Chemische und thermische Verfahrenstechnik - Exam

Aufgabe 1)

Im Rahmen einer chemischen Produktionsanlage soll ein kontinuierlicher Rührkesselreaktor (CSTR) betrachtet werden. In diesem Reaktor findet die Umwandlung eines Eduktes A zu einem Produkt B durch eine exotherme Reaktion statt. Die Zuführung des Eduktes A erfolgt mit einer Konzentration von 2 mol/L und einem Volumenstrom von 1.5 L/s. Die Reaktionswärme beträgt -50 kJ/mol. Wärmeaustausch mit der Umgebung ist unter Vernachlässigung des Wärmeverlustes zu betrachten. Nehme an, dass die Dichte der Lösung konstant ist und 1 kg/L beträgt.

a)

Bestimme die Stoffbilanz für den CSTR unter stationären Betriebsbedingungen. Gehe davon aus, dass 80% des Eduktes A umgesetzt wird. Berechne den Austrag des Eduktes und des Produktes. Verwende die Gleichung: \[ \text{Eintrag} - \text{Austrag} = \text{Ansammlung} \]

Lösung:

Stoffbilanz für einen kontinuierlichen Rührkesselreaktor (CSTR)

Im Rahmen einer chemischen Produktionsanlage soll ein kontinuierlicher Rührkesselreaktor (CSTR) betrachtet werden. In diesem Reaktor findet die Umwandlung eines Eduktes A zu einem Produkt B durch eine exotherme Reaktion statt. Die Zuführung des Eduktes A erfolgt mit einer Konzentration von 2 mol/L und einem Volumenstrom von 1.5 L/s. Die Reaktionswärme beträgt -50 kJ/mol. Wärmeaustausch mit der Umgebung ist unter Vernachlässigung des Wärmeverlustes zu betrachten. Nehme an, dass die Dichte der Lösung konstant ist und 1 kg/L beträgt.

Subübung: Stoffbilanz unter stationären Betriebsbedingungen

Wir sollen die Stoffbilanz für den CSTR unter stationären Betriebsbedingungen bestimmen. Unter der Annahme, dass 80% des Eduktes A umgesetzt wird, berechnen wir den Austrag des Eduktes A und des Produktes B. Verwende die Gleichung:

Gleichung: \[ \text{Eintrag} - \text{Austrag} = \text{Ansammlung} \]

Da unter stationären Bedingungen die Ansammlung gleich null ist, vereinfacht sich die Gleichung zu:

\( \text{Eintrag} - \text{Austrag} = 0 \)

Berechnungen:

• Eintrag: Der Eintrag von Edukt A erfolgt mit einer Konzentration von 2 mol/L und einem Volumenstrom von 1.5 L/s. Der molare Eintragsstrom von A ist somit:

Der molare Eintragsstrom von A ist somit:

\( 2\text{ mol/L} \times 1.5\text{ L/s} = 3\text{ mol/s} \)

• Austrag von Edukt A: Da 80% von A umgesetzt wird, verbleiben 20% von A. Der Austrag von A beträgt also:

\( 3\text{ mol/s} \times (1 - 0.80) = 3\text{ mol/s} \times 0.20 = 0.6 \text{ mol/s} \)

• Austrag von Produkt B: Da für jedes Molekül A, das reagiert, ein Molekül B gebildet wird, beträgt der Austrag von B:

\( 3\text{ mol/s} \times 0.80 = 2.4 \text{ mol/s} \)

Zusammenfassung:

• Austrag von Edukt A: 0.6 mol/s
• Austrag von Produkt B: 2.4 mol/s

Diese Berechnungen zeigen die Stoffbilanz für den CSTR unter stationären Bedingungen, wobei 80% des Eduktes A umgesetzt werden.

b)

Berechne die Energiebilanz des Systems. Ermittele die freigesetzte Wärme (\text{Q}) und die Änderung der Enthalpie (\text{H}). Annahmen: 1. Wärmekapazität der Lösung: 4.18 kJ/(kg·K)2. Anfangstemperatur der Lösung: 25°C3. Die Temperatur des Reaktors steigt aufgrund der exothermen Reaktion um 10°C. Verwende die Gleichung: \[ \text{Energiezufuhr} - \text{Energieabfuhr} = \text{Energieänderung} \] Denke daran, die thermodynamischen Gesetze zu berücksichtigen.

Lösung:

Energiebilanz für einen kontinuierlichen Rührkesselreaktor (CSTR)

Um die Energiebilanz des Systems zu berechnen, müssen wir die freigesetzte Wärme (\text{Q}) und die Änderung der Enthalpie (\text{H}) ermitteln. Die Annahmen sind:

• Wärmekapazität der Lösung: 4.18 kJ/(kg·K)
• Anfangstemperatur der Lösung: 25°C
• Die Temperatur des Reaktors steigt aufgrund der exothermen Reaktion um 10°C

Verwende die Gleichung:

\[ \text{Energiezufuhr} - \text{Energieabfuhr} = \text{Energieänderung} \]

Berechnungen:

1. Freigesetzte Wärme (Q):

Die Reaktionswärme beträgt -50 kJ/mol. Da pro Sekunde 2.4 mol des Eduktes A (80% von 3 mol/s) umgesetzt werden, ergibt sich die freigesetzte Wärme pro Sekunde:

\[ Q = 2.4\text{ mol/s} \times -50\text{kJ/mol} = -120\text{ kJ/s} \]

2. Änderung der Enthalpie (H):

Die Änderung der Enthalpie kann durch die Änderung der Temperatur und die Wärmekapazität der Lösung berechnet werden. Die Volumenstromrate beträgt 1.5 L/s und die Dichte der Lösung ist 1 kg/L, also ist die Massenstromrate:

\[ \dot{m} = 1.5\text{ L/s} \times 1\text{ kg/L} = 1.5\text{ kg/s} \]

Die Temperaturänderung \(\Delta T\) beträgt 10°C. Die Änderung der Enthalpie pro Sekunde ist dann:

\[ \Delta H = \dot{m} \times c_p \times \Delta T \]

Wobei \( c_p \) die spezifische Wärmekapazität ist.

\[ \Delta H = 1.5\text{ kg/s} \times 4.18\text{ kJ/(kg·K)} \times 10\text{ K} = 62.7\text{ kJ/s} \]

Zusammenfassung:

• Freigesetzte Wärme (\( Q \)): -120 kJ/s
• Änderung der Enthalpie (\( \Delta H \)): 62.7 kJ/s

Die oben angegebenen Berechnungen berücksichtigen die thermodynamischen Gesetze und zeigen die Energiebilanz für den kontinuierlichen Rührkesselreaktor (CSTR).

Aufgabe 2)

Ein neu gegründetes Chemieunternehmen möchte eine Produktionsanlage für eine chemische Substanz einrichten, die sowohl in geringen Mengen für Experimente als auch in großen Mengen für die industrielle Produktion genutzt werden kann. Die Reaktion zur Herstellung dieser Substanz ist stark exotherm und benötigt eine effektive Wärmeabfuhr. Zudem soll die Anlage flexibel auf Änderungen in den Produktionsbedingungen reagieren können. Ordne den geeigneten Reaktortypen zur Anlagenkonzeption zu und begründe die Wahl.

a)

Analysiere, welcher Reaktortyp am besten für die Kleinproduktion und Experimente geeignet ist. Erläutere die Merkmale dieses Reaktors und warum er sich für diese Anwendung eignet.

Lösung:

Für die Kleinproduktion und Experimente ist ein Batch-Reaktor am besten geeignet. Hier sind die Merkmale und Gründe, warum dieser Reaktortyp für kleine Produktionsmengen und Experimente ideal ist:

• Flexibilität: Ein Batch-Reaktor erlaubt es, die Reaktionsbedingungen einfach anzupassen. Dies ist besonders wichtig für Experimente, bei denen verschiedene Parameter wie Temperatur, Druck und Konzentration variiert werden müssen.
• Kontrolle: Aufgrund des geschlossenen Systems in einem Batch-Reaktor kann der Betreiber die Reaktionszeit präzise steuern und die Reaktion unterbrechen, falls notwendig. Dies ist besonders bei stark exothermen Reaktionen wichtig, um eine Überhitzung zu vermeiden.
• Einfachheit: Batch-Reaktoren sind konstruktiv einfacher und kostengünstiger im Vergleich zu kontinuierlichen Reaktoren. Dies ist vorteilhaft für ein neu gegründetes Unternehmen, das zuerst kleine Mengen produziert.
• Anpassungsfähigkeit: Für unterschiedliche Experimente und Mengen kann derselbe Batch-Reaktor verwendet werden, was eine flexible Nutzung der Anlage ermöglicht. Dies ist ideal für die Forschung und Entwicklung neuer Prozesse und Produkte.
• Grad der Durchmischung: Batch-Reaktoren bieten eine gute Durchmischung der Reaktanden, was zu einer homogenen Reaktionsumgebung führt und somit konsistente Ergebnisse liefert.
• Sicherheitsaspekte: Bei exothermen Reaktionen kann die Temperatur durch Kühlvorrichtungen leicht kontrolliert werden, was die Sicherheit erhöht.

Aufgrund dieser Merkmale ist der Batch-Reaktor die bevorzugte Wahl für die Kleinproduktion und Experimente in einem neu gegründeten Chemieunternehmen.

b)

Ermittle, welcher Reaktortyp ideal für die großvolumige industrielle Produktion der Substanz ist. Diskutiere die Vor- und Nachteile dieses Reaktors im Kontext der kontinuierlichen Herstellung.

Lösung:

Für die großvolumige industrielle Produktion der chemischen Substanz ist ein kontinuierlicher Durchflussreaktor, genauer gesagt ein Rohrreaktor (PFR - Plug Flow Reactor), am besten geeignet. Hier sind die Vor- und Nachteile dieses Reaktortyps im Kontext der kontinuierlichen Herstellung:

• Vorteile:
  • Kontinuierlicher Betrieb: Ein Rohrreaktor ermöglicht eine stetige Produktion, was die Effizienz und den Durchsatz erhöht. Dies ist ideal für die industrielle Produktion, die große Mengen an Substanz benötigt.
  • Effektive Wärmeabfuhr: Da die Reaktanden kontinuierlich durch den Reaktor fließen, kann die Temperatur besser kontrolliert und die Wärmeabfuhr effizienter gestaltet werden. Dies ist besonders wichtig für stark exotherme Reaktionen, um Überhitzung zu vermeiden.
  • Gleichmäßige Reaktionsbedingungen: Im Rohrreaktor herrscht eine gleichmäßige Verteilung der Reaktanden, was zu einer konsistenteren Produktqualität führt.
  • Hohe Produktionskapazität: Rohrreaktoren können so dimensioniert werden, dass sie große Volumina verarbeiten, was für die industrielle Produktion vorteilhaft ist.
• Nachteile:
  • Komplexere Steuerung: Die kontinuierliche Natur des Rohrreaktors erfordert eine präzise Steuerung und Überwachung, was zu höherem technischen Aufwand und Kosten führen kann.
  • Weniger Flexibilität: Im Vergleich zu Batch-Reaktoren sind Rohrreaktoren weniger flexibel bei Änderungen der Produktionsbedingungen oder bei der Durchführung von Experimenten.
  • Hohe Initialkosten: Die Einrichtung eines Rohrreaktors kann teurer sein als die eines Batch-Reaktors, da die Infrastruktur und die technischen Anforderungen höher sind.
  • Wärmeverteilung: Bei sehr exothermen Reaktionen kann die gleichmäßige Wärmeverteilung eine Herausforderung darstellen und erfordert spezielle Kühlsysteme.

Im Kontext der industriellen Großproduktion überwiegen jedoch die Vorteile eines Rohrreaktors, insbesondere hinsichtlich der Produktivität und Effizienz. Aufgrund der effektiven Wärmeabfuhr und der Möglichkeit für kontinuierlichen Betrieb ist der Rohrreaktor die bevorzugte Wahl für eine großvolumige industrielle Produktion der chemischen Substanz.

c)

Da die Reaktion exotherm ist, wird ein effizientes Wärmemanagement benötigt. Erkläre, welcher Reaktor unter dieser Voraussetzung am besten geeignet wäre und welche Maßnahmen zur Wärmeabfuhr getroffen werden könnten.

Lösung:

Für eine stark exotherme Reaktion ist ein kontinuierlicher Rührkesselreaktor (CSTR - Continuous Stirred Tank Reactor) am besten geeignet. Dieser Reaktortyp ermöglicht ein effektives Wärmemanagement. Hier sind die Gründe und die spezifischen Maßnahmen zur Wärmeabfuhr, die getroffen werden könnten:

• Geeignetheit des CSTR:
  • Durchmischung: Ein CSTR bietet eine gleichmäßige Durchmischung, was zu einer homogenen Reaktionsmasse führt und Hotspots vermeidet.
  • Temperaturkontrolle: Ein CSTR ermöglicht eine präzise Temperaturkontrolle durch kontinuierliche Wärmeabfuhr, was bei exothermen Reaktionen besonders wichtig ist.
  • Flexibilität: Der Reaktor kann leicht auf Änderungen in den Produktionsbedingungen reagieren, da die Reaktionsbedingungen kontinuierlich überwacht und angepasst werden können.
• Maßnahmen zur Wärmeabfuhr:
  • Kühlmäntel: Ein CSTR kann mit einem Kühlmantel ausgestattet werden, durch den ein Kühlmittel zirkuliert, um die Wärme abzuführen.
  • Innere Kühlschlangen: Zusätzlich zu äußeren Kühlmänteln können innere Kühlschlangen im Reaktor installiert werden, um die Wärme direkt aus dem Reaktionsgemisch abzuleiten.
  • Wärmetauscher: Externe Wärmetauscher können verwendet werden, um die Wärme des Reaktorgemischs auf ein anderes Fluid zu übertragen, welches dann abgekühlt wird.
  • Systemüberwachung: Die stetige Überwachung der Reaktortemperatur und die automatische Anpassung der Kühlmittelzufuhr können helfen, die Temperatur konstant zu halten.
  • Bitte für periodische Wartung: Regelmäßige Wartung und Überprüfung der Kühlsysteme stellen sicher, dass sie effizient arbeiten und keine Engpässe oder Ausfälle auftreten.

Zusammengefasst ist ein kontinuierlicher Rührkesselreaktor (CSTR) die beste Wahl für eine stark exotherme Reaktion, da er eine effektive Wärmeabfuhr und flexible Anpassungen der Reaktionsbedingungen ermöglicht. Die genannten Kühlmaßnahmen tragen dazu bei, eine sichere und effiziente Reaktionsführung zu gewährleisten.

Aufgabe 3)

Ein Chemieingenieur untersucht die Gleichgewichtskonstante einer bestimmten Reaktion bei zwei unterschiedlichen Temperaturen, um die Temperatureinflüsse auf die Gibbs'sche freie Energie zu analysieren. Die Reaktion lautet:

Die Enthalpieänderung (ΔH) und die Entropieänderung (ΔS) sind bekannt und betragen:

• ΔH = -50000 J/mol
• ΔS = -100 J/mol·K

Die Reaktion wird bei 298 K und 350 K untersucht. Der ideale Gaskonstante beträgt R = 8.314 J/mol·K.

a)

Berechne die Gibbs'sche freie Energie ΔG bei 298 K und 350 K. Zeige alle Schritte und formuliere die zu verwendenden Gleichungen.

Lösung:

Um die Gibbs'sche freie Energie \( \Delta G \) bei den beiden angegebenen Temperaturen zu berechnen, verwenden wir die folgende Gleichung:

• Gleichung zur Berechnung der Gibbs'schen freien Energie: \( \Delta G = \Delta H - T \Delta S \)

Die gegebenen Werte sind:

• \( \Delta H = -50000 \) J/mol
• \( \Delta S = -100 \) J/mol·K
• Temperaturen: \( T_1 = 298 \) K und \( T_2 = 350 \) K
• R, die ideale Gaskonstante: \( R = 8.314 \) J/mol·K

Berechnen wir \( \Delta G \) bei 298 K:

• \( T = 298 \) K
• \( \Delta G = \Delta H - T \Delta S \)
• \( \Delta G_{298} = -50000 - 298 \cdot (-100) \)
• \( \Delta G_{298} = -50000 + 29800 \)
• \( \Delta G_{298} = -20200 \) J/mol

Nun berechnen wir \( \Delta G \) bei 350 K:

• \( T = 350 \) K
• \( \Delta G = \Delta H - T \Delta S \)
• \( \Delta G_{350} = -50000 - 350 \cdot (-100) \)
• \( \Delta G_{350} = -50000 + 35000 \)
• \( \Delta G_{350} = -15000 \) J/mol

Daher beträgt die Gibbs'sche freie Energie:

• Bei 298 K: \( \Delta G = -20200 \) J/mol
• Bei 350 K: \( \Delta G = -15000 \) J/mol

b)

Berechne die Gleichgewichtskonstante K bei den beiden Temperaturen. Interpretiere die Ergebnisse und diskutiere, was dies für das Gleichgewicht der Reaktion bedeutet.

Lösung:

Um die Gleichgewichtskonstante \( K \) bei den beiden Temperaturen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung zwischen der Gibbs'schen freien Energie \( \Delta G \) und der Gleichgewichtskonstante \( K \). Die relevante Gleichung lautet:

• Gleichung zur Beziehung zwischen \( \Delta G \) und \( K \): \( \Delta G = -RT \ln K \)

Um das zu berechnen, leiten wir erst \( K \) aus dieser Gleichung ab:

• \( \Delta G = -RT \ln K \)
• \( \ln K = -\frac{\Delta G}{RT} \)
• \( K = e^{-\frac{\Delta G}{RT}} \)

Die gegebenen Werte sind:

• \( \Delta H = -50000 \) J/mol
• \( \Delta S = -100 \) J/mol·K
• Temperaturen: \( T_1 = 298 \) K und \( T_2 = 350 \) K
• R: \( R = 8.314 \) J/mol·K

Aus der vorherigen Berechnung wissen wir:

• \( \Delta G_{298} = -20200 \) J/mol
• \( \Delta G_{350} = -15000 \) J/mol

Nun berechnen wir \( K \) bei 298 K:

• Berechne \( \ln K_{298} \) :
• \( \ln K_{298} = -\frac{\Delta G_{298}}{R \cdot T_{298}} \)
• \( \ln K_{298} = -\frac{-20200}{8.314 \cdot 298} \)
• \( \ln K_{298} = \frac{20200}{2477.772} \)
• \( \ln K_{298} \approx 8.15 \)
• \( K_{298} = e^{8.15} \approx 3.48 \times 10^3 \)

Nun berechnen wir \( K \) bei 350 K:

• Berechne \( \ln K_{350} \) :
• \( \ln K_{350} = -\frac{\Delta G_{350}}{R \cdot T_{350}} \)
• \( \ln K_{350} = -\frac{-15000}{8.314 \cdot 350} \)
• \( \ln K_{350} = \frac{15000}{2909.9} \)
• \( \ln K_{350} \approx 5.15 \)
• \( K_{350} = e^{5.15} \approx 171.47 \)

Daher lauten die Gleichgewichtskonstanten:

• Bei 298 K: \( K_{298} \approx 3.48 \times 10^3 \)
• Bei 350 K: \( K_{350} \approx 171.47 \)

Interpretation der Ergebnisse:

• Die Gleichgewichtskonstante \( K_{298} \) bei 298 K ist viel größer als die Gleichgewichtskonstante \( K_{350} \) bei 350 K.
• Das hohe \( K_{298} \) bedeutet, dass bei 298 K die Produkte (C) stark favorisiert sind, d.h. das Gleichgewicht liegt weit auf der Produktseite.
• Das niedrigere \( K_{350} \) bei 350 K bedeutet, dass das Gleichgewicht bei dieser höheren Temperatur stärker in Richtung der Edukte (A und B) verschoben ist.
• Der Anstieg der Temperatur führt zu einem geringeren \( K \), was darauf hindeutet, dass die Reaktion exotherm ist, da das Gleichgewicht bei höheren Temperaturen zugunsten der Edukte verschoben wird (Le Chatelier's Prinzip).

Daher zeigt die Abnahme der Gleichgewichtskonstante mit steigender Temperatur, dass die Reaktion durch höhere Temperaturen gehemmt wird, was typisch für exotherme Reaktionen ist.

Aufgabe 4)

Angenommen, Du untersuchst eine bimolekulare Reaktion der Form: \[\text{A + B → C}\]. Dabei erfolgt die Reaktion gemäß dem Geschwindigkeitsgesetz \[\text{rate} = k \times [A]^m \times [B]^n\]. Um die kinetischen Parameter dieser Reaktion zu bestimmen, stehen Dir mehrere experimentelle Daten zur Verfügung, die bei unterschiedlichen Temperaturen aufgenommen wurden. Die Aktivierungsenergie (\(E_a\)) beträgt 50 kJ/mol und der präexponentielle Faktor (\(A\)) liegt bei \(1 \times 10^{12}\) s^-1.

a)

Teilaufgabe a) Bestimme die Geschwindigkeitskonstante \(k\) der Reaktion bei einer Temperatur von 298 K. Verwende die Arrhenius-Gleichung: \[\text{k} = A \times e^{-Ea/(R \times T)}\] wobei \(R\) die Gaskonstante mit einem Wert von 8,314 J/(mol \times K) ist.

Lösung:

Teilaufgabe a) Bestimme die Geschwindigkeitskonstante (\(k\)) der Reaktion bei einer Temperatur von 298 K. Verwende die Arrhenius-Gleichung:

Die Arrhenius-Gleichung lautet:

• Formel:\[\text{k} = A \times e^{-\frac{E_a}{R \times T}}\]

Dabei sind die folgenden Werte gegeben:

• Aktivierungsenergie (\(E_a\)): 50 kJ/mol = 50,000 J/mol
• Präexponentieller Faktor (\(A\)): 1 \times 10^{12} s^{-1}
• Gaskonstante (\(R\)): 8,314 J/(mol \times K)
• Temperatur (\(T\)): 298 K

Setze die Werte in die Arrhenius-Gleichung ein:

• Berechnung:\[\text{k} = 1 \times 10^{12} \times e^{-\frac{50000}{8.314 \times 298}}\]

Zuerst berechnen wir den Exponenten:

• \[\frac{E_a}{R \times T} = \frac{50000}{8.314 \times 298}\]
• \[\frac{50000}{2477.372} \approx 20.18\]

Nun berechnen wir \( e^{-20.18} \):

• \[ e^{-20.18} \approx 1.9 \times 10^{-9} \]

Setze dies in die ursprüngliche Gleichung ein:

• \[\text{k} = 1 \times 10^{12} \times 1.9 \times 10^{-9} \approx 1.9 \times 10^{3} \] s^{-1}

Die Geschwindigkeitskonstante \(k\) der Reaktion bei einer Temperatur von 298 K beträgt somit \(1.9 \times 10^{3} \) s^-1.

b)

Teilaufgabe b) Gegeben sind die folgenden experimentellen Daten für die Reaktionsgeschwindigkeit bei 298 K:

• Experiment 1:
  • [A] = 0,1 M
  • [B] = 0,1 M
  • rate = 1 \times 10^{-5} M/s
• Experiment 2:
  • [A] = 0,2 M
  • [B] = 0,1 M
  • rate = 2 \times 10^{-5} M/s
• Experiment 3:
  • [A] = 0,1 M
  • [B] = 0,2 M
  • rate = 2 \times 10^{-5} M/s

Lösung:

Teilaufgabe b) Gegeben sind die folgenden experimentellen Daten für die Reaktionsgeschwindigkeit bei 298 K:

• Experiment 1:
  • [A] = 0,1 M
  • [B] = 0,1 M
  • rate = 1 \times 10^{-5} M/s
• Experiment 2:
  • [A] = 0,2 M
  • [B] = 0,1 M
  • rate = 2 \times 10^{-5} M/s
• Experiment 3:
  • [A] = 0,1 M
  • [B] = 0,2 M
  • rate = 2 \times 10^{-5} M/s

Bestimme die Reaktionsordnung der Reaktanten \(A\) und \(B\) und berechne den Wert der Geschwindigkeitskonstante \(k\) bei 298 K.

Das gegebene Geschwindigkeitsgesetz lautet:

• \[\text{rate} = k \times [A]^m \times [B]^n\]

Wir betrachten die Daten aus den drei Experimenten:

• Experiment 1: \([A] = 0.1 \text{ M}\), \([B] = 0.1 \text{ M}\), \(\text{rate} = 1 \times 10^{-5} \text{ M/s}\)
• Experiment 2: \([A] = 0.2 \text{ M}\), \([B] = 0.1 \text{ M}\), \(\text{rate} = 2 \times 10^{-5} \text{ M/s}\)
• Experiment 3: \([A] = 0.1 \text{ M}\), \([B] = 0.2 \text{ M}\), \(\text{rate} = 2 \times 10^{-5} \text{ M/s}\)

Finde zunächst die Reaktionsordnung von Reaktant \(A\). Vergleiche Experiment 1 und Experiment 2:

• Experiment 1: \(\text{rate}_1 = k \times (0.1)^m \times (0.1)^n = 1 \times 10^{-5}\)
• Experiment 2: \(\text{rate}_2 = k \times (0.2)^m \times (0.1)^n = 2 \times 10^{-5}\)

Teile \(\text{rate}_2\) durch \(\text{rate}_1\):

• \[\frac{\text{rate}_2}{\text{rate}_1} = \frac{2 \times 10^{-5}}{1 \times 10^{-5}} = 2\]

• \[\frac{k \times (0.2)^m \times (0.1)^n}{k \times (0.1)^m \times (0.1)^n} = 2\]
• \[\frac{(0.2)^m}{(0.1)^m} = 2\]
• \[\left(\frac{0.2}{0.1}\right)^m = 2\]
• \[2^m = 2\]
• \[m = 1\]

Finde nun die Reaktionsordnung von Reaktant \(B\). Vergleiche Experiment 1 und Experiment 3:

• Experiment 1: \(\text{rate}_1 = k \times (0.1)^m \times (0.1)^n = 1 \times 10^{-5}\)
• Experiment 3: \(\text{rate}_3 = k \times (0.1)^m \times (0.2)^n = 2 \times 10^{-5}\)

Teile \(\text{rate}_3\) durch \(\text{rate}_1\):

• \[\frac{\text{rate}_3}{\text{rate}_1} = \frac{2 \times 10^{-5}}{1 \times 10^{-5}} = 2\]

• \[\frac{k \times (0.1)^m \times (0.2)^n}{k \times (0.1)^m \times (0.1)^n} = 2\]
• \[\frac{(0.2)^n}{(0.1)^n} = 2\]
• \[\left(\frac{0.2}{0.1}\right)^n = 2\]
• \[2^n = 2\]
• \[n = 1\]

Die Reaktionsordnungen sind daher:

• Reaktionsordnung von \(A\): \(m = 1\)
• Reaktionsordnung von \(B\): \(n = 1\)

Jetzt berechne die Geschwindigkeitskonstante \(k\) unter Verwendung der Daten aus Experiment 1:

• \[\text{rate} = k \times [A]^1 \times [B]^1\]
• \[1 \times 10^{-5} = k \times (0.1) \times (0.1)\]
• \[1 \times 10^{-5} = k \times 0.01\]
• \[k = \frac{1 \times 10^{-5}}{0.01} = 1 \times 10^{-3}\]

Die Geschwindigkeitskonstante bei 298 K beträgt daher \(1 \times 10^{-3} \text{ M}^{-1} \text{s}^{-1}\).

c)

Teilaufgabe c) Berechne die Halbwertszeit der Reaktion bei 298 K, sofern die Reaktanten \(A\) und \(B\) beide eine Anfangskonzentration von 0,1 M aufweisen.

Lösung:

Teilaufgabe c) Berechne die Halbwertszeit der Reaktion bei 298 K, sofern die Reaktanten \(A\) und \(B\) beide eine Anfangskonzentration von 0,1 M aufweisen.

Für eine bimolekulare Reaktion der Form:

• \(\text{A + B → C}\)

wenn die Reaktanten die gleiche Anfangskonzentration haben, lautet die Gleichung für die Halbwertszeit:

• Formel für die Halbwertszeit:\[t_{1/2} = \frac{1}{k \times [A]_0}\]

Wir nutzen die in Teilaufgabe b) gefundene Geschwindigkeitskonstante \(k\) und die gegebene Anfangskonzentration:

• \(k = 1 \times 10^{-3} \text{ M}^{-1} \text{s}^{-1}\)
• \([A]_0 = 0,1 \text{ M}\)

Setze die Werte in die Gleichung für die Halbwertszeit ein:

• Berechnung:\[t_{1/2} = \frac{1}{(1 \times 10^{-3}) \times 0,1}\]

Vereinfache den Ausdruck:

• \[t_{1/2} = \frac{1}{1 \times 10^{-4}}\]
• \[t_{1/2} = 10^4 \text{ s}\]

Die Halbwertszeit der Reaktion bei 298 K beträgt somit \(10^4\) Sekunden oder 10.000 Sekunden.

d)

Teilaufgabe d) Diskutiere qualitativ, wie sich die Reaktionsgeschwindigkeit ändern würde, wenn ein Katalysator eingeführt würde, der die Aktivierungsenergie auf 40 kJ/mol reduziert. Berechne die neue Geschwindigkeitskonstante \(k\) bei derselben Temperatur von 298 K unter Annahme, dass der präexponentielle Faktor unverändert bleibt.

Lösung:

Teilaufgabe d) Diskutiere qualitativ, wie sich die Reaktionsgeschwindigkeit ändern würde, wenn ein Katalysator eingeführt würde, der die Aktivierungsenergie auf 40 kJ/mol reduziert. Berechne die neue Geschwindigkeitskonstante \(k\) bei derselben Temperatur von 298 K unter Annahme, dass der präexponentielle Faktor unverändert bleibt.

Qualitative Diskussion:

Ein Katalysator ist eine Substanz, die die Aktivierungsenergie einer Reaktion senkt, ohne dabei selbst verbraucht zu werden. Durch die Reduktion der Aktivierungsenergie können mehr Moleküle die energetische Barriere überwinden, was zu einer erhöhten Reaktionsgeschwindigkeit führt.

Wenn der Katalysator die Aktivierungsenergie von 50 kJ/mol auf 40 kJ/mol senkt, wird die Anzahl der Moleküle, die genügend Energie zur Reaktion haben, größer, was zu einer höheren Reaktionsgeschwindigkeit führt. Dies kann mithilfe der Arrhenius-Gleichung quantitativ ermittelt werden.

Berechnung der neuen Geschwindigkeitskonstante:

Die Arrhenius-Gleichung lautet:

• \[k = A \times e^{-\frac{E_a}{R \times T}}\]

Dabei sind die folgenden Werte gegeben:

• Neue Aktivierungsenergie (\(E_a\)): 40 kJ/mol = 40,000 J/mol
• Präexponentieller Faktor (\(A\)): 1 \times 10^{12} s^{-1}
• Gaskonstante (\(R\)): 8,314 J/(mol \times K)
• Temperatur (\(T\)): 298 K

Setze die Werte in die Arrhenius-Gleichung ein:

• Berechnung:\[k = 1 \times 10^{12} \times e^{-\frac{40000}{8.314 \times 298}}\]

Zuerst berechnen wir den Exponenten:

• \[\frac{E_a}{R \times T} = \frac{40000}{8.314 \times 298}\]
• \[\frac{40000}{2477.372} \approx 16.15\]

Nun berechnen wir \( e^{-16.15} \):

• \[ e^{-16.15} \approx 9.7 \times 10^{-8} \]

Setze dies in die ursprüngliche Gleichung ein:

• \[k = 1 \times 10^{12} \times 9.7 \times 10^{-8} \approx 9.7 \times 10^{4} \] s^{-1}

Die neue Geschwindigkeitskonstante \(k\) bei einer Temperatur von 298 K beträgt daher \(9.7 \times 10^{4} \) s^-1.