Physik - Exam

Aufgabe 1)

Du befindest Dich auf einem Raumfahrzeug und beobachtest die Bewegung eines Satelliten in der Nähe der Erde. Der Satellit hat eine Masse von 500 kg und befindet sich in einem stabilen Orbit um die Erde. Zur Vereinfachung wird die Erdanziehungskraft konstant angenommen, und Luftwiderstand wird vernachlässigt.

a)

a) Berechne die Beschleunigung, die auf den Satelliten wirkt, wenn eine konstante Nettokraft von 1500 N auf ihn ausgeübt wird. Verwende das zweite Newtonsche Gesetz.

Lösung:

Um die Beschleunigung zu berechnen, die auf den Satelliten wirkt, wenn eine konstante Nettokraft von 1500 N auf ihn ausgeübt wird, verwenden wir das zweite Newtonsche Gesetz.

Das zweite Newtonsche Gesetz lautet:

• \(a = \frac{F}{m}\)

Dabei gilt:

• \(F\) ist die auf den Körper wirkende Kraft
• \(m\) ist die Masse des Körpers
• \(a\) ist die Beschleunigung

Gegeben:

• \(F = 1500 \text{ N}\)
• \(m = 500 \text{ kg}\)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein, so erhalten wir:

• \(a = \frac{1500 \text{ N}}{500 \text{ kg}} = 3 \text{ m/s}^2\)

Die Beschleunigung, die auf den Satelliten wirkt, beträgt also:

• \(3 \text{ m/s}^2\)

b)

b) Angenommen, eine weitere Kraft wird plötzlich in entgegengesetzter Richtung mit gleicher Stärke auf den Satelliten ausgeübt. Beschreibe die resultierende Bewegung des Satelliten unter Berücksichtigung des dritten Newtonschen Gesetzes.

Lösung:

Um die resultierende Bewegung des Satelliten unter diesen neuen Umständen zu verstehen, müssen wir das dritte Newtonsche Gesetz heranziehen.

Das dritte Newtonsche Gesetz lautet:

• Jede Aktion hat eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Reaktion.

Angenommen, es wird eine zweite Kraft von 1500 N in entgegengesetzter Richtung auf den Satelliten ausgeübt, dann haben wir zwei Kräfte, die gleich groß sind, aber in entgegengesetzte Richtungen wirken.

• Ursprüngliche Kraft: \(1500 \text{ N}\)
• Entgegengesetzte Kraft: \(-1500 \text{ N}\)

Die resultierende Nettokraft \(F_{net}\) ist die Summe der beiden Kräfte:

• \(F_{net} = 1500 \text{ N} + (-1500 \text{ N}) = 0 \text{ N}\)

Wenn die Nettokraft null ist, bedeutet das, dass keine unbalancierte Kraft mehr auf den Satelliten wirkt. Laut dem ersten Newtonschen Gesetz (Trägheitsgesetz) wird ein Körper in Ruhe bleiben oder sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter bewegen, wenn keine Nettokraft auf ihn wirkt.

In diesem Fall wird der Satellit:

• Seine Bewegungsgeschwindigkeit beibehalten, da keine zusätzliche Kraft zur Beschleunigung oder Verzögerung wirkt.

Die resultierende Bewegung des Satelliten wird also:

• Eine konstante Geschwindigkeit in seinem stabilen Orbit sein, ohne Beschleunigung oder Verzögerung.

c)

c) Erläutere, wie das erste Newtonsche Gesetz auf den Satelliten zutrifft, wenn keine zusätzlichen Kräfte (außer der Gravitation) auf ihn wirken. Welche Art von Bewegung führt der Satellit aus?

Lösung:

Um zu verstehen, wie das erste Newtonsche Gesetz auf den Satelliten zutrifft, wenn keine zusätzlichen Kräfte (außer der Gravitation) auf ihn wirken, müssen wir das erste Newtonsche Gesetz genauer betrachten.

Das erste Newtonsche Gesetz (Trägheitsgesetz) lautet:

• Ein Körper bleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung, solange keine resultierende Kraft auf ihn ausgeübt wird.

In diesem Szenario wirken keine zusätzlichen Kräfte auf den Satelliten, außer der Gravitationskraft, die von der Erde ausgeübt wird. Dies hat die folgenden Implikationen:

• Die Gravitationskraft bewirkt, dass der Satellit eine Hinbewegung zur Erde hin verspüren würde, falls er direkt in Ruhe wäre.
• Da der Satellit sich bereits in einem stabilen Orbit befindet, balanciert diese Gravitationskraft die Zentripetalkraft aus, die notwendig ist, um den Satelliten auf seiner Kreisbahn zu halten.

Aufgrund des ersten Newtonschen Gesetzes und der spezifischen Balance der Kräfte (Gravitation und Zentripetalkraft) bleibt der Satellit in einer gleichförmigen Kreisbewegung um die Erde. Die Bewegung des Satelliten ist also eine:

• gleichförmige Kreisbewegung

In mathematischer Hinsicht setzt sich dies wie folgt zusammen:

• Die Gravitationskraft \(F_g\) ist gegeben durch:
• \(F_g = \frac{G \times M_e \times m}{r^2}\)
• \(G\) ist die Gravitationskonstante
• \(M_e\) ist die Masse der Erde
• \(m\) ist die Masse des Satelliten
• \(r\) ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Erde und dem Satelliten
• Die Zentripetalkraft \(F_z\) ist gegeben durch:
• \(F_z = m \times \frac{v^2}{r}\)
• \(v\) ist die Bahngeschwindigkeit des Satelliten

Im stabilen Orbit gilt:

• \(\frac{G \times M_e \times m}{r^2} = m \times \frac{v^2}{r}\)

Dies zeigt die Balance der Kräfte, die zur gleichförmigen Kreisbewegung führt.

Zusammenfassend:

• Wenn keine zusätzlichen Kräfte (außer der Gravitation) auf den Satelliten wirken, bleibt er in einer stabilen gleichförmigen Kreisbewegung um die Erde gemäß dem ersten Newtonschen Gesetz.

Aufgabe 2)

Ein Balken der Länge 4 m und Masse 10 kg liegt horizontal auf zwei Stützen. Die eine Stütze befindet sich am linken Ende des Balkens, die andere Stütze 1 m vom rechten Ende des Balkens entfernt. Eine Last von 20 kg wird 1 m vom linken Ende des Balkens aufgehängt. Der Balken befindet sich im Gleichgewicht.

a)

Berechne die Reaktionskräfte an den beiden Stützen. Nutze hierzu die Bedingung des Kräftegleichgewichts und des Drehmomentgleichgewichts. Gehe davon aus, dass die Gravitationskonstante g = 9.81 m/s² beträgt.

Lösung:

Berechnung der Reaktionskräfte an den beiden Stützen

• Gegeben: • Länge des Balkens: 4 m • Masse des Balkens: 10 kg • Stütze A: am linken Ende des Balkens • Stütze B: 1 m vom rechten Ende des Balkens entfernt (also bei 3 m gemessen vom linken Ende) • Last: 20 kg, 1 m vom linken Ende aufgehängt • Gravitationskonstante: g = 9.81 m/s²

Schritte zur Berechnung:

1. Bestimmen der Gewichtskräfte
   • Gewichtskraft des Balkens: \( F_{B} = 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 98.1 \, \text{N} \)
   • Gewichtskraft der Last: \( F_{L} = 20 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N} \)
2. Definition der Reaktionskräfte
   • R_A: Reaktionskraft der linken Stütze
   • R_B: Reaktionskraft der rechten Stütze
3. Kräftegleichgewicht

   Summe aller vertikalen Kräfte muss Null sein:

   \( R_A + R_B = F_B + F_L \) \( R_A + R_B = 98.1 \, \text{N} + 196.2 \, \text{N} \) \( R_A + R_B = 294.3 \, \text{N} \)
4. Drehmomentgleichgewicht um Punkt A (linke Stütze)

   Summe der Drehmomente um A muss Null sein:

   \( R_B \cdot 3 \, \text{m} = F_L \cdot 1 \, \text{m} + F_B \cdot 2 \, \text{m} \) \( R_B \cdot 3 \, \text{m} = 196.2 \, \text{N} \cdot 1 \, \text{m} + 98.1 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} \) \( 3 \cdot R_B = 196.2 + 196.2 \) \( 3 \cdot R_B = 392.4 \, \text{N} \) \( R_B = \frac{392.4}{3} = 130.8 \, \text{N} \)
5. Berechnung der Reaktionskraft an der linken Stütze

   Wir setzen \( R_B \) in das Kräftegleichgewicht ein:

   \( R_A + 130.8 \, \text{N} = 294.3 \, \text{N} \) \( R_A = 294.3 \, \text{N} - 130.8 \, \text{N} = 163.5 \, \text{N} \)

Ergebnisse:

• Reaktionskraft an der linken Stütze, \( R_A = 163.5 \, \text{N} \)
• Reaktionskraft an der rechten Stütze, \( R_B = 130.8 \, \text{N} \)

b)

Berechne die Position der Last, bei der die Reaktionskraft an der linken Stütze doppelt so groß ist wie an der rechten Stütze. Gehe davon aus, dass alle anderen Bedingungen gleich bleiben.

Lösung:

Berechnung der Position der Last für das gegebene Verhältnis der Reaktionskräfte

• Gegeben: • Länge des Balkens: 4 m • Masse des Balkens: 10 kg • Stütze A: am linken Ende des Balkens • Stütze B: 1 m vom rechten Ende des Balkens entfernt (also bei 3 m gemessen vom linken Ende) • Last: 20 kg • Gravitationskonstante: g = 9.81 m/s²

Schritte zur Berechnung:

1. Gewichtskräfte berechnen
   • Gewichtskraft des Balkens: \( F_{B} = 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 98.1 \, \text{N} \)
   • Gewichtskraft der Last: \( F_{L} = 20 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N} \)
2. Definition der Reaktionskräfte
   • R_A: Reaktionskraft der linken Stütze
   • R_B: Reaktionskraft der rechten Stütze
3. Kräftegleichgewicht verwenden

   Summe aller vertikalen Kräfte muss Null sein:

   \( R_A + R_B = F_B + F_L \) \( R_A + R_B = 98.1 \, \text{N} + 196.2 \, \text{N} \) \( R_A + R_B = 294.3 \, \text{N} \)
4. Bedingung anwenden: Reaktionskraft an Stütze A ist doppelt so groß wie an Stütze B \( R_A = 2R_B \)
5. Setze die Bedingung in das Kräftegleichgewicht ein \( 2R_B + R_B = 294.3 \, \text{N} \) \( 3R_B = 294.3 \, \text{N} \) \( R_B = \frac{294.3}{3} = 98.1 \, \text{N} \) \( R_A = 2 \times 98.1 = 196.2 \, \text{N} \)
6. Drehmomentgleichgewicht um Punkt A (linke Stütze)

   Summe der Drehmomente um A muss Null sein:

   \( R_B \cdot 3 \, \text{m} = F_L \cdot x + F_B \cdot 2 \, \text{m} \) \( 98.1 \cdot 3 = 196.2 \cdot x + 98.1 \cdot 2 \) \( 294.3 = 196.2x + 196.2 \)
7. Gleichung nach x lösen \( 294.3 - 196.2 = 196.2x \) \( 98.1 = 196.2x \) \( x = \frac{98.1}{196.2} \) \( x = 0.5 \, \text{m} \)

Ergebnis:

Die Last muss 0.5 m vom linken Ende des Balkens entfernt aufgehängt werden, damit die Reaktionskraft an der linken Stütze doppelt so groß ist wie an der rechten Stütze.

c)

Stelle die Drehmomentgleichung auf, wenn eine zusätzliche Kraft von 50 N vertikal nach unten am freien Ende des Balkens (rechten Ende) angebracht wird. Bestimme die neuen Reaktionskräfte an den beiden Stützen.

Lösung:

Drehmomentgleichung mit zusätzlicher Kraft am rechten Ende

• Gegeben: • Länge des Balkens: 4 m • Masse des Balkens: 10 kg • Stütze A: am linken Ende des Balkens • Stütze B: 1 m vom rechten Ende des Balkens entfernt (also bei 3 m gemessen vom linken Ende) • Last: 20 kg, 1 m vom linken Ende aufgehängt • Zusätzliche Kraft: 50 N vertikal nach unten am rechten Ende • Gravitationskonstante: g = 9.81 m/s²

Schritte zur Berechnung:

1. Bestimmen der Gewichtskräfte
   • Gewichtskraft des Balkens: \( F_{B} = 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 98.1 \, \text{N} \)
   • Gewichtskraft der Last: \( F_{L} = 20 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N} \)
2. Definition der Reaktionskräfte
   • R_A: Reaktionskraft der linken Stütze
   • R_B: Reaktionskraft der rechten Stütze
3. Kräftegleichgewicht

   Summe aller vertikalen Kräfte muss Null sein:

   \( R_A + R_B = F_B + F_L + F_{Zusatz} \) \( R_A + R_B = 98.1 \, \text{N} + 196.2 \, \text{N} + 50 \, \text{N} \) \( R_A + R_B = 344.3 \, \text{N} \)
4. Drehmomentgleichgewicht um Punkt A (linke Stütze)

   Summe der Drehmomente um A muss Null sein:

   \( R_B \cdot 3 \, \text{m} = F_L \cdot 1 \, \text{m} + F_B \cdot 2 \, \text{m} + F_{Zusatz} \cdot 4 \, \text{m} \) \( R_B \cdot 3 \, \text{m} = 196.2 \, \text{N} \cdot 1 \, \text{m} + 98.1 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} + 50 \, \text{N} \cdot 4 \, \text{m} \) \( 3 \cdot R_B = 196.2 + 196.2 + 200 \) \( 3 \cdot R_B = 592.4 \, \text{N} \) \( R_B = \frac{592.4}{3} = 197.47 \, \text{N} \)
5. Berechnung der Reaktionskraft an der linken Stütze

   Wir setzen \( R_B \) in das Kräftegleichgewicht ein:

   \( R_A + 197.47 \, \text{N} = 344.3 \, \text{N} \) \( R_A = 344.3 \, \text{N} - 197.47 \, \text{N} = 146.83 \, \text{N} \)

Ergebnisse:

• Reaktionskraft an der linken Stütze, \( R_A = 146.83 \, \text{N} \)
• Reaktionskraft an der rechten Stütze, \( R_B = 197.47 \, \text{N} \)

Aufgabe 3)

Betrachte eine punktförmige Ladung Q, die sich im Zentrum einer kugelförmigen Oberfläche mit Radius R befindet. Nutze das Gauss'sche Gesetz, um das elektrische Feld außerhalb und innerhalb der kugelförmigen Oberfläche zu bestimmen.

a)

Berechne das elektrische Feld, wenn sich die Ladung Q im Zentrum der Kugel befindet und Du das Feld an einem Punkt auf der Oberfläche mit Radius R berechnen möchtest. Zeige alle Schritte und begründe die Anwendung des Gauss'schen Gesetzes.

Lösung:

Um das elektrische Feld unter Verwendung des Gauss'schen Gesetzes zu berechnen, beginnen wir mit einer Beschreibung des Szenarios:

• Es gibt eine punktförmige Ladung Q im Zentrum einer Kugel.
• Der Radius der Kugel beträgt R.
• Wir wollen das elektrische Feld an einem Punkt auf der Oberfläche mit Radius R berechnen.

Das Gauss'sche Gesetz besagt:

$$ abla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

oder in integraler Form:

$$ \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{innen}}}{\epsilon_0} $$

Hier ist $Q_{\text{innen}}$ die gesamte eingeschlossene Ladung innerhalb der Oberfläche $\mathcal{S}$ und $\epsilon_0$ die Dielektrizitätskonstante.

Um das elektrische Feld an einem Punkt auf der Oberfläche mit Radius R zu finden, folgen wir diesen Schritten:

1. Wähle eine geeignete Gauss'sche Fläche: Da das Problem radial symmetrisch ist (wegen der punktförmigen Ladung im Zentrum), wählen wir eine kugelförmige Gauss'sche Fläche mit Radius $R$. Diese Fläche ist konzentrisch mit der gegebenen Kugel.
2. Anwendung des Gauss'schen Gesetzes: Wegen der Symmetrie ist das elektrische Feld $\mathbf{E}$ auf der Oberfläche der Gauss'schen Fläche überall gleich und nach außen gerichtet. Wir schreiben das Gauss'sche Gesetz in seiner integralen Form als:

$$ \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E \oint_{\mathcal{S}} dA = E \cdot 4 \pi R^2 $$

• Da die gesamte Fläche der Kugel $4 \pi R^2$ ist und das elektrische Feld $E$ auf der Oberfläche konstant ist.

1. Die eingeschlossene Ladung $Q_{\text{innen}}$ ist einfach $Q$, da sich die gesamte Ladung im Zentrum der Kugel befindet:

$$ E \cdot 4 \pi R^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} $$

1. Wir lösen nach dem elektrischen Feld $E$ auf:

$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} $$

Dies ist das elektrische Feld an einem Punkt auf der Oberfläche der Kugel mit Radius $R$. Zusammenfassend ergibt sich das elektrische Feld aufgrund der punktförmigen Ladung $Q$ im Zentrum der Kugel durch die Anwendung des Gauss'schen Gesetzes als:

$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} $$

Dies ist das elektrische Feld an jedem Punkt auf der Oberfläche der Kugel.

b)

Bestimme das elektrische Feld innerhalb der Kugel, d.h., für einen Punkt, der einen Abstand r von der Ladung Q hat, wobei r < R gilt. Zeige alle Schritte und erkläre, warum das Gauss'sche Gesetz in diesem Fall anders angewendet wird.

Lösung:

Um das elektrische Feld innerhalb der Kugel zu bestimmen, verwenden wir das Gauss'sche Gesetz. Hier sind die detaillierten Schritte zur Berechnung des elektrischen Feldes an einem Punkt mit dem Abstand r von der Ladung Q, wobei r < R gilt:

• Wähle eine geeignete Gauss'sche Fläche: Da das Problem radial symmetrisch ist (wegen der punktförmigen Ladung im Zentrum), wählen wir eine kugelförmige Gauss'sche Fläche mit Radius r. Diese Fläche ist konzentrisch mit der gegebenen Kugel.
• Anwendung des Gauss'schen Gesetzes in integral Form: Wegen der Symmetrie ist das elektrische Feld $\mathbf{E}$ auf der Oberfläche der Gauss'schen Fläche überall gleich und ebenfalls radial gerichtet. Wir schreiben das Gauss'sche Gesetz in seiner integralen Form als:

$$ \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{innen}}}{\epsilon_0} $$

Aufgrund der Symmetrie ist $E$ auf der Oberfläche der Gauss'schen Fläche konstant, sodass das Oberflächenintegral vereinfacht wird zu:

$$ E \oint_{\mathcal{S}} dA = E \cdot 4\pi r^2 $$

Dabei ist $4\pi r^2$ die Fläche der kugelförmigen Oberfläche mit Radius r.

• Da sich die gesamte Ladung Q am Zentrum der Kugel befindet, ist die eingeschlossene Ladung $Q_{\text{innen}}$ innerhalb der Gauss'schen Fläche auch gleich Q.

Setze dies in das Gauss'sche Gesetz ein:

$$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} $$

• Löse nach dem elektrischen Feld $E$ auf:

$$ E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} $$

Da Q in diesem Fall einen Abstand r < R hat, bleibt die Formel für $E$ unverändert. Zusammengefasst ergibt sich das elektrische Feld aufgrund der punktförmigen Ladung Q im Zentrum der Kugel durch die Anwendung des Gauss'schen Gesetzes:

$$ E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} $$

Dies ist das elektrische Feld an jedem Punkt innerhalb der Kugel mit Abstand r, wobei r < R gilt.

c)

Erkläre, wie sich das elektrische Feld ändert, wenn die Ladung Q symmetrisch verteilt auf der Oberfläche der Kugel ist, anstatt im Zentrum. Berechne das elektrische Feld für einen Punkt außerhalb der Kugel.

Lösung:

Wenn die Ladung Q symmetrisch auf der Oberfläche der Kugel verteilt ist, anstatt im Zentrum zu sein, ändert sich die Anwendung des Gauss'schen Gesetzes etwas. Wir müssen die Verteilung der Ladung berücksichtigen, aber die Symmetrie des Problems bleibt intakt. Dies hilft bei der Vereinfachung der Berechnungen.

Um das elektrische Feld an einem Punkt außerhalb der Kugel zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

• Symmetrieeigenschaft nutzen: Wenn die Ladung Q symmetrisch auf der Oberfläche der Kugel verteilt ist, bleibt die elektrische Symmetrie radial. Dies bedeutet, dass das elektrische Feld radial ist und vom Zentrum der Kugel aus nach außen weist.
• Wähle eine Gauss'sche Fläche: Eine kugelförmige Gauss'sche Fläche mit Radius r, wobei r > R ist.

Das Gauss'sche Gesetz in seiner integral Form ist:

$$ abla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

oder in integral Form:

$$ \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{innen}}}{\epsilon_0} $$

Wegen der Symmetrie des Problems können wir dieses vereinfachen zu:

$$ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} $$

• Hier ist $Q_{\text{innen}}$ die gesamte eingeschlossene Ladung innerhalb der Gauss'schen Fläche und $\epsilon_0$ die Dielektrizitätskonstante.

Die Fläche der kugelförmigen Gauss'schen Fläche mit Radius r ist $4 \pi r^2$.

Da die gesamte Ladung Q auf der Kugeloberfläche bleibt und innerhalb der Gauss'schen Fläche bei r > R ist, ist die eingeschlossene Ladung für die Gauss'sche Fläche auch Q.

Setzen wir dies ins Gauss'sche Gesetz ein, erhalten wir:

$$ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} $$

Lösen wir nach dem elektrischen Feld E auf:

$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} $$

Zusammen ergibt sich also, dass das elektrische Feld außerhalb der Kugel, wenn die Ladung Q symmetrisch auf der Oberfläche der Kugel verteilt ist, genauso ist wie das Feld, wenn die Ladung im Zentrum der Kugel konzentriert wäre. Dies liegt daran, dass die Symmetrie und die Verteilung der Ladung äquivalent zu einer Punktladung im Zentrum erscheinen:

$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} $$

d)

Vergleiche und diskutiere die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Berechnungen und erläutere, wie das Gauss'sche Gesetz hilft, diese unterschiedlichen Szenarien zu analysieren.

Lösung:

Um die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Berechnungen zu vergleichen und zu diskutieren, gehen wir auf die wesentlichen Punkte ein, die zum Verständnis der Anwendung des Gauss'schen Gesetzes in diesen Szenarien beitragen:

Szenario 1: Punktförmige Ladung Q im Zentrum der Kugel

• Elektrisches Feld außerhalb der Kugel:Wir haben festgestellt, dass das elektrische Feld außerhalb der Kugel (r > R) gegeben ist durch:$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} $$Dies folgt direkt aus dem Gauss'schen Gesetz, da die gesamte Ladung Q innerhalb der Gauss'schen Fläche eingeschlossen ist und diese Fläche radial symmetrisch ist.
• Elektrisches Feld innerhalb der Kugel:Für einen Punkt innerhalb der Kugel, d.h., wenn r < R, ist das elektrische Feld:$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} $$Hier nutzt man ebenfalls die radiale Symmetrie, wobei die gesamte Ladung Q innerhalb der Gauss'schen Fläche im Zentrum betrachtet wird.

Szenario 2: Ladung Q symmetrisch auf der Oberfläche der Kugel verteilt

• Elektrisches Feld außerhalb der Kugel:Wenn die gesamte Ladung Q symmetrisch auf der Oberfläche der Kugel verteilt ist und r > R, bleibt das elektrische Feld dasselbe wie im ersten Szenario:$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} $$Dies zeigt, dass eine gleichmäßige Verteilung der Ladung auf der Kugeloberfläche das gleiche elektrische Feld außerhalb der Kugel erzeugt, wie es eine Punktladung im Zentrum der Kugel tun würde. Das Gauss'sche Gesetz hilft hier, indem es die symmetrische Verteilung ausnutzt, um das elektrische Feld zu berechnen.

Diskussion

Obwohl die beiden Szenarien unterschiedliche physikalische Situationen darstellen (einmal eine Punktladung im Zentrum der Kugel und einmal eine gleichmäßig auf der Oberfläche verteilte Ladung), führen sie außerhalb der Kugel zu identischen Ergebnissen für das elektrische Feld. Dies liegt daran, dass aufgrund der Symmetrie und des Gauss'schen Gesetzes die Gesamtladung in beiden Fällen gleich behandelt wird.

• Das Gauss'sche Gesetz vereinfacht die Berechnung des elektrischen Feldes erheblich in Situationen mit hohem Symmetriegrad. Es reduziert das Problem der Berechnung eines komplexen Integrals zu einer Berechnung, die nur die Gesamtladungsmenge und die Radialsymmetrie berücksichtigt.
• Die Resultate zeigen, dass für Punkte außerhalb der Kugel nur die Gesamtladung und der Abstand zur Ladung wichtig sind, nicht aber die genaue Verteilung der Ladung (solange die Verteilung symmetrisch ist).
• Innerhalb der Kugel (im Fall der Punktladung) bleibt das elektrische Feld ebenfalls vergleichbar einfach, da es aufgrund der Symmetrie konzentrisch ist und vom Abstand r abhängt.

Das Gauss'sche Gesetz ist somit ein leistungsfähiges Werkzeug, um elektrische Felder in symmetrischen Situationen zu analysieren und die Ergebnisse für unterschiedliche Verteilungen der Ladung zu vergleichen.

Aufgabe 4)

In einem abgeschlossenen Stromkreis befindet sich eine rechteckige Drahtschleife mit einer Fläche von 0,5 m². Diese Schleife wird einem sich ändernden Magnetfeld ausgesetzt, wobei sich der Fluss des Magnetfeldes durch die Fläche der Schlaufe mit einer konstanten Rate ändert.

Die Änderung des magnetischen Flusses beträgt 0,2 Wb/s. Die Richtung des Magnetfeldes steht senkrecht zur Fläche der Schlaufe.

Die folgende Aufgaben sollen unter Anwendung des Faraday'schen Induktionsgesetzes gelöst werden.

a)

1. Berechne die elektromotorische Kraft (EMK), die in der Drahtschleife induziert wird.

Verwende das Faraday'sche Induktionsgesetz \(\text{EMK} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\).

Gib die Lösung in Volt an.

Lösung:

Um die elektromotorische Kraft (EMK) in der Drahtschleife zu berechnen, verwenden wir das Faraday'sche Induktionsgesetz:

• Formel: \(\text{EMK} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\)

Dabei steht \(\text{EMK}\) für die induzierte elektromotorische Kraft, \(d\Phi_B\) für die Änderung des magnetischen Flusses, und \(dt\) für die Änderung der Zeit.

• Gegebene Werte:

• Änderung des magnetischen Flusses: \(\frac{d\Phi_B}{dt} = 0{,}2 \ \text{Wb/s}\)

Setzen wir den gegebenen Wert in die Formel ein:

• \(\text{EMK} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -0{,}2 \ \text{V}\)

Das negative Vorzeichen zeigt die Richtung der induzierten Spannung durch Lenz's Gesetz an, aber oft geben wir die Spannung in Betrag an.

Somit beträgt die induzierte elektromotorische Kraft (EMK): 0{,}2 V

b)

2. Wenn sich das Magnetfeld umkehrt und die Änderung des magnetischen Flusses nun -0,4 Wb/s beträgt, was ist die neue induzierte EMK?

Erkläre, wie die Lenzsche Regel in diesem Fall angewendet wird.

Lösung:

Um die neue elektromotorische Kraft (EMK) zu berechnen, wenn sich das Magnetfeld umkehrt und die Änderung des magnetischen Flusses nun -0,4 Wb/s beträgt, verwenden wir das Faraday'sche Induktionsgesetz:

• Formel: \(\text{EMK} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\)

Dabei steht \(\text{EMK}\) für die induzierte elektromotorische Kraft, \(d\Phi_B\) für die Änderung des magnetischen Flusses, und \(dt\) für die Änderung der Zeit.

• Gegebene Werte:

Setzen wir den gegebenen Wert in die Formel ein:

• \(\text{EMK} = -\left( -0{,}4 \right) \ \text{V} = 0{,}4 \ \text{V}\)

Das negative Vorzeichen im Faraday'schen Gesetz zeigt gemäß der Lenzschen Regel an, dass die induzierte EMK stets so gerichtet ist, dass sie der Ursache ihrer Entstehung entgegenwirkt. In diesem Fall bedeutet das, dass die Drahtschleife eine Spannung induziert, die der Änderung des Magnetflusses entgegenwirkt. Da sich der Magnetfluss nun negativ ändert (abnehmend), erzeugt die induzierte EMK eine Spannung in positiver Richtung, um dieser Abnahme entgegenzuwirken. Daher erhalten wir eine positive EMK.

Somit beträgt die neue induzierte elektromotorische Kraft (EMK): 0{,}4 V

c)

3. Gegeben sei, dass die Drahtschleife einen Widerstand von 5 Ohm hat. Berechne den Strom, der durch die Schleife fließt, wenn eine EMK von 0,2 V angelegt wird.

Verwende das Ohmsche Gesetz \(V = IR\).

Lösung:

Um den Strom zu berechnen, der durch die Drahtschleife fließt, wenn eine EMK von 0,2 V angelegt wird, verwenden wir das Ohmsche Gesetz:

• Formel: \(V = I \cdot R\)

Dabei steht \(V\) für die Spannung (EMK), \(I\) für den Strom, und \(R\) für den Widerstand.

• Gegebene Werte:

• Spannung (EMK): \(V = 0{,}2 \text{ V}\)
• Widerstand: \(R = 5 \text{ Ohm}\)

Um den Strom \(I\) zu berechnen, formen wir das Ohmsche Gesetz um:

• \(I = \frac{V}{R}\)

Setzen wir die gegebenen Werte ein:

• \(I = \frac{0{,}2 \text{ V}}{5 \text{ Ohm}} = 0{,}04 \text{ A}\)

Somit beträgt der Strom, der durch die Schleife fließt, wenn eine EMK von 0,2 V angelegt wird, 0{,}04 A (oder 40 mA).

d)

4. Wenn die Drahtschleife nicht rechteckig, sondern kreisförmig ist und denselben Magnetfluss von 0,2 Wb/s erfährt, wie ändert sich die induzierte EMK?

Muss bei der Berechnung der EMK die Form der Schleife berücksichtigt werden? Begründe deine Antwort anhand des Faraday'schen Induktionsgesetzes.

Lösung:

Um zu beantworten, ob die Form der Drahtschleife die induzierte elektromotorische Kraft (EMK) beeinflusst, müssen wir das Faraday'sche Induktionsgesetz näher betrachten:

• Formel: \(\text{EMK} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\)

Dabei steht \(\text{EMK}\) für die induzierte elektromotorische Kraft, \(d\Phi_B\) für die Änderung des magnetischen Flusses, und \(dt\) für die Änderung der Zeit.

Das Faraday'sche Induktionsgesetz zeigt, dass die induzierte EMK direkt von der Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi_B\) pro Zeiteinheit abhängt, unabhängig von der geometrischen Form der Schleife (ob rechteckig oder kreisförmig).

• Gegebene Werte:

• Änderung des magnetischen Flusses: \(\frac{d\Phi_B}{dt} = 0{,}2 \text{ Wb/s}\)

Setzen wir den gegebenen Wert in die Formel ein:

• \(\text{EMK} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -0{,}2 \text{ V}\)

Da das Faraday'sche Gesetz keine Abhängigkeit von der Form der Schleife beinhaltet, bleibt die induzierte EMK gleich, auch wenn die Form der Schleife von rechteckig in kreisförmig geändert wird.

Somit bleibt die induzierte elektromotorische Kraft (EMK) bei konstantem magnetischen Fluss von 0,2 Wb/s unverändert und beträgt weiterhin -0,2 V (die Form des negativen Vorzeichens zeigt gemäß Lenzscher Regel die entgegengesetzte Richtung an; in der Praxis betrachtet man oft den Betrag).

Zusammenfassung: Bei der Berechnung der EMK gemäß Faraday'schem Induktionsgesetz spielt die Form der Schleife keine Rolle, solange der Magnetfluss pro Zeiteinheit dieselbe Rate der Änderung erfährt.