Praktikum Physikalische Chemie vertieft - Exam

Aufgabe 1)

Ein abgeschlossener Zylinder, der einen Kolben mit einem Gas enthält, wird erwärmt. Die zugeführte Wärmemenge beträgt 500 J. Der Kolben hebt sich und verrichtet dabei Arbeit von 200 J am umgebenden Raum. Berechne die Änderung der inneren Energie des Systems und beantworte die nachfolgenden Fragen.

a)

Nutze den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik, um die Änderung der inneren Energie (\( \Delta U \)) des Systems zu berechnen. Gegeben sind die zugeführte Wärme (\( Q \)) von 500 J und die verrichtete Arbeit (\( W \)) von 200 J.

Lösung:

Um die Änderung der inneren Energie (( \Delta U \)) des Systems zu berechnen, nutze den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Dieser besagt:

• \( \Delta U = Q - W \)

In diesem Zusammenhang:

• \( Q \) ist die zugeführte Wärme und beträgt 500 J.
• \( W \) ist die verrichtete Arbeit und beträgt 200 J.

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

• \( \Delta U = 500 \text{ J} - 200 \text{ J} \)

Vereinfache den Ausdruck:

• \( \Delta U = 300 \text{ J} \)

Die Änderung der inneren Energie des Systems beträgt daher 300 J.

b)

Interpretieren die das Vorzeichen der berechneten inneren Energieänderung. Was bedeutet es physikalisch für das System im Zylinder?

Lösung:

Die zuvor berechnete Änderung der inneren Energie beträgt:

• \( \Delta U = 300 \text{ J} \)

Das Vorzeichen dieser Änderung ist positiv. Lass uns dieses Vorzeichen physikalisch interpretieren:

• Positives Vorzeichen (\( \Delta U > 0 \)): Ein positives Vorzeichen bedeutet, dass die innere Energie des Systems zugenommen hat.

Physikalisch bedeutet dies für das System im Zylinder:

• Das Gas im Zylinder hat Energie aufgenommen. Diese aufgenommene Energie stammt von der zugeführten Wärme (500 J).
• Ein Teil dieser aufgenommenen Energie wurde dazu genutzt, Arbeit zu verrichten (200 J), indem der Kolben angehoben wurde.

Die restliche Energie (300 J) wurde im System behalten und führte zu einer Zunahme der inneren Energie. Dies könnte sich in einer Erhöhung der Temperatur des Gases oder einer Änderung des Zustands des Gases zeigen.

c)

Wenn die Anfangstemperatur des Gases 300 K betrug, und das Gas als ideales Gas angenommen wird, wie verändert sich die Temperatur des Gases aufgrund der Energieänderung? (Hinweis: Du kannst die Gaskonstante R = 8.314 J/(mol K) annehmen und die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen (\( c_v \)) des Gases als 20.8 J/(mol K)).

Lösung:

Um die Temperaturänderung des Gases aufgrund der Energieänderung zu berechnen, können wir die Beziehung zwischen der inneren Energieänderung und der Temperatur in einem idealen Gas verwenden.

Die Änderung der inneren Energie eines idealen Gases bei konstantem Volumen ist gegeben durch:

• \( \Delta U = n c_v \Delta T \)

Wobei:

• \( \Delta U \) die Änderung der inneren Energie ist (300 J, von der vorherigen Subaufgabe)
• \( n \) die Stoffmenge des Gases in Mol ist
• \( c_v \) die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist (20.8 J/(mol K))
• \( \Delta T \) die Änderung der Temperatur ist

Wir können diese Gleichung umstellen, um \( \Delta T \) zu berechnen:

• \( \Delta T = \frac{\Delta U}{n c_v} \)

Um dies zu berechnen, benötigen wir die Stoffmenge \( n \). Es fehlen uns jedoch genaue Angaben zur Menge des Gases, daher können wir die Berechnung in allgemeiner Form durchführen oder Verhältnisse verwenden:

• \( n = \frac{P V}{R T} \)

Da wir nicht Information zu \( P \) und \( V \) haben, nutzen wir:

• \( \Delta T = \frac{300 \text{ J}}{n \cdot 20.8 \text{ J/(mol K)}} \)
• Vereinfachen wir diese allgemeine Formel.

Die Änderung der Temperatur des Gases ist daher:

• \( \Delta T \) in Kelvin in Abhängigkeit zur Stoffmenge \( n \).

Falls weitere Angaben vorhanden sind, kann \(n\) berechnet werden und entsprechend Änderungen beteilgt werden.

d)

Diskutiere, wie sich die Ergebnisse ändern würden, wenn der Zylinder nicht vollständig abgeschlossen wäre und somit ein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden könnte. Welche zusätzlichen Informationen benötigst du, um dieses Szenario zu analysieren?

Lösung:

Wenn der Zylinder nicht vollständig abgeschlossen wäre und somit ein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden könnte, würde das Ergebnis signifikant beeinflusst werden. Hier sind einige Überlegungen, wie sich die Ergebnisse ändern könnten und welche zusätzlichen Informationen wir benötigen:

• Wärmeaustausch mit der Umgebung:
• Wenn der Zylinder Wärme an die Umgebung abgibt oder von der Umgebung aufnimmt, wird die zugeführte Wärme \(Q\) nicht mehr ausschließlich zur Erhöhung der inneren Energie verwendet.
• Wir müssen die Menge der Wärme, die zwischen dem Zylinder und der Umgebung ausgetauscht wird, kennen. Diese könnte als \(Q_{Umgebung}\) bezeichnet werden.
• Die zugeführte Wärme an das System wird dann modifiziert durch die tatsächlich verbleibende Wärme nach Austausch mit der Umgebung:
• \(Q_{effektiv} = Q + Q_{Umgebung}\)
• Zusätzliche Informationen, die benötigt werden:
• Die Temperatur der Umgebung: Diese ist notwendig, um den Wärmefluss zwischen dem Zylinder und der Umgebung vorherzusagen.
• Die Wärmeübertragungskoeffizienten: Diese sind notwendig, um die Rate zu bestimmen, mit der Wärme zwischen dem Zylinder und der Umgebung ausgetauscht wird.
• Die Zeitdauer des Prozesses: Da Wärmeaustausch ein zeitabhängiger Prozess ist, benötigen wir die Zeit, in der der Wärmeaustausch stattfindet.
• Die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\):
• Die Formel würde jetzt anpassen zu:
• \( \Delta U = Q_{effektiv} - W\)
• \(\Delta U = (Q + Q_{Umgebung}) - W\)

Zusammenfassend lässt sich sagen: Um dieses Szenario vollständig zu analysieren, benötigen wir detaillierte Informationen über die Wärmeeigenschaften des Systems, die Umgebungsbedingungen und die Zeitdauer des Wärmeaustauschs. Diese Informationen würden es uns ermöglichen, den zusätzlichen Wärmeaustausch \(Q_{Umgebung}\) zu berechnen und damit eine präzisere Vorhersage der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) zu treffen.

Aufgabe 2)

Im Rahmen eines abgeschlossenen Systems zeigt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, dass die Entropie nie abnimmt. Prozesse laufen nur spontan in Richtung einer Entropiezunahme ab. Wenn ein System sein Gleichgewicht erreicht hat, gibt es keine netto Veränderung der makroskopischen Zustandsgrößen mehr. Die Gibbs'sche freie Energie wird durch die Gleichung \[ \Delta G = \Delta H - T\Delta S \] beschrieben und ein Prozess ist spontan, wenn \[ \Delta G < 0 \]. Die Entropieänderung eines reversiblen Prozesses kann durch die Gleichung \[ \Delta S = \int \frac{dQ_{rev}}{T} \] berechnet werden.

a)

Teilaufgabe 1: Berechne die Entropieänderung \(\Delta S\) für einen reversiblen isothermen Prozess, bei dem 500 J Wärme bei einer konstanten Temperatur von 300 K in das System eingebracht werden. Nutze die Formel \[ \Delta S = \frac{dQ_{rev}}{T} \].

Lösung:

Teilaufgabe 1: Lösung

Um die Entropieänderung \(\Delta S\) für einen reversiblen isothermen Prozess zu berechnen, bei dem 500 J Wärme bei einer konstanten Temperatur von 300 K in das System eingebracht werden, nutzen wir die folgende Formel:

• Formel: \(\Delta S = \frac{dQ_{rev}}{T}\)

Setzen wir die gegebenen Werte ein:

• \( dQ_{rev} = 500 \text{ J}\)
• \( T = 300 \text{ K} \)

Berechnung:

• \(\Delta S = \frac{500 \text{ J}}{300 \text{ K}} \)

Ergebnis:

• \( \Delta S = \frac{500}{300} \text{ J/K} = 1.67 \text{ J/K} \)

Die Entropieänderung \(\Delta S\) für den gegebenen Prozess beträgt also 1,67 J/K.

b)

Teilaufgabe 2: Ein chemischer Prozess findet bei konstantem Druck und konstanter Temperatur statt. Berechne die Gibbs'sche freie Energie \(\Delta G\) des Prozesses, wenn die Enthalpieänderung \(\Delta H\) 40 kJ und die Entropieänderung \(\Delta S\) 0,1 kJ/K beträgt. Die Temperatur beträgt 298 K. Nutze die Gleichung \[ \Delta G = \Delta H - T\Delta S \].

Lösung:

Teilaufgabe 2: Lösung

Um die Gibbs'sche freie Energie \(\Delta G\) für einen chemischen Prozess bei konstantem Druck und konstanter Temperatur zu berechnen, nutzen wir die folgende Formel:

• Formel: \(\Delta G = \Delta H - T\Delta S\)

Setzen wir die gegebenen Werte ein:

• \(\Delta H = 40 \text{ kJ}\)
• \(\Delta S = 0,1 \text{ kJ/K}\)
• \(T = 298 \text{ K} \)

Berechnung:

• \(\Delta G = 40 \text{ kJ} - 298 \text{ K} \times 0,1 \text{ kJ/K} \)

Schrittweise Berechnung:

• \(\Delta G = 40 \text{ kJ} - (298 \times 0,1) \text{ kJ} \)
• \(\Delta G = 40 \text{ kJ} - 29,8 \text{ kJ} \)
• \(\Delta G = 10,2 \text{ kJ} \)

Ergebnis:

• \(\Delta G\) beträgt 10,2 kJ.

Die Gibbs'sche freie Energie \(\Delta G\) für den gegebenen Prozess beträgt also 10,2 kJ.

c)

Teilaufgabe 3: Beschreibe, was mit der Entropie eines abgeschlossenen Systems geschieht, wenn es in einem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts ist. Erkläre dabei den Zusammenhang zwischen Entropie, Spontanität und der Gibbs'schen freien Energie.

Lösung:

Teilaufgabe 3: Lösung

Wenn ein abgeschlossenes System sich in einem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts befindet, gibt es keine netto Veränderung der makroskopischen Zustandsgrößen mehr. In diesem Zustand ist die Entropie des Systems maximal, und es findet keine weitere spontane Änderung statt. Dies bedeutet, dass die Entropie \(S\) konstant bleibt.

Zusammenhang zwischen Entropie, Spontanität und der Gibbs'schen freien Energie:

• Entropie (\(S\)): Die Entropie eines Systems ist ein Maß für die Unordnung oder Zufälligkeit in dem System. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nimmt die Entropie eines abgeschlossenen Systems in einem spontanen Prozess immer zu oder bleibt im Gleichgewichtszustand konstant.
• Spontanität: Ein Prozess ist spontan, wenn er ohne äußere Einwirkungen abläuft. Die Entropie im Universum (System plus Umgebung) nimmt bei einem spontanen Prozess immer zu.
• Gibbs'sche freie Energie (\( \Delta G \)): Die Gibbs'sche freie Energie gibt die maximale nutzbare Arbeit an, die bei konstantem Druck und konstanter Temperatur aus einem Prozess gewonnen werden kann. Ein Prozess ist spontan, wenn die Änderung der Gibbs'schen freien Energie negativ ist, d.h., \( \Delta G < 0 \).

Die Beziehung zwischen diesen Größen wird durch die Gleichung beschrieben:

• \( \Delta G = \Delta H - T\Delta S \)

Hierbei bezeichnet \( \Delta H \) die Enthalpieänderung des Systems, \(T\) die Temperatur und \( \Delta S \) die Entropieänderung.

Folgendes gilt:

• Wenn \( \Delta G < 0 \), ist der Prozess spontan, was bedeutet, dass die Entropie des Universums zunimmt.
• Wenn \( \Delta G = 0 \), befindet sich das System im Gleichgewicht und es gibt keine Netto-Änderung der Entropie oder anderer makroskopischer Zustandsgrößen.
• Wenn \( \Delta G > 0 \), ist der Prozess nicht spontan und läuft nicht von selbst ab.

Zusammenfassend: In einem Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts ist die Entropie des abgeschlossenen Systems maximal und konstant. Spontane Prozesse führen zu einer Zunahme der Entropie und sind durch eine negative Gibbs'sche freie Energie gekennzeichnet.

Aufgabe 3)

In einem Experiment wird die Reaktionsgeschwindigkeit einer chemischen Reaktion untersucht. Es wurde festgestellt, dass die Geschwindigkeit der Reaktion mit der Verdopplung der Konzentration eines Reaktanten um das Vierfache steigt. Die gemessenen Daten sind wie folgt: zu verschiedenen Zeitpunkten wurden die Konzentrationen des Reaktanten notiert. Deine Aufgabe ist es, die Reaktionsgeschwindigkeit, die Reaktionsordnung und die Geschwindigkeitskonstante zu bestimmen.

a)

a) Bestimme die Reaktionsordnung n der Reaktion. Nutze die Information, dass die Geschwindigkeit der Reaktion mit der Verdopplung der Konzentration des Reaktanten um das Vierfache steigt.

Lösung:

Um die Reaktionsordnung n der Reaktion zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen: Die Geschwindigkeit der Reaktion steigt um das Vierfache, wenn die Konzentration des Reaktanten verdoppelt wird.

• Die Geschwindigkeit der Reaktion (v) hängt von der Konzentration des Reaktanten [A] wie folgt ab: v = k [A]^n
• Gegeben: Wenn [A] verdoppelt wird ( [A] = 2[A]), steigt die Geschwindigkeit um das Vierfache.

Das bedeutet mathematisch:

• v' = 4v
• k (2[A])^n = 4 k [A]^n

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch k [A]^n, erhalten wir:

• (2^n) = 4
• 2^n = 2^2

Daher muss n = 2 sein, um diese Beziehung zu erfüllen.

Die Reaktionsordnung der Reaktion ist also:

n = 2

b)

b) Angenommen, die initiale Konzentration des Reaktanten beträgt 0,5 mol/L und die Reaktionsgeschwindigkeitskonstante k beträgt 2 L/(mol·s). Berechne die Reaktionsgeschwindigkeit v für eine Konzentration des Reaktanten von 1 mol/L.

Lösung:

Um die Reaktionsgeschwindigkeit v für eine Konzentration des Reaktanten von 1 mol/L zu berechnen, nutzen wir die folgende allgemeine Reaktionsgeschwindigkeitsformel:

v = k [A]^n
• Die Reaktionsordnung n beträgt, wie wir zuvor berechnet haben, n = 2.
• Die Geschwindigkeitskonstante k beträgt 2 L/(mol·s).
• Die Konzentration des Reaktanten [A] beträgt 1 mol/L.

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

• v = 2 L/(mol·s) * (1 mol/L)^2

Dies ergibt:

• v = 2 L/(mol·s) * 1 (mol^2/L^2)

Vereinfacht:

• v = 2 mol/(L·s)

Die Reaktionsgeschwindigkeit v bei einer Konzentration von 1 mol/L beträgt also:

2 mol/(L·s)

c)

c) Für eine Reaktion 2. Ordnung, bei der die Geschwindigkeitskonstante k gemessen wurde, ergibt sich folgende Abhängigkeit. Zeige, dass die Halbwertszeit der Reaktion gegeben ist durch: \[ t_{1/2} = \frac{1}{k[C_0]} \] Dabei ist \[ [C_0] \] die anfängliche Konzentration des Reaktanten.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Halbwertszeit \( t_{1/2} \) einer Reaktion 2. Ordnung durch die Formel \( t_{1/2} = \frac{1}{k[C_0]} \) gegeben ist, beginnen wir mit der integrierten Geschwindigkeitsgleichung für eine Reaktion 2. Ordnung:

• \[ \frac{1}{[C]} = \frac{1}{[C_0]} + kt \]

Zur Berechnung der Halbwertszeit setzen wir ein, dass die Konzentration des Reaktanten nach der Halbwertszeit auf die Hälfte der ursprünglichen Konzentration sinkt, also \([C] = \frac{[C_0]}{2}\).

• \[ \frac{1}{[C_0]/2} = \frac{1}{[C_0]} + kt_{1/2} \]

Dies vereinfacht sich zu:

• \[ \frac{2}{[C_0]} = \frac{1}{[C_0]} + kt_{1/2} \]

Um weiter zu vereinfachen, bringen wir die Terme auf einen gemeinsamen Nenner und lösen nach \( t_{1/2} \) auf:

• \[ 2 = 1 + kt_{1/2}[C_0] \]
• \[ 1 = kt_{1/2}[C_0] \]
• \[ t_{1/2} = \frac{1}{k[C_0]} \]

Damit haben wir gezeigt, dass die Halbwertszeit der Reaktion 2. Ordnung gegeben ist durch:

\( t_{1/2} = \frac{1}{k[C_0]} \)

wobei \([C_0]\) die anfängliche Konzentration des Reaktanten ist.

Aufgabe 4)

Betrachte die Infrarot- (IR) und Raman-Spektroskopie, die beide zur Untersuchung von Molekülschwingungen verwendet werden:

• Die IR-Spektroskopie misst die Absorptionsfrequenzen in Abhängigkeit von der Wellenlänge der IR-Strahlung. Sie wird verwendet, um Streck- und Deformationsschwingungen zu untersuchen, wobei eine Änderung des Dipolmoments erforderlich ist.
• Die Raman-Spektroskopie beobachtet die Frequenzänderungen des gestreuten Lichts (Raman-Verschiebungen) und erfordert eine Änderung der Polarisierbarkeit des Moleküls. Hierbei werden ebenfalls Streck- und Deformationsschwingungen untersucht.
• Beim IR-Spektrum werden die Achsen durch Transmittanz oder Absorption gegenüber der Wellenzahl (cm^-1) dargestellt.
• Beim Raman-Spektrum werden die Achsen durch Intensität gegenüber der Raman-Verschiebung (cm^-1) dargestellt.

a)

Teilaufgabe A: Ein Molekül weist sowohl IR- als auch Raman-Aktivität auf. Erläutere, welche physikalischen Eigenschaften bezüglich Dipolmoment und Polarisierbarkeit während einer Schwingung erforderlich sind, damit eine Schwingung in der IR-Spektroskopie und in der Raman-Spektroskopie beobachtet werden kann. Gib ein Beispiel für ein Molekül, das sowohl IR- als auch Raman-aktiv ist, und beschreibe die Streck- und Deformationsschwingungen, die in den Spektren beobachtet werden können.

Lösung:

Teilaufgabe A: Ein Molekül weist sowohl IR- als auch Raman-Aktivität auf. Erläutere, welche physikalischen Eigenschaften bezüglich Dipolmoment und Polarisierbarkeit während einer Schwingung erforderlich sind, damit eine Schwingung in der IR-Spektroskopie und in der Raman-Spektroskopie beobachtet werden kann. Gib ein Beispiel für ein Molekül, das sowohl IR- als auch Raman-aktiv ist, und beschreibe die Streck- und Deformationsschwingungen, die in den Spektren beobachtet werden können.

Erforderliche physikalische Eigenschaften:

• IR-Spektroskopie: Für die Beobachtung einer Schwingung in der Infrarot-Spektroskopie muss während der Schwingung eine Änderung des Dipolmoments des Moleküls auftreten. Das bedeutet, dass asymmetrische Schwingungen, die eine periodische Änderung des Dipolmoments verursachen, IR-aktiv sind.
• Raman-Spektroskopie: Um eine Schwingung in der Raman-Spektroskopie beobachten zu können, ist eine Änderung der Polarisierbarkeit des Moleküls erforderlich. Das bedeutet, dass symmetrische Schwingungen, die eine Änderung der Verformbarkeit der Elektronenwolke verursachen, Raman-aktiv sind.

Beispiel: ​Kohlenstoffdioxid (CO₂)

Streckschwingungen:

• Symmetrische Streckschwingung: Beide C=O-Bindungen dehnen sich gleichzeitig und gleichmäßig aus und ziehen sich wieder zusammen. Diese Schwingung verursacht keine Änderung des Dipolmoments (IR-inaktiv), ändert aber die Polarisierbarkeit (Raman-aktiv).
• Asymmetrische Streckschwingung: Eine C=O-Bindung dehnt sich, während die andere sich zusammenzieht. Diese Schwingung führt zu einer Änderung des Dipolmoments (IR-aktiv) und hat typischerweise keine signifikante Änderung in der Polarisierbarkeit (weniger oder nicht Raman-aktiv).

Deformationsschwingungen:

• Scheren-/Biegeschwingungen: Diese treten auf, wenn die Atome des Moleküls eine Änderung ihrer relativen Position zueinander erfahren, was die Winkel zwischen den Atomen verändert. Bei CO₂ gibt es zwei Arten von Biegeschwingungen (in der Ebene und außerhalb der Ebene), die beide Änderungen im Dipolmoment und in der Polarisierbarkeit verursachen können. Daher sind sie sowohl IR- als auch Raman-aktiv.

Zusammenfassung:

• In der ​IR-Spektroskopie ​müssen Schwingungen eine Änderung des Dipolmoments des Moleküls zur Folge haben.
• In der ​Raman-Spektroskopie ​müssen Schwingungen eine Änderung der Polarisierbarkeit des Moleküls zur Folge haben.

Das Molekül Kohlenstoffdioxid (CO₂) zeigt beide Arten von Änderungen und ist somit sowohl IR- als auch Raman-aktiv.