Mathematics 1 - Exam

Aufgabe 1)

• Einführung: Brüche und Dezimalzahlen sind grundlegende Konzepte in der Mathematik und werden für verschiedene Berechnungen benötigt. Manchmal ist es erforderlich, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt, um Berechnungen zu erleichtern oder Ergebnisse zu interpretieren.
• Rechenoperationen: Die Umrechnung eines Bruchs in eine Dezimalzahl erfolgt durch die Division des Zählers durch den Nenner. Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibt man die Dezimalzahl als Bruch mit einer Potenz von 10 im Nenner und kürzt diesen dann, soweit möglich.
• Kürzen und Erweitern: Das Kürzen eines Bruchs erfolgt durch das Finden und Anwenden des größten gemeinsamen Teilers (ggT) auf den Zähler und Nenner. Das Erweitern eines Bruchs erfolgt durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben Zahl.

a)

Berechne die Dezimaldarstellung des Bruchs $\frac{13}{25}$. Zeige deine Berechnungen und erkläre deine Schritte.

Lösung:

• Problemstellung: Berechne die Dezimaldarstellung des Bruchs $\frac{13}{25}$. Zeige deine Berechnungen und erkläre deine Schritte.

• Schritt 1: Um den Bruch $\frac{13}{25}$ in eine Dezimalzahl umzuwandeln, wird der Zähler 13 durch den Nenner 25 geteilt: 13 ÷ 25 = ?
• Schritt 2: Führe die Division durch:
13 ÷ 25=0.52. Die Schritte der Division sind wie folgt:

• 13 geteilt durch 25 ergibt 0 (weil 13 kleiner als 25 ist).
• Setze eine 0 und ein Komma in der Dezimalstelle: 0,.
• Ergänze eine 0 zur 13 => 130.
• 130 geteilt durch 25 ergibt 5 (weil 25 * 5 = 125).
• Schreibe 5 in der Dezimalstelle: 0,5.
• 130 - 125 = 5. Ergänze eine 0 zur 5 => 50.
• 50 geteilt durch 25 ergibt 2 (weil 25 * 2 = 50).
• Schreibe 2 in der Dezimalstelle: 0,52.

• Ergebnis: Die Dezimaldarstellung des Bruchs $\frac{13}{25}$ ist $0,52$.

b)

Wandle die Dezimalzahl 0,675 in einen Bruch um und kürze diesen so weit wie möglich. Zeige alle Zwischenschritte.

Lösung:

• Problemstellung: Wandle die Dezimalzahl 0,675 in einen Bruch um und kürze diesen so weit wie möglich. Zeige alle Zwischenschritte.

• Schritt 1: Schreibe die Dezimalzahl 0,675 als Bruch mit einer Potenz von 10 im Nenner. Da 0,675 drei Dezimalstellen hat, wird sie durch 1000 geteilt:

• Schritt 2: Finde den größten gemeinsamen Teiler (ggT) des Zählers und des Nenners, um den Bruch zu kürzen. Der ggT von 675 und 1000 ist 25.

• Schritt 3: Teile den Zähler und den Nenner des Bruchs durch den ggT:

• Schritt 4: Überprüfe den gekürzten Bruch, um sicherzustellen, dass er nicht weiter gekürzt werden kann. Der ggT von 27 und 40 ist 1, also ist der Bruch $\frac{27}{40}$ bereits vollständig gekürzt.

• Ergebnis: Die Dezimalzahl 0,675 umgewandelt in einen Bruch und gekürzt ist $\frac{27}{40}$.

c)

Erweitere den Bruch $\frac{2}{3}$ so, dass der Nenner 24 ist. Zeige deine Berechnungen und erkläre deine Schritte.

Lösung:

• Problemstellung: Erweitere den Bruch $\frac{2}{3}$ so, dass der Nenner 24 ist. Zeige deine Berechnungen und erkläre deine Schritte.

• Schritt 1: Bestimme den Faktor, mit dem sowohl der Zähler als auch der Nenner multipliziert werden müssen, um den Nenner von 3 auf 24 zu erweitern.

• Nenner 3 muss in 24 umgewandelt werden. Berechne den Erweiterungsfaktor:

• Schritt 2: Multipliziere den Zähler und den Nenner des Bruchs $\frac{2}{3}$ mit dem Erweiterungsfaktor 8:

• Schritt 3: Überprüfe den erweiterten Bruch. Der Nenner ist jetzt 24, was den Anforderungen entspricht:

• Ergebnis: Der Bruch $\frac{2}{3}$ erweitert auf einen Nenner von 24 lautet $\frac{16}{24}$.

d)

Kürze den Bruch $\frac{48}{64}$ und erkläre, wie du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) gefunden hast.

Lösung:

• Problemstellung: Kürze den Bruch $\frac{48}{64}$ und erkläre, wie du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) gefunden hast.

• Schritt 1: Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT)
Um den Bruch $\frac{48}{64}$ zu kürzen, müssen wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 48 und 64 finden. Es gibt zwei gebräuchliche Methoden, um den ggT zu bestimmen:

• Faktorisierungsmethode:
  • Faktorisiere die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren:
  • 48: $2^4\times 3=16\times 3=48$
  • 64: $2^6=64$
  • Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Potenz von 2, die beide Zahlen teilen können, also $2^4=16$. Somit ist $\text{ggT}(48,64)=16$.

• Euklidischer Algorithmus:Der Euklidische Algorithmus ist eine effiziente Methode, um den ggT zu finden:
  • Berechne: $\text{ggT}(64,48)=\text{ggT}(48,64\mathrm{mod}48)$
  • $64\mathrm{mod}48=16$
  • Berechne weiter: $\text{ggT}(48,16)=\text{ggT}(16,48\mathrm{mod}16)$
  • $48\mathrm{mod}16=0$
  • Daher: $\text{ggT}(16,0)=16$
  • Also ist $\text{ggT}(64,48)=16$.

• Schritt 2: Teile den Bruch durch den ggT
Nun, da wir wissen, dass der ggT von 48 und 64 gleich 16 ist, können wir den Bruch $\frac{48}{64}$ durch diesen ggT kürzen:
• $\frac{48÷16}{64÷16}=\frac{3}{4}$

• Schritt 3: Überprüfe den gekürzten Bruch
Der ggT von 3 und 4 ist 1, daher kann der Bruch $\frac{3}{4}$ nicht weiter gekürzt werden.

• Ergebnis: Der gekürzte Bruch von $\frac{48}{64}$ ist $\frac{3}{4}$.

Aufgabe 2)

Gegeben sei das Polynom

• pol(t) = (t + 3)^2 - (2t - 1)^2

a)

Vereinfache das gegebene Polynom

• pol(t) = (t + 3)^2 - (2t - 1)^2

Lösung:

Um das gegebene Polynom zu vereinfachen:

• pol(t) = (t + 3)^2 - (2t - 1)^2

müssen wir die binomischen Formeln anwenden. Die erste binomische Formel lautet:

• (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

und die dritte binomische Formel lautet:

• (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Schritt 1: Wenden wir die erste binomische Formel auf den ersten Term an:

• $(t+3{)}^2=t^2+2\times t\times 3+3^2=t^2+6t+9$

Schritt 2: Wenden wir die dritte binomische Formel auf den zweiten Term an:

• $(2t-1{)}^2=(2t{)}^2-2\times 2t\times 1+1^2=4t^2-4t+1$

Schritt 3: Subtrahiere die beiden Terme:

• $(t^2+6t+9)-(4t^2-4t+1)=t^2+6t+9-4t^2+4t-1$

Schritt 4: Fasse die Terme zusammen:

• $t^2-4t^2+6t+4t+9-1=-3t^2+10t+8$

Das vereinfachte Polynom lautet:

• pol(t) = -3t^2 + 10t + 8

b)

Bestimme die Nullstellen des vereinfachten Polynoms. Berechne das Ergebnis und gebe die nötigen Rechenschritte an.

Lösung:

Um die Nullstellen des vereinfachten Polynoms zu bestimmen, setzen wir es zuerst gleich Null:

• -3t^2 + 10t + 8 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung in der Form at^2 + bt + c = 0, wobei:

• a = -3
• b = 10
• c = 8

Um die Nullstellen zu berechnen, verwenden wir die Mitternachtsformel (auch bekannt als quadratische Formel):

• $t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Schritt 1: Berechne den Diskriminantenwert $\mathrm{\Delta }$ :

• $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$
• $\mathrm{\Delta }={10}^2-4\times (-3)\times 8$
• $\mathrm{\Delta }=100+96$
• $\mathrm{\Delta }=196$

Schritt 2: Berechne die Werte für t:

• $t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$
• $t_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{196}}{2\times (-3)}$
• $t_{1,2}=\frac{-10\pm 14}{-6}$

Schritt 3: Bestimme die einzelnen Werte von t:

• Für $t_1$:
• $t_1=\frac{-10+14}{-6}$
• $t_1=\frac{4}{-6}$
• $t_1=-\frac{2}{3}$

• Für $t_2$:
• $t_2=\frac{-10-14}{-6}$
• $t_2=\frac{-24}{-6}$
• $t_2=4$

Die Nullstellen des vereinfachten Polynoms sind also:

• t_1 = -\frac{2}{3}
• t_2 = 4

Aufgabe 3)

Dein Ziel ist es, die Grenzwerte der folgenden Funktionen und Folgen zu berechnen, um das Verhalten an bestimmten Punkten oder im Unendlichen zu analysieren. Verwende dabei Definitionen, die Grundformel, die L'Hospital'sche Regel und wichtige Grenzwerte.

a)

Finde den Grenzwert der Funktion $f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}$ für $x\to 1$. Beachte, dass direkte Einsetzung zu einer $\frac{0}{0}$-Form führt und wende daher die L'Hospital'sche Regel an.

Lösung:

Um den Grenzwert der Funktion $f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}$ für $x\to 1$ zu finden, können wir nicht einfach direkt einsetzen, weil das zu einer $\frac{0}{0}$-Form führt. Daher wenden wir die L'Hospital'sche Regel an, die besagt, dass:

• Wenn $\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ zu einer $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ Form führt, dann
• $\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, vorausgesetzt dieser neue Grenzwert existiert.

Für unsere Funktion $f(x)$ haben wir:

• $f(x)=2x^2-3x+1$
• $g(x)=x-1$

Die Ableitungen sind:

• $f^{\prime }(x)=4x-3$
• $g^{\prime }(x)=1$

Nun können wir die L'Hospital'sche Regel anwenden:

• $\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{4x-3}{1}$

Setze $x=1$ ein:

• $\underset{x\to 1}{lim}\frac{4(1)-3}{1}=\frac{4-3}{1}=1$

Daher ist der Grenzwert der Funktion $\frac{2x^2-3x+1}{x-1}$ für $x\to 1$ gleich 1.

b)

Bestimme den Grenzwert der Folge $a_n=\frac{n^2+n+1}{2n^2+3}$ für $n\to \mathrm{\infty }$. Nutze die Definition des Grenzwerts für Folgen und zeige, dass $\frac{1}{n}$ im Unendlichen gegen 0 konvergiert.

Lösung:

Um den Grenzwert der Folge $a_n=\frac{n^2+n+1}{2n^2+3}$ für $n\to \mathrm{\infty }$ zu bestimmen, analysieren wir das Verhalten der Folge im Unendlichen. Dazu können wir die höchsten Potenzen von $n$ im Zähler und Nenner betrachten.

Zunächst schreiben wir die Folge in einer Form, die das Verhalten im Unendlichen verdeutlicht:

• $a_n=\frac{n^2+n+1}{2n^2+3}$

Teilen wir Zähler und Nenner durch $n^2$:

• $a_n=\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{3}{n^2}}=\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n^2}}$

Nun können wir den Grenzwert dieser neuen Darstellung der Folge für $n\to \mathrm{\infty }$ untersuchen. Da $\frac{1}{n}$ und $\frac{1}{n^2}$ gegen 0 konvergieren, ergibt sich:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\frac{1+0+0}{2+0}=\frac{1}{2}$

Daher ist der Grenzwert der Folge $a_n=\frac{n^2+n+1}{2n^2+3}$ für $n\to \mathrm{\infty }$ gleich $\frac{1}{2}$.

Aufgabe 4)

Gegeben sei die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x. Untersuche die Funktion hinsichtlich ihrer Ableitungen und Tangentensteigungen an bestimmten Punkten.

a)

• Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x. Bestätige Deine Berechnungen durch den Grenzwertbegriff der Ableitung.

Lösung:

Um die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x zu berechnen, gehen wir schrittweise vor:

• Wir verwenden die Potenzregel der Differentiation, um die Ableitung von f(x) zu berechnen:

• Anwendung der Potenzregel:

• Für x^3 gilt: $$\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2$$

• Für -3x^2 gilt: $$\frac{d}{dx}(-3x^2)=-6x$$

• Für 2x gilt: $$\frac{d}{dx}(2x)=2$$

• Damit ergibt sich die Ableitung von f(x):

• $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$$

Um die Berechnungen durch den Grenzwertbegriff der Ableitung zu bestätigen, verwenden wir die Definition der Ableitung:

• $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

• Setzen wir f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x in die Definition ein:

• $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h{)}^3-3(x+h{)}^2+2(x+h)-(x^3-3x^2+2x)}{h}$$

• Erweitern und vereinfachen wir den Zähler:

• $$\begin{array}{rlrl}(x+h{)}^3& =x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-3(x+h{)}^2& =-3(x^2+2xh+h^2)=-3x^2-6xh-3h^{2}2(x+h)& =2x+2h\end{array}$$

• Setzen wir dies zusammen:

• $$x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-3x^2-6xh-3h^2+2x+2h-x^3+3x^2-2x$$

• Vereinfachen wir weiter:

• $$3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-6xh-3h^2+2h$$

• Faktorisieren wir den Zähler:

• $$h(3x^2+3xh+h^2-6x-3h+2)$$

• Teilen wir den Zähler durch h:

• $$\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-6xh-3h^2+2h}{h}=3x^2+3xh+h^2-6x-3h+2$$

• Nun setzen wir den Grenzwert:

• $$\underset{h\to 0}{lim}(3x^2+3xh+h^2-6x-3h+2)=3x^2-6x+2$$

Damit ergibt sich die gleiche Ableitung wie zuvor berechnet: $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$$

b)

• Bestimme die Tangentensteigung der Funktion f(x) an den Punkten x_0 = 0, x_0 = 1 und x_0 = -1. Gib jeweils die Gleichung der Tangente an.

Lösung:

Um die Tangentensteigungen der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x an den angegebenen Punkten zu berechnen, müssen wir die erste Ableitung der Funktion verwenden:

• Die Ableitung der Funktion ist: $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$$

Nun bestimmen wir die Steigungen an den Punkten x_0 = 0, x_0 = 1 und x_0 = -1

• Für x_0 = 0:

• Die Tangentensteigung $$m=f^{\prime }(0)=3(0{)}^2-6(0)+2=2$$

• Der Funktionswert an diesem Punkt $$f(0)=0^3-3(0{)}^2+2(0)=0$$

• Die Tangentengleichung lautet somit: $$y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)=2x$$

• Für x_0 = 1:

• Die Tangentensteigung $$m=f^{\prime }(1)=3(1{)}^2-6(1)+2=-1$$

• Der Funktionswert an diesem Punkt $$f(1)=1^3-3(1{)}^2+2(1)=0$$

• Die Tangentengleichung lautet somit: $$y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=-1(x-1)+0=-x+1$$

• Für x_0 = -1:

• Die Tangentensteigung $$m=f^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2-6(-1)+2=11$$

• Der Funktionswert an diesem Punkt $$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+2(-1)=-6$$

• Die Tangentengleichung lautet somit: $$y=f^{\prime }(-1)(x+1)+f(-1)=11(x+1)-6=11x+5$$

Die Tangentengleichungen sind daher:

• Für x_0 = 0: $$y=2x$$

• Für x_0 = 1: $$y=-x+1$$

• Für x_0 = -1: $$y=11x+5$$

c)

• Analysiere nun, ob die Tangente am Punkt x_0 = 1 die Funktion f(x) irgendwo anders als im Punkt x_0 = 1 schneidet. Falls ja, berechne die Koordinaten dieses Schnittpunkts.

Lösung:

Um zu analysieren, ob die Tangente am Punkt x_0 = 1 die Funktion f(x) woanders als im Punkt x_0 = 1 schneidet, setzen wir die Tangentengleichung mit der Funktion gleich und lösen die Gleichung:

• Die Funktion ist: $$f(x)=x^3-3x^2+2x$$

• Die Tangentengleichung am Punkt x_0 = 1 ist: $$y=-x+1$$

Wir setzen die beiden Gleichungen gleich:

• $$x^3-3x^2+2x=-x+1$$

Um dies zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite der Gleichung:

• $$x^3-3x^2+2x+x-1=0$$

• $$x^3-3x^2+3x-1=0$$

Nun müssen wir diese kubische Gleichung lösen, um die Schnittpunkte zu finden. Dies kann durch Faktorisierung oder numerische Methoden geschehen. Eine Möglichkeit besteht darin, mögliche ganzzahlige Lösungen zu prüfen:

Versuchen wir es mit $x=1$:

• $$1^3-3(1{)}^2+3(1)-1=0$$

• $$1-3+3-1=0$$

$x=1$ ist tatsächlich eine Lösung. Daher ist $x=1$ eine doppelte Nullstelle der kubischen Gleichung, was bedeutet, dass die Tangente die Funktion nicht an einem anderen Punkt schneidet. Eine mögliche zusätzliche Nullstelle könnte numerisch überprüft werden, aber hier konzentrieren wir uns auf algebraische Lösungen:

Führen wir eine Polynomdivision durch:

• $$x^3-3x^2+3x-1=(x-1)(x^2-2x+1)$$

Nun finden wir die Nullstellen des Quadratischen Polynoms x^2 - 2x + 1:

• $$x^2-2x+1=0$$

• $$(x-1{)}^2=0$$

• $$x=1$$

Daher haben wir nur eine wiederholte Nullstelle bei x = 1.

Basierend auf dieser Analyse schneidet die Tangente die Funktion f(x) nur an dem Punkt x_0 = 1 und sonst nirgends.