Theoretical Physics 4A (Thermodynamics and Statistical Mechanics) - Cheatsheet.pdf

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Energieerhaltung)

Definition:

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Gesamtenergie eines geschlossenen Systems konstant bleibt – Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden, nur umgewandelt.

Details:

• Mathematische Formulierung: \( \Delta U = Q - W \)
• \( \Delta U \): Änderung der inneren Energie eines Systems
• \( Q \): Zugeführte Wärme
• \( W \): Vom System geleistete Arbeit
• Thermodynamisches Gleichgewicht vorausgesetzt
• Berücksichtigt beide Energieformen: Wärme und Arbeit

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik (Entropie und irreversible Prozesse)

Definition:

∆S ≥ 0 für abgeschlossene Systeme, Entropie nimmt zu oder bleibt konstant. Irreversibilität kennzeichnet reale Prozesse.

Details:

• Entropie, S, Maß für Unordnung
• ∆S = δQ/T (bei reversiblen Prozessen)
• Entropiezunahme bei irreversiblen Prozessen
• Satz von Clausius: Es gibt keinen Prozess, dessen einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem kälteren auf einen wärmeren Körper ist.
• Satz von Kelvin-Planck: Es ist unmöglich, eine zyklische Maschine zu bauen, deren einzige Wirkung die Umwandlung von Wärme in Arbeit ist.

Boltzmann-Verteilung und statistische Interpretation der Entropie

Definition:

Bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass ein System in einem bestimmten Zustand ist. Stellt Verbindung zwischen Mikrozuständen und Makrogrößen her.

Details:

• Boltzmann-Verteilung: \( P(E_i) = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z} \), mit \( \beta = \frac{1}{k_B T} \)
• Partitionfunktion (Z): \( Z = \sum_i e^{-\beta E_i} \)
• Entropie (S): \( S = k_B \ln \Omega \), mit \( \Omega \) Anzahl der Mikrozustände.
• Freie Energie (F): \( F = -k_B T \ln Z \)
• Maximierung der Entropie im Gleichgewichtszustand

Thermodynamische Potentiale (freie Energie, Enthalpie, Gibbs-Energie)

Definition:

Thermodynamische Potentiale dienen zur Beschreibung von Systemen im thermodynamischen Gleichgewicht und zur Berechnung von Gleichgewichtszuständen.

Details:

• Freie Energie (Helmholtz-Energie, \(F\)): \[ F = U - TS \] Verwendet bei konstantem Volumen und Temperatur.
• Enthalpie (\(H\)): \[ H = U + pV \] Verwendet bei konstantem Druck und Temperatur.
• Gibbs-Energie (\(G\)): \[ G = H - TS = U + pV - TS \] Verwendet bei konstantem Druck und Temperatur, wichtig für chemische Reaktionen und Phasenübergänge.
• Zusammenhänge: \( \Delta G < 0 \) spontane Prozesse, \( \Delta G = 0 \) Gleichgewicht.

Phasenübergänge und kritische Phänomene

Definition:

Phasenübergänge: Änderung des Aggregatzustandes. Kritische Phänomene: Verhalten physikalischer Größen in der Nähe des kritischen Punktes.

Details:

• Erster Ordnung: Sprunghafte Änderung der Ordnungsparameter (z. B. Schmelzen, Verdampfen)
• Zweiter Ordnung: Stetige Änderungen, jedoch divergierende Suszeptibilitäten und Korrelationen (z. B. Ferromagnetismus bei der Curie-Temperatur)
• Freie Energie: \( F = U - T S \)
• Kritische Exponenten: Beschreiben das Verhalten physikalischer Größen nah am kritischen Punkt, z. B. \( \beta, u, \rho \)
• Skalengesetze und universelles Verhalten: Physikalische Systeme zeigen ähnliche kritische Exponenten unabhängig von mikroskopischen Details

Kanonische und grandkanonische Ensemble in der statistischen Mechanik

Definition:

Verwendung in der statistischen Mechanik zur Beschreibung von Vielteilchensystemen. Kanonisch: Konstante Teilchenzahl, Volumen und Temperatur. Grandkanonisch: Konstante Temperatur, Volumen und chemisches Potential, erlaubt Teilchenaustausch.

Details:

• Kanonisches Ensemble: Wahrscheinlichkeit \(P(E) = \frac{g(E) e^{- \beta E}}{Z}\), mit Zustandssumme \(Z = \sum_{i} g(E_i) e^{-\beta E_i}\) und \(\beta = \frac{1}{k_B T}\)
• Grandkanonisches Ensemble: Wahrscheinlichkeit \(P(E, N) = \frac{g(E, N) e^{-\beta (E - \mu N)}}{\Xi}\), mit Großkanonische Zustandssumme \(\Xi = \sum_{i,j} g(E_i, N_j) e^{-\beta (E_i - \mu N_j)}\) und \(\mu\) chemisches Potential
• Partitionfunktionen bestimmen thermodynamische Größen wie Energie und Druck

Wärmekapazitäten und deren Temperaturabhängigkeit

Definition:

Wärmekapazität beschreibt die Fähigkeit eines Systems, Wärmeenergie zu speichern. Es gibt zwei Haupttypen: spezifische Wärmekapazität (bei konstantem Druck, c_p) und molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen (c_v).

Details:

• Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck: \(c_p = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_p\)
• Schlagend: \(Q = mc_p\Delta T\)
• Molale Wärmekapazität bei konstantem Volumen: \(c_v = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_v\)
• Schlagend: \(Q = nc_v\Delta T\)
• Relatierte Zustandsgleichungen: \(c_p - c_v = nR\) (für ideale Gase)
• Temperaturabhängigkeiten: Wärmekapazitäten ändern sich mit der Temperatur, besonders bei Phasenübergängen (z.B. Schmelzen, Verdampfen).

Fluktuationen und Korrelationen in thermodynamischen Systemen

Definition:

Betrachten kurzfristige Abweichungen von thermodynamischen Größen von ihren Mittelwerten und wie diese Abweichungen miteinander verknüpft sind.

Details:

• Gamma-Verteilung für Fluktuationen: \(\Delta E = E - \langle E \rangle\)
• Wahrscheinlichkeit für Fluktuationen: \(P(\Delta E) \propto e^{-\frac{(\Delta E)^2}{2k_BT^2C}}\)
• Korrelationen beschreiben das Ausmaß, zu dem zwei Variablen synchron variieren: Korrelationsfunktion \(C_{ij}(t) = \langle \Delta A_i(t)\Delta A_j(0) \rangle\)
• Fluktuations-Dissipations-Theorem verknüpft Fluktuationen mit Reaktionen des Systems auf äußere Störungen: \(\langle \Delta A^2 \rangle = k_BT \cdot \frac{\partial \langle A \rangle}{\partial B}\)