Mathematische Modellbildung und Statistik für Naturwissenschaftler - Cheatsheet

Grundprinzipien der mathematischen Modellbildung

Definition:

Grundideen und Verfahren zur Erstellung von Modellen zur Beschreibung natürlicher Phänomene mithilfe mathematischer Gleichungen und Strukturen.

Details:

• Beobachtung: Identifikation von wichtigen Merkmalen des Systems.
• Hypothese: Formulierung von Annahmen und Hypothesen über das System.
• Mathematisierung: Überführung der Hypothesen in mathematische Gleichungen.
• Analyse: Untersuchung der Modelle mithilfe mathematischer Methoden.
• Simulation: Numerische Lösung und Simulation der Modelle.
• Validierung: Vergleich der Modellergebnisse mit realen Daten.
• Optimierung: Anpassung und Verbesserung des Modells basierend auf Validierungsergebnissen.

Deterministische vs. stochastische Modelle

Definition:

Vergleich zwischen Modellen, die feste Ergebnisse liefern (deterministisch) und denen, die Wahrscheinlichkeiten einbeziehen (stochastisch).

Details:

• Deterministische Modelle: verwenden klare, genaue Gleichungen ohne Zufallselemente.
• Stochastische Modelle: enthalten Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
• Deterministisches Beispiel: \(\frac{dx}{dt} = f(x,t)\).
• Stochastisches Beispiel: \(\frac{dx}{dt} = f(x,t) + \eta(t)\), wobei \eta\ eine zufällige Störgröße ist.
• Anwendung: Deterministisch für einfache Systeme, Stochastisch für komplexe, naturwissenschaftliche Phänomene.

Regressions- und Varianzanalyse

Definition:

Untersuchung von Zusammenhängen und Unterschieden zwischen Variablen.

Details:

• Regression: Beziehung zwischen abhängigen (y) und unabhängigen Variablen (x).
• Lineare Regression: \( y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \).
• Varianzanalyse (ANOVA): Vergleich von Mittelwerten zwischen Gruppen.
• Einweg-ANOVA: Testet Unterschiede zwischen den Mittelwerten von drei oder mehr Gruppen.
• F-Test: \( F = \frac{\text{zwischen-Gruppen-Varianz}}{\text{innerhalb-Gruppen-Varianz}} \).

Explorative Datenanalyse und Visualisierung

Definition:

Explorative Datenanalyse (EDA) identifiziert Muster, Anomalien und Hypothesen in Daten mittels statistischer Tools und Visualisierungen.

Details:

• Datenbereinigung: Entfernen von Ausreißern und fehlerhaften Daten
• Deskriptive Statistik: Kenngrößen wie Mittelwert, Median, Standardabweichung
• Visualisierung: Diagramme wie Histogramme, Boxplots, Streudiagramme
• Korrelation: Zusammenhang zweier Variablen, z.B. Korrelationskoeffizient
• Verteilungsanalyse: Bestimmung und Vergleich von Datenverteilungen
• Software: R, Python (Pandas, Matplotlib, Seaborn)

Populationsdynamik und epidemiologische Modelle

Definition:

Mathematische Analyse der zeitlichen Veränderungen von Populationen und Epidemien.

Details:

• Populationsdynamik: Untersuchung des Wachstums und der Interaktionen von Populationen
• Logistische Wachstumsfunktion: \[ \frac{dN}{dt} = rN \bigg(1 - \frac{N}{K}\bigg) \]
• Lotka-Volterra Gleichungen: \[ \frac{dN_1}{dt} = r_1 N_1 - a N_1 N_2 \]\[ \frac{dN_2}{dt} = -r_2 N_2 + b N_1 N_2 \]
• Epidemiologische Modelle: Beschreibung der Ausbreitung von Krankheiten
• SIR Modell (Anfällige, Infizierte, Genesene): \[ \frac{dS}{dt} = -\beta SI \]\[ \frac{dI}{dt} = \beta SI - u I \]\[ \frac{dR}{dt} = u I \]
• \( R_0 \text{ (Basis-Reproduktionszahl)} \): statistische Maßeinheit für Übertragungsrate

Reaktionskinetik und Enzymdynamik

Definition:

Untersuchung der Geschwindigkeit chemischer Reaktionen (Reaktionskinetik) und das Verhalten von Enzymen bei der Katalyse (Enzymdynamik).

Details:

• Reaktionsgeschwindigkeit abhängig von Konzentration der Edukte: \(r = k \times \text{[A]}^m \times \text{[B]}^n\)
• Michaelis-Menten-Kinetik beschreibt Enzymreaktionen: \[v = \frac{V_{max} \times [S]}{K_m + [S]}\]
• Wichtige Parameter: Geschwindigkeitskonstanten (k), Michaelis-Konstante (\(K_m\)), maximale Reaktionsgeschwindigkeit (\(V_{max}\))
• Enzyme können inhibiert werden (kompetitiv, unkompetitiv, gemischt)
• Modellierung von Reaktionen mit Differentialgleichungen

Numerische Methoden und Simulationen

Definition:

Verfahren zur numerischen Lösung mathematischer Probleme und Modellierung natürlicher Prozesse.

Details:

• Nutzung von Algorithmen zur Approximation von Lösungen.
• Wichtige Methoden: Iterationsverfahren, Fehlermethoden, Interpolationsmethoden.
• Simulationen ermöglichen das Verhalten komplexer Systeme zu prognostizieren.
• Beispiele: Monte-Carlo-Simulation, finitere Differenzenmethoden.
• Achtung auf Konvergenz und Stabilität der Verfahren.
• Wichtige Software: MATLAB, R, Python (NumPy, SciPy).