Theoretische Chemie 1 - Exam

Aufgabe 1)

In diesem Übungsblatt beschäftigen wir uns mit der Schrödingergleichung und ihren Anwendungen. Die Schrödingergleichung ist die fundamentale Gleichung der Quantenmechanik, die den Zustand eines Quantenobjekts beschreibt. Sie existiert in zwei Formen: die zeitabhängige Schrödingergleichung und die zeitunabhängige Schrödingergleichung. Die zeitabhängige Schrödingergleichung lautet \[ i\frac{\text{d}}{\text{d}t}|\text{Ψ(t)} \rangle = \text{H} |\text{Ψ(t)} \rangle \] Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet: \[ \text{H}|\text{Ψ} \rangle = E|\text{Ψ} \rangle \] wobei H der Hamiltonoperator und Ψ die Wellenfunktion ist. Anwendungen der Schrödingergleichung sind unter anderem die Bestimmung der Elektronenverteilung in Atomen und Molekülen, die Vorhersage von chemischen Reaktionen und Eigenschaften sowie die Berechnung von Molekülorbitalen und die Simulation von quantenmechanischen Prozessen.

c)

Berechne die Molekülorbitale und die zugehörigen Energieeigenwerte für das H2+ Molekülion unter Anwendung der LCAO-Methode (Linear Combination of Atomic Orbitals). Beschreibe den Einfluss der Integrale (überlappungs-, Coulomb-, und Austauschintegrale) auf die Lösung.

Lösung:

Berechnung der Molekülorbitale und Energieeigenwerte für das H₂⁺-Molekülion mittels der LCAO-Methode

Die Methode der Linearkombination von Atomorbitalen (LCAO) wird verwendet, um die Molekülorbitale eines H₂⁺-Molekülions zu berechnen. Hierbei wird das Molekülorbital als Linearkombination der Atomorbitale der beiden Wasserstoffatome beschrieben.

1. Ansatz: Linearkombination der Atomorbitale (LCAO)

Wir nehmen an, dass das Molekülorbital Ψ als Linearkombination der Atomorbitale \( \psi_A \) und \( \psi_B \) der beiden Wasserstoffatome A und B beschrieben werden kann:

\[ \Psi = c_A \psi_A + c_B \psi_B \]

2. Hamiltonoperator und Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung lautet:

\[ \text{H}\Psi = E\Psi \]

Setzen wir den LCAO-Ansatz in die Schrödingergleichung ein:

\[ \text{H}(c_A \psi_A + c_B \psi_B) = E(c_A \psi_A + c_B \psi_B) \]

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Atomorbital \( \psi_A \) und integrieren über den gesamten Raum:

\[ c_A \int \psi_A \text{H} \psi_A d\tau + c_B \int \psi_A \text{H} \psi_B d\tau = E \left( c_A \int \psi_A \psi_A d\tau + c_B \int \psi_A \psi_B d\tau \right) \]

3. Definition der Integrale

Definieren wir die folgenden Integrale:

• \( H_{AA} = \int \psi_A \text{H} \psi_A d\tau \) ist das Coulomb-Integral.
• \( H_{AB} = \int \psi_A \text{H} \psi_B d\tau \) ist das Austausch-Integral.
• \( S = \int \psi_A \psi_B d\tau \) ist das Überlappungsintegral.

Die oben genannten Integrale bedeuten Folgendes:

• Das Überlappungsintegral S gibt an, inwieweit sich die Atomorbitale \( \psi_A \) und \( \psi_B \) überlappen.
• Das Coulomb-Integral \( H_{AA} \) repräsentiert die Energie eines Elektrons, das sich im Einflussbereich des eigenen Kerns und der beiden anderen Kerne befindet.
• Das Austausch-Integral \( H_{AB} \) berücksichtigt die Energie eines Elektrons, das zwischen den beiden Kernen wechselt.

4. Lösen des Gleichungssystems

Dies führt zu zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (\( c_A \) und \( c_B \)):

\[ c_A H_{AA} + c_B H_{AB} = E (c_A + c_B S) \]

\[ c_A H_{BA} + c_B H_{BB} = E (c_A S + c_B) \]

Diese Gleichungen lassen sich in Matrizenform schreiben:

\[ \begin{pmatrix} H_{AA} - ES & H_{AB} - ES \ H_{BA} - ES & H_{BB} - E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_A \ c_B \end{pmatrix} = 0 \]

5. Lösungsbedingung und Eigenwerte

Um nicht-triviale Lösungen für \( c_A \) und \( c_B \) zu finden, muss die Determinante der Koeffizientenmatrix null sein:

\[ \begin{vmatrix} H_{AA} - ES & H_{AB} - ES \ H_{BA} - ES & H_{BB} - E \end{vmatrix} = 0 \]

Für das H₂⁺-Molekülion vereinfachen sich die Terme, da \( H_{AA} = H_{BB} = H_0 \) und \( H_{AB} = H_{BA} = H_{AB} \):

\[ \begin{vmatrix} H_{0} - E & H_{AB} - ES \ H_{AB} - ES & H_{0} - E \end{vmatrix} = 0 \]

Das ergibt die charakteristische Gleichung:

\[ (H_0 - E)^2 - (H_{AB} - E S)^2 = 0 \]

6. Eigenwerte

Die Lösungen dieser Gleichung sind:

\[ E = \frac{H_0 + H_{AB}}{1+S} \] (bindendes Molekülorbital)

\[ E = \frac{H_0 - H_{AB}}{1-S} \] (antibindendes Molekülorbital)

Zusammenfassung

• Das Überlappungsintegral S beeinflusst die Stärke der Bindung, indem es die Energieeigenwerte verschiebt.
• Das Coulomb-Integral \( H_0 \) bestimmt die Energie des Elektrons bei Anwesenheit eines Kerns.
• Das Austausch-Integral \( H_{AB} \) beeinflusst die Energie der Elektronenverteilung zwischen den beiden Kernen.

Diese Energieeigenwerte und die entsprechenden Molekülorbitale geben uns eine umfassende Beschreibung der Elektronenverteilung und Bindungseigenschaften im H₂⁺-Molekülion.

d)

Simuliere den quantenmechanischen Tunneleffekt durch eine Potentialbarriere. Leite die zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein Teilchen, das auf einer Seite einer Potentialbarriere eintrifft, her. Verwende geeignete Randbedingungen, um die Transmission- und Reflexionskoeffizienten zu berechnen. Diskutiere die physikalischen Implikationen des Ergebnisses.

Lösung:

Herleitung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für den Tunneleffekt durch eine Potentialbarriere

Wir betrachten ein Teilchen der Masse m, das auf eine einseitige eindimensionale Potentialbarriere trifft. Das Potential V(x) ist wie folgt definiert:

• \( V(x) = 0 \) für \( x < 0 \) und \( x > a \)
• \( V(x) = V_0 \) für \( 0 \le x \le a \)

Die Schrödingergleichung für das Teilchen lautet:

\[ \text{H}|\Psi\rangle = E|\Psi\rangle \]

Für die drei Bereiche (links von der Barriere, innerhalb der Barriere, rechts von der Barriere) schreiben wir die Schrödingergleichung separat:

1. Bereich 1: \( x < 0 \)

Hier ist das Potential \( V(x) = 0 \), und die Schrödingergleichung vereinfacht sich zu:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi_1}{dx^2} = E \Psi_1 \]

Die allgemeine Lösung ist:

\[ \Psi_1(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \]

mit \( k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \).

2. Bereich 2: \( 0 \le x \le a \)

Hier ist das Potential \( V(x) = V_0 \), und die Schrödingergleichung lautet:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi_2}{dx^2} + V_0 \Psi_2 = E \Psi_2 \]

Vereinfacht:

\[ \frac{d^2 \Psi_2}{dx^2} = \left( \frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2} \right) \Psi_2 \]

Die allgemeine Lösung für diesen Bereich ist:

\[ \Psi_2(x) = C e^{\kappa x} + D e^{-\kappa x} \]

mit \( \kappa = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}} \).

3. Bereich 3: \( x > a \)

Hier ist das Potential \( V(x) = 0 \), und die Schrödingergleichung lautet:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \Psi_3}{dx^2} = E \Psi_3 \]

Die allgemeine Lösung für diesen Bereich ist:

\[ \Psi_3(x) = F e^{ikx} + G e^{-ikx} \]

Da sich das Teilchen nur in eine Richtung bewegt, ist \( G = 0 \):

\[ \Psi_3(x) = F e^{ikx} \]

Randbedingungen und Kontinuität

Für die Lösung der Schrödingergleichung benötigen wir die Kontinuität der Wellenfunktion und ihrer ersten Ableitung bei \( x = 0 \) und \( x = a \).

• Bei \( x = 0 \):
• \[ \Psi_1(0) = \Psi_2(0) \]
• \[ A + B = C + D \]
• \[ \frac{d\Psi_1}{dx} \bigg|_{x=0} = \frac{d\Psi_2}{dx} \bigg|_{x=0} \]
• \[ ik(A - B) = \kappa (C - D) \]

• Bei \( x = a \):
• \[ \Psi_2(a) = \Psi_3(a) \]
• \[ C e^{\kappa a} + D e^{-\kappa a} = F e^{ika} \]
• \[ \frac{d\Psi_2}{dx} \bigg|_{x=a} = \frac{d\Psi_3}{dx} \bigg|_{x=a} \]
• \[ \kappa (C e^{\kappa a} - D e^{-\kappa a}) = ik F e^{ika} \]

Transmission- und Reflexionskoeffizienten berechnen

Transmission

Der Transmissionskoeffizient T ist das Verhältnis der einlaufenden und auslaufenden Wahrscheinlichkeitsströme:

\[ T = \left| \frac{F}{A} \right| ^2 \]

Reflexion

Der Reflexionskoeffizient R ist das Verhältnis der reflektierten und einlaufenden Wahrscheinlichkeitsströme:

\[ R = \left| \frac{B}{A} \right| ^2 \]

Da die Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten bleibt, gilt:

\[ T + R = 1 \]

Physikalische Implikationen

• Der Tunneleffekt ermöglicht es Teilchen, Barrieren zu überwinden, selbst wenn ihre Energie geringer ist als die Barrierenhöhe. Dies führt zu nicht-null Transmissionskoeffizienten.
• Ein wichtiger Aspekt der Quantentheorie ist, dass der Tunneleffekt für klassische Teilchen unmöglich ist, jedoch für Quantenobjekte aufgrund ihrer Wellennatur realisiert werden kann.
• Der Tunneleffekt ist für viele physikalische Prozesse bedeutsam, wie Alpha-Zerfall in Atomkernen oder Elektronentunnelung in Halbleiterbauelementen.

Aufgabe 2)

Die Wellenfunktion \(\psi(x, t)\) eines quantenmechanischen Teilchens erfüllt die Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators \(\hat{H}\): \[\hat{H}\psi = E\psi\]. Die Wahrscheinlichkeitsdichte gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden und wird durch \(|\psi(x,t)|^2\) beschrieben. Die Normierungsbedingung lautet \(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = 1\).Gegeben ist eine Wellenfunktion \(\psi(x) = A\exp(-\alpha x^2)\). Dabei sind A und \[\alpha\] reelle Konstanten.

a)

• (a) Berechne die Normierungskonstante \(A\). Die Wellenfunktion muss normiert sein, daher gilt die Bedingung: \[ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1 \]

Lösung:

Um die Normierungskonstante A zu berechnen, beginnen wir mit der Bedingung, dass die Wellenfunktion normiert sein muss:

\( \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 \, dx = 1 \)

Gemäß der Aufgabenstellung ist die Wellenfunktion \( \psi(x) = A \exp(-\alpha x^2) \).

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist somit \( |\psi(x)|^2 = (A \exp(-\alpha x^2))^2 = A^2 \exp(-2 \alpha x^2) \).

Setzen wir dies in die Normierungsbedingung ein:

\( \int_{-\infty}^{\infty} A^2 \exp(-2 \alpha x^2) \, dx = 1 \)

Da \(A\) eine Konstante ist, kann sie aus dem Integral herausgezogen werden:

\( A^2 \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-2 \alpha x^2) \, dx = 1 \)

Das Integral \( \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-2 \alpha x^2) \, dx \) ist ein bekanntes Gauß-Integral, das sich wie folgt lösen lässt:

\( \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-2 \alpha x^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2 \alpha}} \)

Setzen wir dies in die vorherige Gleichung ein:

\( A^2 \sqrt{\frac{\pi}{2 \alpha}} = 1 \)

Lösen wir die Gleichung nach \(A^2\) auf:

\( A^2 = \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2 \alpha}}} = \sqrt{\frac{2 \alpha}{\pi}} \)

Damit ergibt sich die Normierungskonstante \(A\) zu:

\( A = \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^{\frac{1}{4}} \)

b)

• (b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich von \[ -1 \leq x \leq 1 \] zu finden, wenn die Wellenfunktion normiert ist. Formuliere den zu berechnenden Integral in mathematischen Termen.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, das Teilchen im Bereich von \(-1 \leq x \leq 1\) zu finden, müssen wir das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte \(|\psi(x)|^2\) über diesen Bereich bestimmen.

Die normierte Wellenfunktion ist \( \psi(x) = A \exp(-\alpha x^2) \) mit der Normierungskonstante \( A = \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^{\frac{1}{4}} \).

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich zu:

\( |\psi(x)|^2 = \left( A \exp(-\alpha x^2) \right)^2 = A^2 \exp(-2 \alpha x^2) \)

Da \(A\) normiert ist, verwenden wir:

\( A^2 = \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^{\frac{1}{2}} \)

Somit lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte:

\( |\psi(x)|^2 = \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^{\frac{1}{2}} \exp(-2 \alpha x^2) \)

Das zu berechnende Integral für die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich von \(-1 \leq x \leq 1\) zu finden, lautet somit:

\( \int_{-1}^{1} |\psi(x)|^2 \, dx = \int_{-1}^{1} \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^{\frac{1}{2}} \exp(-2 \alpha x^2) \, dx \)

Dieses Integral gibt uns die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich von \(-1\) bis \(1\) zu finden.

c)

• (c) Diskutiere die physikalische Bedeutung des Realteils und Imaginärteils der Wellenfunktion im Kontext der Born'schen Regel. Begründe, warum nur \(|\psi|^2\) physikalische Bedeutung hat.

Lösung:

Die Born'sche Regel besagt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte, das heißt die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, durch das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion \(|\psi(x, t)|^2\) gegeben ist. Diese Regel hat tiefgreifende physikalische Bedeutung in der Quantenmechanik.

Im Detail:

• Realer Teil und Imaginärteil der Wellenfunktion: Die Wellenfunktion \(\psi(x,t)\) ist im Allgemeinen eine komplexe Funktion und kann als \(\psi(x,t) = \psi_R(x,t) + i \psi_I(x,t)\) geschrieben werden, wobei \(\psi_R\) der Realteil und \(\psi_I\) der Imaginärteil ist.

Realer Teil: \( \psi_R(x,t) \) ist die Komponente der Wellenfunktion ohne den Imaginärteil.Imaginärteil: \( \psi_I(x, t) \) ist die Komponente der Wellenfunktion, die einen Imaginärfaktor \(i\) hat.

• Warum nur \(|\psi|^2\) physikalische Bedeutung hat:

• Die Wahrscheinlichkeitsdichte \(|\psi(x,t)|^2\) ist definiert als das Produkt der Wellenfunktion mit ihrem komplex Konjugierten: \( |\psi(x,t)|^2 = \psi(x,t) \psi^*(x,t) \).
• Dadurch ergibt sich: \( |\psi(x,t)|^2 = (\psi_R(x,t) + i \psi_I(x,t))(\psi_R(x,t) - i \psi_I(x,t)) = \psi_R(x,t)^2 + \psi_I(x,t)^2 \).
• Das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion ergibt somit eine positive, reelle Zahl, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden.
• Physikalische Größen müssen messbar und real sein. Da der Realteil und Imaginärteil der Wellenfunktion einzeln keine messbaren Größen sind, sondern nur deren Kombination in Form von \(|\psi|^2\), hat nur \(|\psi(x,t)|^2\) physikalische Bedeutung.

Zusammengefasst: Die Wellenfunktion enthält alle Informationen über die quantenmechanischen Zustände eines Teilchens, aber nur das Quadrat des Betrags \(|\psi|^2\) ist direkt mit messbaren physikalischen Größen, wie den Wahrscheinlichkeiten, verknüpft. Daher hat der Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion für sich genommen keine direkte physikalische Bedeutung.

d)

• (d) Angenommen, die Wellenfunktion des Systems sei eine Superposition aus zwei Wellenfunktionen \(\psi_1\) und \(\psi_2\) der Form \(\psi(x) = c_1\psi_1(x) + c_2\psi_2(x)\). Zeige, dass diese Linearkombination ebenfalls eine gültige Wellenfunktion ist, sofern die Normierungsbedingung erfüllt ist.

Lösung:

Um zu zeigen, dass eine Superpositionswellenfunktion der Form \( \psi(x) = c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) \) ebenfalls eine gültige Wellenfunktion ist, müssen wir überprüfen, ob sie die Normierungsbedingung erfüllt.

Die Normierungsbedingung verlangt, dass:

\( \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 \, dx = 1 \)

Setzen wir die Superpositionswellenfunktion \( \psi(x) = c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) \) in diese Bedingung ein, erhalten wir:

\( \int_{-\infty}^{\infty} |c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x)|^2 \, dx \)

Betrachten wir zunächst den Ausdruck \( |c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x)|^2 \):

\( |c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x)|^2 = (c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x))(c_1^* \psi_1^*(x) + c_2^* \psi_2^*(x)) \)

Nutzen wir die Distributivität, erhalten wir:

\( = c_1 c_1^* |\psi_1(x)|^2 + c_1 c_2^* \psi_1(x) \psi_2^*(x) + c_2 c_1^* \psi_2(x) \psi_1^*(x) + c_2 c_2^* |\psi_2(x)|^2 \)

Da \(c_1 c_1^* = |c_1|^2\) und \(c_2 c_2^* = |c_2|^2\), können wir schreiben:

\( = |c_1|^2 |\psi_1(x)|^2 + c_1 c_2^* \psi_1(x) \psi_2^*(x) + c_2 c_1^* \psi_2(x) \psi_1^*(x) + |c_2|^2 |\psi_2(x)|^2 \)

Setzen wir dies in das Integral ein:

\( \int_{-\infty}^{\infty} \left[ |c_1|^2 |\psi_1(x)|^2 + c_1 c_2^* \psi_1(x) \psi_2^*(x) + c_2 c_1^* \psi_2(x) \psi_1^*(x) + |c_2|^2 |\psi_2(x)|^2 \right] \, dx \)

Da das Integral linear ist, können wir es auf die einzelnen Terme anwenden:

\( = |c_1|^2 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi_1(x)|^2 \, dx + c_1 c_2^* \int_{-\infty}^{\infty} \psi_1(x) \psi_2^*(x) \, dx + c_2 c_1^* \int_{-\infty}^{\infty} \psi_2(x) \psi_1^*(x) \, dx + |c_2|^2 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi_2(x)|^2 \, dx \)

Nehmen wir an, dass \(\psi_1\) und \(\psi_2\) orthonormiert sind, dann gilt:

• \(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_1(x)|^2 \, dx = 1 \)
• \(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_2(x)|^2 \, dx = 1 \)
• \(\int_{-\infty}^{\infty} \psi_1(x) \psi_2^*(x) \ dx = 0 \) aufgrund der Orthogonalität
• \(\int_{-\infty}^{\infty} \psi_2(x) \psi_1^*(x) \ dx = 0 \) aufgrund der Orthogonalität

Damit vereinfacht sich das Integral zu:

\( |c_1|^2 \cdot 1 + 0 + 0 + |c_2|^2 \cdot 1 = |c_1|^2 + |c_2|^2 \)

Für eine gültige Wellenfunktion muss diese Summe gleich 1 sein, also:

\( |c_1|^2 + |c_2|^2 = 1 \)

Zusammengefasst: Die Superposition \( \psi(x) = c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) \) ist eine gültige Wellenfunktion, sofern die Koeffizienten \(c_1\) und \(c_2\) so gewählt sind, dass \( |c_1|^2 + |c_2|^2 = 1 \). Diese Bedingung stellt sicher, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist, was die Normierungsbedingung erfüllt.

Aufgabe 3)

Untersuche die Bildung der Molekülorbitale für das Fluormolekül (\text{F}_2). Das Fluormolekül besteht aus zwei Fluoratomen, jedes mit der Elektronenkonfiguration 2s^2 2p^5. Verwende die Methode der Linearkombination von Atomorbitalen (LCAO), um die Molekülorbitale zu beschreiben.

a)

Schreibe die Linearkombination der Atomorbitale für das Fluormolekül auf. Bedenke dabei die lineare Kombination für die s- und p-Orbitale. Wie viele Molekülorbitale entstehen im Falle des Fluormoleküls?

Lösung:

Bildung der Molekülorbitale für das Fluormolekül (F₂)

Um die Molekülorbitale des Fluormoleküls (F₂) zu untersuchen, verwenden wir die Methode der Linearkombination von Atomorbitalen (LCAO). Jedes Fluoratom hat die Elektronenkonfiguration 2s² 2p⁵. Wenn wir die s- und p-Orbitale der beiden Fluoratome kombinieren, entstehen die folgenden Molekülorbitale:

Linearkombination von Atomorbitalen

• Für die s-Orbitale:
  • Die Linearkombination der 2s-Orbitale der beiden Fluoratome ergibt zwei Molekülorbitale:
  • Bindendes Molekülorbital: \(\frac{1}{\sqrt{2}}(2s_A + 2s_B)\)
  • Antibindendes Molekülorbital: \(\frac{1}{\sqrt{2}}(2s_A - 2s_B)\)
• Für die p-Orbitale:
  • Jedes Fluoratom besitzt drei p-Orbitale (2p_x, 2p_y, 2p_z), die ebenfalls zu Molekülorbitalen kombiniert werden:
  • Für die 2p_z-Orbitale (entlang der Bindungsachse):
  • Bindendes Molekülorbital: \(\frac{1}{\sqrt{2}}(2p_z^A + 2p_z^B)\)
  • Antibindendes Molekülorbital: \(\frac{1}{\sqrt{2}}(2p_z^A - 2p_z^B)\)
  • Für die 2p_x- und 2p_y-Orbitale (seitlich zur Bindungsachse):
  • Bindende Molekülorbitale: \(\frac{1}{\sqrt{2}}(2p_x^A + 2p_x^B)\) und \(\frac{1}{\sqrt{2}}(2p_y^A + 2p_y^B)\)
  • Antibindende Molekülorbitale: \(\frac{1}{\sqrt{2}}(2p_x^A - 2p_x^B)\) und \(\frac{1}{\sqrt{2}}(2p_y^A - 2p_y^B)\)

Anzahl der Molekülorbitale im Fluormolekül

• Da jedes Fluoratom 4 Atomorbitale besitzt (1x 2s, 3x 2p), ergeben die Kombinationen der Orbitale insgesamt 8 Molekülorbitale:
• 2 Molekülorbitale aus den 2s-Orbitalen (1 bindend, 1 antibindend)
• 6 Molekülorbitale aus den 2p-Orbitalen (3 bindend, 3 antibindend)

b)

Skizziere ein qualitatives Energiediagramm für die Molekülorbitale des Fluormoleküls und ordne sie entsprechend ihrer Energie an. Achte darauf, sowohl bindende als auch antibindende Orbitale darzustellen.

Lösung:

Energiediagramm für die Molekülorbitale des Fluormoleküls (F₂)

Um ein qualitatives Energiediagramm für die Molekülorbitale des Fluormoleküls (F₂) zu erstellen, nutzen wir die Methode der Linearkombination von Atomorbitalen (LCAO). Dabei berücksichtigen wir die Elektronenkonfiguration jedes Fluoratoms: 2s² 2p⁵. Diese Atomorbitale werden kombiniert, um bindende und antibindende Molekülorbitale zu bilden.

Anordnung der Molekülorbitale nach Energie

• Die 2s-Orbitale kombinieren sich zu:
• Bindendes Sigma-Orbital (σ_2s) - niedriger in Energie
• Antibindendes Sigma-Orbital (σ_2s*) - höher in Energie
• Die 2p-Orbitale kombinieren sich zu:
• Bindendes Sigma-Orbital (σ_2pz) - niedrigste Energie unter den p-Orbitalen, entlang der Bindungsachse
• Bindendes Pi-Orbital (π_2px und π_2py) - gleicher Energielevel, höher als σ_2pz
• Antibindendes Pi-Orbital (π_2px* und π_2py*) - gleicher Energielevel, höher als π_2px und π_2py
• Antibindendes Sigma-Orbital (σ_2pz*) - höchste Energie unter den p-Orbitalen

Qualitatives Energiediagramm

Das folgende Diagramm stellt die Energielevel der bindenden und antibindenden Molekülorbitale dar:

Energie

σ2pz*

π2px* & π2py*

π2px & π2py

σ2pz

σ2s*

σ2s

In dieser Anordnung sind die bindenden Orbitale (σ_2s, σ_2pz, π_2px und π_2py) energetisch niedriger als ihre jeweiligen antibindenden Pendants (σ_2s*, σ_2pz*, π_2px* und π_2py*).

c)

Bestimme die Gesamtanzahl der Elektronen im Fluormolekül und fülle die Molekülorbitale gemäß der Besetzungsregel (Hund’sche Regel und Pauli-Prinzip) auf. Berechne ausgehend von der Besetzung der Orbitale die Bindungsordnung des Fluormoleküls.

Lösung:

Elektronenkonfiguration und Besetzung der Molekülorbitale im Fluormolekül (F₂)

Um die Molekülorbitale des Fluormoleküls (F₂) genau zu untersuchen, müssen wir die Gesamtanzahl der Elektronen bestimmen und die Molekülorbitale gemäß der Hund’schen Regel und dem Pauli-Prinzip auffüllen. Anschließend berechnen wir die Bindungsordnung des Fluormoleküls.

Gesamtanzahl der Elektronen

Ein Fluoratom hat eine Elektronenkonfiguration von 2s² 2p⁵. Somit hat ein Fluoratom insgesamt 9 Elektronen. Da das Fluormolekül aus zwei Fluoratomen besteht, ergibt sich die Gesamtzahl der Elektronen:

• Gesamtanzahl der Elektronen im F₂-Molekül: 9 + 9 = 18 Elektronen

Besetzung der Molekülorbitale

Die Molekülorbitale werden in der Reihenfolge ihrer Energie aufgefüllt. Zuerst die bindenden Orbitale und dann die antibindenden Orbitale. Ein Molekülorbital kann maximal zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin enthalten:

1. σ_2s: 2 Elektronen
2. σ_2s*: 2 Elektronen
3. σ_2pz: 2 Elektronen
4. π_2px: 2 Elektronen
5. π_2py: 2 Elektronen
6. π_2px*: 2 Elektronen
7. π_2py*: 2 Elektronen
8. σ_2pz*: 2 Elektronen

Hier ist eine Übersicht:

• Bindende Orbitale:
  • σ_2s - 2 Elektronen
  • σ_2pz - 2 Elektronen
  • π_2px - 2 Elektronen
  • π_2py - 2 Elektronen
• Antibindende Orbitale:
  • σ_2s* - 2 Elektronen
  • π_2px* - 2 Elektronen
  • π_2py* - 2 Elektronen
  • σ_2pz* - 2 Elektronen

Berechnung der Bindungsordnung

Die Bindungsordnung kann berechnet werden, indem die Anzahl der Elektronen in bindenden Molekülorbitalen von der Anzahl der Elektronen in antibindenden Molekülorbitalen subtrahiert und das Ergebnis durch 2 geteilt wird:

Bindungsordnung:

\(\text{Bindungsordnung} = \frac{1}{2} (\text{Anzahl der Elektronen in bindenden Orbitalen} - \text{Anzahl der Elektronen in antibindenden Orbitalen})\)

• Anzahl der Elektronen in bindenden Orbitalen = 2 (σ_2s) + 2 (σ_2pz) + 2 (π_2px) + 2 (π_2py) = 8
• Anzahl der Elektronen in antibindenden Orbitalen = 2 (σ_2s*) + 2 (π_2px*) + 2 (π_2py*) + 2 (σ_2pz*) = 8
• Bindungsordnung = \(\frac{1}{2} (8 - 8) = \frac{1}{2} (0) = 0\)

Die Berechnung zeigt, dass die Bindungsordnung des Fluormoleküls (F₂) 0 ist, was darauf hindeutet, dass F₂ in der Grundform keine stabile Bindung eingeht.

Aufgabe 4)

Bindungsordnung und magnetische Eigenschaften:Die Bindungsordnung ist ein Maß für die Stabilität einer chemischen Bindung und wird durch die Anzahl der bindenden und antibindenden Elektronen bestimmt. Die magnetischen Eigenschaften eines Moleküls werden durch das Vorhandensein ungepaarter Elektronen bestimmt. Ein Molekül ist paramagnetisch, wenn es ungepaarte Elektronen enthält, und diamagnetisch, wenn nur gepaarte Elektronen vorhanden sind. Die Molekülorbitaltheorie ist dabei entscheidend, um diese Eigenschaften zu berechnen. Die Gleichung zur Berechnung der Bindungsordnung lautet: \[ BO = \frac{1}{2}(N_{\text{bonding}} - N_{\text{antibonding}}) \]

a)

Teilaufgabe 1: Bestimme die Bindungsordnung und die magnetischen Eigenschaften des Stickstoffmoleküls (N2) unter Verwendung der Molekülorbitaltheorie. Informationen:

• Das N2-Molekül besteht aus 14 Elektronen.
• Die Elektronenkonfiguration der Molekülorbitale von N2 ist: \(\sigma_{1s}^2 \sigma_{1s}^*^2\sigma_{2s}^2 \sigma_{2s}^*^2 \pi_{2p_x}^2 \pi_{2p_y}^2 \sigma_{2p_z}^2\)

Erkläre auf Basis dieser Daten, wie die Bindungsordnung und die magnetischen Eigenschaften ermittelt werden.

Lösung:

Lösung:Um die Bindungsordnung und die magnetischen Eigenschaften des Stickstoffmoleküls (N₂) zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:1. Ermittlung der Bindungsordnung:Die Formel zur Berechnung der Bindungsordnung (BO) lautet: \ BO = \frac{1}{2}(N_{\text{bonding}} - N_{\text{antibonding}}) \

• Bindende Elektronen:Die Elektronenkonfiguration des N₂-Moleküls ist:\(\sigma_{1s}^2 \sigma_{1s}^{*2} \ \sigma_{2s}^2 \sigma_{2s}^{*2} \ \pi_{2p_x}^2 \pi_{2p_y}^2 \sigma_{2p_z}^2\).Die bindenden Orbitale sind \(\sigma_{1s}, \sigma_{2s}, \pi_{2p_x}, \pi_{2p_y}, \sigma_{2p_z}\).Die Anzahl der Elektronen in diesen bindenden Orbitalen ist:2 (von \(\sigma_{1s}\)) + 2 (von \(\sigma_{2s}\)) + 2 (von \(\pi_{2p_x}\)) + 2 (von \(\pi_{2p_y}\)) + 2 (von \(\sigma_{2p_z}\)) = 10 Elektronen.
• Antibindende Elektronen:Die antibindenden Orbitale sind \(\sigma_{1s}^{*}, \sigma_{2s}^{*}\).Die Anzahl der Elektronen in diesen antibindenden Orbitalen ist:2 (von \(\sigma_{1s}^{*}\)) + 2 (von \(\sigma_{2s}^{*}\)) = 4 Elektronen.

Substitution in die Bindungsordnung-Formel ergibt: \ BO = \frac{1}{2}(10 - 4) = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \Die Bindungsordnung des N₂-Moleküls beträgt also 3.2. Magnetische Eigenschaften:Die magnetischen Eigenschaften eines Moleküls werden durch das Vorhandensein ungepaarter Elektronen bestimmt.Laut der gegebenen Elektronenkonfiguration besitzt das N₂-Molekül nur gepaarte Elektronen. Daher ist das N₂-Molekül diamagnetisch.Zusammenfassend:

• Die Bindungsordnung des N₂-Moleküls beträgt 3.
• Das N₂-Molekül ist diamagnetisch.

b)

Teilaufgabe 2: Berechne die Bindungsordnung und beschreibe die magnetischen Eigenschaften des Sauerstoffmoleküls (O2) unter Verwendung der Molekülorbitaltheorie. Informationen:

• Das O2-Molekül besteht aus 16 Elektronen.
• Die Elektronenkonfiguration der Molekülorbitale von O2 ist: \(\sigma_{1s}^2 \sigma_{1s}^*^2\sigma_{2s}^2 \sigma_{2s}^*^2 \sigma_{2p_z}^2 \pi_{2p_x}^2 \pi_{2p_y}^2 \pi_{2p_x}^*^1 \pi_{2p_y}^*^1\)

Erkläre dabei auch, wie man mithilfe der molekularen elektronischen Zustände von O2 auf seine paramagnetischen Eigenschaften schließen kann.

Lösung:

Lösung:Um die Bindungsordnung und die magnetischen Eigenschaften des Sauerstoffmoleküls (O₂) zu bestimmen, gehen wir die gegebenen Informationen Schritt für Schritt durch.1. Ermittlung der Bindungsordnung:Die Formel zur Berechnung der Bindungsordnung (BO) lautet: \[ BO = \frac{1}{2}(N_{\text{bonding}} - N_{\text{antibonding}}) \ ]

• Bindende Elektronen:Die Elektronenkonfiguration des O₂-Moleküls ist: \[ \sigma_{1s}^2 \sigma_{1s}^{*2} \ \sigma_{2s}^2 \sigma_{2s}^{*2} \ \sigma_{2p_z}^2 \ \pi_{2p_x}^2 \pi_{2p_y}^2 \ \pi_{2p_x}^{*1} \pi_{2p_y}^{*1} \ ] Die bindenden Orbitale sind \[ \sigma_{1s}, \sigma_{2s}, \sigma_{2p_z}, \pi_{2p_x}, \pi_{2p_y} \ ] Die Anzahl der Elektronen in diesen bindenden Orbitalen ist:2 (von \[ \sigma_{1s} \ ]) + 2 (von \[ \sigma_{2s} \ ]) + 2 (von \[ \sigma_{2p_z} \ ]) + 2 (von \[ \pi_{2p_x} \ ]) + 2 (von \[ \pi_{2p_y} \ ]) = 10 Elektronen.
• Antibindende Elektronen:Die antibindenden Orbitale sind \[ \sigma_{1s}^{*}, \sigma_{2s}^{*}, \pi_{2p_x}^{*}, \pi_{2p_y}^{*} \ ] Die Anzahl der Elektronen in diesen antibindenden Orbitalen ist:2 (von \[ \sigma_{1s}^{*} \ ]) + 2 (von \[ \sigma_{2s}^{*} \ ]) + 1 (von \[ \pi_{2p_x}^{*} \ ]) + 1 (von \[ \pi_{2p_y}^{*} \ ]) = 6 Elektronen.

Substitution in die Bindungsordnung-Formel ergibt: \[ BO = \frac{1}{2}(10 - 6) = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \ ] Die Bindungsordnung des O₂-Moleküls beträgt also 2.2. Magnetische Eigenschaften:Die magnetischen Eigenschaften eines Moleküls werden durch das Vorhandensein ungepaarter Elektronen bestimmt.

• Laut der gegebenen Elektronenkonfiguration besitzt das O₂-Molekül zwei ungepaarte Elektronen in den \[ \pi_{2p_x}^{*} \ ] und \[ \pi_{2p_y}^{*} \ ] Orbitalen.
• Diese ungepaarten Elektronen führen dazu, dass das O₂-Molekül paramagnetisch ist.

Zusammenfassend:

• Die Bindungsordnung des O₂-Moleküls beträgt 2.
• Das O₂-Molekül ist paramagnetisch aufgrund der Anwesenheit von zwei ungepaarten Elektronen.