Theoretische Chemie 2 - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (stationäre Zustände):
• Anwendungen: Molekülorbitale, Bindungsenergien, Spektren und Reaktionen von Molekülen.
• Methoden zur Lösung: Exakte Methoden (für einfache Systeme), Näherungsverfahren wie Störungsrechnung, Variationsmethode, Dichtefunktionaltheorie (DFT)

• a)

  Berechne die Energieeigenwerte und Eigenfunktionen f\u00fcr das Teilchen im eindimensionalen Potentialtopf der Breite \( a \) mit unendlich hohen Potentialw\u00e4nden. Das Potential ist definiert als: \[ V(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < a \ \infty & \text{sonst} \end{cases} \] Die Schr\u00f6dinger-Gleichung lautet: \[ \hat{H} \, |\psi\rangle = E \, |\psi\rangle \] Bestimme die L\u00f6sung der Schr\u00f6dinger-Gleichung innerhalb des Bereichs von \( x = 0 \) bis \( x = a \), indem Du die L\u00f6sungsfunktionen und -bedingungen an den R\u00e4ndern des Potentials ber\u00fccksichtigst.

  Lösung:

  Um die Energieeigenwerte und Eigenfunktionen für ein Teilchen im eindimensionalen Potentialtopf der Breite a mit unendlich hohen Potentialwänden zu berechnen, betrachten wir die Schrödinger-Gleichung in dem gegebenen Potential. Das Potential ist definiert als:

  • V(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < a \ \infty & \text{sonst} \end{cases}

  Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lautet:

  • \hat{H} \psi (x) = E \psi (x)

  Innerhalb des Bereichs 0 < x < a ist das Potential V(x) = 0. Damit reduziert sich die Schrödinger-Gleichung auf:

  • -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi (x)}{dx^2} = E \psi (x)

  Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:

  • \psi (x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)

  Wir müssen nun die Randbedingungen berücksichtigen:

  • \psi(0) = 0 \quad \text{und} \quad \psi(a) = 0

  Setzen wir die erste Randbedingung in die Lösungsansatz:

  • \psi(0) = A \sin(0) + B \cos(0) = B = 0

  Daraus ergibt sich:

  • \psi (x) = A \sin(kx)

  Die zweite Randbedingung ergibt sich:

  • \psi(a) = A \sin(ka) = 0

  Damit dieser Ausdruck für A ≠ 0 gilt, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

  • \sin(ka) = 0

  Das bedeutet, dass:

  • k = \frac{n\pi}{a}, \qquad \text{für} \quad n = 1, 2, 3, \ldots

  Die Eigenenergie ergibt sich aus:

  • E_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{n\pi}{a} \right)^2 = \frac{n^2 \pi^2\hbar^2}{2ma^2}

  Die Eigenfunktionen lauten daher:

  • \psi_n(x) = A_n \sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right)

  Die Normierung der Eigenfunktionen erfolgt durch die Bedingung:

  • \int_0^a |\psi_n(x)|^2 dx = 1

  Diese ergibt:

  • A_n = \sqrt{ \frac{2}{a} }

  Die normierten Eigenfunktionen lauten daher:

  • \psi_n(x) = \sqrt{ \frac{2}{a} } \sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right) \quad \text{für} \quad n = 1, 2, 3, \ldots

  Zusammenfassend haben wir die Energieeigenwerte und Eigenfunktionen des Teilchens im eindimensionalen Potentialtopf mit unendlich hohen Potentialwänden:

  • Eigenwerte:

    E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \quad \text{für} \quad n = 1, 2, 3, \ldots

  • Eigenfunktionen:

    \psi_n(x) = \sqrt{ \frac{2}{a} } \sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right) \quad \text{für} \quad n = 1, 2, 3, \ldots

  b)

  Verwende die Variationsmethode, um eine obere Schranke f\u00fcr die Grundzustandsenergie des harmonischen Oszillators zu berechnen. Verwende als Testfunktion: \[ \psi_T(x) = e^{-\alpha x^2} \] Berechne die Energieintegrale:

  • \[ \langle \psi_T | \hat{H} | \psi_T \rangle = \int \psi_T^*(x) \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right) \psi_T(x) \text{d}x \]

  • \[ \langle \psi_T | \psi_T \rangle = \int \psi_T^*(x) \psi_T(x) \text{d}x \] 

  Bestimme den optimalen Parameter \( \alpha \), der die Energie minimiert, und gib die abgesch\u00e4tzte Grundzustandsenergie an.

  Lösung:

  Um eine obere Schranke für die Grundzustandsenergie des harmonischen Oszillators mithilfe der Variationsmethode zu berechnen, verwenden wir die Testfunktion:

  • \psi_T(x) = e^{-\alpha x^2}

  Wir berechnen die folgenden Energieintegrale:

  • \langle \psi_T | \hat{H} | \psi_T \rangle = \int \psi_T^*(x) \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right) \psi_T(x) \text{d}x

  • \langle \psi_T | \psi_T \rangle = \int \psi_T^*(x) \psi_T(x) \text{d}x

  Berechnen wir zunächst das Normierungsintegral \(\langle \psi_T | \psi_T \rangle\):

  • \psi_T(x) = e^{-\alpha x^2}

  • \langle \psi_T | \psi_T \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} e^{-\alpha x^2} \text{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\alpha x^2} \text{d}x

  • \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\alpha x^2} \text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}

  Das Normierungsintegral ergibt also:

  • \langle \psi_T | \psi_T \rangle = \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}

  Nun berechnen wir den kinetischen Term:

  • \hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}

  • \psi_T(x) = e^{-\alpha x^2}

  • \frac{d}{dx} \psi_T(x) = -2\alpha x e^{-\alpha x^2}

  • \frac{d^2}{dx^2} \psi_T(x) = -2\alpha e^{-\alpha x^2} + 4\alpha^2 x^2 e^{-\alpha x^2}

  • \hat{T} \psi_T(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left(-2\alpha e^{-\alpha x^2} + 4\alpha^2 x^2 e^{-\alpha x^2}\right) = \frac{\hbar^2 \alpha}{m} e^{-\alpha x^2} - \frac{2 \hbar^2 \alpha^2 x^2}{m} e^{-\alpha x^2}

  Das Integral für den kinetischen Term ist:

  • \langle \psi_T | \hat{T} | \psi_T \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} \left( \frac{\hbar^2 \alpha}{m} e^{-\alpha x^2} - \frac{2 \hbar^2 \alpha^2 x^2}{m} e^{-\alpha x^2} \right) \text{d}x

  • \langle \psi_T | \hat{T} | \psi_T \rangle = \frac{\hbar^2 \alpha}{m} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} - \frac{2 \hbar^2 \alpha^2}{m} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2\alpha x^2} \text{d}x

  • \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2\alpha x^2} \text{d}x = \frac{1}{4\alpha} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}

  • \langle \psi_T | \hat{T} | \psi_T \rangle = \frac{\hbar^2 \alpha}{m} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} - \frac{2 \hbar^2 \alpha^2}{m} \cdot \frac{1}{4 \alpha} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} = \frac{\hbar^2 \alpha}{m} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} - \frac{\hbar^2 \alpha}{2m} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} = \frac{\hbar^2 \alpha}{2m} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}

  Der potentielle Term ist:

  • \langle \psi_T | \hat{V} | \psi_T \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 e^{-\alpha x^2} \text{d}x = \frac{m \omega^2}{2} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-2\alpha x^2} \text{d}x = \frac{m \omega^2}{2} \cdot \frac{1}{4 \alpha} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} = \frac{m \omega^2}{8 \alpha} \sqrt{\frac{\pi}{2 \alpha}}

  Die Gesamtenergie ist daher:

  • \langle \psi_T | \hat{H} | \psi_T \rangle = \frac{\hbar^2 \alpha}{2m} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} + \frac{m \omega^2}{8 \alpha} \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} = \sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}} \left( \frac{\hbar^2 \alpha}{2m} + \frac{m \omega^2}{8 \alpha} \right)

  Um die Energie zu minimieren, setzen wir die Ableitung der Energie nach \(\alpha\) gleich null:

  • \frac{d}{d\alpha} \left( \frac{\hbar^2 \alpha}{2m} + \frac{m \omega^2}{8 \alpha} \right) = \frac{\hbar^2}{2m} - \frac{m \omega^2}{8 \alpha^2} = 0

  • \alpha = \frac{m \omega}{2 \hbar}

  Die abgeschätzte Grundzustandsenergie für den optimalen Parameter \(\alpha\) ist:

  • E_0 = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{\frac{m \omega}{2\hbar}} \left( \frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{m \omega}{2\hbar} + \frac{m \omega^2}{8} \cdot \frac{2\hbar}{m \omega} \right) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{\frac{m \omega}{2\hbar}} \cdot \frac{1}{2} \hbar \omega = \frac{1}{2} \hbar \omega

  Zusammenfassend ergibt sich die abgeschätzte Grundzustandsenergie:

  E_0 = \frac{\hbar \omega}{2}

  Aufgabe 2)

  Heisenbergs Unschärferelation und deren Implikationen Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass es unmöglich ist, den exakten Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu bestimmen.

  • Formel: \(\Delta x \, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)
  • \(\Delta x\): Ortsunschärfe
  • \(\Delta p\): Impulsunschärfe
  • \(\hbar \approx 1.0545718 \times 10^{-34}\) Js
  • Erklärt die Begrenzung der Messgenauigkeit bei quantenmechanischen Systemen
  • Implikationen: Begrenzte Präzision in Spektroskopie und Quantenchemie

  a)

  Berechne die minimal mögliche Impulsunschärfe eines Elektrons, dessen Ortsunschärfe auf \(\Delta x = 10^{-10}\) m begrenzt ist. Berücksichtige, dass \(\hbar \) etwa \(1.0545718 \times 10^{-34}\) Js beträgt.

  • Hinweis: Verwende die Heisenbergsche Unschärferelation.
  Formel: \(\Delta x \, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)

  Lösung:

  Heisenbergs Unschärferelation und deren Implikationen

  Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass es unmöglich ist, den exakten Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu bestimmen.

  • Formel: \( \Delta x \, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)
  • \( \Delta x \): Ortsunschärfe
  • \( \Delta p \): Impulsunschärfe
  • \( \hbar \approx 1.0545718 \times 10^{-34} \) Js
  • Erklärt die Begrenzung der Messgenauigkeit bei quantenmechanischen Systemen
  • Implikationen: Begrenzte Präzision in Spektroskopie und Quantenchemie

  Berechne die minimal mögliche Impulsunschärfe eines Elektrons

  Gegeben:

  • Ortsunschärfe: \( \Delta x = 10^{-10} \) m
  • Plancksches Wirkungsquantum (reduziert): \( \hbar \approx 1.0545718 \times 10^{-34} \) Js
  • Formel: \( \Delta x \, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)

  Schritte zur Lösung:

  • Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:
  • \( 10^{-10} \) m \( \Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2} \) Js

  Rechne weiter:

  • \( \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2} = 5.272859 \times 10^{-35} \) Js
  • Also: \( 10^{-10} \Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-35} \)

  Isoliere \( \Delta p \):

  • \( \Delta p \geq \frac{5.272859 \times 10^{-35}}{10^{-10}} \)
  • Berechne den Bruch:
  • \( \Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-25} \) kg m/s

  Die minimal mögliche Impulsunschärfe eines Elektrons mit einer Ortsunschärfe von \( 10^{-10} \) m ist also:

  \( \Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-25} \) kg m/s

  b)

  Erkläre die Implikationen der Heisenbergschen Unschärferelation für die Spektroskopie und die Quantenchemie, insbesondere im Hinblick auf die Begrenzung der Messgenauigkeit und die Erzeugung von Spektrallinien.

  Lösung:

  Heisenbergs Unschärferelation und deren Implikationen

  • Formel: \( \Delta x \, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)
  • \( \Delta x \): Ortsunschärfe
  • \( \Delta p \): Impulsunschärfe
  • \( \hbar \approx 1.0545718 \times 10^{-34} \) Js
  • Erklärt die Begrenzung der Messgenauigkeit bei quantenmechanischen Systemen
  • Implikationen: Begrenzte Präzision in Spektroskopie und Quantenchemie

  Implikationen der Heisenbergschen Unschärferelation

  Die Heisenbergsche Unschärferelation hat tiefgreifende Auswirkungen auf die Spektroskopie und die Quantenchemie. Hier sind einige wichtige Implikationen:

  • Begrenzung der Messgenauigkeit: In quantenmechanischen Systemen können der Ort und der Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden. Dieses Prinzip begrenzt die Messgenauigkeit in Experimenten und beeinflusst die Daten, die in der Spektroskopie und Quantenchemie gesammelt werden können.
  • Breite der Spektrallinien: Die Unschärferelation führt dazu, dass Spektrallinien eine natürliche Breite haben, da die Energiezustände der Teilchen nicht unendlich genau bestimmt werden können. Diese natürliche Linienbreite tritt auf, weil die Lebensdauer eines angeregten Zustands eines Elektrons mit der Unsicherheit in der Energie dieses Zustands korreliert ist: \( \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \).
  • Begrenzte Präzision in Spektroskopie: Da die Spektrallinienbreite durch die Heisenbergsche Unschärferelation begrenzt ist, gibt es eine Grenze, wie genau Energieniveaus in Atomen und Molekülen gemessen werden können. Diese Einschränkung ist besonders wichtig in Hochpräzisionsspektroskopie, die für die Bestimmung von feinen Energiedifferenzen in Molekülen verwendet wird.
  • Quantenfluktuationen und chemische Reaktionen: In der Quantenchemie wirken sich die Unschärfen im Ort und Impuls von Elektronen auf die Berechnungen chemischer Reaktionen und die Eigenschaften von Molekülen aus. Diese Fluktuationen können die Stabilität und Reaktivität von Molekülen beeinflussen.
  • Quantenzustände und Superposition: Die Unschärferelation ermöglicht die Existenz von Quantenzuständen, in denen Teilchen sich in einer Superposition von Zuständen befinden. Dies ist ein grundlegendes Konzept in der Quantentheorie und hat weitreichende Anwendungen in der Quantenchemie und Quanteninformatik.

  Insgesamt zeigt die Heisenbergsche Unschärferelation, dass es fundamentale Grenzen gibt, wie genau wir die physikalischen Eigenschaften von Teilchen messen und verstehen können. Diese Grenzen spielen eine entscheidende Rolle in der theoretischen und experimentellen Forschung in der Spektroskopie und Quantenchemie.

  c)

  Betrachte ein hypothetisches Experiment, bei dem ein Proton mit einer Impulsunschärfe von \(\Delta p = 5.27 \times 10^{-25}\) kg m/s gemessen wird. Bestimme die minimal mögliche Ortsunschärfe \(\Delta x\) des Protons.

  • Hinweis: Überprüfe deine Berechnung mit der Heisenbergschen Unschärferelation.

  Lösung:

  Heisenbergs Unschärferelation und deren Implikationen

  Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass es unmöglich ist, den exakten Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu bestimmen.

  • Formel: \( \Delta x \, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)
  • \( \Delta x \): Ortsunschärfe
  • \( \Delta p \): Impulsunschärfe
  • \( \hbar \approx 1.0545718 \times 10^{-34} \) Js
  • Erklärt die Begrenzung der Messgenauigkeit bei quantenmechanischen Systemen
  • Implikationen: Begrenzte Präzision in Spektroskopie und Quantenchemie

  Berechnung der minimal möglichen Ortsunschärfe

  Gegeben:

  • Impulsunschärfe: \( \Delta p = 5.27 \times 10^{-25} \) kg m/s
  • Plancksches Wirkungsquantum (reduziert): \( \hbar \approx 1.0545718 \times 10^{-34} \) Js
  • Formel: \( \Delta x \, \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)

  Um die minimal mögliche Ortsunschärfe \( \Delta x \) zu bestimmen, verwenden wir die Heisenbergsche Unschärferelation:

  • Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:
  • \( \Delta x \geq \frac{\hbar}{2 \Delta p} \)
  • \( \Delta x \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34} \text{ Js}}{2 \times 5.27 \times 10^{-25} \text{ kg m/s}} \)

  Rechne weiter:

  • \( \Delta x \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{1.054 \times 10^{-24}} \)
  • Dabei kürzt sich \( 1.054 \) heraus:
  • \( \Delta x \geq \frac{10^{-34}}{10^{-24}} \)
  • \( \Delta x \geq 10^{-10} \) m

  Die minimal mögliche Ortsunschärfe \( \Delta x \) des Protons beträgt damit:

  \( \Delta x \geq 10^{-10} \) m

  Aufgabe 3)

  Potentialtöpfe und Quantenoszillatoren: Potentialtöpfe und Quantenoszillatoren sind grundlegende Konzepte in der Quantenmechanik zur Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem gebundenen System.

  • Potentialtöpfe: Modell zum Verständnis von Teilchenbewegungen in begrenzten Bereichen.
  • Unendlich tiefer Potentialtopf: \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \]
  • Harmonischer Oszillator: Quantenmechanischer Analogon zum klassischen Federpendel.
  • Energienstufen des harmonischen Oszillators: \[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega \]
  • Wellenfunktion: Lösungen der Schrödingergleichung für potentielle Systeme.
  • Wichtige Anwendungen: Molekülschwingungen, elektronische Zustände in Atomen und Molekülen.

  a)

  a) Berechne die Energieniveaus eines Elektrons in einem unendlich tiefen Potentialtopf der Länge L = 1 \mathrm{nm}. Verwende die Formel für die Energieniveaus und setze die Werte für m (Masse des Elektrons) und h (Plancksches Wirkungsquantum) ein. Berechne die Energien für die ersten drei Zustände (n = 1, 2, 3).

  Lösung:

  • Potentialtöpfe und Quantenoszillatoren: Potentialtöpfe und Quantenoszillatoren sind grundlegende Konzepte in der Quantenmechanik zur Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem gebundenen System:
    • Potentialtöpfe: Modell zum Verständnis von Teilchenbewegungen in begrenzten Bereichen.
    • Unendlich tiefer Potentialtopf: \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \]
    • Harmonischer Oszillator: Quantenmechanischer Analogon zum klassischen Federpendel.
    • Energienstufen des harmonischen Oszillators:\[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega \]
    • Wellenfunktion: Lösungen der Schrödingergleichung für potentielle Systeme.
    • Wichtige Anwendungen: Molekülschwingungen, elektronische Zustände in Atomen und Molekülen.
  • a) Berechne die Energieniveaus eines Elektrons in einem unendlich tiefen Potentialtopf der Länge L = 1 \mathrm{nm}. Verwende die Formel für die Energieniveaus und setze die Werte für m (Masse des Elektrons) und h (Plancksches Wirkungsquantum) ein. Berechne die Energien für die ersten drei Zustände (n = 1, 2, 3):
    • Formel für die Energieniveaus eines unendlich tiefen Potentialtopfs:\[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \]
    • Gegebene Werte:
      • Länge des Potentialtopfs, L = 1 \mathrm{nm} = 1 \times 10^{-9} \mathrm{m}
      • Masse des Elektrons, m = 9.10938356 \times 10^{-31} \mathrm{kg}
      • Plancksches Wirkungsquantum, h = 6.62607015 \times 10^{-34} \mathrm{Js}
      • Umgerechnete konstante, \hbar = \frac{h}{2 \pi}:
      \[\hbar = \frac{6.62607015 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{2 \pi} \approx 1.0545718 \times 10^{-34} \mathrm{Js}\]
    • Berechnung der Energieniveaus für die ersten drei Zustände (n = 1, 2, 3):
      • Für n = 1:\[E_1 = \frac{(1)^2 \pi^2 (1.0545718 \times 10^{-34})^2}{2 (9.10938356 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2}\approx 6.024 \times 10^{-19} \mathrm{J} \approx 3.76 \mathrm{eV}\]
      • Für n = 2:\[E_2 = \frac{(2)^2 \pi^2 (1.0545718 \times 10^{-34})^2}{2 (9.10938356 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2}\approx 4 \times 6.024 \times 10^{-19} \mathrm{J}\approx 15.096 \times 10^{-19} \mathrm{J} \approx 15.04 \mathrm{eV}\]
      • Für n = 3:\[E_3 = \frac{(3)^2 \pi^2 (1.0545718 \times 10^{-34})^2}{2 (9.10938356 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2}\approx 9 \times 6.024 \times 10^{-19} \mathrm{J}\approx 54.216 \times 10^{-19} \mathrm{J} \approx 33.84 \mathrm{eV}\]
    • Zusammenfassung der Ergebnisse:
      • Für n=1, Energie: E_1 \approx 3.76 \mathrm{eV}
      • Für n=2, Energie: E_2 \approx 15.04 \mathrm{eV}
      • Für n=3, Energie: E_3 \approx 33.84 \mathrm{eV}

  b)

  b) Ein harmonischer Oszillator hat eine Eigenfrequenz \omega. Verwende die Formel E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega, um die Energien für die Zustände n = 0, n = 1 und n = 2 zu berechnen, wenn \omega = 2 \times 10^{14} \mathrm{Hz}. Setze \hbar als 1.0545718 \times 10^{-34} \mathrm{J}\cdot\mathrm{s} ein.

  Lösung:

  • Potentialtöpfe und Quantenoszillatoren: Potentialtöpfe und Quantenoszillatoren sind grundlegende Konzepte in der Quantenmechanik zur Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem gebundenen System:
    • Potentialtöpfe: Modell zum Verständnis von Teilchenbewegungen in begrenzten Bereichen.
    • Unendlich tiefer Potentialtopf: \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \]
    • Harmonischer Oszillator: Quantenmechanischer Analogon zum klassischen Federpendel.
    • Energienstufen des harmonischen Oszillators: \[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega \]
    • Wellenfunktion: Lösungen der Schrödingergleichung für potentielle Systeme.
    • Wichtige Anwendungen: Molekülschwingungen, elektronische Zustände in Atomen und Molekülen.
  • b) Ein harmonischer Oszillator hat eine Eigenfrequenz \omega. Verwende die Formel E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega, um die Energien für die Zustände n = 0, n = 1 und n = 2 zu berechnen, wenn \omega = 2 \times 10^{14} \mathrm{Hz}. Setze \hbar als 1.0545718 \times 10^{-34} \mathrm{J}\cdot\mathrm{s} ein:
    • Gegebene Werte:
      • Eigenfrequenz, \omega = 2 \times 10^{14} \mathrm{Hz}
      • Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum, \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}
    • Formel für die Energieniveaus eines harmonischen Oszillators:
      • \[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \]
    • Berechnung der Energieniveaus für die ersten drei Zustände (n = 0, 1, 2):
      • Für n = 0:\[ E_0 = \left( 0 + \frac{1}{2} \right) (1.0545718 \times 10^{-34} \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}) (2 \times 10^{14} \mathrm{Hz}) \]\[ E_0 = \frac{1}{2} \times 1.0545718 \times 10^{-34} \times 2 \times 10^{14} \]\[ E_0 = 1.0545718 \times 10^{-20} \mathrm{J} \]
      • Für n = 1:\[ E_1 = \left( 1 + \frac{1}{2} \right) (1.0545718 \times 10^{-34} \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}) (2 \times 10^{14} \mathrm{Hz}) \]\[ E_1 = \frac{3}{2} \times 1.0545718 \times 10^{-34} \times 2 \times 10^{14} \]\[ E_1 = 3.1637154 \times 10^{-20} \mathrm{J} \]
      • Für n = 2:\[ E_2 = \left( 2 + \frac{1}{2} \right) (1.0545718 \times 10^{-34} \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}) (2 \times 10^{14} \mathrm{Hz}) \]\[ E_2 = \frac{5}{2} \times 1.0545718 \times 10^{-34} \times 2 \times 10^{14} \]\[ E_2 = 5.272859 \times 10^{-20} \mathrm{J} \]
    • Zusammenfassung der Ergebnisse:
      • Für n = 0, Energie: E_0 \approx 1.0545718 \times 10^{-20} \mathrm{J}
      • Für n = 1, Energie: E_1 \approx 3.1637154 \times 10^{-20} \mathrm{J}
      • Für n = 2, Energie: E_2 \approx 5.272859 \times 10^{-20} \mathrm{J}

  c)

  c) Zeichne das Potential eines unendlich tiefen Potentialtopfes und eines harmonischen Oszillators. Beschreibe die Unterschiede und Besonderheiten der jeweiligen Potentialformen. Gehe dabei besonders auf die Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators ein und welche physikalische Bedeutung dieser Begriff in der Quantenmechanik besitzt.

  Lösung:

  • Potentialtöpfe und Quantenoszillatoren: Potentialtöpfe und Quantenoszillatoren sind grundlegende Konzepte in der Quantenmechanik zur Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem gebundenen System:
    • Potentialtöpfe: Modell zum Verständnis von Teilchenbewegungen in begrenzten Bereichen.
    • Unendlich tiefer Potentialtopf: \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \]
    • Harmonischer Oszillator: Quantenmechanischer Analogon zum klassischen Federpendel.
    • Energienstufen des harmonischen Oszillators: \[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega \]
    • Wellenfunktion: Lösungen der Schrödingergleichung für potentielle Systeme.
    • Wichtige Anwendungen: Molekülschwingungen, elektronische Zustände in Atomen und Molekülen.
  • c) Zeichne das Potential eines unendlich tiefen Potentialtopfes und eines harmonischen Oszillators. Beschreibe die Unterschiede und Besonderheiten der jeweiligen Potentialformen. Gehe dabei besonders auf die Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators ein und welche physikalische Bedeutung dieser Begriff in der Quantenmechanik besitzt:
    • Zeichnung des unendlich tiefen Potentialtopfes:
    • Das Potential eines unendlich tiefen Potentialtopfs kann wie folgt dargestellt werden:
    • 
    • Hierbei ist das Potential innerhalb des Topfes (zwischen x = 0 und x = L) null, und außerhalb des Topfes ist das Potential unendlich hoch.
    • 
    • Das Potential V(x) eines harmonischen Oszillators zeigt die Form einer Parabel:
    • 
    • Unterschiede und Besonderheiten:
      • Der unendlich tiefe Potentialtopf hat Wände, die das Teilchen daran hindern, den Bereich zu verlassen. Das Potential ist innerhalb des Topfes konstant (gleich null) und außerhalb unendlich hoch.
      • Das Potential des harmonischen Oszillators hat die Form einer Parabel. Das Teilchen kann sich in einem Bereich bewegen, der durch das Potenzial definiert ist, wobei das Potential mit zunehmendem Abstand von der Mitte des Oszillators ansteigt.
      • Ein wichtiger Unterschied ist die Existenz der Nullpunktsenergie (zero-point energy) im harmonischen Oszillator.
    • Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators:
      • Die Nullpunktsenergie eines harmonischen Oszillators ist die Energie, die das System im Grundzustand hat. Sie ist ungleich null und beträgt:
      • \[ E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega \]
      • Dies bedeutet, dass selbst im tiefsten möglichen Energiezustand (n = 0) eine endliche Energie vorhanden ist.
      • In der klassischen Mechanik würde ein Oszillator im Grundzustand keine Energie besitzen. In der Quantenmechanik resultiert die Nullpunktsenergie aus dem Heisenbergschen Unschärferelation.
      • Physikalische Bedeutung: Die Nullpunktsenergie bedeutet, dass das Teilchen auch im tiefsten Energiezustand quantenmechanisch bedingte Bewegung aufweist. Dies beeinflusst beispielsweise die thermischen Eigenschaften von Festkörpern bei tiefen Temperaturen.

  Aufgabe 4)

  Aufgabe: Betrachte ein quantenmechanisches System mit dem Hamiltonoperator H und der Zustandsfunktion \( \psi \). Dabei sei der Hamiltonoperator wie folgt zerlegt: \( H = H_0 + \lambda H' \). Der ungestörte Operator \( H_0 \) habe bekannte Eigenwerte und Eigenfunktionen. Für \( \lambda H' \) handelt es sich um eine kleine Störung. Verwende auch die Variationsmethode, um eine Näherung für die Grundzustandsenergie zu bestimmen.

  a)

  a) Führe die erste Ordnung der nicht-relativistischen Störungstheorie durch und berechne die Korrektur zur Energie des Grundzustands. Gehen davon aus, dass die Eigenfunktion des ungestörten Hamiltonoperators \( \psi_0 \) bekannt ist, also \( H_0 \psi_0 = E_0 \psi_0 \). Berechne die erste Korrektur \( E_1 \) zur Energie des Grundzustands unter Berücksichtigung der Störung \( H' \). Hinweise: Die Energie im ersten Ordnungsnäherung kann durch \[ E^{(1)} = \langle \psi_0 | H' | \psi_0 \rangle \] ausgedrückt werden.

  Lösung:

  Aufgabe: Betrachte ein quantenmechanisches System mit dem Hamiltonoperator H und der Zustandsfunktion \(\psi\). Dabei sei der Hamiltonoperator wie folgt zerlegt: \( H = H_0 + \lambda H' \). Der ungestörte Operator \( H_0 \) habe bekannte Eigenwerte und Eigenfunktionen. Für \(\lambda H'\) handelt es sich um eine kleine Störung. Verwende auch die Variationsmethode, um eine Näherung für die Grundzustandsenergie zu bestimmen.Teilaufgabe:a) Führe die erste Ordnung der nicht-relativistischen Störungstheorie durch und berechne die Korrektur zur Energie des Grundzustands.Gehe davon aus, dass die Eigenfunktion des ungestörten Hamiltonoperators \(\psi_0\) bekannt ist, also \(H_0 \psi_0 = E_0 \psi_0\). Berechne die erste Korrektur \(E_1\) zur Energie des Grundzustands unter Berücksichtigung der Störung \(H'\).Hinweise: Die Energie im ersten Ordnungsnäherung kann durch \[E^{(1)} = \langle \psi_0 | H' | \psi_0 \rangle\]ausgedrückt werden.Schritte zur Lösung:

  • Bestimme die ungestörte Eigenfunktion \(\psi_0\), die die Gleichung \(H_0 \psi_0 = E_0 \psi_0\) erfüllt.
  • Berechne das Matrixelement \(\langle \psi_0 | H' | \psi_0 \rangle\).
  • Dieses Matrixelement stellt die erste Korrektur zur Grundzustandsenergie \(E^{(1)}\) dar.
  Berechnung: Die Korrektur zur Energie des Grundzustands in erster Ordnung der Störungstheorie ist daher:
  • \[E^{(1)} = \langle \psi_0 | H' | \psi_0 \rangle\]
  Zusammengefasst lautet die korrigierte Grundzustandsenergie in erster Ordnung der Störungstheorie:
  • \[E_1 = \langle \psi_0 | H' | \psi_0 \rangle\]

  b)

  b) Wende die Variationsmethode an, um eine Näherung für die Grundzustandsenergie zu bestimmen. Wähle eine geeignete variationale Wellenfunktion \( \psi_{var} \), die von einem Parameter \( \alpha \) abhängt. Bestimme den Erwartungswert der Energie \[ E_{var}(\alpha) = \frac{ \langle \psi_{var} | H | \psi_{var} \rangle }{ \langle \psi_{var} | \psi_{var} \rangle } \] und finde den optimalen Wert für \( \alpha \), der die Energie minimiert. Gehe auf die Bedeutung des variationalen Prinzips ein und wie es angewendet wird, um die beste Näherung für die Grundzustandsenergie zu finden.

  Lösung:

  Aufgabe: Betrachte ein quantenmechanisches System mit dem Hamiltonoperator H und der Zustandsfunktion \( \psi \). Dabei sei der Hamiltonoperator wie folgt zerlegt: \( H = H_0 + \lambda H' \). Der ungestörte Operator \( H_0 \) habe bekannte Eigenwerte und Eigenfunktionen. Für \( \lambda H' \) handelt es sich um eine kleine Störung. Verwende auch die Variationsmethode, um eine Näherung für die Grundzustandsenergie zu bestimmen.Solve the following subexercise:b) Wende die Variationsmethode an, um eine Näherung für die Grundzustandsenergie zu bestimmen.Wähle eine geeignete variationale Wellenfunktion \( \psi_{var} \), die von einem Parameter \( \alpha \) abhängt. Bestimme den Erwartungswert der Energie \[ E_{var}(\alpha) = \frac{ \langle \psi_{var} | H | \psi_{var} \rangle }{ \langle \psi_{var} | \psi_{var} \rangle } \]und finde den optimalen Wert für \(\alpha\), der die Energie minimiert. Gehe auf die Bedeutung des variationalen Prinzips ein und wie es angewendet wird, um die beste Näherung für die Grundzustandsenergie zu finden.Schritte zur Lösung:

  • Wähle eine geeignete trial oder variationale Wellenfunktion \( \psi_{var}(\alpha) \), die einen oder mehrere Parameter enthält.
  • Berechne den Erwartungswert der Energie \( E_{var}(\alpha) \) gemäß dem verallgemeinerten Eigenwertproblem:
  • \[ E_{var}(\alpha) = \frac{ \langle \psi_{var} (\alpha)| H | \psi_{var}(\alpha) \rangle }{ \langle \psi_{var} | \psi_{var} \rangle } \]
  • Minimiere den Erwartungswert \( E_{var}(\alpha) \) in Bezug auf den Parameter \( \alpha \).
  Bedeutung des Variationalen Prinzips:
  • Das Variationsprinzip besagt, dass für jede Wellenfunktion \( \psi_{var} \), die ein zulässiger Zustand ist, der Erwartungswert der Energie
  • \[ E_{var}(\alpha) = \frac{ \langle \psi_{var} | H | \psi_{var} \rangle }{ \langle \psi_{var} | \psi_{var} \rangle } \]
  • ein Obergrenzewert (oberes Limit) für die Grundzustandsenergie \( E_0 \) ist. Durch die Wahl geeigneter Parameter \( \alpha \), die die Energie minimieren, kann man eine gute Näherung für die tatsächliche Grundzustandsenergie erreichen.
  Anwendung:Wähle eine variationale Wellenfunktion, wie z.B.:
  • \( \psi_{var} (\alpha)= e^{- \alpha x^2} \)
  und berechne damit
  • \[ E_{var}(\alpha) = \frac{ \langle \psi_{var} (\alpha)| H | \psi_{var}(\alpha) \rangle }{ \langle \psi_{var} | \psi_{var} \rangle } \]
  • Minimiere \( E_{var}(\alpha) \) in Bezug auf \( \alpha \).
  Zusammenfassung:
  • Durch die Anwendung der Variationsmethode erhält man eine Näherung für die Grundzustandsenergie, indem man den Erwartungswert der Energie minimiert und somit die bestmöglichen Parameter findet.