Mathematics 1 - Cheatsheet

Bruchrechnen und Dezimalzahlen umrechnen

Definition:

Brüche in Dezimalzahlen und umgekehrt umrechnen – wichtig für verschiedene Berechnungen in Mathe.

Details:

• Bruch in Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen. Beispiel: \( \frac{3}{4} = 0,75 \)
• Dezimalzahl in Bruch: Dezimalzahl als Bruch mit 10er Potenz im Nenner schreiben und kürzen. Beispiel: \( 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \)
• Kürzen: Gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner verwenden. Beispiel: \( \frac{75}{100} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{3}{4} \)
• Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Beispiel: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} \)

Binomische Formeln und deren Anwendung

Definition:

Binomische Formeln: drei spezielle algebraische Identitäten.

Details:

• Erste binomische Formel: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• Zweite binomische Formel: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
• Dritte binomische Formel: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
• Anwendung: vereinfachen von Ausdrücken, Lösung quadratischer Gleichungen, Polynom-Multiplikation.
• Wichtig in der Analysis und Linearen Algebra.

Grenzwertberechnung: Definitionen und Berechnungen

Definition:

Berechnung von Grenzwerten von Funktionen und Folgen, um das Verhalten an bestimmten Punkten oder im Unendlichen zu analysieren.

Details:

• Grundformel: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \)
• Für Folgen: \( \lim_{{n \to \infty}} a_n = L \)
• Für beidseitige Grenzwerte anwendbar
• L'Hospital'sche Regel bei \( \frac{{0}}{{0}} \) oder \( \frac{{\infty}}{{\infty}} \) - Formen: \( \lim_{{x \to c}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \lim_{{x \to c}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} \)
• Wichtige Grenzwerte: \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1 \), \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1}}{{x}} = 0 \)
• Sandwich-Theorem zur Eingrenzung des Grenzwerts

Differentialrechnung: Ableitung und Tangentensteigung

Definition:

Ableitung: Maß für Änderungsrate einer Funktion. Tangentensteigung: Steigung der Tangente an Funktionsgraph im Punkt.

Details:

• \text{Definition der Ableitung:} f'(x) = \frac{df}{dx} = \text{Grenzwert:} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \text{ für } h \to 0
• \text{Interpretation der Ableitung:} Momentane Änderungsrate der Funktion f(x)
• \text{Tangentensteigung:} m = f'(x_0) \text{ ist die Steigung der Tangente an den Punkt } (x_0, f(x_0))
• \text{Gleichung der Tangente:} y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Integralrechnung: Bestimmte und unbestimmte Integrale

Definition:

Integralrechnung befasst sich mit der Berechnung von Flächen unter Kurven. Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen: bestimmte Integrale haben feste Grenzen, unbestimmte nicht.

Details:

• Bestimmtes Integral: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
• Unbestimmtes Integral: \[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \[ \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x) \]
• Flächenberechnung mit bestimmten Integralen: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Lösen linearer Gleichungssysteme: Gauß-Verfahren

Definition:

Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mittels schrittweiser Umformung der Koeffizientenmatrix in eine obere Dreiecksmatrix.

Details:

• System in Matrixform: \(\textbf{A}\textbf{x} = \textbf{b}\)
• Vorwärtseinsetzen zur Umformung in obere Dreiecksmatrix
• Rückwärtseinsetzen zur Berechnung der Lösungen
• Elementarumformungen: Zeilenvertauschung, Multiplikation einer Zeile mit einer Konstante, Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen

Grundlagen der Differentialgleichungen: Explizite und implizite Lösungen

Definition:

Differentialgleichungen bestimmen Beziehungen zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen; Lösungen können explizit oder implizit dargestellt werden.

Details:

• Explizite Lösung: Lösung in der Form y = f(x), direkt dargestellt
• Implizite Lösung: Lösung in der Form F(x, y) = 0, nicht direkt aufgelöst
• Lösung einer Differenzialgleichung kann durch analytische oder numerische Methoden gefunden werden
• Beispiel explizite Lösung: \(y = e^{3x} + C\)
• Beispiel implizite Lösung: \(F(x, y) = y^2 - x^3 - C = 0\)