigenwerte Lösungen der Schrödingergleichung, die stationäre Zustände des Systems beschreiben.

Details:

• Eigenwertgleichung: \( H \psi = E \psi \)
• \( H \): Hamiltonoperator
• \( \psi \): Eigenzustand (Eigenfunktion)
• \( E \): Energieeigenwert
• Eigenwertproblem: Bestimmung von \( E \) und \( \psi \) für gegebene \( H \)
• Diskrete und kontinuierliche Spektren möglich
• Für normale Operatoren gilt: Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
• Normalization: \[ \int |\psi|^2 \, dx = 1 \]

Experimentelle Nachweise der Quantenverschränkung

Definition:

Experimentelle Nachweise der Quantenverschränkung überprüfen die quantenmechanische Vorhersage, dass verschränkte Teilchen korrelierte Zustände besitzen, auch wenn sie räumlich getrennt sind.

Details:

• Bohm'sches EPR-Experiment: Überprüfung durch Spin-Korrelationsmessungen.
• Aspect-Experiment (1982): Polarisationskorrelationen von Photonen.
• Bell'sche Ungleichungen: Verletzung zeigt Nicht-Lokalität und Inkompatibilität mit klassischer Physik.
• Heutige Experimente: Höhere Präzision, Schließen von Schlupflöchern.

Quantenobjekte: Quantenoperatoren und ihre Anwendungen

Definition:

Operatoren wirken auf Zustände im Hilbertraum, repräsentieren Observablen.

Details:

• Eigenwertgleichung: \( \hat{O} \psi = o \psi \)
• Erwartungswert: \( \langle \psi | \hat{O} | \psi \rangle \)
• Arten von Operatoren: hermitesch (Observablen), unitär (Zeitentwicklung), projektiv (Messung)
• Wichtige Anwendungen: Heisenberg'sche Unschärferelation, Quantisierung von Systemen, Beschreibung von Messprozessen.