Elektrische Energietechnik - Exam

Aufgabe 1)

In einem elektrischen Netzwerk werden drei Widerstände mit den Werten R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω und R3 = 20 Ω in Reihe geschaltet. Dieses Netzwerk wird an eine Spannungsquelle mit einer Spannung von U = 24 V angeschlossen.

a)

Teilaufgabe 1:

Berechne den Gesamtwiderstand des Netzwerks und den durch das Netzwerk fließenden Gesamtstrom. Nutze das Ohmsche Gesetz und die Eigenschaften von in Reihe geschalteten Widerständen.

Lösung:

Lösung von Teilaufgabe 1:

• Zuerst berechnen wir den Gesamtwiderstand der drei in Reihe geschalteten Widerstände. In einer Reihenschaltung addieren sich die Widerstände einfach:

Die Formel lautet:

\[ R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 \]

In unserem Fall:

\[ R_{ges} = 5 \,\Omega + 10 \,\Omega + 20 \,\Omega = 35 \,\Omega \]

• Der Gesamtwiderstand des Netzwerks beträgt also 35 Ω.
• Nun verwenden wir das Ohmsche Gesetz, um den durch das Netzwerk fließenden Strom zu berechnen. Das Ohmsche Gesetz lautet:

\[ U = I \cdot R \]

• Hierbei ist U die Spannung (24 V), I der Strom und R der Gesamtwiderstand (35 Ω).
• Um den Strom I zu berechnen, stellen wir die Gleichung nach I um:

\[ I = \frac{U}{R_{ges}} \]

\[ I = \frac{24 \, V}{35 \, \Omega} \approx 0,686 \, A \]

• Der durch das Netzwerk fließende Gesamtstrom beträgt also etwa 0,686 A.

b)

Teilaufgabe 2:

Verwende die Kirchhoffsche Maschenregel, um zu bestätigen, dass die Summe der Spannungsabfälle über jeden Widerstand gleich der angelegten Spannung ist. Berechne die Spannungsabfälle über jeden einzelnen Widerstand.

Lösung:

Lösung von Teilaufgabe 2:

• Um die Kirchhoffsche Maschenregel zu verwenden, müssen wir bestätigen, dass die Summe der Spannungsabfälle über jeden Widerstand gleich der angelegten Spannung ist. Wir berechnen zuerst die Spannungsabfälle über jeden Widerstand.
• Die Spannung über einen Widerstand in einer Reihenschaltung kann mit dem Ohmschen Gesetz berechnet werden:

\[ U = I \cdot R \]

• Der durch das Netzwerk fließende Strom wurde in Teilaufgabe 1 bereits berechnet und beträgt 0,686 A.
• Nun berechnen wir die Spannungsabfälle über die einzelnen Widerstände.

Spannungsabfall über R1:

\[ U_{R1} = I \cdot R1 \]

\[ U_{R1} = 0,686 \, A \cdot 5 \, \Omega \]

\[ U_{R1} = 3,43 \, V \]

Spannungsabfall über R2:

\[ U_{R2} = I \cdot R2 \]

\[ U_{R2} = 0,686 \, A \cdot 10 \, \Omega \]

\[ U_{R2} = 6,86 \, V \]

Spannungsabfall über R3:

\[ U_{R3} = I \cdot R3 \]

\[ U_{R3} = 0,686 \, A \cdot 20 \, \Omega \]

\[ U_{R3} = 13,72 \, V \]

• Nun überprüfen wir, ob die Summe der Spannungsabfälle gleich der angelegten Spannung ist:

\[ U_{R1} + U_{R2} + U_{R3} = 3,43 \, V + 6,86 \, V + 13,72 \, V \]

\[ U_{R1} + U_{R2} + U_{R3} = 24,01 \, V \]

• Aufgrund von Rundungsfehlern kann es sein, dass das Ergebnis minimal von 24 V abweicht. Dennoch bestätigt dies die Kirchhoffsche Maschenregel, da die Summe der Spannungsabfälle (24,01 V) nahezu gleich der angelegten Spannung von 24 V ist.

c)

Teilaufgabe 3:

Angenommen, die Reihenverbindung der Widerstände wird nun durch einen weiteren Widerstand R4 = 15 Ω parallel zu R2 ergänzt. Berechne den neuen Gesamtwiderstand des Netzwerks und den neuen Gesamtstrom. Überprüfe, ob die Kirchhoffsche Knotenregel auf diesen Stromkreis angewendet werden kann, und erkläre, wie die parallele Verbindung von R4 und R2 die Ströme an den Knotenpunkten beeinflusst.

Lösung:

Lösung von Teilaufgabe 3:

• Angenommen, wir fügen einen weiteren Widerstand R4 = 15 Ω parallel zu R2 hinzu. Zuerst berechnen wir den Widerstand der parallelen Verbindung von R2 und R4.

Die Formel für den Gesamtwiderstand \ (R_{parallel}\) von zwei parallel geschalteten Widerständen lautet:

\[ \frac{1}{R_{parallel}} = \frac{1}{R2} + \frac{1}{R4} \]

\[ \frac{1}{R_{parallel}} = \frac{1}{10 \, \Omega} + \frac{1}{15 \, \Omega} \]

\[ \frac{1}{R_{parallel}} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} \]

\[ R_{parallel} = \frac{30}{5} = 6 \, \Omega \]

• Der Parallelwiderstand von R2 und R4 beträgt also 6 Ω.
• Nun berechnen wir den neuen Gesamtwiderstand des Netzwerks. Da R1, R_{parallel} und R3 in Reihe geschaltet sind, summieren wir diese Widerstände:

\[ R_{neu} = R1 + R_{parallel} + R3 \]

\[ R_{neu} = 5 \, \Omega + 6 \, \Omega + 20 \, \Omega = 31 \, \Omega \]

• Der neue Gesamtwiderstand des Netzwerks beträgt also 31 Ω.
• Um den neuen Gesamtstrom zu berechnen, verwenden wir erneut das Ohmsche Gesetz:

\[ U = I_{neu} \cdot R_{neu} \]

\[ I_{neu} = \frac{U}{R_{neu}} \]

\[ I_{neu} = \frac{24 \, V}{31 \, \Omega} \approx 0,774 \, A \]

• Der neue Gesamtstrom beträgt also etwa 0,774 A.

Überprüfung der Kirchhoffschen Knotenregel:

• Die Kirchhoffsche Knotenregel besagt, dass die Summe der Ströme, die zu einem Knoten hin fließen, gleich der Summe der Ströme ist, die von dem Knoten weg fließen.
• Betrachten wir den Knotenpunkt, an dem sich R2 und R4 treffen. Der Strom teilt sich in zwei Teile auf: \(I_{R2}\) und \(I_{R4}\).
• Die Summe der Ströme durch R2 und R4 muss gleich dem Strom sein, der durch den parallelen Teil von R2 und R4 fließt:

\[ I_{R_{parallel}} = I_{R2} + I_{R4} \]

• Da der Gesamtstrom vor dem Knotenpunkt 0,774 A beträgt, teilt sich dieser Strom entsprechend den Widerständen von R2 und R4 auf. Der Strom wird durch die Kirchhoffsche Knotenregel bestätigt.
• Die parallele Verbindung von R4 und R2 bewirkt, dass sich der Strom an dem Knotenpunkt aufteilt. Ein Teil des Stroms fließt durch R2 und der andere Teil durch R4. Dies reduziert den effektiven Widerstand der Parallelschaltung, was zu einem höheren Gesamtstrom im Netzwerk führt.

Aufgabe 2)

In einem Wechselstromkreis wird eine Spannung durch ein sinusförmiges Signal modelliert. Eine sinusförmige Spannungsquelle mit der Formel \(v(t) = 220 \cos(100 \pi t + 30^\circ)\) speist einen Schaltkreis mit einer Impedanz von \( Z = 10 \Omega + j15 \Omega \). Verwende Phasor-Analyse, um die Berechnungen durchzuführen und beantworte folgende Fragen.

b)

Berechne den Stromphasor \text{\vec{I}}\, der durch die Impedanz \text{Z}\ fließt. Bestimme hierzu \text{I}_{rms}\ und \phi_I\.

Lösung:

Um den Stromphasor \(\vec{I}\) zu berechnen, der durch die Impedanz \(Z\) fließt, müssen wir das Ohmsche Gesetz in der Phasor-Darstellung anwenden:

\[\vec{I} = \frac{\vec{V}}{Z}\]

Wir haben bereits den Phasor der Spannungsquelle \(\vec{V}\) berechnet:

\[\vec{V} = 220 \angle 30^\circ\]

Die Impedanz \(Z\) ist gegeben als:

\[Z = 10 \Omega + j15 \Omega\]

Um den Stromphasor zu berechnen, müssen wir den Phasor der Spannung durch die Impedanz teilen:

\[\vec{I} = \frac{220 \angle 30^\circ}{10 + j15}\]

Zuerst berechnen wir den Betrag und den Winkel der Impedanz:

\[|Z| = \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 18.03 \Omega\]

Der Winkel der Impedanz \(\phi_Z\) ist:

\[\phi_Z = \arctan\left(\frac{15}{10}\right) = \arctan(1.5) \approx 56.31^\circ\]

Nun können wir den Betrag und den Winkel des Stromphasors berechnen:

\[|\vec{I}| = \frac{220}{18.03} \approx 12.20\]

\[\phi_I = 30^\circ - 56.31^\circ = -26.31^\circ\]

Also ist der Stromphasor:

\[\vec{I} = 12.20 \angle -26.31^\circ\]

Der Effektivwert des Stroms \(I_{rms}\) ist der Betrag des Stromphasors \(|\vec{I}|\):

\[I_{rms} = 12.20\]

Der Winkel \(\phi_I\) des Stromphasors ist:

\[\phi_I = -26.31^\circ\]

Zusammengefasst:

• Der Stromphasor ist \(\vec{I} = 12.20 \angle -26.31^\circ\).
• Der Effektivwert des Stroms ist \(I_{rms} = 12.20\) A.
• Der Phasenwinkel des Stroms ist \(\phi_I = -26.31^\circ\).

c)

Gib die zeitabhängige Stromstärke \text{i(t)}\ an, indem Du den Phasor \text{\vec{I}}\ in die Zeitdomäne zurückrechnest.

Lösung:

Um die zeitabhängige Stromstärke \(i(t)\) zu bestimmen, müssen wir den Phasor \(\vec{I}\) zurück in die Zeitdomäne transformieren.

Zunächst erinnern wir uns daran, dass der Stromphasor \(\vec{I}\) wie folgt berechnet wurde:

• \(\vec{I} = 12.20 \angle -26.31^\circ\)

Um den Phasor in die Zeitdomäne zurückzurechnen, verwenden wir die Formel für einen sinusförmigen Wechselstrom:

\[i(t) = I_{m} \cos(\omega t + \phi_I)\]

Hierbei ist:

• \(I_{m}\) die maximale Stromstärke, die gleich dem Betrag des Phasors ist, also \( 12.20 A\).
• \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit, die aus der Spannungsquelle gleich \(100 \pi\) rad/s ist.
• \(\phi_I\) der Phasenwinkel des Stroms, der gleich \(-26.31^\circ\) ist.

Wir setzen diese Werte in die Gleichung ein:

\[i(t) = 12.20 \cos(100 \pi t - 26.31^\circ)\]

Der temporale Ausdruck für die Stromstärke \(i(t)\) lautet daher:

\[i(t) = 12.20 \cos(100 \pi t - 26.31^\circ)\]

Zusammengefasst:

• Die zeitabhängige Stromstärke ist \(i(t) = 12.20 \cos(100 \pi t - 26.31^\circ)\).

Aufgabe 3)

Elektrische Energie wird häufig über große Entfernungen von den Erzeugungsorten zu den Verbrauchszentren übertragen. Dafür werden Hochspannungsleitungen und Transformatoren eingesetzt, um die Verluste möglichst gering zu halten und eine effiziente Spannungsanpassung zu ermöglichen. Die Übertragung erfolgt in der Regel mit hoher Spannung und relativ geringer Stromstärke, um die ohmschen Verluste zu minimieren. Transformatoren spielen dabei eine zentrale Rolle, indem sie die Spannung zwischen den Übertragungs- und Verteilungsnetzen anpassen.

• Hochspannungsleitungen: Übertragung mit hoher Spannung zur Reduktion von Verlusten
• Transformatoren: Spannungsanpassung zwischen Übertragungs- und Verteilungsnetzen
• Formel für Verluste: \(P = I^2 \times R\)
• Reduktion der Stromstärke bei höherer Spannung: \(P = U \times I\)
• Primär- und Sekundärspule im Transformator für Spannungstransformation: \(\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}\)
• Verlustleistungsreduktion durch Hochspannungstransformatoren

b)

Ein Transformator hat auf der Primärseite 1000 Windungen und auf der Sekundärseite 5000 Windungen.

Berechne:

• Die Sekundärspannung, wenn die Primärspannung 25 kV beträgt.
• Wie verändert sich die Stromstärke auf der Sekundärseite im Vergleich zur Primärseite?

Lösung:

Um die Aufgaben zu lösen, müssen wir die geeigneten Formeln und Konzepte der Transformatorentheorie verwenden.

Berechnungen:

1. Bestimme die Sekundärspannung, wenn die Primärspannung 25 kV beträgt:

Wir wissen, dass die Beziehung zwischen den Windungen eines Transformators und den Spannungen auf der Primär- und Sekundärseite durch das Windungsverhältnis gegeben ist.

Formel:

\[ \frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} \]

• Gegeben: \( U_1 = 25 \text{ kV} \), \( N_1 = 1000 \), \( N_2 = 5000 \)
• Formel umgestellt zur Berechnung von \( U_2 \): \[ U_2 = U_1 \times \frac{N_2}{N_1} \]

Setze die Werte ein:

• • \[ U_2 = 25 \text{ kV} \times \frac{5000}{1000} \]
• • \[ U_2 = 25 \text{ kV} \times 5 = 125 \text{ kV} \]

1. Wie verändert sich die Stromstärke auf der Sekundärseite im Vergleich zur Primärseite?

Die Stromstärkenverhältnisse in einem Transformator entsprechen dem inversen Verhältnis der Windungen. Die Stromstärke auf der Sekundärseite (\(I_2\)) kann wie folgt berechnet werden:

Formel:

\[ \frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} \]

• Gegeben: \( N_2 = 5000 \) und \( N_1 = 1000 \)
• Formel umgestellt zur Berechnung von \( I_2 \):

• • \[ I_2 = I_1 \times \frac{N_1}{N_2} = I_1 \times \frac{1000}{5000} = I_1 \times 0.2 \]

Die Stromstärke auf der Sekundärseite ist daher ein Fünftel der Stromstärke auf der Primärseite.

Zusammenfassend:

• Die Sekundärspannung beträgt 125 kV.
• Die Stromstärke auf der Sekundärseite ist ein Fünftel der Stromstärke auf der Primärseite.

Aufgabe 4)

In einem industriellen Umfeld kommt es häufig zu Problemen durch elektromagnetische Störungen (EMS). Elektronische Geräte wie Frequenzumrichter in Maschinen, Funksender und andere elektronische Steuerungen können als Störquellen agieren. Auf der anderen Seite können empfindliche Geräte wie medizinische Apparaturen oder Kommunikationssysteme als Störsenken fungieren, die durch diese Störungen beeinträchtigt werden. Analysiere die verschiedenen Aspekte der elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) unter Berücksichtigung der folgenden Szenarien.

• Störquellen: Elektronische Geräte, Blitzschlag, Funkgeräte, Schaltvorgänge.
• Störsenken: Radios, medizinische Geräte, Kommunikationssysteme.
• Wichtige Aspekte: Art der Störung (leitungsgebunden, feldgebunden), Frequenzbereich, Übertragungsweg.
• Maßnahmen: Schirmung, Filter, räumliche Trennung.

b)

b) Gegeben sei eine Klinik in der Nähe eines Industrieparks. Diskutiere die potenziellen Auswirkungen von EMV-Störungen auf medizinische Geräte in der Klinik durch Störquellen aus dem Industriepark. Identifiziere mindestens zwei spezifische Geräte in der Klinik und beschreibe die Art der Beeinträchtigung und mögliche Gegenmaßnahmen (z.B. Schirmung, Filter, räumliche Trennung).

Lösung:

Analyse der elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) in einem klinischen Umfeld

Eine Klinik in der Nähe eines Industrieparks ist potenziell verschiedenen elektromagnetischen Störungen (EMS) ausgesetzt. Diese Störungen können durch die Vielzahl von elektronischen Geräten und industriellen Aktivitäten im Park verursacht werden. Es ist wichtig, die Auswirkungen dieser Störungen auf empfindliche medizinische Geräte zu verstehen und geeignete Gegenmaßnahmen zu ergreifen.

b) Potenzielle Auswirkungen von EMV-Störungen auf medizinische Geräte in einer Klinik

Medizinische Geräte in einer Klinik sind oft besonders empfindlich gegenüber elektromagnetischen Störungen, da sie genaue und zuverlässige Messungen durchführen müssen. Hier sind zwei spezifische Geräte, die beeinträchtigt werden könnten:

• 1. Elektrokardiogramm (EKG)-Gerät

Art der Beeinträchtigung: Ein EKG-Gerät zeichnet die elektrischen Aktivitäten des Herzens auf. Elektromagnetische Störungen aus dem Industriepark können das EKG-Signal verfälschen, was zu fehlerhaften Diagnosen führen kann. Leitungsgebundene Störungen, die durch industrielle Schaltvorgänge verursacht werden, können sich über das Stromnetz verbreiten und das Gerät direkt beeinflussen. Feldgebundene Störungen von Funksendern und anderen industriellen Geräten können zusätzliche Störungen verursachen.

Mögliche Gegenmaßnahmen:

• Schirmung: Verwendung von abgeschirmten Kabeln und Gehäusen, um das Gerät vor externen elektromagnetischen Feldern zu schützen.
• Filter: Installation von Netzfiltern, um leitungsgebundene Störungen zu minimieren.
• Räumliche Trennung: Platzierung des EKG-Geräts in einem speziell geschützten Raum, der weit von potenziellen Störquellen entfernt ist.

• 2. Magnetresonanztomograph (MRT)

Art der Beeinträchtigung: Ein MRT-Gerät nutzt starke Magnetfelder und Radiofrequenz-Signale zur Erzeugung von detaillierten Bildern des Körperinneren. EMV-Störungen aus dem Industriepark können die Magnetfeldstärke und die Empfindlichkeit der Radiofrequenz-Empfänger beeinflussen, was zu Bildartefakten oder sogar zu Fehlfunktionen führen kann.

Mögliche Gegenmaßnahmen:

• Schirmung: Einsatz von Faradayschen Käfigen und elektromagnetisch abgeschirmten Räumen, um externe Felder fernzuhalten.
• Filter: Nutzung von Hochfrequenzfiltern, um störende Signalanteile zu unterdrücken.
• Räumliche Trennung: Positionierung des MRT-Geräts in einem Bereich, der ausreichend weit von den Störquellen entfernt ist, und Nutzung baulicher Maßnahmen zur Dämpfung elektromagnetischer Einstrahlungen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die potenziellen Auswirkungen von EMV-Störungen auf medizinische Geräte in einer Klinik ernst zu nehmen sind. Durch geeignete Maßnahmen wie Schirmung, Filter und räumliche Trennung können diese Störungen jedoch effektiv minimiert und die Funktionsfähigkeit der medizinischen Geräte gewährleistet werden.

c)

c) Ein Kommunikationssystem in einer Klinik muss aufgrund der hohen Sensibilität vor elektromagnetischen Störungen geschützt werden. Analysiere die Wirksamkeit der folgenden Maßnahmen:

• Schirmung: \[\text{Dämpfung (in dB)} = 20 \times \text{log} \frac{E_{\text{außen}}}{E_{\text{innen}}} \]
• Filter: \[ I_{\text{gefiltert}}(t) = I(t) \times H(t) \]
• Räumliche Trennung: Diskutiere die Vor- und Nachteile im Detail.

Lösung:

Schutz von Kommunikationssystemen vor elektromagnetischen Störungen (EMS) in einer Klinik

Kommunikationssysteme in einer Klinik sind oft sehr empfindlich und müssen vor elektromagnetischen Störungen geschützt werden, um eine zuverlässige Funktion zu gewährleisten. Im Folgenden analysieren wir die Wirksamkeit von Schutzmaßnahmen wie Schirmung, Filter und räumliche Trennung.

c) Maßnahmenanalyse zum Schutz von Kommunikationssystemen

• Schirmung

Die Schirmung zielt darauf ab, elektromagnetische Felder von einem empfindlichen Gerät fernzuhalten, indem diese Felder reflektiert oder absorbiert werden. Die Wirksamkeit der Schirmung kann durch die Dämpfung gemessen werden, die in Dezibel (dB) angegeben wird. Die Dämpfung wird durch folgende Formel beschrieben:

20 \times \text{log} \frac{E_{\text{außen}}}{E_{\text{innen}}}

Dabei steht E_{\text{außen}} für die Feldstärke außerhalb der Schirmung und E_{\text{innen}} für die Feldstärke innerhalb der Schirmung. Eine höhere Dämpfung bedeutet einen effektiveren Schutz:

• Vorteile:
• Effektiver Schutz vor externen elektromagnetischen Störungen.
• Kann speziell auf die Frequenzen abgestimmt werden, die am problematischsten sind.
• Nachteile:
• Kann teuer sein und erfordert möglicherweise umfangreiche bauliche Maßnahmen.
• Die Schirmung muss lückenlos sein, um wirksam zu sein, was Installationsschwierigkeiten verursachen kann.
• Filter

Filter dienen dazu, unerwünschte Frequenzkomponenten aus einem Signal zu entfernen. Ein Filter wirkt auf den Strom oder das Spannungs Signal, indem er bestimmte Frequenzen abschwächt oder blockiert. Die Wirkung eines Filters kann durch folgende Formel beschrieben werden:

I_{\text{gefiltert}}(t) = I(t) \times H(t)

Hierbei steht I(t) für das ungefilterte Signal und H(t) für die Übertragungsfunktion des Filters. I_{\text{gefiltert}}(t) ist das gefilterte Signal:

• Vorteile:
• Gezielte Unterdrückung bestimmter störender Frequenzen.
• Kann relativ einfach in bestehende Systeme integriert werden.
• Nachteile:
• Filter haben oft keine Wirkung auf hochenergetische Störsignale.
• Kann die Signalverzögerung erhöhen und Signalverformungen verursachen.
• Räumliche Trennung

Die räumliche Trennung bezieht sich auf das Platzieren von empfindlichen Geräten in einer Entfernung zu potenziellen Störquellen, um die Auswirkungen der Störungen zu minimieren:

• Vorteile:
• Kostengünstig, da keine speziellen Materialien oder Techniken benötigt werden.
• Effektiv bei der Reduzierung feldgebundener Störungen, da die Intensität mit der Entfernung abnimmt.
• Nachteile:
• Erfordert oft viel Platz, der möglicherweise nicht verfügbar ist.
• Kann die Effizienz und Praktikabilität der Raumgestaltung beeinträchtigen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass jede dieser Maßnahmen spezifische Vor- und Nachteile hat. Die Kombination mehrerer Maßnahmen kann oft den besten Schutz bieten, insbesondere in sensiblen Umgebungen wie Kliniken, wo die Integrität der Kommunikationssysteme von größter Bedeutung ist.