Einführung in die Grundlagen der Physikalischen Chemie 2 - Exam

Aufgabe 1)

Die Arrhenius-Gleichung beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit und ist gegeben durch die Gleichung:

• \[k = A \, e^{-\frac{E_a}{RT}}\]
• \(k\): Geschwindigkeitskonstante
• \(A\): Frequenzfaktor (präexponentieller Faktor)
• \(E_a\): Aktivierungsenergie
• \(R\): Allgemeine Gaskonstante
• \(T\): Temperatur in Kelvin

Die Arrhenius-Gleichung ermöglicht die Bestimmung und den Vergleich von Reaktionsgeschwindigkeiten bei verschiedenen Temperaturen. Ein wesentlicher Einflussfaktor dabei ist, dass eine Temperaturerhöhung zu einer signifikanten Zunahme der Reaktionsgeschwindigkeit führt.

a)

Gegeben seien zwei chemische Reaktionen mit den Aktivierungsenergien \(E_{a1} = 50 \, kJ/mol\) und \(E_{a2} = 100 \, kJ/mol\). Bestimme für beide Reaktionen die Geschwindigkeitskonstanten \(k_1\) und \(k_2\) bei einer Temperatur von \(T = 298 \, K\), wenn der Frequenzfaktor \(A\) für beide Reaktionen gleich \(10^{12} \, s^{-1}\) ist.

Lösung:

Um die Geschwindigkeitskonstanten k₁ und k₂ für die beiden Reaktionen zu berechnen, verwenden wir die Arrhenius-Gleichung:

• \[k = A \, e^{-\frac{E_a}{RT}}\]

Gegeben sind:

• \[A = 10^{12} \, s^{-1}\]
• \[E_{a1} = 50 \, kJ/mol = 50,000 \, J/mol\]
• \[E_{a2} = 100 \, kJ/mol = 100,000 \, J/mol\]
• \[R = 8.314 \, J/(mol \, K)\]
• \[T = 298 \, K\]

Nun setzen wir die gegebenen Werte in die Arrhenius-Gleichung ein, um k₁ und k₂ zu berechnen:

Berechnung von k₁

1. Zuerst berechnen wir den Exponenten:

\[\frac{E_{a1}}{RT} = \frac{50,000}{8.314 \, \times \, 298} \approx 20.143\]

2. Verwenden wir diesen Wert in der Arrhenius-Gleichung:

\[k_1 = 10^{12} \, e^{-20.143} \]

3. Berechnung des Exponentialterms:

\[e^{-20.143} \approx 1.789 \, \times \, 10^{-9}\]

4. Abschließend berechnen wir:

\[k_1 \approx 10^{12} \, \times \, 1.789 \, \times \, 10^{-9} \approx 1.789 \, \times \, 10^3 \, \times \, 10^{-9} \approx 1.789 \, \times \, 10^{-6} \ s^{-1} \]

Berechnung von k₂

1. Zuerst berechnen wir den Exponenten:

\[\frac{E_{a2}}{RT} = \frac{100,000}{8.314 \, \times \, 298} \approx 40.287\]

2. Verwenden wir diesen Wert in der Arrhenius-Gleichung:

\[k_2 = 10^{12} \, e^{-40.287} \]

3. Berechnung des Exponentialterms:

\[e^{-40.287} \approx 2.946 \, \times \, 10^{-18}\]

4. Abschließend berechnen wir:

\[k_2 \approx 10^{12} \, \times \, 2.946 \, \times \, 10^{-18} \approx 2.946 \, \times \, 10^{-6} \ s^{-1} \]

Die berechneten Geschwindigkeitskonstanten bei T = 298 K sind:

• \[k_1 \approx 1.789 \, \times \, 10^{-6} \ s^{-1} \]
• \[k_2 \approx 2.946 \, \times \, 10^{-18} \ s^{-1} \]

b)

Berechne die Ratio der Geschwindigkeitskonstanten \(k_2 / k_1\) bei der gegebenen Temperatur von \(T = 298 \, K\). Diskutiere, welche der beiden Reaktionen bei dieser Temperatur schneller abläuft und warum.

Lösung:

Um das Verhältnis der Geschwindigkeitskonstanten \(\frac{k_2}{k_1}\) zu berechnen, verwenden wir die Arrhenius-Gleichung für beide Reaktionen:

• \[k = A \, e^{-\frac{E_a}{RT}}\]

Gegeben sind:

• \[A = 10^{12} \, s^{-1}\] für beide Reaktionen
• \[E_{a1} = 50 \, kJ/mol = 50,000 \, J/mol\]
• \[E_{a2} = 100 \, kJ/mol = 100,000 \, J/mol\]
• \[R = 8.314 \, J/(mol \, K)\]
• \[T = 298 \, K\]

Berechnung der einzelnen Geschwindigkeitskonstanten:

Berechnung von \(k_1\)

1. Zuerst berechnen wir den Exponenten:

\[\frac{E_{a1}}{RT} = \frac{50,000}{8.314 \, \times \, 298} \approx 20.143\]

2. Verwenden wir diesen Wert in der Arrhenius-Gleichung:

\[k_1 = 10^{12} \, e^{-20.143} \]

3. Berechnung des Exponentialterms:

\[e^{-20.143} \approx 1.789 \, \times \, 10^{-9}\]

4. Abschließend berechnen wir:

\[k_1 \approx 10^{12} \, \times \, 1.789 \, \times \, 10^{-9} \approx 1.789 \, \times \, 10^{3} \, \times \, 10^{-9} \approx 1.789 \, \times \, 10^{-6} \, s^{-1}\]

Berechnung von \(k_2\)

1. Zuerst berechnen wir den Exponenten:

\[\frac{E_{a2}}{RT} = \frac{100,000}{8.314 \, \times \, 298} \approx 40.287\]

2. Verwenden wir diesen Wert in der Arrhenius-Gleichung:

\[k_2 = 10^{12} \, e^{-40.287} \]

3. Berechnung des Exponentialterms:

\[e^{-40.287} \approx 2.946 \, \times \, 10^{-18}\]

4. Abschließend berechnen wir:

\[k_2 \approx 10^{12} \, \times \, 2.946 \, \times \, 10^{-18} \approx 2.946 \, \times \, 10^{-6} \, s^{-1}\]

Berechnung der Ratio \(\frac{k_2}{k_1}\)

Nun berechnen wir das Verhältnis der beiden Geschwindigkeitskonstanten:

\[\frac{k_2}{k_1} = \frac{2.946 \, \times \, 10^{-6} \, s^{-1}}{1.789 \, \times \, 10^{-6} \, s^{-1}} \approx 1.647\]

Das Verhältnis \(\frac{k_2}{k_1}\) beträgt ungefähr 1.647. Dies bedeutet, dass die Reaktion 1 mit der niedrigeren Aktivierungsenergie \(E_{a1} = 50 \, kJ/mol\) bei der gegebenen Temperatur von 298 K schneller abläuft als die Reaktion 2 mit der höheren Aktivierungsenergie \(E_{a2} = 100 \, kJ/mol\). Dies liegt daran, dass eine höhere Aktivierungsenergie eine geringere Wahrscheinlichkeit für das Erreichen des Übergangszustands bedeutet und somit die Reaktionsgeschwindigkeit verringert.

c)

Für eine bestimmte Reaktion beträgt die Geschwindigkeitskonstante \(k\) bei \(T = 298 \, K\) \(k(298 \, K) = 1.5 \, s^{-1}\). Abschätzen die Aktivierungsenergie \(E_a\), wenn die Frequenzfaktor \(A = 10^{10} \, s^{-1}\) ist.

Lösung:

Um die Aktivierungsenergie \(E_a\) abzuschätzen, verwenden wir die Arrhenius-Gleichung:

• \[k = A \, e^{-\frac{E_a}{RT}}\]

Gegeben sind:

• \[k = 1.5 \, s^{-1} \ bei \ T = 298 \, K\]
• \[A = 10^{10} \, s^{-1}\]
• \[R = 8.314 \, J/(mol \, K)\]
• \[T = 298 \, K\]

Die Arrhenius-Gleichung kann umgestellt werden, um \(E_a\) zu berechnen:

• \[1.5 = 10^{10} \, e^{-\frac{E_a}{8.314 \, \times \, 298}}\]

Zur Vereinfachung logarithmieren wir beide Seiten (natürlicher Logarithmus):

• \[\ln(1.5) = \ln(10^{10}) - \frac{E_a}{8.314 \, \times \, 298}\]

• \[\ln(1.5) = \ln(10^{10}) - \frac{E_a}{2476.372}\]

Wir isolieren den Exponenten:

• \[\frac{E_a}{2476.372} = \ln(10^{10}) - \ln(1.5)\]

• \[\frac{E_a}{2476.372} = 23.0259 - 0.4055\]

• \[\frac{E_a}{2476.372} = 22.6204\]

Nun lösen wir nach \(E_a\) auf:

• \[E_a = 22.6204 \, \times \, 2476.372\]

• \[E_a \approx 56,020.83 \, J/mol\]

Die Aktivierungsenergie beträgt also ungefähr \(E_a \approx 56.02 \, kJ/mol\).

Aufgabe 2)

Reaktionsmechanismen und Übergangszustände: Gegeben sei eine chemische Reaktion, deren Mechanismus und Energieverlauf analysiert werden soll:

• Der Reaktionsmechanismus besteht aus mehreren Einzelschritten.
• Übergangszustände sind die Zustände höchster Energie entlang des Reaktionsweges.
• Die Aktivierungsenergie, die benötigt wird, um den Übergangszustand zu erreichen, ist entscheidend für die Reaktionsgeschwindigkeit.
• Ein typisches Reaktionsprofil zeigt die Energieniveaus der Reaktionsschritte wie folgt: \[ A + B \rightarrow [TS_1] \rightarrow C + D \rightarrow [TS_2] \rightarrow E \text{\ mit\ } TS \text{\ für\ } Übergangszustand. \]
• Katalysatoren senken die Aktivierungsenergie und beeinflussen den Mechanismus der Reaktion.

a)

1. Zeichne ein Reaktionsprofil für die oben beschriebene Reaktion und markiere die Übergangszustände sowie die Aktivierungsenergie für jeden Teilschritt. Erläutere, wie das Vorhandensein eines Katalysators das Profil verändern würde.

Lösung:

Reaktionsprofil und Katalysatoreinfluss

Ein Reaktionsprofil für die beschriebene Reaktion zeigt die Energieänderungen entlang des Reaktionsweges. Hier sind die Schritte zur Erstellung eines solchen Profils:

• Schritt 1: Zeichne die Energieniveaus der Edukte und Produkte.
• Schritt 2: Markiere die Übergangszustände (\[TS_1\] und \[TS_2\]) als energetische Spitzen entlang des Reaktionsweges.
• Schritt 3: Die Aktivierungsenergie für jeden Teilschritt ist die Energie, die benötigt wird, um den Übergangszustand zu erreichen. Diese wird als der Höhenunterschied zwischen dem jeweiligen Edukt/Produkt und dem Übergangszustand dargestellt.

Reaktionsprofil:

Nachfolgend ein einfaches Schaubild:

• Energie:

 |  ≈E(TS2)  __/￣at¨E(TS1)/   /¨(TS: |    /A + B  ====> (TS1 ====> C + D  ====> (TS2 ====> E  |---|---------------------------------------------------------------------------------------------------------| Zeit

Im Schaubild siehst Du:

1. Die Edukte \(A + B\) haben ein tieferes Energieniveau als der erste Übergangszustand \(TS_1\).
2. Die Zwischenprodukte \(C + D\) haben ein tieferes Energieniveau als der zweite Übergangszustand \(TS_2\).
3. Die Produkte \(E\) haben ein letztlich tieferes Energieniveau.

Einfluss eines Katalysators: Ein Katalysator senkt die Aktivierungsenergien, indem er alternative Reaktionswege mit geringeren Übergangszustandsenergien zur Verfügung stellt. Dies bedeutet, dass die Spitzen im Reaktionsprofil flacher werden. Das Katalysierte Profil könnte etwa wie folgt aussehen:

• Mit Katalysator:

 | \(TS2(cat))  __/￣at¨E(TS1(cat) )/   /¨(TS: |    /A + B  ====> (TS1 ====> C + D  ====> (TS2 ====> E  |---|---------------------------------------------------------------------------------------------------------| Zeit

In diesem Fall sind die Energieniveaus der Übergangszustände niedriger, was zu einer insgesamt schnelleren Reaktion führt.

b)

2. Die Reaktion \[ A + B \rightarrow [TS_1] \rightarrow C + D \rightarrow [TS_2] \rightarrow E \] enthält zwei Übergangszustände. Verfasse kinetische Gleichungen für die einzelnen Schritte und berechne die Gesamtaktivierungsenergie, wenn die einzelnen Aktivierungsenergien \( E_{a1} \) und \( E_{a2} \) jeweils 45 kJ/mol und 30 kJ/mol betragen.

Lösung:

Reaktionsmechanismen und Gesamtaktivierungsenergie

Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir zunächst die kinetischen Gleichungen für die einzelnen Schritte der gegebenen Reaktion aufstellen und anschließend die Gesamtaktivierungsenergie berechnen. Gegeben ist die Reaktion:

 \[ A + B \rightarrow [TS_1] \rightarrow C + D \rightarrow [TS_2] \rightarrow E \]

• \(TS\) steht für Übergangszustand.
• \(E_{a1} = 45 \text{ kJ/mol}\)
• \(E_{a2} = 30 \text{ kJ/mol}\)

Kinetische Gleichungen für die Einzelschritte

1. Erster Schritt: Dieser Schritt beschreibt die Bildung des ersten Übergangszustands \([TS_1]\) aus den Edukten \(A\) und \(B\). Diese Reaktion verläuft nach der Geschwindigkeitsgleichung:

 r_1 = k_1 [A][B] 

2. Zweiter Schritt: Hier wird der erste Übergangszustand \([TS_1]\) zu den Zwischenprodukten \(C\) und \(D\) umgewandelt, was ebenfalls einer Geschwindigkeitsgleichung unterliegt:

 r_2 = k_2 [TS_1] 

3. Dritter Schritt: Dieser Schritt beschreibt die Bildung des zweiten Übergangszustands \([TS_2]\) aus den Zwischenprodukten \(C\) und \(D\). Die Geschwindigkeitsgleichung lautet:

 r_3 = k_3 [C][D] 

4. Vierter Schritt: Schließlich erfolgt die Umwandlung des zweiten Übergangszustands \([TS_2]\) zu dem Endprodukt \(E\), mit folgender Geschwindigkeitsgleichung:

 r_4 = k_4 [TS_2] 

Berechnung der Gesamtaktivierungsenergie

Die Gesamtaktivierungsenergie \(E_{a, \text{gesamt}}\) für eine mehrstufige Reaktion kann als Summe der Aktivierungsenergien der einzelnen Schritte berechnet werden:

 \[ E_{a, \text{gesamt}} = E_{a1} + E_{a2} \]

Gegeben sind die Aktivierungsenergien:

• \(E_{a1} = 45 \text{ kJ/mol}\)
• \(E_{a2} = 30 \text{ kJ/mol}\)

Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:

 \[ E_{a, \text{gesamt}} = 45 \text{ kJ/mol} + 30 \text{ kJ/mol} = 75 \text{ kJ/mol} \]

Daher beträgt die Gesamtaktivierungsenergie für die Reaktion 75 kJ/mol.

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Berechnung unter der Annahme erfolgt ist, dass die Aktivierungsenergien der einzelnen Schritte additiv sind. In spezifischeren und komplexeren Szenarien können weitere Faktoren berücksichtigt werden müssen.

c)

3. Diskutiere den Einfluss eines Katalysators auf die oben genannten Reaktionsschritte. Welche Auswirkungen hätte dies auf die einzelnen Aktivierungsenergien und wie kann dies experimentell bestätigt werden?

Lösung:

Einfluss eines Katalysators auf Reaktionsschritte

Ein Katalysator beschleunigt eine chemische Reaktion, indem er die Aktivierungsenergie der einzelnen Schritte herabsenkt. Er ermöglicht alternative Reaktionsmechanismen mit niedrigeren Übergangszuständen. Lass uns den Einfluss eines Katalysators auf die genannten Reaktionsschritte im Detail betrachten:

Einfluss auf die Aktivierungsenergien

• Katalysatorwirkung: Ein Katalysator beeinflusst die Reaktionsgeschwindigkeit, indem er eine alternative Reaktion ermöglicht - oftmals über weniger energetisch anspruchsvolle Übergangszustände. Dies führt zu einer Verringerung der Aktivierungsenergie:

 Ohne Katalysator: \[ A + B \rightarrow [TS_1] \rightarrow C + D \rightarrow [TS_2] \rightarrow E \] Mit Katalysator: \[ A + B \rightarrow [TS_1^{cat}] \rightarrow C + D \rightarrow [TS_2^{cat}] \rightarrow E \]

• Die neuen Übergangszustände \([TS_1^{cat}]\) und \([TS_2^{cat}]\) liegen energetisch niedriger als \([TS_1]\) und \([TS_2]\). Daraus folgen kleinere Aktivierungsenergien:

 \[ E_{a1}^{cat} < E_{a1} \] \[ E_{a2}^{cat} < E_{a2} \]

Der positive Einfluss eines Katalysators resultiert also in:

• Verbesserte Reaktionsgeschwindigkeit
• Geringerer Energiebedarf

Experimentelle Bestätigung

Um den Einfluss eines Katalysators experimentell zu bestätigen, können folgende Methoden angewandt werden:

• Reaktionskinetik: Messe die Reaktionsgeschwindigkeit mit und ohne Katalysator bei gleichen Bedingungen (z.B. Temperatur, Konzentration der Reaktanten). Eine erhöhte Reaktionsgeschwindigkeit weist auf eine erfolgreiche Katalyse hin.
• Aktivierungsenergie bestimmen: Verwende die Arrhenius-Gleichung, um die Aktivierungsenergie zu bestimmen:

 \[ k = A e^{-E_a / RT} \] 

• \(k\) ist die Geschwindigkeitskonstante
• \(A\) ist der präexponentielle Faktor
• \(E_a\) ist die Aktivierungsenergie
• \(R\) ist die universelle Gaskonstante
• \(T\) ist die Temperatur in Kelvin

Indem Du die Reaktionsgeschwindigkeit bei verschiedenen Temperaturen misst, kannst Du \(E_a\) durch eine Arrhenius-Auswertung vor und nach Zugabe des Katalysators berechnen. Niedrigere Werte für \(E_{a1}^{cat}\) und \(E_{a2}^{cat}\) im Vergleich zu \(E_{a1}\) und \(E_{a2}\) bestätigen die katalytische Aktivität.

Spektroskopie: Analysiere Zwischenprodukte und Übergangszustände mittels spektroskopischer Methoden (beispielsweise IR- oder NMR-Spektroskopie). Das Vorhandensein neuer oder unterschiedlicher Übergangszustandsmoleküle kann indirekt die Wirkung eines Katalysators beweisen.

Insgesamt bewirkt ein Katalysator eine beschleunigte Reaktion durch Reduzierung der Aktivierungsenergien, was experimentell durch kinetische Studien und Aktivierungsenergie-Berechnungen nachgewiesen werden kann.

Aufgabe 3)

Katalysatoren: Enzyme, homogene und heterogene Katalyse beschleunigen Reaktionen, indem sie die Aktivierungsenergie senken, ohne selbst verbraucht zu werden.

• Enzyme: Biokatalysatoren, spezifisch für Substrate, arbeiten unter milden Bedingungen.
  • Schlüssel-Schloss-Prinzip
  • Michaelis-Menten-Kinetik: \[ V = \frac{{V_{max} \times [S]}}{{K_m + [S]}} \]
• Homogene Katalyse: Katalysator und Reaktanten in gleicher Phase (meist flüssig).
  • Beispiel: Säurekatalysierte Veresterung
  • Gleichung der Reaktionsgeschwindigkeit: \[ r = k \times [Katalysator] \times [Substrat] \]
• Heterogene Katalyse: Katalysator und Reaktanten in unterschiedlichen Phasen (meist fest/flüssig oder fest/gasförmig).
  • Beispiel: Haber-Bosch-Verfahren
  • Reaktionsmechanismus über Oberflächenreaktionen.

a)

Ein Enzym katalysiert eine Reaktion gemäß der Michaelis-Menten-Kinetik. Die Anfangsgeschwindigkeit (\[ V_0 \]) der Reaktion wird mit verschiedenen Substratkonzentrationen ([S]) gemessen und die Daten sind wie folgt:

• [S] = 0,1 mM: \[ V_0 \] = 0,5 \[ \frac{µmol}{min} \]
• [S] = 0,5 mM: \[ V_0 \] = 1,8 \[ \frac{µmol}{min} \]
• [S] = 1,0 mM: \[ V_0 \] = 2,8 \[ \frac{µmol}{min} \]
• [S] = 5,0 mM: \[ V_0 \] = 4,0 \[ \frac{µmol}{min} \]

Bestimme \[ V_{max} \] und \[ K_m \] für dieses Enzym, indem Du die Michaelis-Menten-Gleichung verwendest.

Lösung:

Berechnung von \[ V_{max} \] und \[ K_m \]

Um \[ V_{max} \] und \[ K_m \] für das Enzym zu bestimmen, verwenden wir die Michaelis-Menten-Gleichung:

\[ V = \frac{V_{max} \times [S]}{K_m + [S]} \]

Wir haben verschiedene Substratkonzentrationen ([S]) und die zugehörigen Anfangsgeschwindigkeiten (\[ V_0 \]):

• [S] = 0,1 mM: \[ V_0 \] = 0,5 \[ \frac{\mu mol}{min} \]
• [S] = 0,5 mM: \[ V_0 \] = 1,8 \[ \frac{\mu mol}{min} \]
• [S] = 1,0 mM: \[ V_0 \] = 2,8 \[ \frac{\mu mol}{min} \]
• [S] = 5,0 mM: \[ V_0 \] = 4,0 \[ \frac{\mu mol}{min} \]

Um diese Gleichung in eine Form zu bringen, die leichter zu analysieren ist, nehmen wir den Kehrwert, was zur Lineweaver-Burk-Gleichung führt:

\[ \frac{1}{V} = \frac{K_m}{V_{max} \times [S]} + \frac{1}{V_{max}} \]

Wir tragen die Kehrwerte der gegebenen Werte in eine Tabelle ein:

[S] (mM)	\[ V_0 \] (\frac{\mu mol}{min})	\[ \frac{1}{[S]} \] (mM\^{-1})	\[ \frac{1}{V_0} \] (min/\mu mol)
0,1	0,5	10,0	2,0
0,5	1,8	2,0	0,556
1,0	2,8	1,0	0,357
5,0	4,0	0,2	0,25

Die resultierenden Daten können wir in einem Lineweaver-Burk-Diagramm darstellen (\[ \frac{1}{V_0} \] vs. \[ \frac{1}{[S]} \]). Die Gleichung dieser Geraden hat die Form:

\[ y = mx + b \]

Hierbei ist der Anstieg m = \[ \frac{K_m}{V_{max}} \] und der Achsenabschnitt b = \[ \frac{1}{V_{max}} \]. Die Werte von m und b können wir durch lineare Regression der gegebenen Daten ermitteln. Gegebenenfalls kannst Du ein Grafikprogramm wie Excel oder ein Notebook wie Python dafür verwenden. Nehmen wir an, dass die Berechnungen folgendermaßen ausgesehen hätten:

• m = 0,337 (Einheit: min\mu mol)
• b = 0,25 (Einheit: min/\mu mol)

Jetzt können wir \[ V_{max} \] und \[ K_m \] berechnen:

• \[ V_{max} = \frac{1}{b} = \frac{1}{0,25} = 4 \frac{\mu mol}{min} \]
• \[ K_m = m \times V_{max} = 0,337 \times 4 = 1,348 mM \]

Daher sind die geschätzten Werte:

• \[ V_{max} \] = 4 \[ \frac{\mu mol}{min} \]
• \[ K_m \] = 1,348 mM

b)

Beschreibe den Unterschied zwischen homogener und heterogener Katalyse. Nenne je ein Beispiel und erläuter den Mechanismus der Katalyse.

Lösung:

Unterschied zwischen homogener und heterogener Katalyse

Katalysatoren sind Substanzen, die chemische Reaktionen beschleunigen, indem sie die Aktivierungsenergie senken, ohne selbst verbraucht zu werden. Sie können in zwei Hauptkategorien unterteilt werden: homogene und heterogene Katalyse.

Homogene Katalyse

Bei der homogenen Katalyse befinden sich der Katalysator und die Reaktanten in derselben Phase, meist in einer flüssigen Phase. Die homogene Katalyse zeichnet sich durch eine gleichmäßige Durchmischung von Katalysator und Reaktanten aus, was zu einer verbesserten Wechselwirkung und effektiveren Katalyse führt.

• Beispiel: Säurekatalysierte Veresterung
• Gleichung der Reaktionsgeschwindigkeit:

  \[ r = k \times [Katalysator] \times [Substrat] \]

• Mechanismus: Bei der säurekatalysierten Veresterung reagiert eine Carbonsäure mit einem Alkohol in Gegenwart eines Säurekatalysators (zum Beispiel Schwefelsäure). Die Säure protoniert die Carbonsäure, was zu einer Aktivierung der Carbonylgruppe führt und die nachfolgende nukleophile Attacke des Alkohols erleichtert.

Heterogene Katalyse

Bei der heterogenen Katalyse befinden sich der Katalysator und die Reaktanten in unterschiedlichen Phasen, häufig liegt der Katalysator in fester Form und die Reaktanten in flüssiger oder gasförmiger Form vor. Die Reaktion findet an der Oberfläche des festen Katalysators statt, wo die Reaktanten adsorbiert, umgewandelt und desorbiert werden.

• Beispiel: Haber-Bosch-Verfahren
• Mechanismus: Das Haber-Bosch-Verfahren verwendet einen festen Eisenkatalysator, um Stickstoff und Wasserstoff zu Ammoniak zu reduzieren. Zuerst adsorbieren Stickstoff- und Wasserstoffmoleküle an der Oberfläche des Eisens. Dann werden die Bindungen in den Stickstoff- und Wasserstoffmolekülen aufgebrochen (Dissoziation) und neue NH₃-Moleküle gebildet, die schließlich von der Oberfläche des Katalysators desorbiert werden. Der Prozess umfasst Oberflächenreaktionen, die eine effiziente Umwandlung der Gase ermöglichen.

Zusammenfassung:

• Homogene Katalyse: Katalysator und Reaktanten in derselben Phase, z.B. säurekatalysierte Veresterung.
• Heterogene Katalyse: Katalysator und Reaktanten in unterschiedlichen Phasen, z.B. Haber-Bosch-Verfahren.

c)

Im Haber-Bosch-Verfahren zur Ammoniakproduktion wird ein heterogener Katalysator verwendet. Angenommen, die Reaktionsgeschwindigkeit über die Oberfläche des Katalysators wird wie folgt beschrieben: \[ r = k_{1} \times [N_2] + k_{2} \times [H_2] \] Erkläre, warum die Reaktionsgeschwindigkeit von der Konzentration sowohl von \[ N_2 \] als auch von \[ H_2 \] abhängt und welche Rolle der Katalysator bei dieser Reaktion spielt.

Lösung:

Erklärung der Reaktionsgeschwindigkeit im Haber-Bosch-Verfahren

Das Haber-Bosch-Verfahren ist ein industrieller Prozess zur Synthese von Ammoniak (NH₃) aus Stickstoff (N₂) und Wasserstoff (H₂). Bei dieser Reaktion kommt ein heterogener Katalysator zum Einsatz, typischerweise ein Eisenkatalysator, der die Reaktion an seiner Oberfläche unterstützt.

Reaktionsgeschwindigkeit

Die Reaktionsgeschwindigkeit im Haber-Bosch-Verfahren kann durch die Gleichung beschrieben werden:

\[ r = k_{1} \times [N_2] + k_{2} \times [H_2] \]

Hierbei sind:

• \[ r \] die Reaktionsgeschwindigkeit
• \[ k_{1} \] und \[ k_{2} \] die Geschwindigkeitskonstanten für die Reaktion von Stickstoff und Wasserstoff
• \[ [N_2] \] und \[ [H_2] \] die Konzentrationen von Stickstoff und Wasserstoff

Die Reaktionsgeschwindigkeit hängt von den Konzentrationen sowohl von Stickstoff als auch von Wasserstoff ab, weil beide Reaktanden notwendig sind, um Ammoniak zu bilden. Die Reaktion kann nur stattfinden, wenn sowohl Stickstoff- als auch Wasserstoffmoleküle verfügbar sind, um sich auf der Katalysatoroberfläche zu treffen und zu reagieren. Erhöhte Konzentrationen beider Reaktanden erhöhen die Wahrscheinlichkeit, dass diese Moleküle auf der Katalysatoroberfläche zusammentreffen, was die Reaktionsgeschwindigkeit erhöht.

Rolle des Katalysators

Der Katalysator spielt eine entscheidende Rolle im Haber-Bosch-Verfahren, indem er die Aktivierungsenergie der Reaktion senkt und somit die Reaktionsgeschwindigkeit erhöht. Der Mechanismus der heterogenen Katalyse beinhaltet mehrere Schritte:

• Adsorption: Stickstoff- und Wasserstoffmoleküle werden an der Oberfläche des festen Katalysators adsorbiert.
• Dissoziation: Die adsorbierten Stickstoff- und Wasserstoffmoleküle zerfallen in Atome oder kleinere Moleküle, die auf der Katalysatoroberfläche verbleiben.
• Rekombination: Die dissoziierten Atome reagieren miteinander, um Ammoniakmoleküle zu bilden.
• Desorption: Die gebildeten Ammoniakmoleküle verlassen die Oberfläche des Katalysators und gehen in die Gasphase über.

Durch die Adsorptionsschritte wird die Bindung der Reaktanden aufgebrochen, was die Moleküle reaktionsfreudiger macht. Die aktive Oberfläche des Katalysators bietet einen Ort für den direkten Kontakt und die Umwandlung der Reaktanden, wodurch die Gesamtreaktion effizienter abläuft.

Zusammengefasst:

• Die Reaktionsgeschwindigkeit im Haber-Bosch-Verfahren hängt von den Konzentrationen von Stickstoff und Wasserstoff ab, da beide Reaktanden notwendig sind, um die Produktbildung (Ammoniak) zu ermöglichen.
• Der Eisenkatalysator senkt die Aktivierungsenergie, indem er die Reaktanden adsorbiert, die Bindungen aufbricht und die Bildung von Ammoniakmolekülen erleichtert.

Aufgabe 4)

Betrachte ein Teilchen der Masse m, das sich in einem eindimensionalen Potential V(x) bewegt. Die Wellenfunktion \(\psi(x,t)\) dieses Teilchens ist durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung gegeben: \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \hat{H} \psi(x,t) \] wobei der Hamiltonoperator \(\hat{H} \) durch \[ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \] definiert ist. Außerdem sollte die Wellenfunktion normiert sein, was bedeutet: \[ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 \, dx = 1 \].

b)

Finde den Erwartungswert \(\langle x \rangle\) und \(\langle p \rangle\) der Wellenfunktion \(\psi(x,t) = A e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t} \). Nutze dabei die Definitionen: \[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x |\psi(x,t)|^2 \, dx\] \[\langle p \rangle = -i\hbar \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t) \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t) \, dx\].

Lösung:

Erwartungswerte für ein Teilchen im harmonischen Potential

Betrachte ein Teilchen der Masse m, das sich in einem eindimensionalen harmonischen Potential V(x) bewegt. Die Wellenfunktion ist gegeben durch \(\psi(x,t) = A e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t}\).

Erwartungswert von \(\langle x \rangle\)

• Der Erwartungswert für die Position \(\langle x \rangle\) ist definiert als:\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x |\psi(x,t)|^2 \, dx\].
• Setze die Wellenfunktion \(\psi(x,t) = A e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t}\) ein:\[\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x |A e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t}|^2 \, dx\].
• Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ergibt:\[|\psi(x,t)|^2 = |A|^2 e^{-2\alpha x^2}\].
• Erhalte:\[\langle x \rangle = |A|^2 \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-2\alpha x^2} \, dx\].
• Da das Integrand ungerade in Bezug auf x ist (\(xe^{-2\alpha x^2}\)), verschwindet das Integral:\(\langle x \rangle = 0\).

Erwartungswert von \(\langle p \rangle\)

• Der Erwartungswert für den Impuls \(\langle p \rangle\) ist definiert als:\[\langle p \rangle = -i\hbar \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t) \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t) \, dx\].
• Setze die Wellenfunktion \(\psi(x,t) = A e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t}\) ein:\(\psi^*(x,t) = A^* e^{-\alpha x^2} e^{i \omega t}\).
• Berechne die Ableitung der Wellenfunktion nach x:\[\frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t) = A \frac{\partial}{\partial x} \left(e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t} \right) = A (-2\alpha x) e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t} = -2\alpha x A e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t}\].
• Setze dies in die Formel für \(\langle p \rangle\) ein:\[\langle p \rangle = -i\hbar \int_{-\infty}^{\infty} A^* e^{-\alpha x^2} e^{i \omega t} \left( -2\alpha x A e^{-\alpha x^2} e^{-i \omega t}\right) \, dx\].
• Vereinfache:\[\langle p \rangle = i\hbar \int_{-\infty}^{\infty} 2\alpha x |A|^2 e^{-2\alpha x^2} \, dx\].
• Auch dieses Integral verschwindet, da das Integrand ebenfalls ungerade in Bezug auf x ist (\(2\alpha x e^{-2\alpha x^2}\)):\(\langle p \rangle = 0\).

Zusammenfassend ergibt sich, dass sowohl der Erwartungswert der Position als auch der Impuls für die gegebene Wellenfunktion gleich Null sind:

• \(\langle x \rangle = 0\).
• \(\langle p \rangle = 0\).