Statistik - Cheatsheet

Mittelwert, Median, Modus

Definition:

Definitionen und Erklärungen der zentralen Tendenzmaße in der Statistik.

Details:

• Mittelwert (arithmetisches Mittel): Durchschnittswert einer Datenmenge. Berechnung: \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
• Median: Der Wert, der die geordnete Datenmenge in zwei gleich große Hälften teilt.
• Modus: Der am häufigsten vorkommende Wert in einer Datenmenge.

Varianz und Standardabweichung

Definition:

Varianz beschreibt die durchschnittliche quadratische Abweichung der Messwerte vom Mittelwert, Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Details:

• Varianz: \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \]
• Standardabweichung: \[ s = \sqrt{s^2} \]
• Maß für die Streuung der Daten
• Wichtiger für das Verständnis der Datenverteilung
• Einheit der Varianz: Quadrat der ursprünglichen Einheit
• Einheit der Standardabweichung: Ursprüngliche Einheit

Boxplot-Darstellung

Definition:

Graphische Darstellung zur Visualisierung der Verteilung einer Datenmenge basierend auf den Quartilen.

Details:

• Box: Interquartilsabstand (IQR)
• Linie innerhalb der Box: Median
• Whiskers: 1.5 \times IQR
• Ausreißer: Datenpunkte außerhalb der Whiskers
• Häufig genutzt zur Erkennung von Symmetrie und Ausreißern

Korrelation und Kovarianz

Definition:

Korrelation misst die Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen. Kovarianz misst die Richtung der linearen Beziehung zwischen zwei Variablen und deren gemeinsame Variation.

Details:

• Kovarianz: \(\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n-1}\textstyle \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})\)
• Korrelation: standardisierte Form der Kovarianz, \(\text{Corr}(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{sd}(X) \cdot \text{sd}(Y)}\)
• Wertebereich der Korrelation: \(-1 \leq \text{Corr}(X,Y) \leq 1\)
• Korrelation \(=0\) bedeutet keine lineare Beziehung
• Korrelation \(=1\) oder \(-1\) bedeutet perfekte lineare Beziehung

Bayes' Theorem

Definition:

Bayes' Theorem zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf vorheriger Wissen oder Ereignissen.

Details:

• Formel:

Normalverteilung

Definition:

Wahrscheinlichkeitsverteilung, gekennzeichnet durch die Glockenkurve; symmetrisch um den Mittelwert \( \mu \) mit der Standardabweichung \( \sigma \).

Details:

• Dichtefunktion: \( f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2} \)
• Erwartungswert: \( E(X) = \mu \)
• Varianz: \( Var(X) = \sigma^2 \)
• 68-95-99,7 Regel: ca. 68% innerhalb von \( \mu \pm 1 \sigma \), 95% innerhalb von \( \mu \pm 2 \sigma \), 99,7% innerhalb von \( \mu \pm 3 \sigma \)

Hypothesentests und p-Werte

Definition:

Hypothesentests überprüfen, ob eine Annahme über eine Population mit Daten übereinstimmt. Ein p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das beobachtete Ergebnis oder ein extremeres unter der Nullhypothese eintritt.

Details:

• Nullhypothese (H0): Annahme, die geprüft wird.
• Alternativhypothese (H1): Die Annahme, die angenommen wird, wenn H0 abgelehnt wird.
• Signifikanzniveau (α): Akzeptable Fehlerwahrscheinlichkeit, üblicherweise 0,05 oder 5%.
• p-Wert: Wahrscheinlichkeit, das beobachtete Ergebnis unter H0 zu erhalten.
  • p < α: H0 ablehnen, H1 annehmen.
  • p ≥ α: H0 nicht ablehnen.
• Zweiseitiger Test: Test in beide Richtungen.
• Einseitiger Test: Test in eine Richtung.
• Berechnung des p-Werts oft über Teststatistik wie \textit{t-Test}, \textit{z-Test}, etc.

Multiple Regression

Definition:

Multiple Regression quantifiziert die Beziehung zwischen einer abhängigen Variable (y) und mehreren unabhängigen Variablen (x).

Details:

• Regressionsgleichung: \[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_k x_k + \epsilon \]
• \(y\): abhängige Variable
• \(x_1, x_2, ..., x_k\): unabhängige Variablen
• \(\beta_0\): Achsenabschnitt (intercept)
• \(\beta_1, \beta_2, ..., \beta_k\): Regressionskoeffizienten
• \(\epsilon\): Störterm (error term)
• Voraussetzungen: Linearität, Unabhängigkeit, Homoskedastizität, Normalverteilung der Fehler
• Koeffizienten bestimmen: Methode der kleinsten Quadrate
• Modellgüte: Bestimmtheitsmaß (\(R^2\)), Adjustiertes \(R^2\)
• Multikollinearität prüfen: Variance Inflation Factor (VIF)