Grundlagen Thermodynamik - Exam

Aufgabe 1)

Betrachten wir ein geschlossenes System, das Wärmeaustausch und Arbeit leisten kann, aber keinen Masseaustausch erlaubt. Dieses System erfährt eine innere Energiesenkung um 500 kJ. Es wird eine Arbeit von 200 kJ an die Umgebung geleistet.

a)

Berechne die dem System zugeführte Wärme. Nutze die Gleichung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik: \( \Delta U = Q - W \).

Lösung:

Um die dem System zugeführte Wärme zu berechnen, können wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik verwenden:

\[\Delta U = Q - W\]

\t
• \(\Delta U \) ist die Änderung der inneren Energie.
\t
• \(Q\) ist die dem System zugeführte Wärme.
\t
• \(W\) ist die am System geleistete Arbeit (Arbeit, die vom System an die Umgebung abgegeben wird).

Gemäß den Angaben im Kontext:

\t
• \(\Delta U = -500\) kJ (Das System erfährt eine innere Energiesenkung um 500 kJ).
\t
• \( W = 200\) kJ (Es wird eine Arbeit von 200 kJ an die Umgebung geleistet).

Setzen wir die Werte in die Gleichung ein:

\[-500 = Q - 200\]

Um \( Q \) zu berechnen, lösen wir die Gleichung nach \( Q \) auf:

\[Q = -500 + 200\]

\[Q = -300 \text{kJ}\]

Die dem System zugeführte Wärme beträgt also -300 kJ. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass dem System tatsächlich Wärme entzogen wurde.

b)

Stell das Resultat so dar, dass es zeigt, ob dem System Wärme zugeführt oder entzogen wurde.

Lösung:

Um zu ermitteln, ob dem System Wärme zugeführt oder entzogen wurde, verwenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik:

\[\Delta U = Q - W\]

• \(\Delta U\) ist die Änderung der inneren Energie.
• \(Q\) ist die dem System zugeführte Wärme.
• \(W\) ist die am System geleistete Arbeit (Arbeit, die vom System an die Umgebung abgegeben wird).

Gemäß den Angaben im Kontext:

• \(\Delta U = -500\) kJ (Das System erfährt eine innere Energiesenkung um 500 kJ).
• \(W = 200\) kJ (Es wird eine Arbeit von 200 kJ an die Umgebung geleistet).

Setzen wir die Werte in die Gleichung ein:

\[-500 = Q - 200\]

Um \(Q\) zu berechnen, lösen wir die Gleichung nach \(Q\) auf:

\[Q = -500 + 200\]

\[Q = -300 \text{kJ}\]

Das Resultat zeigt, dass \(Q = -300 \text{kJ}\) ist. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass dem System tatsächlich Wärme entzogen wurde. Somit wurde dem System keine Wärme zugeführt, sondern 300 kJ Wärme entzogen.

c)

Erläutere, wie sich der erste Hauptsatz der Thermodynamik in diesem spezifischen Beispiel widerspiegelt und warum er von zentraler Bedeutung für die Analyse thermodynamischer Systeme ist.

Lösung:

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik, auch bekannt als Energieerhaltungssatz, besagt, dass Energie weder geschaffen noch zerstört werden kann, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden kann. Für ein thermodynamisches System wird dies durch die Gleichung ausgedrückt:

\[\Delta U = Q - W\]

• \(\Delta U\) ist die Änderung der inneren Energie des Systems.
• \(Q\) ist die dem System zugeführte Wärme.
• \(W\) ist die am System geleistete Arbeit (Arbeit, die vom System an die Umgebung abgegeben wird).

In diesem spezifischen Beispiel:

• Das System erfährt eine innere Energiesenkung von 500 kJ (\(\Delta U = -500\) kJ).
• Das System leistet eine Arbeit von 200 kJ an die Umgebung (\(W = 200\) kJ).

Wir setzen diese Werte in die Gleichung ein:

\[-500 = Q - 200\]

Nach Auflösen der Gleichung erhalten wir:

\[Q = -500 + 200\]

\[Q = -300 \text{kJ}\]

Das negative Vorzeichen bei \(Q\) zeigt, dass dem System Wärme entzogen wurde, anstatt ihm zugeführt zu werden.

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik ist von zentraler Bedeutung für die Analyse thermodynamischer Systeme, weil er:

• Eine Grundlage zur Berechnung von Energieänderungen in einem System liefert.
• Hilft zu verstehen, wie Energie in verschiedenen Prozessen umgewandelt wird, z.B. wie Wärme in Arbeit umgewandelt werden kann und umgekehrt.
• Es ermöglicht, Energiebilanzen für Systeme aufzustellen und somit effizientere und optimierte Prozesse in der Technik und Naturwissenschaften zu entwickeln.

In unserem Beispiel hilft der erste Hauptsatz zu erklären, dass die innere Energiesenkung von 500 kJ durch die Kombination aus geleisteter Arbeit (200 kJ) und entzogenem Wärmebetrag (300 kJ) zustande kommt.

Aufgabe 3)

Betrachte ein ideales Gas, das einem thermodynamischen Prozess unterworfen wird. Das Gas hat ein Anfangsvolumen von \(V_1\), einen Anfangsdruck von \(p_1\) und eine Anfangstemperatur von \(T_1\). Es wird nun einem dieser vier Prozesse unterzogen: isotherm, isochor, isobar oder adiabatisch.

a)

Angenommen, das Gas wird isotherm von einem Anfangszustand mit \(V_1\) und \(p_1\) expandiert. Drücke den Enddruck \(p_2\) in Abhängigkeit von \(V_1\), \(p_1\) und dem Endvolumen \(V_2\) aus. Verwende die ideale Gasgleichung, um deine Antwort zu begründen.

Lösung:

Um den Enddruck p_2 eines idealen Gases zu bestimmen, das isotherm expandiert, können wir die ideale Gasgleichung verwenden, die lautet:

• Ideal gas equation:

  \[pV = nRT\]

Da der Prozess isotherm ist, bleibt die Temperatur T konstant. Außerdem bleibt die Anzahl der Moleküle (n) ebenfalls konstant. Das bedeutet, dass das Produkt aus Druck und Volumen konstant bleibt:

• \[p_1V_1 = p_2V_2\]

Wir können diese Gleichung umstellen, um p_2 in Abhängigkeit von p_1, V_1 und V_2 auszudrücken:

• \[p_2 = \frac{{p_1V_1}}{{V_2}}\]

Dies ist die gesuchte Beziehung zwischen den Größen im isothermen Prozess.

b)

Nimm an, das Gas durchläuft einen isochoren Prozess, bei dem die Endtemperatur \(T_2\) und das Endvolumen \(V_2\) gleich dem Anfangsvolumen \(V_1\) ist. Berechne den Enddruck \(p_2\) in Abhängigkeit von \(p_1\), \(T_1\) und \(T_2\).

Lösung:

Um den Enddruck p_2 eines idealen Gases zu berechnen, das einen isochoren Prozess durchläuft, verwenden wir die ideale Gasgleichung. Die ideale Gasgleichung lautet:

• \[pV = nRT\]

Während eines isochoren Prozesses bleibt das Volumen konstant, also ist \(V_2 = V_1\). Die Beziehung zwischen Druck und Temperatur kann unter Berücksichtigung der Konstantheit des Volumens und der Stoffmenge (n) wie folgt beschrieben werden:

• \[\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_1}{T_2}\]

Da das Volumen \(V_1\) konstant bleibt, kürzen sich die Volumina heraus, und wir erhalten:

• \[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]

Diese Gleichung lässt sich umstellen, um den Enddruck p_2 in Abhängigkeit von p_1, T_1 und T_2 zu berechnen:

• \[p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}\]

Dies ist die gesuchte Beziehung zwischen den Größen im isochoren Prozess.

c)

Betrachte eine weitere Situation, bei der das Gas einen isobaren Prozess durchläuft. Stelle die Beziehung zwischen dem Anfangsvolumen \(V_1\) und dem Endvolumen \(V_2\) in Bezug auf die Temperaturen \(T_1\) und \(T_2\) sowie den konstanten Druck \(p\) dar. Nutze die ideale Gasgleichung für deine Antwort.

Lösung:

Um die Beziehung zwischen dem Anfangsvolumen \(V_1\) und dem Endvolumen \(V_2\) während eines isobaren Prozesses zu bestimmen, verwenden wir erneut die ideale Gasgleichung. Diese lautet:

• \[pV = nRT\]

Während eines isobaren Prozesses bleibt der Druck \(p\) konstant. Daher können wir die ideale Gasgleichung sowohl für den Anfangszustand als auch für den Endzustand des Gases aufschreiben:

• \[pV_1 = nRT_1\]
• \[pV_2 = nRT_2\]

Da der Druck \(p\) und die Stoffmenge \(n\) in beiden Zuständen gleich bleiben, können wir die beiden Gleichungen wie folgt vergleichen:

• \[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]

Diese Gleichung lässt sich umstellen, um das Endvolumen \(V_2\) in Abhängigkeit vom Anfangsvolumen \(V_1\) und den Temperaturen \(T_1\) und \(T_2\) zu berechnen:

• \[V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1}\]

Dies ist die gesuchte Beziehung zwischen den Größen im isobaren Prozess.

d)

Analysiere einen adiabatischen Prozess für das ideale Gas. Drücke das Verhältnis der Endtemperatur \(T_2\) zur Anfangstemperatur \(T_1\) in Bezug auf das Volumenverhältnis \(V_1\) zu \(V_2\) aus. Du kannst annehmen, dass das Gas eine konstante Wärmefähigkeit \(C_v\) hat und das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten \( k = \frac{C_p}{C_v} \) gegeben ist.

Lösung:

Um den Zusammenhang zwischen den Temperaturen und Volumina bei einem adiabatischen Prozess eines idealen Gases zu analysieren, verwenden wir folgende Beziehung, die für adiabatische Prozesse gilt:

• \[T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}\]

Hierbei ist \(\gamma\) das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten, definiert als \(\gamma = \frac{C_p}{C_v}\).

Diese Gleichung lässt sich umstellen, um das Verhältnis der Endtemperatur \(T_2\) zur Anfangstemperatur \(T_1\) in Abhängigkeit vom Volumenverhältnis \(\frac{V_1}{V_2}\) darzustellen:

• \[\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma - 1}\]

Dies ist die gesuchte Beziehung zwischen den Größen im adiabatischen Prozess.

Aufgabe 4)

Betrachte einen reinen Stoff, der in einem Phasendiagramm als Druck-Temperatur-Diagramm (p-T-Diagramm) dargestellt wird. In diesem Diagramm kannst Du die verschiedenen Phasen (fest, flüssig, gasförmig) sowie die Koexistenzlinien und kritischen Punkte beobachten. Außerdem ist die spezifische Wärme eines Stoffes definiert als die Wärmemenge, die notwendig ist, um 1 kg des Stoffes um 1 K zu erwärmen. Die Formel hierfür lautet:

• Formel für spezifische Wärme: c = \frac{\text{d} Q}{m \text{d} T}
• Einheit der spezifischen Wärme: \frac{J}{kg \times K}

a)

Teil a)

Beschreibe die wesentlichen Merkmale eines Phasendiagramms eines reinen Stoffes und erkläre die Bedeutung von Koexistenzlinien und dem kritischen Punkt. Gehe dabei auf die Zustände fest, flüssig und gasförmig ein und wie diese in einem p-T-Diagramm dargestellt werden.

Lösung:

Merkmale eines Phasendiagramms:

Ein Phasendiagramm eines reinen Stoffes im Druck-Temperatur-Diagramm (p-T-Diagramm) zeigt die verschiedenen Phasen - fest, flüssig und gasförmig - sowie die Bedingungen, unter denen sie existieren. Die Achsen des Diagramms sind Druck (p) auf der y-Achse und Temperatur (T) auf der x-Achse.

• Kritischer Punkt: Dies ist der Punkt, an dem die Unterscheidung zwischen flüssiger und gasförmiger Phase verschwindet. Über dem kritischen Punkt gibt es keine klaren Unterschiede mehr zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase, und der Stoff wird als überkritisches Fluid bezeichnet.
• Koexistenzlinien: Die Linien, die die Phasenbereiche trennen, sind die Koexistenzlinien. Entlang dieser Linien können zwei Phasen des Stoffes im Gleichgewicht existieren.

Im Detail:

• Feste Phase: Bei niedrigen Temperaturen und hohen Drücken liegt der Stoff in der festen Phase vor.
• Flüssige Phase: Bei mittleren Temperaturen und Drücken kann der Stoff in der flüssigen Phase existieren, typischerweise begrenzt durch die Schmelzlinie (Grenze zwischen fest und flüssig) und die Verdampfungslinie (Grenze zwischen flüssig und gasförmig).
• Gasförmige Phase: Bei hohen Temperaturen und niedrigen Drücken ist der Stoff in der gasförmigen Phase. Die Grenze zwischen gasförmig und flüssig wird durch die Verdampfungslinie markiert.

Im p-T-Diagramm sind diese Zustände durch drei wichtige Kurven (Koexistenzlinien) gekennzeichnet:

• Die Schmelzkurve (fest-flüssig): Zeigt den Übergang von fest zu flüssig bei verschiedenen Drücken und Temperaturen.
• Die Verdampfungskurve (flüssig-gasförmig): Zeigt den Übergang von flüssig zu gasförmig und endet im kritischen Punkt.
• Die Sublimationskurve (fest-gasförmig): Zeigt den direkten Übergang von fest zu gasförmig ohne durch den flüssigen Zustand zu gehen.

Diese Phasengrenzen und der kritische Punkt sind zentrale Merkmale zur Beschreibung der Zustände eines Stoffes in einem Phasendiagramm.

b)

Teil b)

Für einen bestimmten Stoff liegt die spezifische Wärme bei konstantem Druck ( c_p ) bei 1,8 \frac{kJ}{kg \times K}. Berechne die Wärmemenge, die erforderlich ist, um 2 kg dieses Stoffes um 15 K zu erwärmen. Verwende die Formel für die spezifische Wärme und zeige alle Schritte der Berechnung.

Formel: c_p = \frac{\text{d} Q}{m \text{d} T}

Lösung:

Um die Wärmemenge zu berechnen, die erforderlich ist, um 2 kg eines bestimmten Stoffes um 15 K zu erwärmen, verwenden wir die Formel für die spezifische Wärme:

• Formel: c_p = \frac{\text{d} Q}{m \text{d} T}

Hierbei steht:

• \( c_p \) für die spezifische Wärme bei konstantem Druck
• \( \text{d} Q \) für die Wärmemenge
• \( m \) für die Masse des Stoffes
• \( \text{d} T \) für die Temperaturänderung

Um \( \text{d} Q \) (die Wärmemenge) zu berechnen, stellen wir die Formel um:

• \( \text{d} Q = c_p \times m \times \text{d} T \)

Nun setzen wir die gegebenen Werte ein:

• Gegebene Werte:
• \( c_p = 1,8 \frac{kJ}{kg \times K} \)
• \( m = 2 \) kg
• \( \text{d} T = 15 \) K

Setzen wir diese Werte in die umgestellte Formel:

• \( \text{d} Q = 1,8 \frac{kJ}{kg \times K} \times 2 \text{ kg} \times 15 \text{ K} \)

Wir berechnen schrittweise:

• \( \text{d} Q = 1,8 \times 2 \times 15 \)
• \( \text{d} Q = 3,6 \times 15 \)
• \( \text{d} Q = 54 \text{ kJ} \)

Die Wärmemenge, die erforderlich ist, um 2 kg dieses Stoffes um 15 K zu erwärmen, beträgt also 54 kJ.