Physikalische Chemie vertieft - Exam

Aufgabe 3)

Wellenfunktion und Schrödingergleichung: Die Wellenfunktion (\( \psi \) ) beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems und liefert Informationen über den Aufenthaltsort und die Energie eines Teilchens. Die Schrödingergleichung ist fundamental für die Quantenmechanik und bestimmt die Zeitentwicklung der Wellenfunktion. Für zeitabhängige Systeme lautet sie \( i\frac{\partial \, \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi \), wobei \( \hat{H} \) der Hamiltonoperator ist. Für zeitunabhängige Systeme lautet sie \( \hat{H}\psi = E\psi \), dabei beschreibt sie stationäre Zustände. Die Wellenfunktion muss normiert sein, d.h., sie erfüllt die Normierungsbedingung \( \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 \, dx = 1 \).

a)

Gegeben sei die zeitunabhängige Schrödingergleichung \( \hat{H}\psi = E\psi \) für ein Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf der Breite \( a \) mit unendlich hohen Potentialwänden.

• a) Bestimme die Wellenfunktionen \( \psi_n(x) \) und die Energieniveaus \( E_n \) der stationären Zustände des Teilchens.
• b) Überprüfe die Normierungsbedingung für die gefundene Wellenfunktion \( \psi_n(x) \).

Lösung:

Kontext:Die Wellenfunktion (\( \psi \) ) beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems und liefert Informationen über den Aufenthaltsort und die Energie eines Teilchens. Die Schrödingergleichung ist fundamental für die Quantenmechanik und bestimmt die Zeitentwicklung der Wellenfunktion. Für zeitabhängige Systeme lautet sie \( i\frac{\partial \, \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi \), wobei \( \hat{H} \)der Hamiltonoperator ist. Für zeitunabhängige Systeme lautet sie \( \hat{H}\psi = E\psi \), dabei beschreibt sie stationäre Zustände. Die Wellenfunktion muss normiert sein, d.h., sie erfüllt die Normierungsbedingung \( \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 \, dx = 1 \).Aufgabe:Gegeben sei die zeitunabhängige Schrödingergleichung \( \hat{H}\psi = E\psi \) für ein Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf der Breite a mit unendlich hohen Potentialwänden.

• a) Bestimme die Wellenfunktionen \( \psi_n(x) \) und die Energieniveaus \( E_n \) der stationären Zustände des Teilchens.
• b) Überprüfe die Normierungsbedingung für die gefundene Wellenfunktion \( \psi_n(x) \).

• a) Bestimme die Wellenfunktionen \( \psi_n(x) \) und die Energieniveaus \( E_n \) der stationären Zustände des Teilchens:
• Im eindimensionalen Potentialtopf mit unendlich hohen Potentialwänden sind die Randbedingungen so, dass die Wellenfunktion \( \psi \) an den Potentialwänden null sein muss. Für einen Potentialtopf der Breite \( a \) mit den Wänden bei \( x = 0 \) und \( x = a \) ergeben sich diese Randbedingungen:
• \[ \psi(0) = \psi(a) = 0 \]Die Lösungsansätze sind Sinus- und Kosinusfunktionen. In diesem Fall verwenden wir:
• \[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \quad \text{für} \; n = 1, 2, 3, \ldots \]Die Energieniveaus \( E_n \) können aus der Schrödingergleichung bestimmt werden. Der Hamiltonoperator \( \hat{H} \) besteht aus dem kinetischen Anteil und dem potentiellen Anteil.
• Für ein Teilchen der Masse \( m \) in einem Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden lautet der kinetische Anteil, da der potentielle Anteil in der Mitte des Potentialtopfs gleich null ist.
• \[ E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2ma^2} \]
• b) Überprüfe die Normierungsbedingung für die gefundene Wellenfunktion \( \psi_n(x) \):
• Die Normierungsbedingung verlangt, dass:
• \[ \int_{0}^{a} |\psi_n(x)|^2 \, dx = 1 \]
• Setze die gefundene Wellenfunktion \( \psi_n(x) \) in die Normierungsbedingung ein:
• \[ \int_{0}^{a} \left( \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \right)^2 dx = 1 \]
• Einfaches Ausmultiplizieren und Umformen ergibt:
• \[ \frac{2}{a} \int_{0}^{a} \sin^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx = 1 \]
• Verwende die Identität \( \sin^2(\theta) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \) um das Integral zu lösen:
• \[ \frac{2}{a} \int_{0}^{a} \frac{1}{2} \left(1 - \cos\left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \right) dx = 1 \]
• \[ \frac{2}{a} \cdot \frac{1}{2} \left[ x - \frac{a}{2n\pi} \sin \left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \right]_{0}^{a} = 1 \]
• Nach Einsetzen der Grenzen bleibt:
• \[ \left[ 1 - 0 - 0 + 0 \right] = 1 \]
• Somit ist die Wellenfunktion \( \psi_n(x) \) korrekt normiert.

b)

Ein Teilchen befindet sich in einem eindimensionalen Potentialfeld \( V(x) \), das durch \( V(x) = kx^2 \) gegeben ist (ein quantenmechanischer harmonischer Oszillator).

• a) Leite die zeitunabhängige Schrödingergleichung für dieses Potential her und bestimme die Form der Wellenfunktion \( \psi(x) \) für den Grundzustand.
• b) Berechne die Energie des Grundzustands und überprüfe, ob diese mit der klassischen Mechanik für einen harmonischen Oszillator übereinstimmt.

Lösung:

Kontext:Die Wellenfunktion (\( \psi \) ) beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems und liefert Informationen über den Aufenthaltsort und die Energie eines Teilchens. Die Schrödingergleichung ist fundamental für die Quantenmechanik und bestimmt die Zeitentwicklung der Wellenfunktion. Für zeitabhängige Systeme lautet sie \(i\frac{\partial \, \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi \), wobei \( \hat{H} \) der Hamiltonoperator ist. Für zeitunabhängige Systeme lautet sie \( \hat{H}\psi = E\psi \), dabei beschreibt sie stationäre Zustände. Die Wellenfunktion muss normiert sein, d.h., sie erfüllt die Normierungsbedingung \( \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 \, dx = 1 \).Aufgabe:Ein Teilchen befindet sich in einem eindimensionalen Potentialfeld \( V(x) \), das durch \( V(x) = kx^2 \) gegeben ist (ein quantenmechanischer harmonischer Oszillator).

• a) Leite die zeitunabhängige Schrödingergleichung für dieses Potential her und bestimme die Form der Wellenfunktion \( \psi(x) \) für den Grundzustand.
• b) Berechne die Energie des Grundzustands und überprüfe, ob diese mit der klassischen Mechanik für einen harmonischen Oszillator übereinstimmt.

• a) Leite die zeitunabhängige Schrödingergleichung für dieses Potential her und bestimme die Form der Wellenfunktion \( \psi(x) \) für den Grundzustand:Der Hamiltonoperator \( \hat{H} \) besteht aus einem kinetischen und einem potentiellen Teil:
  • \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x) \]
  • Das Potentialfeld ist gegeben als \( V(x) = kx^2 \). Daher lautet die Schrödingergleichung:
  • \[ \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + kx^2 \right) \psi = E\psi \]
  • Jetzt betrachten wir den Grundzustand des harmonischen Oszillators und nehmen an, dass die Form der Wellenfunktion \( \psi(x) \) eine gauss'sche Verteilung ist. Sie hat die Form:
  • \[ \psi_0(x) = A e^{-\alpha x^2} \]
  • Wir setzen dies in die Schrödingergleichung ein und bestimmen sowohl die Konstante \( \alpha \) als auch die Normierungskonstante \( A \). Durch Differenzieren von \( \psi_0(x) \) zweimal erhalten wir:
  • \[ \frac{d}{dx} \psi_0(x) = -2\alpha x A e^{-\alpha x^2} \]
  • \[ \frac{d^2}{dx^2} \psi_0(x) = \left( 4\alpha^2 x^2 - 2 \alpha \right) A e^{-\alpha x^2} \]
  • Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein, erhält man:
  • \[ \left( -\frac{\hbar^2}{2m} (4\alpha^2 x^2 - 2\alpha) + kx^2 \right) A e^{-\alpha x^2} = E A e^{-\alpha x^2} \]
  • Um die Differentialgleichung zu lösen, setzt man gleiche Potenzen von \( x \) zusammen:
  • \[ -\frac{\hbar^2}{2m} (4\alpha^2 x^2 - 2\alpha) + kx^2 = E \]
  • Dies führt zu zwei separaten Gleichungen:
  • \[ 4 \alpha^2 = \frac{k m}{\hbar^2} \]
  • \[ 2 \alpha \frac{\hbar^2}{2m} = E \]
  • \( \alpha \) ergibt sich zu:
  • \[ \alpha = \left( \frac{k m}{2 \hbar^2} \right)^{\frac{1}{2}} \]
  • Die vollständige Wellenfunktion \( \psi_0(x) \) für den Grundzustand lautet daher:
  • \[ \psi_0(x) = A e^{- \left( \frac{k m}{2 \hbar^2} \right)^{\frac{1}{2}} x^2} \]
• b) Berechne die Energie des Grundzustands und überprüfe, ob diese mit der klassischen Mechanik für einen harmonischen Oszillator übereinstimmt:
• Die Energie des Grundzustands wird aus der zweiten Gleichung berechnet:
• \[ E = \hbar \left( \frac{k}{m} \right)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \]
• \[ E_0 = \frac{1}{2} \hbar \left( \frac{k}{m} \right)^{\frac{1}{2}} \]
• In der klassischen Mechanik beträgt die minimale Energie eines harmonischen Oszillators auch:
• \[ E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega \]
• Wobei \( \omega = \left( \frac{k}{m} \right)^{\frac{1}{2}} \), was mit dem quantenmechanischen Ergebnis identisch ist.

Aufgabe 4)

Betrachte die Elektronenkonfiguration und elektronische Struktur des Stickstoffmoleküls (N₂), das aus zwei Stickstoffatomen besteht. Das Stickstoffatom hat die Elektronenkonfiguration 1s² 2s² 2p³. Beachte, dass die Bindung im Stickstoffmolekül hauptsächlich durch Überlappung der p-Orbitale der Stickstoffatome erklärt wird.

a)

Erläutere die Elektronenkonfiguration des Stickstoffmoleküls (N₂) gemäß der Molekülorbitaltheorie. Berücksichtige dabei die Bildung von bindenden und antibindenden Molekülorbitalen. Zeichne das Molekülorbitaldiagramm und gib die Anordnung der Elektronen an.

Lösung:

Elektronenkonfiguration des Stickstoffmoleküls (N₂) gemäß der Molekülorbitaltheorie

Betrachten wir die Elektronenkonfiguration des Stickstoffmoleküls (N₂) unter Verwendung der Molekülorbitaltheorie. Ein Stickstoffatom hat die Elektronenkonfiguration 1s² 2s² 2p³. Im Stickstoffmolekül (N₂) überlappen die Atomorbitale der beiden Stickstoffatome, um Molekülorbitale zu bilden, wobei einige davon bindend und andere antibindend sind.

Schritte zur Bestimmung der Molekülorbitale von N₂:

• 1s-Orbitale: Die 1s-Orbitale beider Atome bilden ein bindendes σ_1s-Orbital und ein antibindendes σ_1s*-Orbital.
• 2s-Orbitale: Die 2s-Orbitale beider Atome bilden ein bindendes σ_2s-Orbital und ein antibindendes σ_2s*-Orbital.
• 2p-Orbitale: Die 2p-Orbitale bilden mehrere Molekülorbitale:
• Ein bindendes σ_2pz-Orbital und ein antibindendes σ_2pz*-Orbital.
• Zwei bindende π_2px und π_2py-Orbitale sowie ihre entsprechenden antibindenden π_2px* und π_2py*-Orbitale.

Molekülorbitaldiagramm für N₂:

Das Molekülorbitaldiagramm für N₂ zeigt die Energie der verschiedenen Molekülorbitale und die Verteilung der Elektronen darin:

\t     _____      σ2pz*        _____    π2px* = π2py*                                                      π2px = π2py          _____                  _____    σ2pz              _____    σ2s*              _____    σ2s             _____    σ1s*              _____    σ1s    

Anordnung der Elektronen in den Molekülorbitalen:

N₂ hat insgesamt 14 Elektronen (jedes Stickstoffatom trägt 7 Elektronen bei). Die Elektronen verteilen sich auf die Molekülorbitale wie folgt:

• σ_1s: 2 Elektronen
• σ_1s*: 2 Elektronen
• σ_2s: 2 Elektronen
• σ_2s*: 2 Elektronen
• σ_2pz: 2 Elektronen
• π_2px: 2 Elektronen
• π_2py: 2 Elektronen

Die höher liegenden antibindenden Orbitale (π_2px*, π_2py* und σ_2pz*) enthalten keine Elektronen.

Bindungsordnung: Die Bindungsordnung kann durch die folgende Formel berechnet werden:

\(\text{Bindungsordnung} = \frac{1}{2} \times (\text{Anzahl der bindenden Elektronen} - \text{Anzahl der antibindenden Elektronen}) \)

Für N₂ ergibt sich:

\(\text{Bindungsordnung} = \frac{1}{2} \times (10 - 4) = 3 \)

Dies bedeutet, dass das Stickstoffmolekül (N₂) eine dreifache Bindung hat, was seine Stabilität erklärt.

b)

Berechne die Bindungsordnung des Stickstoffmoleküls (N₂) basierend auf der Anzahl der Elektronen in den bindenden und antibindenden Molekülorbitalen. Erkläre, wie die Bindungsordnung die Bindungsstärke und Stabilität des Moleküls beeinflusst.

Lösung:

Berechnung der Bindungsordnung des Stickstoffmoleküls (N₂)

Um die Bindungsordnung des Stickstoffmoleküls (N₂) zu berechnen, müssen wir die Anzahl der Elektronen in den bindenden und antibindenden Molekülorbitalen bestimmen. Ein Stickstoffatom hat die Elektronenkonfiguration 1s² 2s² 2p³. Im Stickstoffmolekül (N₂) überlappen die Orbitale der beiden Stickstoffatome, um Molekülorbitale zu bilden.

Verteilung der Elektronen in den Molekülorbitalen von N₂:

• σ_1s: 2 Elektronen (bindend)
• σ_1s*: 2 Elektronen (antibindend)
• σ_2s: 2 Elektronen (bindend)
• σ_2s*: 2 Elektronen (antibindend)
• σ_2pz: 2 Elektronen (bindend)
• π_2px: 2 Elektronen (bindend)
• π_2py: 2 Elektronen (bindend)

Die antibindenden Orbitale σ_2pz*, π_2px* und π_2py* enthalten keine Elektronen.

Berechnung der Bindungsordnung:

Die Bindungsordnung wird durch die folgende Formel berechnet:

\(\text{Bindungsordnung} = \frac{1}{2} \times (\text{Anzahl der bindenden Elektronen} - \text{Anzahl der antibindenden Elektronen}) \)

Für N₂ ergibt sich:

\(\text{Bindungsordnung} = \frac{1}{2} \times (10 - 4) = 3 \)

Die Bindungsordnung des Stickstoffmoleküls (N₂) beträgt also 3.

Auswirkungen der Bindungsordnung auf die Bindungsstärke und Stabilität des Moleküls:

• Bindungsstärke: Eine höhere Bindungsordnung zeigt eine größere Anzahl bindender Elektronenpaare zwischen den Atomen an. Dies führt zu stärkeren Bindungen. Bei der Bindungsordnung von 3 resultiert dies in einer sehr starken dreifach Bindung zwischen den beiden Stickstoffatomen.
• Stabilität: Eine höhere Bindungsordnung bedeutet auch eine höhere Stabilität des Moleküls. Dies liegt daran, dass mehr Energie benötigt wird, um die Bindung zu brechen. Das Stickstoffmolekül (N₂) mit einer dreifach Bindung ist dementsprechend sehr stabil.

Daher erklärt die Bindungsordnung von 3 im Stickstoffmolekül sowohl seine hohe Bindungsstärke als auch seine enorme Stabilität.