Mathematik für Naturwissenschaftler (MNat) - Cheatsheet

Mengenlehre und Logik

Definition:

Grundlagen zum Umgang mit Mengen und der mathematischen Logik, wichtig für alle mathematische Beweise und Modellierungen in der Naturwissenschaft.

Details:

• Mengen: Sammlung von Objekten, Elemente genannt. Notation: \(A = \{1, 2, 3\}\)
• Teilmengen: \(A \subseteq B\), falls alle Elemente von A auch in B enthalten sind.
• Schnittmenge: \(A \cap B\), Menge der gemeinsamen Elemente
• Vereinigungsmenge: \(A \cup B\), Menge aller Elemente in A oder B
• Logische Aussagen: Sätze, die wahr oder falsch sein können
• Logische Operatoren: UND (\( \land \)), ODER (\( \lor \)), NICHT (\( \lnot \))
• Implikation: \(A \rightarrow B\), falls A wahr ist, dann ist B auch wahr

Komplexe Zahlen

Definition:

Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen durch die Einführung der imaginären Einheit i, wobei i^2 = -1.

Details:

• Jede komplexe Zahl hat die Form: \(z = a + bi\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\) und \(i^2 = -1\).
• Realteil: \(Re(z) = a\)
• Imaginärteil: \(Im(z) = b\)
• Betrag einer komplexen Zahl: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• Komplexe Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene darstellen.
• Polarform: \(z = r \cdot e^{i\vartheta}\), mit \(r = |z|\) und \(\theta = \arg(z)\)
• Rechenoperationen:
  • Addition: \( (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i \)
  • Multiplikation: \( (a + bi) \cdot (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i \)

Anwendung der Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel

Definition:

Anwendung der Ableitungsregeln in der Mathematik für Naturwissenschaftler, insbesondere Chemie

Details:

• Kettenregel: Berechnung der Ableitung einer verketteten Funktion: \( (f \, \circ \, g)'(x) = f'(g(x)) \, * \, g'(x) \)
• Produktregel: Ableitung eines Produktes zweier Funktionen: \[ (f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) \]
• Quotientenregel: Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen: \[ \left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)}{g(x)^2} \]
• Wichtig zur Analyse von Stoffwechselreaktionen, Reaktionsgeschwindigkeiten und anderen chemischen Prozessen

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren sind Konzepte aus der linearen Algebra. Für eine Matrix \( A \) sind Eigenwerte \( \lambda \) und Eigenvektoren \( \mathbf{v} \), die die Gleichung \( A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) erfüllen.

Details:

• \( A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) -> Definiert Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \( \mathbf{v} \).
• Dabei ist \( \mathbf{v} \) ein nichttrivialer Vektor.
• Eigenwerte: Lösung der Charakteristischen Gleichung \( \det(A - \lambda I) = 0 \).
• Entsprechende Eigenvektoren: Lösungen des Gleichungssystems \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \).
• Wichtige Anwendungen in der Chemie: z.B. Schrödinger-Gleichung, Molekülorbitaltheorie.

Bestimmte und unbestimmte Integrale

Definition:

Integrale zur Bestimmung von Flächen (bestimmt) oder zur Berechnung von Stammfunktionen (unbestimmt).

Details:

• Bestimmtes Integral: \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\)
• Unbestimmtes Integral: \(\int f(x) \, dx = F(x) + C\)
• Bestimmt. Integral: Fläche unter Kurve zwischen Grenzen
• Unbestimmt. Integral: Stammfunktion + Konstante
• Fundamentalsatz der Analysis:
• \(\frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x)\)
• Integrationsregeln: Partielle Integration, Substitution

Hypothesentests

Definition:

Statistisches Verfahren um Hypothesen über Populationen zu testen, basierend auf Stichprobendaten.

Details:

• Nullhypothese (H_0): Annahme, die getestet wird
• Alternativhypothese (H_1): Annahme, die angenommen wird, wenn H_0 abgelehnt wird
• Signifikanzniveau (\alpha): Wahrscheinlichkeit, H_0 fälschlicherweise abzulehnen
• Teststatistik: Wert, der aus den Stichprobendaten berechnet wird
• p-Wert: Wahrscheinlichkeit, bei Gültigkeit von H_0 ein Ergebnis zu erhalten, das genauso extrem oder extremer ist als das beobachtete
• Vergleiche p-Wert mit \alpha, um H_0 abzulehnen oder zu akzeptieren
• Typ-I-Fehler: H_0 wird abgelehnt, obwohl wahr
• Typ-II-Fehler: H_0 wird beibehalten, obwohl falsch

Fourier-Transformation und Anwendung

Definition:

Fourier-Transformation zerlegt Funktionen in Sinus- und Kosinus-Funktion (Frequenzkomponenten). Wichtig für die Analyse periodischer Signale und zur Lösung partieller Differentialgleichungen.

Details:

• Formel: Die Fourier-Transformierte einer Funktion \( f(t) \) ist \( F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-2\pi i u t} dt \)
• Inverse Fourier-Transformation: \( f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u) e^{2\pi i u t} du \)
• Anwendung: Signalverarbeitung, Spektralanalyse, Bildverarbeitung, Quantenmechanik
• Eigenschaften: Linearität, Zeit-Verschiebung, Faltungs-Theorem