Mathematik für Naturwissenschaftler (MNat) - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die Mengen A = \{2, 4, 6, 8, 10\} und B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Setze die theoretischen Grundlagen der Mengenlehre und Logik ein, um die folgenden Aufgaben zu lösen.

a)

Bestimme die Schnittmenge A \cap B und die Vereinigungsmenge A \cup B. Erkläre Deine Vorgehensweise und begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um die Aufgaben zu lösen, müssen wir die Definitionen und Eigenschaften der Mengenlehre anwenden.

• Schnittmenge (A ∩ B): Die Schnittmenge zweier Mengen A und B umfasst alle Elemente, die sowohl in Menge A als auch in Menge B enthalten sind.
• Vereinigungsmenge (A ∪ B): Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B umfasst alle Elemente, die entweder in Menge A oder in Menge B enthalten sind, also die Vereinigung beider Mengen ohne doppelte Elemente.

1. Bestimme die Schnittmenge A ∩ B:

• Die Elemente von Menge A sind: {2, 4, 6, 8, 10}
• Die Elemente von Menge B sind: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Vergleiche nun die Elemente beider Mengen und finde diejenigen, die in beiden Mengen vorkommen:
• 2 ist in A und in B.
• 4 ist in A und in B.
• 6 ist in A und in B.
• Daher ist die Schnittmenge A ∩ B = {2, 4, 6}.

2. Bestimme die Vereinigungsmenge A ∪ B:

• Die Elemente von Menge A sind: {2, 4, 6, 8, 10}
• Die Elemente von Menge B sind: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Nimm nun alle einzigartigen Elemente aus beiden Mengen:
• Die einzigartigen Elemente aus A sind: 2, 4, 6, 8, 10.
• Füge die einzigartigen Elemente aus B hinzu, die nicht bereits in A sind: 1, 3, 5.
• Daher ist die Vereinigungsmenge A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}.

Zusammengefasst:

• Schnittmenge (A ∩ B): {2, 4, 6}
• Vereinigungsmenge (A ∪ B): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

Die Vorgehensweise bestand darin, zuerst die Elemente beider Mengen zu vergleichen, um die gemeinsamen Elemente zu finden (Schnittmenge), und dann alle einzigartigen Elemente zu kombinieren, um die Vereinigungsmenge zu bilden.

b)

Sei C eine Teilmenge von B, definiert als C = \{2, 4, 6\}. Überprüfe, ob die logische Implikation \(C \subseteq B \rightarrow C \subseteq A \) wahr oder falsch ist. Beweise Deine Antwort formal mit Hilfe der Definition der Teilmenge und der Implikation.

Lösung:

Um die gegebene logische Implikation \(C \subseteq B \rightarrow C \subseteq A\) zu überprüfen, müssen wir die Definitionen der Teilmenge und der Implikation im Kontext der Mengenlehre verwenden.

• Teilmenge (Subset) Definition: Eine Menge C ist eine Teilmenge einer Menge B, bezeichnet als \(C \subseteq B\), wenn jedes Element von C auch ein Element von B ist.
• Implikation (Conditional) Definition: Eine logische Implikation \(P \rightarrow Q\) besagt, dass, wenn P wahr ist, dann muss auch Q wahr sein.

Wir überprüfen die Implikation \(C \subseteq B \rightarrow C \subseteq A\) formal durch folgende Schritte:

1. Überprüfe, ob C eine Teilmenge von B ist:

• Die Elemente von Menge C sind: {2, 4, 6}
• Die Elemente von Menge B sind: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Da alle Elemente von C auch in B enthalten sind, gilt: \(C \subseteq B\)

2. Überprüfe, ob C eine Teilmenge von A ist:

• Die Elemente von Menge C sind: {2, 4, 6}
• Die Elemente von Menge A sind: {2, 4, 6, 8, 10}
• Da alle Elemente von C auch in A enthalten sind, gilt: \(C \subseteq A\)

3. Implikation überprüfen:

• Da sowohl \(C \subseteq B\) als auch \(C \subseteq A\) wahr sind, ist die Implikation \(C \subseteq B \rightarrow C \subseteq A\) wahr.

Zusammengefasst:

• Die logische Implikation \(C \subseteq B \rightarrow C \subseteq A\) ist wahr, da beide Teile der Implikation einzeln wahr sind.

Aufgabe 2)

Komplexe Zahlen in der ChemieKomplexe Zahlen sind in der Quantenchemie und der Signaltheorie von großer Bedeutung. Sie ermöglichen es, bestimmte physikalische Phänomene mathematisch zu beschreiben, die durch reine reelle Zahlen nicht adäquat erfasst werden können.

• Jede komplexe Zahl hat die Form: \(z = a + bi\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\) und \(i^2 = -1\).
• Realteil: \(Re(z) = a\)
• Imaginärteil: \(Im(z) = b\)
• Betrag einer komplexen Zahl: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• Komplexe Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene darstellen.
• Polarform: \(z = r \cdot e^{i\vartheta}\), mit \(r = |z|\) und \(\theta = \arg(z)\)
• Rechenoperationen:
  • Addition: \( (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i \)
  • Multiplikation: \( (a + bi) \cdot (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i \)

In dieser Aufgabe untersuchen wir die Eigenschaften und Rechenoperationen von komplexen Zahlen innerhalb eines chemischen Systems.

a)

Gegeben sei die komplexe Zahl \(z_1 = 3 + 4i\) und \(z_2 = 1 - 2i\).

• Berechne den Betrag und den Winkel (Argument) für beide komplexen Zahlen.
• Bestimme das Produkt \(z_1 \cdot z_2 \) in kartesischer und Polardarstellung.

Bedenke, dass der Betrag einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) durch \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) gegeben ist und das Argument \(\theta\) durch \(\theta = \tan^{-1}(\frac{b}{a})\) bestimmt wird. Um die Polarform des Produkts zu berechnen, multipliziert man die Beträge und addiert die Winkel.

Lösung:

Komplexe Zahlen in der ChemieKomplexe Zahlen sind in der Quantenchemie und der Signaltheorie von großer Bedeutung. Sie ermöglichen es, bestimmte physikalische Phänomene mathematisch zu beschreiben, die durch reine reelle Zahlen nicht adäquat erfasst werden können.

• Jede komplexe Zahl hat die Form: \(z = a + bi\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\) und \(i^2 = -1\).
• Realteil: \(Re(z) = a\)
• Imaginärteil: \(Im(z) = b\)
• Betrag einer komplexen Zahl: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• Komplexe Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene darstellen.
• Polarform: \(z = r \cdot e^{i\vartheta}\), mit \(r = |z|\) und \(\theta = \arg(z)\)
• Rechenoperationen:
  • Addition: \( (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i \)
  • Multiplikation: \( (a + bi) \cdot (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i \)

In dieser Aufgabe untersuchen wir die Eigenschaften und Rechenoperationen von komplexen Zahlen innerhalb eines chemischen Systems.Gegeben sei die komplexe Zahl \(z_1 = 3 + 4i\) und \(z_2 = 1 - 2i\).

• Berechne den Betrag und den Winkel (Argument) für beide komplexen Zahlen.
  • Für \(z_1 = 3 + 4i\):
    • Betrag: \(|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
    • Winkel: \(\theta_1 = \arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ\)
  • Für \(z_2 = 1 - 2i\):
    • Betrag: \(|z_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.24\)
    • Winkel: \(\theta_2 = \arg(z_2) = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{1}\right) \approx -63.43^\circ\)
• Bestimme das Produkt \(z_1 \cdot z_2\) in kartesischer und Polardarstellung.
  • Kartesisch:
    • Multiplikation: \((3 + 4i)(1 - 2i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-2i) + 4i \cdot 1 + 4i \cdot (-2i)\)
    • Ergebnis: \(3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 6i + 4i - 8(-1) = 3 - 6i + 4i + 8 = 11 - 2i\)
  • Polar:
    • Multipliziere die Beträge: \(|z_1| \cdot |z_2| = 5 \cdot 2.24 = 11.2\)
    • Addiere die Winkel: \(\theta_1 + \theta_2 = 53.13^\circ + (-63.43^\circ) = -10.3^\circ\)
    • Polarform: \(z_1 \cdot z_2 = 11.2e^{i(-10.3^\circ)}\)

b)

Veranschauliche die komplexen Zahlen \(z_1 = 3 + 4i\) und \(z_2 = 1 - 2i\) in der Gaußschen Zahlenebene.

• Bestimme für beide komplexen Zahlen die Punkte \((Re(z), Im(z))\), die in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden sollen.
• Zeichne die Vektoren, die die komplexen Zahlen repräsentieren, und beschriebe die geometrische Bedeutung der Addition dieser beiden Vektoren.

Benutze die Formeln aus der Theorie der komplexen Zahlen, um die dazugehörigen Punkte in der Ebene darzustellen und die Vektoren korrekt zu zeichnen.

Lösung:

Komplexe Zahlen in der ChemieKomplexe Zahlen sind in der Quantenchemie und der Signaltheorie von großer Bedeutung. Sie ermöglichen es, bestimmte physikalische Phänomene mathematisch zu beschreiben, die durch reine reelle Zahlen nicht adäquat erfasst werden können.

• Jede komplexe Zahl hat die Form: \(z = a + bi\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\) und \(i^2 = -1\).
• Realteil: \(Re(z) = a\)
• Imaginärteil: \(Im(z) = b\)
• Betrag einer komplexen Zahl: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• Komplexe Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene darstellen.
• Polarform: \(z = r \cdot e^{i\vartheta}\), mit \(r = |z|\) und \(\theta = \arg(z)\)
• Rechenoperationen:
  • Addition: \((a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i \)
  • Multiplikation: \((a + bi) \cdot (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\)

In dieser Aufgabe untersuchen wir die Eigenschaften und Rechenoperationen von komplexen Zahlen innerhalb eines chemischen Systems. Gegeben sei die komplexe Zahl \(z_1 = 3 + 4i\) und \(z_2 = 1 - 2i\).

• Veranschauliche die komplexen Zahlen \(z_1 = 3 + 4i\) und \(z_2 = 1 - 2i\) in der Gaußschen Zahlenebene.
• Bestimme für beide komplexen Zahlen die Punkte \((Re(z), Im(z))\), die in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden sollen.
• Für \(z_1 = 3 + 4i\) ist der Punkt \((Re(z_1), Im(z_1)) = (3, 4)\).
• Für \(z_2 = 1 - 2i\) ist der Punkt \((Re(z_2), Im(z_2)) = (1, -2)\).
• Zeichne die Vektoren, die die komplexen Zahlen repräsentieren, und beschreibe die geometrische Bedeutung der Addition dieser beiden Vektoren.
  • In der Gaußschen Zahlenebene zeichnen wir die Vektoren:
  • Der Vektor \(z_1\) beginnt im Ursprung \((0,0)\) und endet bei \((3,4)\).
  • Der Vektor \(z_2\) beginnt im Ursprung \((0,0)\) und endet bei \((1,-2)\).
  • Zur geometrischen Bedeutung der Addition dieser Vektoren:
    • Die Addition der beiden Vektoren kann als das Zeichnen eines Vektors interpretiert werden, der den Anfangspunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkt des zweiten Vektors verbindet.
    • Mathematisch ist die Addition der beiden komplexen Zahlen \(z_1 + z_2 = (3+4i) + (1-2i) = (3+1) + (4-2)i = 4 + 2i\).
    • In der Gaußschen Zahlenebene ist der resultierende Punkt \((4, 2)\).
    • Der resultierende Vektor beginnt im Ursprung \((0,0)\) und endet bei \((4,2)\).

Aufgabe 3)

Betrachte die Funktionen f(x) = ln(x), g(x) = x^2 und h(x) = e^x. Diese Funktionen sollen nun verwendet werden, um die Berechnung der Ableitungen unter Anwendung der Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel zu üben. Die Ableitungen sind wichtig, um chemische Prozesse wie Reaktionsgeschwindigkeiten und Stoffwechselreaktionen zu analysieren.

a)

Teilaufgabe 1: Bestimme die Ableitung der Funktion F(x) = f(g(x)) unter Anwendung der Kettenregel, wobei f(x) = ln(x) und g(x) = x^2.

Lösung:

Lösung für Teilaufgabe 1:

Um die Ableitung der Funktion F(x) = f(g(x)) zu bestimmen, verwenden wir die Kettenregel. Die Kettenregel besagt, dass für zwei Funktionen f und g, wobei f(u) und u = g(x), die Ableitung von F gegeben ist durch:

• \(F'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)\)

In Deinem Fall haben wir:

• f(u) = ln(u)
• g(x) = x^2

Wir beginnen damit, die Ableitungen der einzelnen Funktionen zu berechnen:

• f(u) = ln(u) \( \rightarrow f'(u) = \frac{1}{u} \)
• g(x) = x^2 \( \rightarrow g'(x) = 2x \)

Jetzt wenden wir die Kettenregel an:

• F(x) = f(g(x)) = ln(x^2)
• F'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)
• F'(x) = \( \frac{1}{x^2} \times 2x \)
• F'(x) = \( \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} \)

Die Ableitung der Funktion F(x) = ln(x^2) ist also:

• \(F'(x) = \frac{2}{x}\)

b)

Teilaufgabe 2: Bestimme die Ableitung der Funktion P(x) = f(x) * h(x) unter Anwendung der Produktregel, wobei f(x) = ln(x) und h(x) = e^x.

Lösung:

Lösung für Teilaufgabe 2:

Um die Ableitung der Funktion P(x) = f(x) * h(x) zu bestimmen, verwenden wir die Produktregel. Die Produktregel besagt, dass für zwei differenzierbare Funktionen f(x) und h(x) die Ableitung des Produkts folgendermaßen berechnet wird:

• \(P'(x) = f'(x) \times h(x) + f(x) \times h'(x)\)

In Deinem Fall haben wir:

• f(x) = ln(x)
• h(x) = e^x

Wir beginnen damit, die Ableitungen der einzelnen Funktionen zu berechnen:

• f(x) = ln(x) \( \rightarrow f'(x) = \frac{1}{x} \)
• h(x) = e^x \( \rightarrow h'(x) = e^x \)

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

• P(x) = ln(x) \times e^x
• P'(x) = f'(x) \times h(x) + f(x) \times h'(x)
• P'(x) = \( \frac{1}{x} \times e^x + ln(x) \times e^x \)

Wir können den Term weiter vereinfachen:

• P'(x) = \( \frac{e^x}{x} + ln(x) \times e^x \)

Die Ableitung der Funktion P(x) = ln(x) \times e^x ist also:

• \(P'(x) = \frac{e^x}{x} + ln(x) \times e^x\)

c)

Teilaufgabe 3: Bestimme die Ableitung der Funktion Q(x) = \frac{h(x)}{g(x)} unter Anwendung der Quotientenregel, wobei h(x) = e^x und g(x) = x^2.

Lösung:

Lösung für Teilaufgabe 3:

Um die Ableitung der Funktion Q(x) = \( \frac{h(x)}{g(x)} \) zu bestimmen, verwenden wir die Quotientenregel. Die Quotientenregel besagt, dass für zwei differenzierbare Funktionen h(x) und g(x) die Ableitung des Quotienten folgendermaßen berechnet wird:

• \(Q'(x) = \frac{h'(x) \times g(x) - h(x) \times g'(x)}{(g(x))^2}\)

In Deinem Fall haben wir:

• h(x) = e^x
• g(x) = x^2

Wir beginnen damit, die Ableitungen der einzelnen Funktionen zu berechnen:

• h(x) = e^x \( \rightarrow h'(x) = e^x \)
• g(x) = x^2 \( \rightarrow g'(x) = 2x \)

Jetzt wenden wir die Quotientenregel an:

• Q(x) = \( \frac{e^x}{x^2} \)
• Q'(x) = \( \frac{e^x \times x^2 - e^x \times 2x}{(x^2)^2} \)
• Q'(x) = \( \frac{e^x \times x^2 - 2x \times e^x}{x^4} \)

Wir können den Term weiter vereinfachen:

• Q'(x) = \( \frac{e^x \times (x^2 - 2x)}{x^4} \)
• Q'(x) = \( \frac{e^x \times x(x - 2)}{x^4} \)
• Q'(x) = \( \frac{e^x \times (x - 2)}{x^3} \)

Die Ableitung der Funktion Q(x) = \( \frac{e^x}{x^2} \) ist also:

• \(Q'(x) = \frac{e^x \times (x - 2)}{x^3}\)

Aufgabe 4)

Betrachte die Matrix A:

 \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} \] 

Diese Matrix stellt eine 2x2 Matrix dar und wir möchten ihre Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.

a)

Teilaufgabe a:

Bestimme die charakteristische Gleichung der Matrix A.

• Erkläre die allgemeinen Schritte zur Bestimmung der charakteristischen Gleichung.
• Finde die charakteristische Gleichung für die gegebene Matrix A.

Lösung:

Um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix zu bestimmen, beginnen wir mit der charakteristischen Gleichung. Gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Allgemeine Schritte zur Bestimmung der charakteristischen Gleichung:
• Gegeben sei eine Matrix A. Wir subtrahieren \(\lambda \cdot I\) (wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist) von A.
• Dies ergibt die Matrix \(A - \lambda I\).
• Die charakteristische Gleichung erhält man, indem man die Determinante dieser Matrix gleich null setzt: \( \text{det}(A - \lambda I) = 0 \).

Bestimmung der charakteristischen Gleichung für die gegebene Matrix A:

1. Betrachte die Matrix A und die Einheitsmatrix I:

 \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} \] \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

2. Subtrahiere \(\lambda \cdot I\) von A:

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \]

3. Berechne die Determinante von \(A - \lambda I\):

\[ \text{det}(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} \]

4. Die Determinante einer 2x2-Matrix \(\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\) ist gegeben durch \(ad - bc\). Wende diese Regel an:

\[ \text{det}(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(2 - \lambda) - 1 \]

5. Setze die Determinante gleich null und löse nach \(\lambda\) auf:

\[ (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \] \[ (2 - \lambda)^2 = 1 \] \[ 2 - \lambda = \pm 1 \] Was zu den Lösungen \( \lambda = 1 \text{ und } \lambda = 3 \) führt.

Damit haben wir die charakteristische Gleichung und die Eigenwerte der Matrix A bestimmt:

\[ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \] Eigenwerte: \( \lambda_1 = 1 \text{ und } \lambda_2 = 3 \)

b)

Teilaufgabe b:

Berechne die Eigenwerte der Matrix A durch Lösung der charakteristischen Gleichung.

• Gib die Eigenwerte als Lösung der Gleichung an.
• Zeige jeden Schritt Deiner Berechnung genau auf.

Lösung:

Um die Eigenwerte der Matrix A zu berechnen, verwenden wir die charakteristische Gleichung, die wir in Teilaufgabe a bestimmt haben. Diese lautete:

\[ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \]

Um die Eigenwerte zu finden, müssen wir diese quadratische Gleichung lösen. Gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Vergleiche dies mit unserer Gleichung:

\[ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \]

Hier haben wir:

• \(a = 1\)
• \(b = -4\)
• \(c = 3\)

Um die Wurzeln dieser Gleichung zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel (Quadratische Formel):

\[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Setze die Werte von \(a\), \(b\) und \(c\) in die Formel ein:

\[ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \]

Berechne die Terme im Zähler und Nenner:

\[ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \]

Vereinfache weiter:

\[ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \]

Da \( \sqrt{4} = 2 \), haben wir:

\[ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} \]

Nun erhalten wir zwei mögliche Lösungen:

• \(\lambda_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
• \(\lambda_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

Daher sind die Eigenwerte der Matrix A:

\[ \lambda_1 = 3 \] \[ \lambda_2 = 1 \]

d)

Teilaufgabe d:

Diskutiere eine mögliche Anwendung der berechneten Eigenwerte und Eigenvektoren in der Chemie, z.B. im Kontext der Molekülorbitaltheorie oder der Schrödinger-Gleichung.

• Beschreibe, wie Eigenwerte und Eigenvektoren in der Molekülorbitaltheorie verwendet werden können.
• Gib ein konkretes Beispiel an und zeige die Relevanz der berechneten Eigenwerte und Eigenvektoren.

Lösung:

Eigenwerte und Eigenvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Chemie, insbesondere in der Molekülorbitaltheorie und der Lösung der Schrödinger-Gleichung. Gehen wir näher darauf ein:

• Eigenwerte und Eigenvektoren in der Molekülorbitaltheorie:
• Die Molekülorbitaltheorie beschreibt, wie Atomorbitale (AO) kombinieren, um Molekülorbitale (MO) zu bilden. Diese MOs sind die Wellenfunktionen der Elektronen in einem Molekül und können durch das Lösen der Schrödinger-Gleichung gefunden werden.
• In einem vereinfachten Modell, wie dem Hückel-Methodenansatz, verwendet man eine Matrix, die die Wechselwirkungen zwischen den Atomorbitalen beschreibt. Die Eigenwerte dieser Matrix repräsentieren die Energieniveaus der Molekülorbitale, während die Eigenvektoren die Koeffizienten darstellen, mit denen die Atomorbitale zu den Molekülorbitalen kombiniert werden.

Konkretes Beispiel:

Betrachten wir das Ethylen-Molekül (C₂H₄) mit zwei pz-Orbitalen, eines auf jedem Kohlenstoffatom, die an der π-Bindung beteiligt sind:

• Die Wechselwirkungsmatrix für dieses System sieht ähnlich aus wie unsere Matrix A:

\[ H = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \ \beta & \alpha \end{pmatrix} \]

Hier ist \(\alpha\) die Energie eines einzelnen pz-Orbitals und \(\beta\) die Wechselwirkungsenergie zwischen den benachbarten pz-Orbitalen.

Durch das Lösen der Schrödinger-Gleichung, d.h. durch Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren von H, erhalten wir die MOs und ihre Energien.

Die Eigenwerte unserer Matrix A entsprechen den Energien der Molekülorbitale:

\[ E_1 = \alpha + \beta \quad \text{und} \quad E_2 = \alpha - \beta \]

Die Eigenvektoren bestimmen die Linearkombinationen der Atomorbitale:

\[ \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} \]

Die Relevanz der berechneten Eigenwerte und Eigenvektoren ist in diesem Fall, dass sie die möglichen Energiezustände und die Verteilung der Elektronendichte in den Molekülorbitalen des Ethylenmoleküls beschreiben. Diese Informationen sind zentral für das Verständnis der chemischen Bindungen und Reaktionen.

Zusammengefasst können Eigenwerte und Eigenvektoren in der Molekülorbitaltheorie verwendet werden, um die Energiezustände und die Struktur von Molekülen zu analysieren. Unser Beispiel zeigt, wie diese mathematischen Konzepte direkt auf ein chemisches Problem angewendet werden können.