Physik 2 - Exam

Aufgabe 1)

Elektromagnetische Wellen und Licht

Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen, bestehend aus elektrischen und magnetischen Feldern. Licht ist der sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums.

• Wellengleichung: \[ c = \lambda \cdot f \]
• c: Lichtgeschwindigkeit (\(3 \times 10^8 \text{m/s}\))
• \(\lambda \): Wellenlänge
• f: Frequenz
• Photonenenergie: \[ E = h \cdot f \]
• h: Plancksches Wirkungsquantum (\(6.626 \times 10^{-34} \text{Js}\))
• Lichtbrechung: n = c / v
• Spektrum: Radio-, Mikrowellen, IR, Sichtbar (400-700 nm), UV, Röntgen, Gamma

a)

Berechne die Wellenlänge eines Lichts mit einer Frequenz von 6 \times 10^{14} \text{Hz}.

Nutze dabei die Wellengleichung: \[ c = \lambda \cdot f \]

Lösung:

Elektromagnetische Wellen und Licht

Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen, bestehend aus elektrischen und magnetischen Feldern. Licht ist der sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums.

• Wellengleichung: \[ c = \lambda \cdot f \]
• c: Lichtgeschwindigkeit (\(3 \times 10^8 \text{m/s}\))
• \(\lambda\): Wellenlänge
• f: Frequenz
• Photonenenergie: \[ E = h \cdot f \]
• h: Plancksches Wirkungsquantum (\(6.626 \times 10^{-34} \text{Js}\))
• Lichtbrechung: n = c / v
• Spektrum: Radio-, Mikrowellen, IR, Sichtbar (400-700 nm), UV, Röntgen, Gamma

Berechne die Wellenlänge eines Lichts mit einer Frequenz von \(6 \times 10^{14} \text{Hz}\).

Nutze dabei die Wellengleichung: \[ c = \lambda \cdot f \]

Lösungsschritte:

• Die Wellengleichung lautet: \[ c = \lambda \cdot f \]
• Um die Wellenlänge \(\lambda\) zu berechnen, lösen wir die Gleichung nach \(\lambda\) auf:

\[ \lambda = \frac{c}{f} \]

• Setzen wir die gegebenen Werte ein:

\[ \lambda = \frac{3 \times 10^8 \text{m/s}}{6 \times 10^{14} \text{Hz}} \]

• Berechnen wir den Wert:

\[ \lambda = 5 \times 10^{-7} \text{m} \]

Also beträgt die Wellenlänge des Lichts \(5 \times 10^{-7} \text{m}\) oder 500 nm (Nanometer).

Die Wellenlänge liegt im sichtbaren Spektrum des Lichts.

b)

Bestimme die Energie eines Photons des oben beschriebenen Lichts mit der Frequenz 6 \times 10^{14} \text{Hz}.

Nutze die Formel: \[ E = h \cdot f \]

Lösung:

Elektromagnetische Wellen und Licht

Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen, bestehend aus elektrischen und magnetischen Feldern. Licht ist der sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums.

• Wellengleichung: \[ c = \lambda \cdot f \]
• c: Lichtgeschwindigkeit (\(3 \times 10^8 \text{m/s}\))
• \(\lambda\): Wellenlänge
• f: Frequenz
• Photonenenergie: \[ E = h \cdot f \]
• h: Plancksches Wirkungsquantum (\(6.626 \times 10^{-34} \text{Js}\))
• Lichtbrechung: n = c / v
• Spektrum: Radio-, Mikrowellen, IR, Sichtbar (400-700 nm), UV, Röntgen, Gamma

Bestimme die Energie eines Photons des oben beschriebenen Lichts mit der Frequenz \(6 \times 10^{14} \text{Hz}\).

Nutze die Formel: \[ E = h \cdot f \]

Lösungsschritte:

• Die Formel zur Berechnung der Photonenenergie lautet: \[ E = h \cdot f \]
• Setzen wir die gegebenen Werte ein:

\[ E = 6.626 \times 10^{-34} \text{Js} \times 6 \times 10^{14} \text{Hz} \]

• Berechnen wir den Wert:

\[ E = 3.9756 \times 10^{-19} \text{J} \]

Die Energie eines Photons des Lichts beträgt also \(3.9756 \times 10^{-19} \text{J}\).

c)

Ein Lichtstrahl geht aus einem Medium mit Brechungsindex n = 1.5 in Luft (n = 1). Berechne die Geschwindigkeit des Lichts im Medium mit n = 1.5.

Nutze die Formel: n = c / v

Begründe außerdem, warum der Brechungsindex eines Mediums größer als 1 sein muss.

Lösung:

Elektromagnetische Wellen und Licht

Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen, bestehend aus elektrischen und magnetischen Feldern. Licht ist der sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums.

• Wellengleichung: \[ c = \lambda \cdot f \]
• c: Lichtgeschwindigkeit (\(3 \times 10^8 \text{m/s}\))
• \(\lambda\): Wellenlänge
• f: Frequenz
• Photonenenergie: \[ E = h \cdot f \]
• h: Plancksches Wirkungsquantum (\(6.626 \times 10^{-34} \text{Js}\))
• Lichtbrechung: \( n = \frac{c}{v} \)
• Spektrum: Radio-, Mikrowellen, IR, Sichtbar (400-700 nm), UV, Röntgen, Gamma

Ein Lichtstrahl geht aus einem Medium mit Brechungsindex \( n = 1.5 \) in Luft (\( n = 1 \)). Berechne die Geschwindigkeit des Lichts im Medium mit \( n = 1.5 \).

Nutze die Formel: \( n = \frac{c}{v} \).

Lösungsschritte:

• Die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Lichts im Medium lautet: \( n = \frac{c}{v} \)
• Um die Geschwindigkeit \( v \) zu berechnen, lösen wir die Gleichung nach \( v \) auf:

\[ v = \frac{c}{n} \]

• Setzen wir die gegebenen Werte ein:

\[ v = \frac{3 \times 10^8 \text{m/s}}{1.5} \]

• Berechnen wir den Wert:

\[ v = 2 \times 10^8 \text{m/s} \]

Die Geschwindigkeit des Lichts im Medium mit \( n = 1.5 \) beträgt also \( 2 \times 10^8 \text{m/s} \).

Begründung, warum der Brechungsindex eines Mediums größer als 1 sein muss:

• Der Brechungsindex \( n \) ist definiert als das Verhältnis von Lichtgeschwindigkeit im Vakuum \( c \) zur Lichtgeschwindigkeit im Medium \( v \).
• Da \( c \) die maximale Geschwindigkeit ist, die Licht erreichen kann, muss die Geschwindigkeit im Medium \( v \) immer geringer als \( c \) sein.
• Mathematische Darstellung: \( n = \frac{c}{v} \)
• Wenn \( v < c \), dann ist \( \frac{c}{v} > 1 \), also muss der Brechungsindex \( n > 1 \) sein.

Somit erklärt dies, warum der Brechungsindex eines Mediums immer größer als 1 sein muss.

d)

Licht mit einer Wellenlänge von 500 nm (im sichtbaren Spektrum) geht von Luft in Wasser über. Der Brechungsindex von Wasser ist 1.33. Berechne die neue Wellenlänge des Lichts im Wasser.

Lösung:

Elektromagnetische Wellen und Licht

Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen, bestehend aus elektrischen und magnetischen Feldern. Licht ist der sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums.

• Wellengleichung: \[ c = \lambda \cdot f \]
• c: Lichtgeschwindigkeit (\(3 \times 10^8 \text{m/s}\))
• \(\lambda\): Wellenlänge
• f: Frequenz
• Photonenenergie: \[ E = h \cdot f \]
• h: Plancksches Wirkungsquantum (\(6.626 \times 10^{-34} \text{Js}\))
• Lichtbrechung: \( n = \frac{c}{v} \)
• Spektrum: Radio-, Mikrowellen, IR, Sichtbar (400-700 nm), UV, Röntgen, Gamma

Licht mit einer Wellenlänge von 500 nm (im sichtbaren Spektrum) geht von Luft in Wasser über. Der Brechungsindex von Wasser ist 1.33. Berechne die neue Wellenlänge des Lichts im Wasser.

Lösungsschritte:

• Die Frequenz \( f \) des Lichts bleibt beim Übergang von einem Medium in ein anderes konstant.
• Wir benötigen die Lichtgeschwindigkeit im Wasser \( v \). Diese wird aus dem Brechungsindex \( n \) und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum \( c \) berechnet:

\[ v = \frac{c}{n} \]

• Setzen wir die gegebenen Werte ein:

\[ v = \frac{3 \times 10^8 \text{m/s}}{1.33} \]

• Berechnen wir den Wert:

\[ v \approx 2.256 \times 10^8 \text{m/s} \]

• Die Wellenlänge \( \lambda \) des Lichts im Wasser kann mit der Wellengleichung berechnet werden:

\[ \lambda' = \frac{v}{f} \]

• Da die Frequenz \( f \) in beiden Medien gleich bleibt, können wir dies auch als Verhältnis der Wellenlängen ausdrücken:

\[ \lambda' = \frac{\lambda}{n} \]

• Setzen wir die gegebene Wellenlänge \( \lambda = 500 \text{nm} \) und den Brechungsindex \( n = 1.33 \) ein:

\[ \lambda' = \frac{500 \text{nm}}{1.33} \]

• Berechnen wir den Wert:

\[ \lambda' \approx 376 \text{nm} \]

Die neue Wellenlänge des Lichts im Wasser beträgt ca. 376 nm.

Aufgabe 2)

In einem Experiment zur Untersuchung der Beugung und Interferenz von Licht wird ein Beugungsgitter mit einer Gitterkonstanten von \(\displaystyle d \) = 500 nm verwendet. Eine monochromatische Lichtquelle mit einer Wellenlänge von \(\displaystyle \lambda \) = 600 nm wird verwendet, um die Beugungsmuster zu erzeugen. Die Beugungsmuster werden auf einem Schirm in einer Entfernung von 1 Meter vom Gitter beobachtet.

a)

Berechne den Winkel \(\displaystyle \theta \), bei dem das erste Beugungsmaximum auftritt. Verwende die Gittergleichung: \(\displaystyle d \sin(\theta) = m \lambda\) für den Fall m = 1.

Lösung:

Berechnung des Winkels \( \theta \) für das erste Beugungsmaximum

• Gegeben sind:
• Gitterkonstante: \( d = 500 \text{ nm} \),
• Wellenlänge: \( \lambda = 600 \text{ nm} \),
• Ordnung des Maximums: \( m = 1 \).
• Wir verwenden die Gittergleichung: \( d \sin(\theta) = m \lambda \).

Schritte zur Berechnung:

• Setze die bekannten Werte in die Gittergleichung ein:
• \( 500 \text{ nm} \sin(\theta) = 1 \times 600 \text{ nm} \).
• Umstellen der Gleichung nach \( \theta \):
• \( \sin(\theta) = \frac{m \lambda}{d} = \frac{600 \text{ nm}}{500 \text{ nm}} = 1.2 \).

Da der Sinus eines Winkels keinen Wert größer als 1 annehmen kann, bedeutet dies, dass das gegebene \( \lambda \) für die gegebene Gitterkonstante \( d \) keine physikalisch mögliche Beugung in der ersten Ordnung ergibt.

• In der Praxis bedeutet dies, dass für dieses Gitter und diese Wellenlänge kein erstes Beugungsmaximum auftreten kann.

b)

Berechne die Phasendifferenz \(\displaystyle \Delta \phi \) zwischen den Wellen, die durch die beiden benachbarten Spalten des Beugungsgitters im Winkel \(\displaystyle \theta \) bei der ersten Intensitätsmaxima entstehen. Verwende die Formel: \(\Delta \phi = \frac{2\pi \Delta s}{\lambda}\), dabei ist \(\displaystyle \Delta s\) der Wegunterschied.

Lösung:

Berechnung der Phasendifferenz \( \Delta \phi \) zwischen den Wellen

• Gegeben sind:
• Gitterkonstante: \( d = 500 \text{ nm} \)
• Wellenlänge: \( \lambda = 600 \text{ nm} \)
• Winkel bei der ersten Intensitätsmaxima: \( \theta \)
• Formel für die Phasendifferenz: \( \Delta \phi = \frac{2\pi \Delta s}{\lambda} \)

Schritte zur Berechnung:

• Der Wegunterschied \( \Delta s \) ist gegeben durch:
• \( \Delta s = d \sin(\theta) \)
• Verwende die Gittergleichung, um \( \sin(\theta) \) zu berechnen:
• \( d \sin(\theta) = m \lambda \)
• Für das erste Intensitätsmaximum ist \( m = 1 \)
• \( d \sin(\theta) = 1 \times 600 \text{ nm} = 600 \text{ nm} \)
• Daraus folgt:
• \( \Delta s = 600 \text{ nm} \)
• Setze \( \Delta s \) in die Formel für die Phasendifferenz ein:
• \( \Delta \phi = \frac{2\pi \Delta s}{\lambda} = \frac{2\pi \times 600 \text{ nm}}{600 \text{ nm}} \)
• \( \Delta \phi = 2\pi \)

Die Phasendifferenz \( \Delta \phi \) zwischen den Wellen, die durch die beiden benachbarten Spalten des Beugungsgitters im Winkel \( \theta \) bei der ersten Intensitätsmaxima entstehen, ist daher \( 2\pi \).

c)

Falls die Entfernung zwischen den Beugungsgitter und dem Schirm auf 2 Meter erhöht wird, wie beeinflusst dies die Position der Beugungsmaxima auf dem Schirm? Beschreibe qualitativ und, wenn möglich, quantitativ.

Lösung:

Einfluss der Entfernung auf die Position der Beugungsmaxima

• Gegeben sind:
• Gitterkonstante: \( d = 500 \text{ nm} \)
• Wellenlänge: \( \lambda = 600 \text{ nm} \)
• Ursprüngliche Entfernung zum Schirm: 1 Meter
• Neue Entfernung zum Schirm: 2 Meter
• Wir wissen bereits, dass der Beugungswinkel \( \theta \) durch die Gittergleichung bestimmt wird:
• \( d \sin(\theta) = m \lambda \)
• Der Winkel \( \theta \) bleibt unverändert, wenn sich die Entfernung zum Schirm ändert, da er von den physikalischen Eigenschaften des Gitters und der Lichtquelle abhängt.
• Die Position der Beugungsmaxima auf dem Schirm in einer Entfernung \( L \) vom Gitter ist gegeben durch die Beziehung:
• \( y = L \tan(\theta) \)
• Wenn die Entfernung \( L \) verdoppelt wird, wird \( y \), die Position der Maxima auf dem Schirm, ebenfalls proportional zunehmen.
• Ursprünglich: \( y_1 = 1 \tan(\theta) \)
• Neu: \( y_2 = 2 \tan(\theta) \)
• Quantitativ bedeutet dies, dass die Beugungsmaxima auf dem Schirm doppelt so weit von der Zentralen Maximum entfernt sein werden:
• \( y_2 = 2 y_1 \)
• Qualitativ:
• Wenn man den Schirm weiter entfernt (von 1 Meter auf 2 Meter), vergrößert sich die Abstände zwischen den Maxima. Die Interferenzmuster werden auf dem Schirm größer erscheinen.

Zusammenfassend: Wenn die Entfernung zwischen Beugungsgitter und Schirm von 1 Meter auf 2 Meter erhöht wird, verdoppeln sich die Abstände der Beugungsmaxima auf dem Schirm, da die Position der Maxima direkt proportional zur Entfernung ist.

d)

Nehmen wir an, du führst das Young'sche Doppelspaltexperiment unter den gleichen Bedingungen (gleiche Wellenlänge \(\displaystyle \lambda \) und Spaltabstand \(\displaystyle d \)). Berechne die Position der ersten beiden Interferenzmaxima auf dem Schirm, der 1 Meter entfernt ist.

Lösung:

Berechnung der Position der Interferenzmaxima beim Young'schen Doppelspaltexperiment

• Gegeben sind:
• Wellenlänge: \( \lambda = 600 \text{ nm} \)
• Spaltabstand: \( d = 500 \text{ nm} \)
• Entfernung zum Schirm: \( L = 1 \text{ Meter} \)
• Die Position der Interferenzmaxima auf dem Schirm ist gegeben durch:
• \( y = L \cdot \tan(\theta) \)
• Für kleine Winkel kann \( \tan(\theta) \) durch \( \sin(\theta) \) approximiert werden:
• \( \sin(\theta) \approx \tan(\theta) \)
• Die Bedingung für die Position der Maxima beim Doppelspaltexperiment ist:
• \( d \sin(\theta) = m \lambda \)
• Umstellen nach \( \sin(\theta) \):
• \( \sin(\theta) = \frac{m \lambda}{d} \)
• Die Position \( y \) der Maxima ist daher:
• \( y = L \sin(\theta) = L \cdot \frac{m \lambda}{d} \)
• Wir berechnen die Position der ersten beiden Maxima:
• Für das erste Maximum (\( m = 1 \)):
• \( y_1 = 1 \text{ Meter} \cdot \frac{1 \cdot 600 \text{ nm}}{500 \text{ nm}} = 1 \text{ Meter} \cdot \frac{600}{500} = 1 \text{ Meter} \cdot 1.2 = 1.2 \text{ Meter} \)
• Für das zweite Maximum (\( m = 2 \)):
• \( y_2 = 1 \text{ Meter} \cdot \frac{2 \cdot 600 \text{ nm}}{500 \text{ nm}} = 1 \text{ Meter} \cdot \frac{1200}{500} = 1 \text{ Meter} \cdot 2.4 = 2.4 \text{ Meter} \)

Zusammenfassend sind die Positionen der ersten beiden Interferenzmaxima auf dem Schirm, der 1 Meter vom Spalt entfernt ist, wie folgt:

• Erstes Maximum: 1.2 Meter
• Zweites Maximum: 2.4 Meter

Aufgabe 3)

Du hast ein abgeschlossenes thermodynamisches System vor Dir, das einem zyklischen Prozess unterliegt. In diesem Prozess werden dem System 500 J Wärme zugeführt und es verrichtet 300 J Arbeit.

a)

1. Hauptsatz der Thermodynamik: Berechne die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) des Systems. \[ \Delta U = \text{d}Q - \text{d}W \] Gib Deine Antwort in Joule an.

Lösung:

Um die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) des Systems zu berechnen, verwenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Dieser besagt:

• \[ \Delta U = \text{d}Q - \text{d}W \]

Hierbei sind:

• \(\text{d}Q\): die zugeführte Wärme
• \(\text{d}W\): die vom System verrichtete Arbeit

Gegeben sind:

• \(\text{d}Q = 500 \ \text{J}\)
• \(\text{d}W = 300 \ \text{J}\)

Nun setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

• \[ \Delta U = 500 \ \text{J} - 300 \ \text{J} \]
• \[ \Delta U = 200 \ \text{J} \]

Die Änderung der inneren Energie des Systems beträgt also 200 Joule.

b)

2. Hauptsatz der Thermodynamik: Betrachte das abgeschlossene System. Erkläre, ob und wie sich die Entropie \(\Delta S\) des Systems im gesamten zyklischen Prozess ändert.

Lösung:

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik beschäftigt sich mit der Entropie eines Systems. Entropie ist ein Maß für die Unordnung oder die Anzahl der mikroskopischen Zustände, die ein System einnehmen kann.

• In einem abgeschlossenen System bleibt die gesamte Entropie während eines zyklischen Prozesses entweder konstant oder nimmt zu.
• Für einen zyklischen Prozess kehrt das System am Ende des Zyklus zu seinem Ausgangszustand zurück.

Da es sich um einen zyklischen Prozess handelt, gilt:

• Die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) über einen kompletten Zyklus ist null, weil das System zu seinem Anfangszustand zurückkehrt.
• Dies impliziert, dass die Entropieänderung \(\Delta S\) eines idealen abgeschlossenen Systems in einem zyklischen Prozess ebenfalls gleich null ist, da das System zu seinem Ausgangszustand zurückkehrt.

Im Fall eines nichtidealen realen Systems kann lokale Entropie zunehmen, jedoch bleibt die Gesamtentropie konstant oder nimmt zu.

Somit gilt zusammenfassend:

• In einem idealen abgeschlossenen System ändert sich die Entropie \(\Delta S\) in einem zyklischen Prozess nicht.

• In einem realen system ist eine Entropiezunahme möglich.

c)

Die Entropie eines abgeschlossenen Systems wird durch Erhöhung oder Verringerung der inneren Energie beeinflusst. Angenommen, der obige Prozess besteht aus zwei Schritten: Im ersten Schritt wird 200 J Wärme zugeführt und 100 J Arbeit verrichtet. Berechne die Änderung der inneren Energie und die Entropieänderung für diesen Schritt unter der Annahme, dass die Entropie durch die zugeführte Wärme geändert wird, gemäß \[ \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} \] wobei \(T = 300 \, K \). Gib Deine Antworten in Joule und Joule pro Kelvin an.

Lösung:

Um die Änderung der inneren Energie und die Entropieänderung für den ersten Schritt zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

• Erster Schritt: 200 J Wärme zugeführt (\(\Delta Q = 200 \ \text{J}\)) und 100 J Arbeit verrichtet (\(\text{d}W = 100 \ \text{J}\))

Änderung der inneren Energie \(\Delta U\):

• Verwende die Beziehung aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik:
• \[ \Delta U = \text{d}Q - \text{d}W \]
• Setze die gegebenen Werte ein:
• \[ \Delta U = 200 \ \text{J} - 100 \ \text{J} = 100 \ \text{J} \]
• Die Änderung der inneren Energie beträgt also 100 Joule.

Änderung der Entropie \(\Delta S\):

• Die Entropieänderung wird durch die zugeführte Wärme berechnet:
• \[ \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} \]
• Gegeben sind:
• \(\Delta Q = 200 \ \text{J}\)
• \(T = 300 \ \text{K}\)
• Setze die Werte in die Formel ein:
• \[ \Delta S = \frac{200 \ \text{J}}{300 \ \text{K}} = \frac{2}{3} \ \text{J/K} \]
• Die Entropieänderung beträgt also \(\frac{2}{3} \ \text{J K}^{-1}\).

Zusammengefasst:

• Änderung der inneren Energie: 100 Joule
• Änderung der Entropie: \(\frac{2}{3} \ \text{J K}^{-1}\)

Aufgabe 4)

Quantenmechanische Phänomene und UnschärferelationPhänomene der Quantenmechanik beziehen sich auf Verhaltensweisen von Teilchen auf mikroskopischer Ebene. Die Unschärferelation beschreibt die begrenzte Genauigkeit, mit der bestimmte Paare von physikalischen Größen gleichzeitig bekannt sein können (z.B. Position und Impuls).

• Heisenbergsche Unschärferelation: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• Teilchen-Welle-Dualismus: Teilchen verhalten sich gleichzeitig wie Wellen und Teilchen.
• Tunneleffekt: Teilchen können Energiebarrieren überwinden, die sie klassisch nicht passieren könnten.
• Superposition: Ein System kann sich in mehreren Zuständen gleichzeitig befinden.
• Quantensprünge: Elektronen wechseln zwischen diskreten Energiezuständen innerhalb eines Atoms.

a)

Erkläre den Tunneleffekt und beschreibe ein Experiment, das diesen Effekt demonstrieren könnte. Gehe dabei auf die Bedeutung der Energiebarriere und der Wahrscheinlichkeitsdichte ein.

Lösung:

Der Tunneleffekt ist ein faszinierendes Phänomen der Quantenmechanik. Er beschreibt die Fähigkeit von Teilchen, Energiebarrieren zu überwinden, die sie nach klassischer Physik nicht passieren könnten, weil ihnen die erforderliche Energie fehlt. Dies widerspricht unseren klassischen Vorstellungen von Teilchenbewegungen und ist eine direkte Konsequenz der Wellennatur von Teilchen in der Quantenmechanik.

Im Rahmen der Schrödingergleichung wird beschrieben, wie sich die Wellenfunktion eines Teilchens (\textit{Ψ}) in einem bestimmten Potential verhält:

\[ \frac{d^2 \textit{Ψ}(x)}{dx^2} = \frac{2m}{\textit{ℏ}^2} \times (\textit{V}(x) - E) \textit{Ψ}(x) \]

Hierbei sind:

• \textit{Ψ}(x): Die Wellenfunktion des Teilchens
• m: Die Masse des Teilchens
• \textit{ℏ}: Das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• V(x): Das Potential an der Stelle x
• E: Die Energie des Teilchens

In einem Bereich, in dem das Potential \textit{V}(x) größer ist als die Energie des Teilchens E (d.h., innerhalb der Barriere), führt diese Gleichung dazu, dass die Wellenfunktion exponentiell abfällt:

\[ \textit{Ψ}(x) \backsimeq e^{-\beta x}, \text{ wobei }  \beta > 0 \]

Für x-Werte jenseits der Barriere ist die Wahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens daher klein, aber nicht null. Dies bedeutet, dass es eine gewisse Wahrscheinlichkeit gibt, dass sich das Teilchen auf der anderen Seite der Barriere befindet – das ist der Tunneleffekt.

Ein klassisches Experiment, das diesen Effekt demonstrieren könnte, ist das Elektronendurchschlagexperiment:

• Versuchsaufbau: Ein dünner Isolatorfilm wird zwischen zwei leitenden Materialien platziert, wie z.B. zwei Metallplatten. Elektronen werden auf einer Seite des Films bereitgestellt.
• Beobachtung: Obwohl die Elektronen nicht genügend Energie haben, um die Isolatorschicht klassisch zu durchdringen, können sie dennoch auf der anderen Seite des Films nachgewiesen werden. Das zeigt, dass sie tatsächlich durch den Film „tunneln“.

In diesem Versuchsaufbau spielt die Energiebarriere des Isolatorfilms eine zentrale Rolle. Sie ist technisch höher als die Energie der Elektronen, aber aufgrund des quantenmechanischen Prinzips kann die Wahrscheinlichkeitsdichte der Elektronen auf der anderen Seite der Barriere nicht null sein. Eine exponentiell abfallende Wellenfunktion innerhalb der Barriere führt zu einer geringen, aber nicht kalkulierten Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen jenseits der Barriere auftreten.

Der Tunneleffekt ist nicht nur eine theoretische Überlegung, sondern hat auch viele praktische Anwendungen gefunden, wie z.B. im Tunnelrastermikroskop und in der Physik der Supraleiter. Er zeigt eindrucksvoll, wie quantenmechanische Effekte die klassischen Beschränkungen überwinden können.

b)

Zeige mathematisch, dass die Heisenbergsche Unschärferelation \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \] die begrenzte Genauigkeit der simultanen Messung von Position und Impuls eines Teilchens ausdrückt. Erkläre jede Größe der Gleichung und gib ein Beispiel an.

Lösung:

Die Heisenbergsche Unschärferelation ist eines der grundlegendsten Prinzipien der Quantenmechanik. Sie besagt, dass es eine Grenze gibt, mit welcher Genauigkeit bestimmte Paare von physikalischen Größen gleichzeitig gemessen werden können. Diese Größen sind typischerweise Position \(x\) und Impuls \(p\).

Die mathematische Form der Heisenbergschen Unschärferelation lautet:

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]

Hierbei sind:

• \(\Delta x\): Die Unschärfe in der Position, d.h. die Standardabweichung der Positionsmessung
• \(\Delta p\): Die Unschärfe im Impuls, d.h. die Standardabweichung der Impulsmessung
• \(\hbar\) (h quer): Das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\)

Die Unschärferelation besagt, dass das Produkt der Unschärfen in Position und Impuls mindestens so groß sein muss wie \(\frac{\hbar}{2}\). Diese Grenze ist fundamental und kann nicht unterschritten werden.

Mathematische Herleitung

Die Unschärferelation kann mittels der Eigenschaften der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik hergeleitet werden. Gegeben seien eine Wellenfunktion \(\Psi(x)\), die die Position beschreibt, und ihre Fouriertransformierte \(\Phi(p)\), die den Impuls beschreibt. Diese beiden Funktionen sind durch eine Fouriertransformation miteinander verknüpft:

\[\Phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x) e^{-ipx/\hbar} \, dx\]

Dies impliziert, dass eine Wellenfunktion \(\Psi(x)\), die stark lokalisiert ist (d.h. \(\Delta x\) ist klein), eine Fouriertransformierte \(\Phi(p)\) hat, die weit verteilt ist (d.h. \(\Delta p\) ist groß), und umgekehrt.

Aus mathematisch-analytischen Betrachtungen der Wellenpakete folgt die Ungleichung:

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]

Beispiel

Angenommen, wir messen die Position eines Elektrons mit einer Genauigkeit von \(\Delta x = 10^{-10}\, m\) (typisch für die atomare Skala). Um die Heisenbergsche Unschärferelation zu erfüllen, muss das Produkt von \(\Delta x\) und \(\Delta p\) mindestens \(\frac{\hbar}{2}\) betragen:

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} = \frac{1.0545718 \times 10^{-34} \, Js}{2} \approx 5.272859 \times 10^{-35} \, Js\]

Somit ergibt sich für die minimale Unschärfe im Impuls:

\[\Delta p \geq \frac{5.272859 \times 10^{-35} }{10^{-10}} \approx 5.272859 \times 10^{-25} \, kg \, m/s\]

Das zeigt, dass je genauer wir die Position eines Teilchens messen, desto ungenauer wird die Messung seines Impulses und umgekehrt. Die Heisenbergsche Unschärferelation verdeutlicht somit die fundamentalen Grenzen der gleichzeitigen Messbarkeit von Position und Impuls in der Quantenmechanik.

c)

Diskutiere das Konzept der Superposition anhand des Doppelspaltexperiments mit Elektronen. Wie zeigt dieses Experiment die Welleneigenschaften der Elektronen und was würde passieren, wenn man den Weg der Elektronen durch den Spalt beobachtet?

Lösung:

Das Konzept der Superposition ist ein zentrales Prinzip der Quantenmechanik. Es besagt, dass ein Quantensystem gleichzeitig in mehreren Zuständen existieren kann, bevor es gemessen wird. Das Doppelspaltexperiment ist eines der bekanntesten Experimente, das dieses Konzept illustriert.

Das Doppelspaltexperiment mit Elektronen

Beim Doppelspaltexperiment wird ein Elektronenstrahl auf eine Platte mit zwei nahe beieinanderliegenden Spalten gerichtet. Hinter der Platte befindet sich ein Detektor, der die auftreffenden Elektronen registriert.

Ohne Beobachtung

Wenn die Elektronen durch die zwei Spalten geschickt werden, ohne dass ihr Weg beobachtet wird, zeigt das Ergebnis ein Interferenzmuster auf dem Detektor. Dieses Muster ähnelt dem von Lichtwellen und besteht aus abwechselnden Bereichen hoher und niedriger Intensität. Das Interferenzmuster entsteht, weil sich die Wellenfunktionen der Elektronen, die durch die beiden Spalten gehen, überlagern und sich gegenseitig verstärken oder auslöschen.

Das Interferenzmuster zeigt, dass sich die Elektronen wie Wellen verhalten und sich in einer Superposition der Zustände befinden, bei der sie gleichzeitig durch beide Spalten gehen:

\[ |\Psi\rangle = |\Psi_1\rangle + |\Psi_2\rangle \]

Hier entspricht \(|\Psi_1\rangle\) dem Zustand des Elektrons, das durch den ersten Spalt geht, und \(|\Psi_2\rangle\) dem Zustand des Elektrons, das durch den zweiten Spalt geht. Die Überlagerung (Superposition) dieser Zustände führt zur Interferenz.

Mit Beobachtung

Wenn hingegen ein Messgerät verwendet wird, um den Weg der Elektronen zu beobachten und festzustellen, durch welchen Spalt jedes Elektron geht, verschwindet das Interferenzmuster. In diesem Fall verhalten sich die Elektronen wie Teilchen, die durch einen der beiden Spalten gehen, aber nicht beide gleichzeitig:

\[ |\Psi\rangle = |\Psi_1\rangle \text{ oder } |\Psi_2\rangle \]

Die Messung kollabiert die Superposition der Zustände, sodass das Elektron in einem definierten Zustand verbleibt, entweder \(|\Psi_1\rangle\) oder \(|\Psi_2\rangle\). Dadurch entfällt die Möglichkeit der Interferenz, und der Detektor zeichnet ein Verteilungsmuster auf, das dem entspricht, als ob zwei separate Teilchenstrahlen durch die einzelnen Spalten gingen.

Schlussfolgerung

Das Doppelspaltexperiment demonstriert eindrucksvoll die Welleneigenschaften von Elektronen und das Prinzip der Superposition. Ohne Beobachtung zeigen die Elektronen Interferenzmuster und verhalten sich wie Wellen, die sich überlagern. Mit Beobachtung verhalten sie sich wie Teilchen, und die Superposition der Zustände wird aufgehoben. Dies zeigt, wie die Quantenmechanik das Verhalten von Teilchen auf fundamentaler Ebene beeinflusst, abhängig davon, ob eine Messung durchgeführt wird oder nicht.

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Beschreibe den Begriff des Teilchen-Welle-Dualismus und wie er zum Verständnis von Quantensprüngen in einem Atom beiträgt. Erkläre mit einem Beispiel, wie Elektronen innerhalb eines Atoms zwischen Energiezuständen wechseln.

Lösung:

Der Teilchen-Welle-Dualismus ist eines der fundamentalen Konzepte der Quantenmechanik. Er besagt, dass sich subatomare Teilchen, wie Elektronen, sowohl als Teilchen als auch als Wellen verhalten können. Dieses Dualitätsprinzip wurde in zahlreichen Experimenten beobachtet und trägt wesentlich zum Verständnis quantenmechanischer Phänomene bei.

Teilchen-Welle-Dualismus

Ein Elektron kann als Teilchen betrachtet werden, das eine bestimmte Masse und Ladung besitzt und bestimmte Bahnen oder Zustände innerhalb eines Atoms einnehmen kann. Gleichzeitig verfügt das Elektron über Welleneigenschaften, die es ermöglichen, beispielsweise Interferenz- und Beugungsmuster zu erzeugen. Diese Welleneigenschaften werden durch die Wellenfunktion \(\Psi(x)\) beschrieben, die Informationen über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in verschiedenen Positionen liefert.

Mathematische Beschreibung

Die Wellennatur eines Elektrons wird beschrieben durch:

\[\lambda = \frac{h}{p}\]

Hierbei ist:

• \(\lambda\): Die de Broglie-Wellenlänge des Elektrons
• \(h\): Das Plancksche Wirkungsquantum
• \(p\): Der Impuls des Elektrons

Diese Gleichung zeigt, dass die Wellenlänge eines Elektrons invers proportional zu seinem Impuls ist.

Quantensprünge in einem Atom

Quantensprünge beziehen sich auf die diskreten Übergänge, die Elektronen zwischen den Energiezuständen eines Atoms vollziehen. Diese Zustände sind quantisiert, das bedeutet, dass Elektronen nur bestimmte Energieniveaus einnehmen können. Das Konzept des Teilchen-Welle-Dualismus erklärt diese Quantisierung, indem angegeben wird, dass die Elektronenwellen in den zur Verfügung stehenden Atomorbitalen nur bestimmte, ganzzahlige Vielfache der Elektronenwellenlänge enthalten können.

Wechsel der Energiezustände (Quantensprünge)

Ein einfaches Modell ist das Wasserstoffatom, bei dem ein Elektron um einen Protonenkern kreist. Die Energiezustände des Systems werden durch die Schrödingergleichung beschrieben:

\[ H \Psi = E \Psi \]

Hier ist:

• \(H\): Der Hamiltonoperator, der die Gesamtenergie des Systems beschreibt
• \(\Psi\): Die Wellenfunktion des Elektrons
• \(E\): Die Energie des Elektrons in einem bestimmten Zustand

Elektronen wechseln zwischen diesen diskreten Energiezuständen, indem sie Photonen mit spezifischer Energie absorbieren oder emittieren:

\[\Delta E = h u\]

Hier ist:

• \(\Delta E\): Der Energiebetrag, der beim Quantensprung freigesetzt oder absorbiert wird
• \(u\): Die Frequenz des emittierten oder absorbierten Photons

Beispiel: Lyman-Serie im Wasserstoffatom

Betrachten wir die Lyman-Serie als Beispiel. Diese Serie beschreibt Übergänge von höheren Energiezuständen zum Grundzustand (n = 1) im Wasserstoffatom. Wenn ein Elektron von einem höheren Energieniveau (n > 1) auf den Grundzustand springt, wird Licht im ultravioletten Bereich emittiert.

Angenommen, ein Elektron wechselt vom zweiten Energieniveau (n = 2) zum Grundzustand (n = 1). Das emittierte Photon hat eine spezifische Energie:

\[\Delta E = E_2 - E_1 = h u\]

Da die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nach der Formel:

\[E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}\]

berechnet werden, ist:

E_2 = -3.4 \, \text{ eV}\ E_1 = -13.6 \, \text{ eV}\

Die Energiedifferenz ergibt sich zu:

\[\Delta E = -3.4 \, \text{ eV} - (-13.6 \, \text{ eV}) = 10.2 \, \text{ eV}\]

Das Elektron emittiert ein Photon mit einer Energie von 10.2 eV beim Übergang von n=2 nach n=1.

Dieses Beispiel zeigt, wie Quantensprünge aufgrund des Teilchen-Welle-Dualismus und der Quantisierung der Energieniveaus im Atom auftreten.