Anorganische Chemie 4 - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte einen oktaedrischen Komplex [Fe(CN)₆]^4-, der aus einem Eisen(II)-Ion und sechs Cyanid-Liganden besteht.

a)

Beschreibe die Aufspaltung der d-Orbitale im Rahmen der Kristallfeldtheorie (CFT) für diesen Komplex. Achte dabei auf die Energieaufteilung und benenne die resultierenden Orbitalgruppen.

Lösung:

Aufspaltung der d-Orbitale im Rahmen der Kristallfeldtheorie (CFT) für den Komplex [Fe(CN)₆]^4-:

• Grundlagen: Bei der Kristallfeldtheorie (CFT) wird angenommen, dass die Liganden wie Punktladungen wirken, die das zentrale Metallion umgeben. Die Wechselwirkung zwischen den Liganden und den d-Orbitalen des Metallions führt zur Aufspaltung der Energieniveaus dieser Orbitale.
• Oktaedrischer Komplex: In einem oktaedrischen Komplex wie [Fe(CN)₆]^4- befinden sich die sechs Cyanid-Liganden an den Ecken eines Oktaeders, das zentrale Eisen(II)-Ion ist im Zentrum.
• Aufspaltung der d-Orbitale: Die fünf d-Orbitale (d_xy, d_xz, d_yz, d_x²-y² und d_z²) des Eisen(II)-Ions haben in einem freien Ion die gleiche Energie. In einem oktaedrischen Feld wird diese Degenerierung aufgehoben und die Orbitale spalten sich in zwei Gruppen:
  • t_2g-Orbitale: Die drei Orbitale d_xy, d_xz und d_yz. Diese haben geringere Energie, weil sie weniger direkt an den Liganden liegen.
  • e_g-Orbitale: Die zwei Orbitale d_x²-y² und d_z². Diese haben höhere Energie, da sie entlang der Achsen der Liganden liegen und eine stärkere Abstoßung erfahren.
• Energieaufteilung: Die Energieaufspaltung zwischen den t_2g- und e_g-Orbitalen in einem oktaedrischen Feld wird als \Delta_o (Oktaederaufspaltung) bezeichnet. In diesem speziellen Fall, mit starken Felderzeugenden Cyanid-Liganden, ist \Delta_o groß und führt zu einer stabilisierten t_2g-Gruppe und einer destabilisierten e_g-Gruppe.
• Illustration: Die folgende Darstellung zeigt die Aufspaltung der d-Orbitale:

    eg-|---|    t2g

• Schlussfolgerung: Die Cyanid-Liganden in [Fe(CN)₆]^4- erzeugen ein starkes Kristallfeld und resultieren in einer signifikanten Aufspaltung der d-Orbitale des Eisen(II)-Ions, wobei die t_2g-Orbitale energetisch stabiler als die e_g-Orbitale sind.

c)

Diskutiere die möglichen Geometrien und deren Stabilität für den Komplex [Fe(CN)₆]^4- unter Berücksichtigung der Stereochemie und möglichen Ligandenaustauschen.

Lösung:

Diskussion der möglichen Geometrien und deren Stabilität für den Komplex [Fe(CN)₆]^4-:

• Oktaedrische Geometrie: Der Komplex [Fe(CN)₆]^4- hat eine typische oktaedrische Geometrie, bei der sich die sechs Cyanid-Liganden an den Ecken eines Oktaeders um das zentrale Eisen(II)-Ion anordnen. Diese Anordnung ist energetisch günstig und wird durch die starke Bindung der Cyanid-Liganden stabilisiert.
  • Stabilität der oktaedrischen Geometrie: Cyanid ist ein starker Feldligand, was bedeutet, dass es eine starke Ligand-Feld-Aufspaltung verursacht (\Delta_O\). Diese hohe Aufspaltung energetisch favorisiert die oktaedrische Geometrie, da sie die d-Orbitale des Eisen(II)-Ions optimal aufspaltet und stabilisiert.
• Alternative Geometrien: Obwohl die oktaedrische Geometrie die gängigste und stabilste Geometrie für einen sechszähnigen Komplex wie [Fe(CN)₆]^4- ist, könnten theoretisch andere Geometrien existieren.
  • Tetraedrische Geometrie: Eine tetraedrische Geometrie wäre aufgrund der Anzahl an Liganden und der Ligandengröße ungewöhnlich für einen sechszähnigen Komplex. Zudem wäre sie weniger energetisch günstig als die oktaedrischen Konfiguration.
  • Verzerrte Geometrien: Aufgrund des stark symmetrischen und stabilen Charakters des oktaedrischen Feldes und der starken Feldwirkung der Cyanid-Liganden sind verzerrte Geometrien (wie verzerrt oktaedrisch) unwahrscheinlich.
• Ligandenaustausch und dessen Auswirkungen: Ligandenaustauschreaktionen können die Geometrie und Stabilität des Komplexes beeinflussen.
  • Substitution eines Cyanid-Liganden: Das Austauschen eines Cyanid-Liganden mit einem anderen Liganden könnte zu einer Veränderung der Geometrie führen, abhängig von der Natur des neuen Liganden. Schwächere Liganden könnten zu einer geringeren Ligand-Feld-Aufspaltung und damit zu einer möglichen Verzerrung der ursprünglichen oktaedrischen Struktur führen.
  • Mehrere Ligandenaustausche: Wenn mehrere Cyanid-Liganden durch schwächere Liganden ersetzt werden, könnte dies zu einer erheblich geringeren Stabilität des Komplexes und einer möglichen Änderung der Geometrie führen.
• Schlussfolgerung: Im Fall des Komplexes [Fe(CN)₆]^4- ist die oktaedrische Geometrie aufgrund der starken Feldwirkung der Cyanid-Liganden die energetisch günstigste und stabilste. Alternative Geometrien sind weniger wahrscheinlich und wären bei Ligandenaustauschen mit schwächeren Liganden oder durch andere spezielle Bedingungen denkbar, aber impraktische.

Aufgabe 2)

Ligandenarten und deren BindungsverhaltenLiganden sind Moleküle oder Ionen, die an ein Zentralatom/-ion koordinieren und das Verhalten des Komplexes bestimmen.

• Monodentat: Binden an einem Punkt; Beispiel: \text{Cl}^-, \text{NH}_3
• Bidentat: Zwei Bindungspunkte; Beispiel: \text{en} (Ethylenediamin)
• Polydentat: Mehrere Bindungspunkte; Beispiel: EDTA (Hexadentat)
• Haptizität (η): Anzahl der Atome eines Liganden, die direkt an das Zentralatom binden
• Criechelzahl (κ): Beschreibt die Anzahl der Bindungsstellen eines Liganden im Komplex
• Ligandenfeldstabilisierungsenergie (LFSE): Energiegewinn durch Besetzung von d-Orbitalen im Ligandenfeld

a)

Beschreibe den Unterschied zwischen einem monodentaten und einem bidentaten Liganden. Erläutere anhand eines Beispiels für beide Typen, wie sie sich an das Zentralatom binden.

Lösung:

Unterschied zwischen Monodentaten und Bidentaten LigandenEin Ligand ist ein Molekül oder Ion, das sich an ein Zentralatom oder Zentralion bindet. Der Unterschied zwischen monodentaten und bidentaten Liganden liegt in der Anzahl der Bindungspunkte, die sie an ein Zentralatom/-ion anlegen können.

• Monodentate Liganden: Diese Liganden binden an das Zentralatom/-ion über nur einen einzigen Bindungspunkt. Beispiel: Chlorid (\text{Cl}^-) und Ammoniak (\text{NH}_3) sind typische monodentate Liganden. Wenn Chlorid (\text{Cl}^-) an ein Zentralatom wie ein Metallion bindet, nutzt es eines seiner freien Elektronenpaare, um eine kovalente Bindung mit dem Metallion einzugehen.
• Bidentate Liganden: Diese Liganden können sich über zwei Bindungspunkte gleichzeitig an das Zentralatom/-ion binden. Beispiel: Ethylendiamin (\text{en}) ist ein bidentater Ligand. Es verfügt über zwei Stickstoffatome, die beide ein freies Elektronenpaar besitzen. Diese Elektronenpaare können zwei kovalente Bindungen mit einem Metallion eingehen, wodurch eine stabilere Struktur entsteht.

Die Unterschiede lassen sich wie folgt visualisieren:

• Monodentat (Cl^-):

   Metallion -- Cl^- 

• Bidentat (en):

   Metallion -- NH_2-CH_2-CH_2-NH_2 

  Hierbei sind die beiden Stickstoffatome durch die Kohlenstoffkette miteinander verbunden und binden an das Zentralatom.

Durch multiple Bindungspunkte können bidentate Liganden oft zu stabileren und strukturreichen Komplexen führen im Vergleich zu monodentaten Liganden, die nur eine einzelne kovalente Bindung mit dem Zentralatom bilden.

b)

EDTA ist ein wichtiges Beispiel für einen polydentaten Liganden. Zeichne die Struktur von EDTA und zeige, wie es sich an ein Zentralmetallion in einem hexadentaten Modus bindet. Berechne die theoretische Ligandenfeldstabilisierungsenergie (LFSE) für einen oktaedrischen Komplex mit EDTA als Ligand, wenn das Zentralion ein d^6-Elektronenkonfiguration aufweist und im schwachen Feld liegt.

Lösung:

EDTA als Polydentater LigandEDTA (Ethylendiamintetraessigsäure) ist ein hexadentater Ligand, was bedeutet, dass es sechs Bindungspunkte besitzt, die gleichzeitig ein Zentralmetallion binden können. Die Struktur von EDTA besteht aus vier Carboxylatgruppen (\(\text{COO}^-\)) und zwei Aminogruppen (\(\text{NH}_2\)).1. Struktur von EDTA:

  HOOC-CH2             HOOC-CH2                  \__________/                       |              |                           O           O    H2N-----CH2--CH2-----NH2                                |   HOOC-CH2         HOOC-CH2                           O            O     

2. Bindung von EDTA an ein Zentralmetallion im hexadentaten Modus:

        O             O        \              /         N----M----N        /              \       O               O 

In dieser Darstellung binden die vier Sauerstoffatome der Carboxylatgruppen und die zwei Stickstoffatome der Aminogruppen an das Zentralmetall M.3. Theoretische Berechnung der Ligandenfeldstabilisierungsenergie (LFSE) für einen oktaedrischen Komplex mit EDTA: Angenommen, ein Zentralion hat eine d^6-Elektronenkonfiguration und liegt im schwachen Feld:

• Für einen oktaedrischen Komplex spalten sich die d-Orbitale in zwei Gruppen: \(t_{2g}\) (3 Orbitale) und \(e_g\) (2 Orbitale). Im schwachen Feld besetzen die Elektronen zunächst die \(t_{2g}\)-Orbitale und dann die \(e_g\)-Orbitale:
• Elektronenkonfiguration: - \(t_{2g}\)-Orbitale: 4 Elektronen - \(e_g\)-Orbitale: 2 Elektronen
• Ligandenfeldstabilisierungsenergie (LFSE):Die LFSE wird berechnet als: \(\text{LFSE} = (-0.4 \, \Delta_0 \, \times \, t_{2g}\) + (0.6 \, \Delta_0 \, \times \, e_g)\) \(\Delta_0\) ist die Energieaufspaltung der d-Orbitale im oktaedrischen Komplex. Die Berechnung für \(d^6\) ergibt: \(\text{LFSE} = (-0.4 \, \Delta_0 \, \times \, 4) + (0.6 \, \Delta_0 \, \times \, 2)\) \(= -1.6 \, \Delta_0 + 1.2 \, \Delta_0\) \(= -0.4 \, \Delta_0\)
• Daher beträgt die theoretische Ligandenfeldstabilisierungsenergie (LFSE) für den oktaedrischen Komplex mit EDTA als Ligand und einem Zentralion mit einer \(d^6\)-Elektronenkonfiguration im schwachen Feld \(-0.4 \Delta_0\).

c)

Definiere die Begriffe Haptizität (η) und Criechelzahl (κ). Vergleiche die beiden Begriffe, indem Du auf ihre Bedeutung im Kontext von Ligandenbindung eingehst.

Lösung:

Definition und Vergleich der Begriffe Haptizität (η) und Criechelzahl (κ)

• Haptizität (η):Die Haptizität eines Liganden bezeichnet die Anzahl der Atome, die direkt an das Zentralatom eines Komplexes binden. Der Begriff wird hauptsächlich bei Liganden verwendet, die mehr als ein Atom enthalten, das an das Zentralatom binden kann. Die Haptizität wird mit dem griechischen Buchstaben η (eta) angegeben, gefolgt von einer Zahl, die die Anzahl der gebundenen Atome anzeigt. Beispiel: η₅ für ein Ligand, das mit fünf Atomen an das Zentralatom bindet.
• Criechelzahl (κ):Die Criechelzahl eines Liganden beschreibt die Anzahl der verschiedenen Bindungsstellen (Koordinationsstellen), die ein Ligand im Komplex einnimmt. Dies schließt die Fälle ein, in denen ein polydentater Ligand mehrere Bindungsstellen gleichzeitig besetzt. Die Criechelzahl wird mit dem griechischen Buchstaben κ (kappa) angegeben, gefolgt von einer Zahl, die die Anzahl der Bindungsstellen angibt.Beispiel: κ₃ für einen Ligand, das über drei Bindungsstellen mit dem Zentralatom verbunden ist.

Vergleich der beiden Begriffe:

• Bedeutung: Während die Haptizität die Anzahl der Atome eines Liganden beschreibt, die direkt an das Zentralatom binden, beschreibt die Criechelzahl die Anzahl der Bindungsstellen (Koordinationsstellen) eines Liganden im Komplex.
• Anwendung: Beide Begriffe sind wichtig für das Verständnis, wie Liganden sich an Zentralatome binden und beeinflussen die Stabilität und Struktur des resultierenden Komplexes. Die Haptizität ist besonders relevant, wenn es darum geht, Liganden mit kontinuierlicher Bindung wie in η₅-Cyclopentadienyl-Komplexen zu beschreiben. Die Criechelzahl ist wichtig, um die verschiedenen Möglichkeiten eines Liganden darzustellen, mehrere Bindungsstellen gleichzeitig in einem Komplex einzunehmen, wie es z.B. bei EDTA der Fall ist.
• Unterschied: Ein Ligand kann eine hohe Haptizität aufweisen, aber eine geringe Criechelzahl, wenn viele seiner Atome am Zentralatom binden, aber nur wenige Bindungsstellen genutzt werden. Umgekehrt kann ein Ligand eine geringe Haptizität haben, aber eine hohe Criechelzahl, wenn er viele Bindungsstellen am Zentralatom verwendet, aber nur wenige Atome tatsächlich binden.

d)

Ein Komplex mit dem Zentralatom Cr hat die Formel [Cr(η^6–C_6H_6)(en)Cl_2]^. Bestimme die Haptizität und Criechelzahl der Liganden in diesem Komplex und erkläre, wie die Haptizität des Benzenliganden die Stabilität des Komplexes beeinflusst.

Lösung:

Bestimmung der Haptizität und Criechelzahl der Liganden im Komplex [Cr(η⁶–C₆H₆)(en)Cl₂]

• Haptizität: Die Haptizität des Benzen-Liganden (C₆H₆) wird durch das Symbol η⁶ angegeben. Das bedeutet, dass sechs Kohlenstoffatome des Benzenrings gleichzeitig an das Zentralatom Cr (Chrom) binden. Dies verleiht dem Liganden eine besondere Stabilität, da die Elektronendichte über eine größere Fläche des Zentralatoms verteilt wird. Im Fall des Ethylendiamin-Liganden (en), der zwei Stickstoffatome besitzt, die jeweils ein freies Elektronenpaar zur Bindung anbieten, hat es zwei Bindungspunkte. Dieser Ligand ist daher bidentat. Die Chlorid-Ionen (Cl^-) sind monodentate Liganden, da jedes Chlorid-Ion nur einen einzigen Bindungspunkt hat.
• Criechelzahl: Die Criechelzahl (κ) beschreibt die Anzahl der Bindungsstellen der Liganden im Komplex. - Für den Benzen-Liganden beträgt die Criechelzahl κ = 6, da er sechs Bindungsstellen mit dem Zentralatom Cr hat. - Für den Ethylendiamin-Liganden beträgt die Criechelzahl κ = 2, da er zwei Bindungsstellen besitzt. - Für die Chlorid-Liganden beträgt die Criechelzahl jeweils κ = 1, da jedes Chlorid-Ion nur eine Bindungsstelle hat.
• Einfluss der Haptizität des Benzenliganden auf die Stabilität des Komplexes: Die hohe Haptizität (η⁶) des Benzen-Liganden bedeutet, dass sechs Kohlenstoffatome des Benzenrings simultan mit dem Zentralatom Cr interagieren. Dies führt zu einer erhöhten Stabilität des Komplexes durch mehrere Faktoren: - Erhöhte Elektronendichte: Die Elektronen des aromatischen Benzenrings werden dem Metall zur Verfügung gestellt, was die Elektronendichte um das Zentralatom erhöht und somit zur Stabilisierung des Komplexes beiträgt. - Renommierte Orbitalüberlappung: Die gleichzeitige Bindung der sechs Kohlenstoffatome ermöglicht eine gleichmäßigere und stärkere Überlappung der Atomorbitale des Liganden und des Zentralatoms. Dies führt zu stabileren Bindungen. - Symmetrische Koordination: Der Benzenligand bietet eine symmetrische Koordination, was ebenfalls die Gesamtenergie des Systems reduziert und zur Stabilisierung beiträgt.

Zusammengefasst trägt die Haptizität des Benzenliganden (η⁶) erheblich zur hohen Stabilität des Komplexes [Cr(η⁶–C₆H₆)(en)Cl₂] bei, indem sie eine gleichmäßige Verteilung der Elektronendichte und stabile Bindungen ermöglicht.

Aufgabe 3)

Metallproteine und EnzymeMetallproteine sind Proteine mit Metallionen als Cofaktoren. Enzyme sind Biokatalysatoren, die chemische Reaktionen beschleunigen.

• Metallionen: z.B. Fe, Cu, Zn, Mg
• Aktives Zentrum: Metallion beteiligt an Katalyse-Prozess
• Beispiele: Hämoglobin (Fe), Cytochrom c (Fe), Carboanhydrase (Zn)
• Funktion: Enzyme senken Aktivierungsenergie, Metallionen stabilisieren Übergangszustände
• Koordinationschemie wichtig für Enzymfunktion

a)

(a) Beschreibe die Rolle von Metallionen in Metalloproteinen anhand des Beispiels der Carboanhydrase. Diskutiere, wie das Zinkion im aktiven Zentrum zur Katalyse der Reaktion beiträgt. Berücksichtige dabei die Senkung der Aktivierungsenergie und die Stabilisierung des Übergangszustands.

Lösung:

(a) Rolle von Metallionen in Metalloproteinen: Beispiel Carboanhydrase

Carboanhydrase ist ein Enzym, das eine entscheidende Rolle im Stoffwechsel von Kohlendioxid (CO₂) spielt. Es katalysiert die reversible Hydratation von CO₂ zu Bicarbonat (HCO₃^-) und Protonen (H⁺). Das Zinkion (Zn²⁺) im aktiven Zentrum der Carboanhydrase ist von zentraler Bedeutung für diese Katalyse.

• Zinkion (Zn²⁺) im aktiven Zentrum: Das Zinkion ist an drei Histidinseitenketten und einem Wassermolekül koordiniert. Diese Koordination schafft eine optimale Umgebung für die Katalyse.
• Katalytischer Mechanismus:

• Das Zinkion polarisiert das am aktiven Zentrum gebundene Wassermolekül, wodurch das Sauerstoffatom stärker negativ geladen wird und die Wasserstoffionen leichter dissoziieren.
• Durch die Dissoziation entsteht ein Hydroxidion (OH^-), welches eine starke Nukleophil ist und das CO₂-Molekül angreift.
• Das Zinkion stabilisiert den Übergangszustand des Reaktionskomplexes. Dies führt zu einer effektiven Anhebung des energetischen Übergangs für die Reaktion.
• Das Ergebnis ist eine schnelle Umwandlung von CO₂ und H₂O zu HCO₃^- und H⁺. Diese Umwandlung ist wesentlich schneller als die spontane Reaktion ohne Katalysator.

• Senkung der Aktivierungsenergie: Durch das Polarisieren des Wassermoleküls und die Stabilisierung des Übergangszustands durch das Zinkion wird die benötigte Aktivierungsenergie für die Katalyse erheblich gesenkt.
• Stabilisierung des Übergangszustands: Das Zinkion hilft, den Übergangszustand der Reaktion zu stabilisieren, indem es positive Ladungen ausgleicht und somit die Energiebarriere reduziert, die für das Erreichen dieses Zustands notwendig ist.

Zusammenfassend tragen Metallionen wie Zink in der Carboanhydrase wesentlich zur Senkung der Aktivierungsenergie und zur Stabilisierung des Übergangszustands bei. Dies ermöglicht eine effiziente Katalyse der Umwandlung von CO₂ zu Bicarbonat und Protonen, was für viele biologische Prozesse unerlässlich ist.

b)

(b) Cytochrom c ist ein weiteres Beispiel für ein Metalloprotein, das ein Eisenion als Cofaktor besitzt. Schreibe die Elektronentransferreaktion auf, die durch Cytochrom c katalysiert wird. Erläutere dabei, wie das Eisenion im aktiven Zentrum zur Reaktion beiträgt und welche Rolle die Koordinationschemie in diesem Zusammenhang spielt.

Lösung:

(b) Elektronentransferreaktion durch Cytochrom c: Rolle des Eisenions

Cytochrom c ist ein essentielles Metalloprotein, das in der mitochondrialen Elektronentransportkette eine entscheidende Rolle spielt. Es enthält ein Häm-Molekül, das als Prosthetische Gruppe dient und ein Eisenion (Fe) im Zentrum enthält. Die Hauptfunktion von Cytochrom c ist der Elektronentransfer zwischen den Komplexen III und IV der Elektronentransportkette.

• Elektronentransferreaktion:

• Im reduzierten Zustand (Fe²⁺) kann das Eisenion ein Elektron abgeben und in den oxidierten Zustand (Fe³⁺) übergehen:

 Fe^{2+} \rightarrow Fe^{3+} + e^-

• Im oxidierten Zustand kann das Eisenion ein Elektron aufnehmen und in den reduzierten Zustand übergehen:

 Fe^{3+} + e^- \rightarrow Fe^{2+}

• Rolle des Eisenions:

• Redoxzentrum: Das Eisenion fungiert als Redoxzentrum, das Elektronen zwischen verschiedenen Molekülen übertragen kann. Dieser Elektronentransfer ist essentiell für die oxidative Phosphorylierung und die ATP-Produktion.
• Valenzwechsel: Das Eisenion wechselt zwischen den zwei Oxidationszuständen (Fe²⁺ und Fe³⁺), wodurch es Elektronen einfangen und übertragen kann. Dieser Wechsel ist die Grundvoraussetzung für den Elektronentransfer.
• Koordination: Das Eisenion im Häm-Molekül ist von vier Stickstoffatomen aus dem Porphyrinring und einem Cysteinrest koordiniert. Dies schafft eine stabile Umgebung, die die Redoxreaktion erleichtert.
• Koordinationschemie: Die spezifische Anordnung der Atome um das Eisenion stabilisiert die verschiedenen Oxidationszustände (Fe²⁺ und Fe³⁺) und ermöglicht den effizienten Elektronentransfer. Die genaue Geometrie und die elektronischen Eigenschaften des koordinierten Häm-Moleküls sind kritisch für dessen Funktionsweise als Elektronenträger.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Eisenion im aktiven Zentrum von Cytochrom c durch Wechsel zwischen verschiedenen Oxidationszuständen den Elektronentransfer innerhalb der Elektronentransportkette ermöglicht. Die Koordinationschemie des Eisenions spielt eine zentrale Rolle für die Stabilität und Funktion dieses Metalloproteins.

Aufgabe 4)

Kristallstrukturen beschreiben die geordnete Anordnung von Atomen in einem Festkörper. Die Gittertheorie analysiert die räumliche Periodizität dieser Anordnung. Basisbegriffe sind Gitterpunkte, Elementarzelle und Bravais-Gitter.

• Elementarzelle: Kleinste Einheit eines Gitters, die dessen gesamte Symmetrie abbildet.
• Bravais-Gitter: 14 mögliche Gittertypen, die den Raum lückenlos ausfüllen können.
• Wichtige Kristallstrukturen: z.B. kubisch-raumzentriert (KRZ), kubisch-flächenzentriert (KFZ), hexagonal dichtest gepackt (hcp).
• Gittervektoren \[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \] beschreiben die räumliche Ausdehnung der Elementarzelle.
• Gitterparameter: Längen der Gittervektoren und Winkel zwischen ihnen ( \alpha, \beta, \gamma ).
• Packungsdichte: Verhältnis des Volumens der Atome in der Elementarzelle zum Gesamtvolumen der Zelle.
• Koordinationszahl: Anzahl der nächsten Nachbarn eines Atoms im Gitter.

a)

1. Berechne die Packungsdichte einer kubisch-flächenzentrierten (KFZ) Kristallstruktur:Bedenke, dass die KFZ-Struktur Atome an allen Ecken des Würfels sowie in den Zentren jeder Fläche hat. Der Gitterparameter sei \[ a \]. Berechne das Volumen insgesamt aller Atome in einer Elementarzelle und vergleiche es mit dem Gesamtvolumen der Elementarzelle.Gehe dabei davon aus, dass jedes Atom als Kugel mit Radius \[ r = \frac{a}{2\sqrt{2}} \] angenähert werden kann.

Lösung:

Berechnung der Packungsdichte einer kubisch-flächenzentrierten (KFZ) Kristallstruktur

Kristallstrukturen beschreiben die geordnete Anordnung von Atomen in einem Festkörper. Die Gittertheorie analysiert die räumliche Periodizität dieser Anordnung. Basisbegriffe sind Gitterpunkte, Elementarzelle und Bravais-Gitter.

• Elementarzelle: Kleinste Einheit eines Gitters, die dessen gesamte Symmetrie abbildet.
• Bravais-Gitter: 14 mögliche Gittertypen, die den Raum lückenlos ausfüllen können.
• Wichtige Kristallstrukturen: z.B. kubisch-raumzentriert (KRZ), kubisch-flächenzentriert (KFZ), hexagonal dichtest gepackt (hcp).
• Gittervektoren \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) beschreiben die räumliche Ausdehnung der Elementarzelle.
• Gitterparameter: Längen der Gittervektoren und Winkel zwischen ihnen ( \(\alpha, \beta, \gamma\) ).
• Packungsdichte: Verhältnis des Volumens der Atome in der Elementarzelle zum Gesamtvolumen der Zelle.
• Koordinationszahl: Anzahl der nächsten Nachbarn eines Atoms im Gitter.

Die KFZ-Struktur hat Atome an allen Ecken des Würfels sowie in den Zentren jeder Fläche. Der Gitterparameter sei \(a\).

Schrittweise Berechnung:

1. Anzahl der Atome in der Elementarzelle:
   • In einem KFZ-Gitter gibt es 8 Atome an den Ecken des Würfels, wobei jedes Atom mit 1/8 zur Elementarzelle beiträgt.
   • Zusätzlich gibt es 6 Atome in den Zentren der Flächen, wobei jedes Atom mit 1/2 zur Elementarzelle beiträgt.
   daher:
   • Beitrag der Eckatome: \( 8 \times \frac{1}{8} = 1 \)
   • Beitrag der Flächenatome: \( 6 \times \frac{1}{2} = 3 \)
   • Gesamtzahl der Atome in der Elementarzelle: \( 1 + 3 = 4 \)
2. Volumen eines Atoms:Die Atome werden als Kugeln angenähert mit einem Radius von \( r = \frac{a}{2 \sqrt{2}} \).Das Volumen einer Kugel ist gegeben durch: \[V_{Kugel} = \frac{4}{3}\pi r^3\] Einfügen von \( r \) ergibt: \[V_{Kugel} = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{a}{2 \sqrt{2}} \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{4 \sqrt{2}} \right)^3\] \[V_{Kugel} = \frac{4 \pi a^3}{3 \times 64 \sqrt{2}} = \frac{\pi a^3}{24 \sqrt{2}}\]
3. Gesamtvolumen der 4 Atome:Da es 4 Atome in der Elementarzelle gibt, ist das Gesamtvolumen der Atome:\[V_{Gesamt} = 4 \times V_{Kugel} = 4 \times \frac{\pi a^3}{24 \sqrt{2}} = \frac{\pi a^3}{6 \sqrt{2}}\]
4. Gesamtvolumen der Elementarzelle:Das Volumen des Würfels beträgt:\[V_{Würfel} = a^3\]
5. Berechnung der Packungsdichte:Die Packungsdichte wird berechnet durch:\[\text{Packungsdichte} = \frac{V_{Gesamt}}{V_{Würfel}} = \frac{\frac{\pi a^3}{6 \sqrt{2}}}{a^3} = \frac{\pi}{6 \sqrt{2}}\]
6. Numerische Berechnung der Packungsdichte:Einsetzen der Werte ergibt in etwa 0,74 oder 74 %. \[\text{Packungsdichte} \approx 0,74 \text{ oder } 74\%\]