Physikalische Chemie 3 - Cheatsheet

Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Energieerhaltung

Definition:

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Energieerhaltung): Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems bleibt konstant.

Details:

• Mathematisch: \( \Delta U = Q - W\)
• \(U\): Innere Energie
• \(Q\): zugeführte Wärme
• \(W\): verrichtete Arbeit
• Zugeführte Wärme erhöht die innere Energie oder verrichtet Arbeit.
• Arbeit an das System verrichtet, reduziert die innere Energie.

Zustandssummen und deren Anwendung zur Berechnung makroskopischer Größen

Definition:

Zustandssumme beschreibt die Verteilung der Energiezustände eines Systems und ist zentral für die statistische Mechanik.

Details:

• Kanonische Zustandssumme: \(Q = \sum_i \exp(-\beta E_i)\)
• Parameter: \(\beta = 1/(k_B T)\), \(E_i\)=Energiezustände
• Makroskopische Größen aus Q ableitbar:
• Freie Energie: \(F = -k_B T \ln(Q)\)
• Innere Energie: \(U = -\frac{\partial \ln(Q)}{\partial \beta} \)
• Entropie: \(S = k_B (\ln(Q)+\beta U)\)
• Druck: \(P = k_B T \left(\frac{\partial \ln(Q)}{\partial V}\right) \)

Diffusion: Fick'sche Gesetze

Definition:

Diffusion beschreibt den Transport von Teilchen aufgrund eines Konzentrationsgradienten. Die Fick'schen Gesetze quantifizieren diesen Prozess.

Details:

• 1. Fick'sches Gesetz (stationäre Diffusion): \[ J = -D \frac{dC}{dx} \]
• 2. Fick'sches Gesetz (nichtstationäre Diffusion): \[ \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \]
• J: Diffusionsflussdichte (\( \frac{mol}{m^2 \, s} \))
• D: Diffusionskoeffizient ( \( \frac{m^2}{s} \))
• C: Konzentration (\( \frac{mol}{m^3} \))
• t: Zeit (s)
• x: Ortskoordinate (m)

Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung

Definition:

Die Wellenfunktion beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems, die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion bestimmt.

Details:

• Schrödinger-Gleichung: \[i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t)\]
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \[\hat{H} \Psi(\mathbf{r}) = E \Psi(\mathbf{r})\]
• \(\hat{H}\): Hamiltonoperator
• \(\Psi(\mathbf{r}, t)\): Wellenfunktion
• \(E\): Energieeigenwert
• \[\Psi^*(\mathbf{r}, t)\Psi(\mathbf{r}, t)\] gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an

NMR-Spektroskopie

Definition:

Kernresonanzspektroskopie; misst Wechselwirkungen von Atomkernen mit einem Magnetfeld.

Details:

• Zentraler Begriff: Chemische Verschiebung \(\delta\)
• Einheiten: ppm
• Instrument: Hochfeld-NMR-Spektrometer
• Wichtige Formel: Larmor-Frequenz \(u_0 = \frac{\gamma}{2\pi} B_0\)
• Anwendung: Strukturaufklärung von Molekülen
• Beispiele: H-NMR, C-NMR
• Relaxationszeiten: T1 (Spin-Gitter) und T2 (Spin-Spin)
• Multiplizitäten: Singulett, Dublett, Triplett, etc.

Thermodynamische Potenziale und deren Anwendung: Enthalpie, freie Energie

Definition:

Thermodynamische Potenziale sind Funktionen, die den Zustand eines thermodynamischen Systems beschreiben. Enthalpie (H), Gibbs freie Energie (G) und Helmholtz freie Energie (A) werden benutzt, um spontane Prozesse und Gleichgewichte zu analysieren.

Details:

• Enthalpie (H): H = U + pV, beschreibt Wärmetransfer bei konstantem Druck.
• Gibbs freie Energie (G): G = H - TS, Kriterium für Spontanität bei konstantem Druck und Temperatur (\Delta G < 0 für spontane Prozesse).
• Helmholtz freie Energie (A): A = U - TS, Kriterium für Spontanität bei konstantem Volumen und Temperatur (\Delta A < 0 für spontane Prozesse).

Boltzmann-Verteilung und Maxwell-Boltzmann-Statistik

Definition:

Verteilungsfunktionen zur Beschreibung der statistischen Verteilung von Teilchen in thermischen Systemen hinsichtlich Energie und Geschwindigkeit.

Details:

• Boltzmann-Verteilung: Verteilung der Teilchen auf verschiedene Energiezustände
• Formel: \[ f(E) = \frac{g(E)}{e^{(E-\mu)/k_B T}+1} \]
• Maxwell-Boltzmann-Statistik: Spezielle Form der Boltzmann-Verteilung für ideale Gase
• Geschwindigkeitsverteilung: \[ f(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2/2k_B T} \]
• Energieverteilung: \[ f(E) = 2 \pi \left( \frac{1}{\pi (k_B T)^3} \right)^{1/2} \sqrt{E} e^{-E/k_B T} \]
• Gesetz von Boltzmann: \[ S = k_B \ln \Omega \]

Chemisches Gleichgewicht und Reaktionskinetik

Definition:

Der Zustand, in dem die Geschwindigkeit der Hinreaktion gleich der Geschwindigkeit der Rückreaktion ist; beschreibt das Verhalten von Reaktionsmechanismen und Geschwindigkeit von Reaktionen.

Details:

• Gleichgewichtskonstante: \[ K = \frac{{[Produkte]^{p}}}{{[Edukte]^{r}}} \]
• Reaktionsgeschwindigkeit: \[ v = k \cdot [Reaktanten]^{n} \]
• Zusammenhang Kinetik & Thermodynamik: Arrhenius-Gleichung \[ k = A \cdot e^{- \frac{E_{A}}{RT}} \]
• Le Chatelier: Prinzip der Störung des Gleichgewichts