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Statistik - Cheatsheet Mittelwert, Median, Modus Definition: Definitionen und Erklärungen der zentralen Tendenzmaße in der Statistik. Details: Mittelwert (arithmetisches Mittel): Durchschnittswert einer Datenmenge. Berechnung:

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

Median: Der Wert, der die geordnete Datenmenge in zwei gleich große Hälften teilt. Modus: Der am häufigsten vorkommende Wert i...

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Mittelwert, Median, Modus

Definition:

Definitionen und Erklärungen der zentralen Tendenzmaße in der Statistik.

Details:

Mittelwert (arithmetisches Mittel): Durchschnittswert einer Datenmenge. Berechnung: $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$
Median: Der Wert, der die geordnete Datenmenge in zwei gleich große Hälften teilt.
Modus: Der am häufigsten vorkommende Wert in einer Datenmenge.

Varianz und Standardabweichung

Definition:

Varianz beschreibt die durchschnittliche quadratische Abweichung der Messwerte vom Mittelwert, Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Details:

Varianz: $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$
Standardabweichung: $s = \sqrt{s^{2}}$
Maß für die Streuung der Daten
Wichtiger für das Verständnis der Datenverteilung
Einheit der Varianz: Quadrat der ursprünglichen Einheit
Einheit der Standardabweichung: Ursprüngliche Einheit

Boxplot-Darstellung

Definition:

Graphische Darstellung zur Visualisierung der Verteilung einer Datenmenge basierend auf den Quartilen.

Details:

Box: Interquartilsabstand (IQR)
Linie innerhalb der Box: Median
Whiskers: 1.5 \times IQR
Ausreißer: Datenpunkte außerhalb der Whiskers
Häufig genutzt zur Erkennung von Symmetrie und Ausreißern

Korrelation und Kovarianz

Definition:

Korrelation misst die Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen. Kovarianz misst die Richtung der linearen Beziehung zwischen zwei Variablen und deren gemeinsame Variation.

Details:

Kovarianz: $Cov (X, Y) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})$
Korrelation: standardisierte Form der Kovarianz, $Corr (X, Y) = \frac{Cov (X, Y)}{sd (X) \cdot sd (Y)}$
Wertebereich der Korrelation: $- 1 \leq Corr (X, Y) \leq 1$
Korrelation $= 0$ bedeutet keine lineare Beziehung
Korrelation $= 1$ oder $- 1$ bedeutet perfekte lineare Beziehung

Bayes' Theorem

Definition:

Bayes' Theorem zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf vorheriger Wissen oder Ereignissen.

Details:

Formel:

Normalverteilung

Definition:

Wahrscheinlichkeitsverteilung, gekennzeichnet durch die Glockenkurve; symmetrisch um den Mittelwert $μ$ mit der Standardabweichung $σ$ .

Details:

Dichtefunktion: $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$
Erwartungswert: $E (X) = μ$
Varianz: $V a r (X) = σ^{2}$
68-95-99,7 Regel: ca. 68% innerhalb von $μ \pm 1 σ$ , 95% innerhalb von $μ \pm 2 σ$ , 99,7% innerhalb von $μ \pm 3 σ$

Hypothesentests und p-Werte

Definition:

Hypothesentests überprüfen, ob eine Annahme über eine Population mit Daten übereinstimmt. Ein p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das beobachtete Ergebnis oder ein extremeres unter der Nullhypothese eintritt.

Details:

Nullhypothese (H0): Annahme, die geprüft wird.
Alternativhypothese (H1): Die Annahme, die angenommen wird, wenn H0 abgelehnt wird.
Signifikanzniveau (α): Akzeptable Fehlerwahrscheinlichkeit, üblicherweise 0,05 oder 5%.
p-Wert: Wahrscheinlichkeit, das beobachtete Ergebnis unter H0 zu erhalten.
- p < α: H0 ablehnen, H1 annehmen.
- p ≥ α: H0 nicht ablehnen.
Zweiseitiger Test: Test in beide Richtungen.
Einseitiger Test: Test in eine Richtung.
Berechnung des p-Werts oft über Teststatistik wie \textit{t-Test}, \textit{z-Test}, etc.

Multiple Regression

Definition:

Multiple Regression quantifiziert die Beziehung zwischen einer abhängigen Variable (y) und mehreren unabhängigen Variablen (x).

Details:

Regressionsgleichung: $y = β_{0} + β_{1} x_{1} + β_{2} x_{2} + . . . + β_{k} x_{k} + ϵ$
$y$ : abhängige Variable
$x_{1}, x_{2}, . . ., x_{k}$ : unabhängige Variablen
$β_{0}$ : Achsenabschnitt (intercept)
$β_{1}, β_{2}, . . ., β_{k}$ : Regressionskoeffizienten
$ϵ$ : Störterm (error term)
Voraussetzungen: Linearität, Unabhängigkeit, Homoskedastizität, Normalverteilung der Fehler
Koeffizienten bestimmen: Methode der kleinsten Quadrate
Modellgüte: Bestimmtheitsmaß ( $R^{2}$ ), Adjustiertes $R^{2}$
Multikollinearität prüfen: Variance Inflation Factor (VIF)

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Varianz und Standardabweichung

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