Theoretische Chemie 3 - Cheatsheet

Grundlagen der Newtonschen Mechanik

Definition:

Grundlage der Bewegung und Kräfte. Nutze zur Beschreibung makroskopischer Systeme in der Chemie.

Details:

• Bewegungsgleichungen: \(F = m \, a\)
• Erhaltungsgrößen: Energie, Impuls, Drehimpuls
• Potentielle Energie: \(V(x) = \int F(x) \, dx\)
• Hauptsätze der Mechanik
• Zustandsgrößen: Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung
• Kräfte: Gravitation, elektromagnetische Kräfte
• Dynamik: Bewegung von Teilchen in Kraftfeldern

Algorithmen zur Integration der Bewegungsgleichungen

Definition:

Algorithmen zur numerischen Lösung der Bewegungsgleichungen in molekularen Systemen

Details:

• Bewegungsgleichungen: Newtonsche, Hamiltonsche oder Lagrangesche Gleichungen
• Wichtige Algorithmen: Euler-Verfahren, Verlet-Algorithmus, Runge-Kutta-Methoden
• Stabilitäts- und Genauigkeitsaspekte
• Anwendung in Molekulardynamik-Simulationen
• Zeitentwicklung der Systemkoordinaten zur Untersuchung dynamischer Eigenschaften
• Beispiel Euler-Verfahren: \(\textbf{r}(t + \triangle t) = \textbf{r}(t) + \textbf{v}(t) \triangle t\)

Erzeugung und Nutzung von Zufallszahlen bei Monte-Carlo-Simulationen

Definition:

Erzeugung und Nutzung von Zufallszahlen sind entscheidend für die Monte-Carlo-Simulationen.

Details:

• Zufallszahlen notwendig für numerische Integration, statistische Mechanik, Optimierung
• Pseudozufallszahlen vs. echte Zufallszahlen
• Wichtige Algorithmen: Mersenne-Twister, Linear Congruential Generator (LCG)
• Eigenschaften guter Pseudozufallszahlengeneratoren: lange Periode, hohe Geschwindigkeit, geringe Korrelation
• Anwendung: Monte-Carlo-Integration, Partikelsimulationen, Risikobewertung
• Beispiel für Monte-Carlo-Integration: Berechnung von \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}f(x_i)\), wobei \({x_i}\) Zufallszahlen sind

Boltzmann-Verteilung und statistische Verteilungen

Definition:

Verteilung der Teilchen auf verschiedene Energiezustände zum thermischen Gleichgewicht.

Details:

• Boltzmann-Verteilung: Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen Zustand mit Energie E einnehmen.
• Formel: \(P(E) = \frac{e^{-\beta E}}{Z}\) mit \(\beta = \frac{1}{k_BT}\) und Zustandssumme \(Z\).
• Klassische Verteilungen:
• Maxwell-Boltzmann: Geschwindigkeit von Teilchen in Gasen.
• Fermi-Dirac: Statistik für Fermionen (z.B. Elektronen).
• Bose-Einstein: Statistik für Bosonen (z.B. Photonen).

Übergangszustandstheorie in der Reaktionsdynamik

Definition:

Theorie, die den Übergangszustand (Aktivierter Komplex) als zentralen Punkt im Energieprofil einer chemischen Reaktion beschreibt, an dem Reaktanten in Produkte übergehen.

Details:

• Hauptannahme: Chemische Reaktionen durchlaufen eine hochenergetische Übergangszustand.
• Berechnung der Reaktionsgeschwindigkeitskonstante k:

• Arrhenius-Gleichung: \[ k = A e^{-\frac{E_a}{RT}} \]

• Transition State Theory (Eyring-Gleichung): \[ k = \frac{k_B T}{h} e^{-\frac{\triangle G^eq}{RT}} \]
• \(\triangle G^eq \): Gibbs freie Energie im Übergangszustand.

• Boltzmann-Konstante: \(k_B = 1.380649 \times 10^{-23}\text{J/K} \)
• Plancksches Wirkungsquantum: \(h = 6.62607015 \times 10^{-34} \text{Js} \)

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Definition:

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustands in der Quantenmechanik.

Details:

• Formel: \( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t) \)
• \(\Psi(\mathbf{r},t)\): Wellenfunktion, beschreibt den Zustand des Systems
• \(\hat{H}\): Hamiltonoperator, Gesamtenergieoperator des Systems
• Erlaubt die Berechnung der zeitlichen Entwicklung der Wellenfunktion

Zeitskalierung und Simulationstechniken in der Molekulardynamik

Definition:

Techniken zur Anpassung der Zeitskala und zur Implementierung von Simulationen in Molekulardynamik-Studien.

Details:

• Zeitskalierung reduziert die Berechnungszeit durch längere Simulationszeitschritte.
• Zeitintegration durch Algorithmen wie den Verlet-Algorithmus oder Runge-Kutta.
• Multiple Timesteps (RESPA): Verschiedene Zeitskalen für schnelle und langsame Freiheitsgrade.
• Verwendung von Temperatur- und Druckreglern (Thermostate/Barostate).
• Ensemblearten: Mikrokanonisch (NVE), Kanonisch (NVT), isotherm-isobar (NPT).
• Parallele und verteilte Rechnungen zur Effizienzsteigerung.

Thermodynamische Zustandsgrößen und deren Berechnung

Definition:

Größen, die den Zustand eines thermodynamischen Systems beschreiben und unabhängig vom Weg der Zustandsänderung sind.

Details:

• Wichtige Zustandsgrößen: Temperatur (T), Druck (p), Volumen (V), Innere Energie (U), Enthalpie (H), Entropie (S), Freie Energie (G)
• Zusammenhang zwischen Zustandsgrößen durch Zustandsgleichungen:
• Ideale Gasgleichung: \[ pV = nRT \]
• Innere Energie: \[ dU = TdS - pdV \]
• Enthalpie: \[ H = U + pV \]
• Freie Energie: \[ G = H - TS \]
• Berechnung durch Integration der Thermodynamischen Potentiale.
• Kalorische Zustandsänderungen: \[ q = m c \, \Delta T \]