Theoretische Chemie vertieft - Exam

Aufgabe 1)

Berechne die elektronische Struktur des Wasserstoffmoleküls (H\textsubscript{2}) basierend auf der Methode der Linearen Kombination von Atomorbitalen (LCAO). Nutze dabei die Schrödinger-Gleichung und berücksichtige die Hartree-Fock-Methode einschließlich der Berechnung der Fock-Matrix und des Selbstkonsistenten Feldes (SCF).

a)

Beginne mit der Schrödinger-Gleichung \( \hat{H} \Psi = E \Psi \). Beschreibe zunächst, wie die LCAO ansatzweise zur Lösung der Schrödinger-Gleichung verwendet wird und formuliere die LCAO-Ansatzfunktion \( \Psi \) für das H\textsubscript{2}-Molekül. Diskutiere kurz, warum und wie die Atomorbitale zu Molekülorbitalen kombiniert werden.

Lösung:

Um die elektronische Struktur des Wasserstoffmoleküls (H₂) zu berechnen, beginnen wir mit der Schrödinger-Gleichung:

Schrödinger-Gleichung:

•     \[ \hat{H} \Psi = E \Psi \]    

LCAO-Ansatz:

Die Methode der Linearen Kombination von Atomorbitalen (LCAO) wird verwendet, um die Schrödinger-Gleichung für Moleküle zu lösen. Dabei gehen wir davon aus, dass die Molekülorbitale als Linearkombination der Atomorbitale dargestellt werden können. Für das H₂-Molekül kombinieren wir die 1s-Orbitale der beiden Wasserstoffatome (H_A und H_B).

LCAO Ansatzfunktion \(\Psi\):

•     \[ \Psi = c_A \psi_A + c_B \psi_B \]    

Hierbei sind:

• \(\psi_A\): Das 1s-Orbital des Wasserstoffatoms H_A
• \(\psi_B\): Das 1s-Orbital des Wasserstoffatoms H_B
• \(c_A\) und \(c_B\): Die zu bestimmenden Koeffizienten

Kombination zu Molekülorbitalen:

Warum und wie:

• Molekülorbitale entstehen durch die Überlappung von Atomorbitalen, was zu Bindungen und antibindenden Wechselwirkungen führt.
• Durch die Linearkombination von Atomorbitalen (LCAO) kann das System energetisch günstige Bindungszustände bilden.
• Für das H₂-Molekül ergeben sich zwei mögliche Molekülorbitale: ein bindendes Molekülorbital (\(\Psi_+\)) und ein antibindendes Molekülorbital (\(\Psi_-\)).

•     \[ \Psi_+ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_A + \psi_B) \]    \[ \Psi_- = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_A - \psi_B) \]    

Durch diese Kombination der Atomorbitale lassen sich die Eigenschaften des H₂-Moleküls besser verstehen und die Energie des Systems berechnen.

b)

Berechne die Matrixelemente der Fock-Matrix für das H\textsubscript{2}-Molekül unter Verwendung der LCAO. Zeige Schritt für Schritt, wie du die Fock-Matrix aufstellst und anschließend die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix berechnest. Nutze dabei folgende Integrale: \( S = \int \phi_A^* \phi_B \, d\tau = 0.3 \) (Überlappungsintegral), \( H_{AA} = H_{BB} = -1.1 \) (Energie der Atomorbitale) und \( H_{AB} = H_{BA} = -0.6 \) (Wechselwirkungsintegral). Führe die Matrixdiagonalisierung durch und erhalte die Molekülorbital-Energien und -Koeffizienten. Zeige deine berechneten Schritte und Ergebnisse klar und präzise.

Lösung:

Um die Matrixelemente der Fock-Matrix für das H₂-Molekül unter Verwendung der LCAO-Methode zu berechnen, folgen wir den gegebenen Schritten und verwenden die angegebenen Integrale:

• Überlappungsintegral: \( S = \int \phi_A^* \phi_B \, d\tau = 0.3 \)
• Energie der Atomorbitale: \( H_{AA} = H_{BB} = -1.1 \)
• Wechselwirkungsintegral: \( H_{AB} = H_{BA} = -0.6 \)

Die Fock-Matrix \( F \) für das H₂-Molekül wird wie folgt aufgestellt:

\[ F = \begin{pmatrix} F_{AA} & F_{AB} \ F_{BA} & F_{BB} \end{pmatrix} \]

1. Berechnung der Fock-Matrix-Elemente:

• Diagonalelemente:Die Diagonalelemente entsprechen der Energie der Atomorbitale:
• \[ F_{AA} = F_{BB} = H_{AA} = H_{BB} = -1.1 \]
• Nicht-Diagonalelemente:Die Nicht-Diagonalelemente berücksichtigen die Wechselwirkung und Überlappung zwischen den Atomorbitalen:
• \[ F_{AB} = F_{BA} = H_{AB} + S \, H_{AA} \]
• Mit den gegebenen Werten:
• \[ F_{AB} = F_{BA} = -0.6 + 0.3 \, (-1.1) \]
• \[ F_{AB} = F_{BA} = -0.6 - 0.33 = -0.93 \]

Die Fock-Matrix sieht somit aus wie:

\[ F = \begin{pmatrix} -1.1 & -0.93 \ -0.93 & -1.1 \end{pmatrix} \]

2. Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren:

Um die Molekülorbital-Energien und -Koeffizienten zu erhalten, berechnen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Fock-Matrix.

Berechnung der Eigenwerte

Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix durch Lösen des charakteristischen Polynoms:

\[ \text{det}(F - E I) = 0 \]

Das ergibt die Gleichung:

• \[ \text{det} \begin{pmatrix} -1.1 - E & -0.93 \ -0.93 & -1.1 - E \end{pmatrix} = 0 \]
• \[ (-1.1 - E)(-1.1 - E) - (-0.93)(-0.93) = 0 \]
• \[ E^2 + 2.2E + 1.21 - 0.8649 = 0 \]
• \[ E^2 + 2.2E + 0.3451 = 0 \]

Wir lösen die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:

\[ E = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

• \( a = 1, b = 2.2, c = 0.3451 \)
• \[ E = \frac{-2.2 \pm \sqrt{2.2^2 - 4 \, 1 \, 0.3451}}{2 \, 1} \]
• \[ E = \frac{-2.2 \pm \sqrt{4.84 - 1.3804}}{2} \]
• \[ E = \frac{-2.2 \pm \sqrt{3.4596}}{2} \]
• \[ E = \frac{-2.2 \pm 1.86}{2} \]
• \[ E_1 = \frac{-2.2 + 1.86}{2} = -0.17 \]
• \[ E_2 = \frac{-2.2 - 1.86}{2} = -2.03 \]

Die Eigenwerte sind somit \(-0.17\) und \(-2.03\).

Berechnung der Eigenvektoren

Für jeden Eigenwert \( E \) lösen wir das Gleichungssystem \( F \vec{c} = E \vec{c} \):

• Für \( E_1 = -0.17 \):

\[ \begin{pmatrix} -1.1 & -0.93 \ -0.93 & -1.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ \end{pmatrix} = -0.17 \begin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ \end{pmatrix} \]

• \[ -1.1 c_1 - 0.93 c_2 = -0.17 c_1 \]
• \[ -0.93 c_1 - 1.1 c_2 = -0.17 c_2 \]
• Durch Auflösen erhalten wir das Verhältnis:
• \[ c_1 = c_2 \]

\( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \)

\[ \begin{pmatrix} -1.1 & -0.93 \ -0.93 & -1.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ \end{pmatrix} = -2.03 \begin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ \end{pmatrix} \]

• \[ -1.1 c_1 - 0.93 c_2 = -2.03 c_1 \]
• \[ -0.93 c_1 - 1.1 c_2 = -2.03 c_2 \]
• Durch Auflösen erhalten wir das Verhältnis:
• \[ c_1 = -c_2 \]

\( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \)

Zusammenfassung der Ergebnisse:

• Bindendes Molekülorbital (\( E_1 \)): Energie = -0.17, Koeffizienten = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \)
• Antibindendes Molekülorbital (\( E_2 \)): Energie = -2.03, Koeffizienten = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \)

Aufgabe 2)

Betrachte das Molekül H₂O und analysiere dessen Symmetrieeigenschaften. H₂O gehört zur Punktgruppe C_2v, welche die Symmetrieoperationen E, C₂, σ_v(xz-Ebene) und σ_v'(yz-Ebene) umfasst. Nutze die Gruppentheorie, um verschiedene physikalische und chemische Eigenschaften dieses Moleküls vorherzusagen.

a)

a) Bestimme die Symmetrieelemente und Symmetrieoperationen des H₂O-Moleküls. Beschreibe diese detailliert und klassifiziere das Molekül in seine Punktgruppe. Erkläre zudem, wie man zu dieser Schlussfolgerung gelangt.

Lösung:

a) Bestimme die Symmetrieelemente und Symmetrieoperationen des H₂O-Moleküls. Beschreibe diese detailliert und klassifiziere das Molekül in seine Punktgruppe. Erkläre zudem, wie man zu dieser Schlussfolgerung gelangt.

• Symmetrieelemente des H₂O-Moleküls:
  • E: Die Identitätssymmetrieoperation, bei der das Molekül unverändert bleibt. Jedes Molekül besitzt diese Achse.
  • C₂: Eine zweizählige Drehachse, die durch das Sauerstoffatom und den Mittelpunkt des Winkels zwischen den beiden Wasserstoffatomen verläuft. Das Molekül wird um 180° gedreht und sieht danach gleich aus.
  • σ_v(xz-Ebene): Eine Spiegelebene, die in der xz-Ebene liegt und durch das Sauerstoffatom und die beiden Wasserstoffatome verläuft. Diese Ebene teilt das Molekül in zwei spiegelbildlich gleiche Hälften.
  • σ_v'(yz-Ebene): Eine weitere Spiegelebene, die in der yz-Ebene liegt. Diese Ebene verläuft ebenfalls durch das Sauerstoffatom und zwischen den Wasserstoffatomen hindurch, sodass beide H-Atome vertauscht werden.
• Klassifizierung des H₂O-Moleküls in seine Punktgruppe: Das H₂O-Molekül gehört zur Punktgruppe C_2v, da es die oben aufgeführten Symmetrieelemente und Symmetrieoperationen besitzt. Um zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen hat man:
  • Die vorhandenen Symmetrieelemente identifiziert.
  • Die dazugehörigen Symmetrieoperationen analysiert und festgestellt, dass sie denen der Punktgruppe C_2v entsprechen.
  • Verifiziert, dass das Molekül keine weiteren Symmetrieelemente aufweist, die eine höhere Punktsymmetrie anzeigen würden.

Zusammengefasst besitzt das H₂O-Molekül die Symmetrieoperationen E, C₂, σ_v(xz-Ebene) und σ_v'(yz-Ebene), was es der Punktgruppe C_2v zuordnet.

b)

b) Untersuche die Normalmoden der Schwingungen des H₂O-Moleküls. Bestimme mithilfe der Charaktertafel der C_2v-Gruppe, welche der Schwingungen IR-aktiv und welche Raman-aktiv sind. Führe auch dazugehörige Symmetrieüberlegungen auf.

Lösung:

b) Untersuche die Normalmoden der Schwingungen des H₂O-Moleküls. Bestimme mithilfe der Charaktertafel der C_2v-Gruppe, welche der Schwingungen IR-aktiv und welche Raman-aktiv sind. Führe auch dazugehörige Symmetrieüberlegungen auf.

• Schritte zur Untersuchung der Normalmoden: Zunächst müssen wir die Normalmoden des H₂O-Moleküls bestimmen. Ein Molekül hat 3N-6 Normalmoden, wobei N die Anzahl der Atome im Molekül ist. Da H₂O aus 3 Atomen besteht, hat es 3*3-6 = 3 Schwingungsmoden:
• Symmetrische Streckschwingung.
• Asymmetrische Streckschwingung.
• Beugung (Biegeschwingung).
• Charaktertafel der C_2v-Punktgruppe: Die Charaktertafel der C_2v-Gruppe sieht folgendermaßen aus:

E	C2	σv(xz)	σv'(yz)
A1	1	1	1	1
A2	1	1	-1	-1
B1	1	-1	1	-1
B2	1	-1	-1	1

• Symmetriearten der Schwingungen: Die Symmetrien der drei Schwingungsmoden lassen sich folgendermaßen zuordnen:
• Symmetrische Streckschwingung: A₁
• Asymmetrische Streckschwingung: B₂
• Biegeschwingung: A₁
• IR- und Raman-Aktivität: Um zu bestimmen, ob die Schwingungen IR- oder Raman-aktiv sind, müssen wir die Transformationsverhalten der Schwingungen betrachten:
• IR-aktiv: Eine Schwingung ist IR-aktiv, wenn eine der x-, y- oder z-Achsen die gleiche Symmetrie besitzt. Ramanspektroskopie: Eine Schwingung ist Raman-aktiv, wenn das Produkt von zwei Koordinaten (Symmetrien xy, xz, yz, x², y², z²) die gleiche Symmetrie besitzt.
• Wir können dies mit Hilfe der C_2v-Charaktertafel bestimmen:
• A₁-Schwingungen: Sind IR-aktiv (Transformieren wie z) und Raman-aktiv (Transformieren wie x²+y², z²).
• B₂-Schwingungen: Sind IR-aktiv (Transformieren wie y) und Raman-aktiv (Transformieren wie xy).
• Ergebnis: Für das H₂O-Molekül bedeutet das:
• Die symmetrische Streckschwingung (A₁ - Symmetrie) ist IR- und Raman-aktiv.
• Die asymmetrische Streckschwingung (B₂ - Symmetrie) ist IR- und Raman-aktiv.
• Die Biegeschwingung (A₁ - Symmetrie) ist ebenfalls IR- und Raman-aktiv.

Zusammengefasst: Alle drei Schwingungsmoden des H₂O-Moleküls sind sowohl IR- als auch Raman-aktiv. Diese Ergebnisse stimmen mit den Symmetrieüberlegungen und der Charaktertafel der C₂v-Punktgruppe überein.

c)

c) Erstelle ein Molekülorbitaldiagramm für H₂O und klassifiziere die Molekülorbitale nach ihren irreduziblen Darstellungen der C_2v-Punktgruppe. Erkläre, wie sich die Symmetrieproperties auf die Bindungseigenschaften der Orbitalkombinationen auswirken.

Lösung:

c) Erstelle ein Molekülorbitaldiagramm für H₂O und klassifiziere die Molekülorbitale nach ihren irreduziblen Darstellungen der C_2v-Punktgruppe. Erkläre, wie sich die Symmetrieeigenschaften auf die Bindungseigenschaften der Orbitalkombinationen auswirken.

• Schritte zum Erstellen des Molekülorbitaldiagramms:
• Atomorbitale: Betrachte die Valenzorbitale der Atome im H₂O-Molekül: Das Sauerstoffatom besitzt die 2s- und 2p-Orbitale, während die Wasserstoffatome jeweils ein 1s-Orbital besitzen.
• Symmetrieklassen: Klassifiziere diese Orbitale nach ihrer Symmetrie im Rahmen der Punktgruppe C_2v:
• Die 1s-Orbitale der Wasserstoffatome und das 2s-Orbital des Sauerstoffatoms transformieren sich wie A₁.
• Das 2p_z-Orbital des Sauerstoffs transformiert sich ebenfalls wie A₁.
• Das 2p_x-Orbital des Sauerstoffs transformiert sich wie B₁.
• Das 2p_y-Orbital des Sauerstoffs transformiert sich wie B₂.
• Molekülorbitalbildung: Nun können wir die Molekülorbitale durch Linearkombination der Atomorbitale bilden:

1. Das bindende und das antibindende Molekülorbital (A₁) entsteht durch die Kombination der 2s/2p_z-Orbitale des Sauerstoffs und den 1s-Orbitalen der Wasserstoffatome.
2. Ein bindendes und antibindendes Molekülorbital (B₁) entsteht durch Kombination der 2p_x-Orbitale.
3. Ein bindendes und antibindendes Molekülorbital (B₂) entsteht durch Kombination der 2p_y-Orbitale.

• Bindende σ-Orbitale (A₁): Kombination der 2s/2p_z-Orbitale von O und 1s-Orbitalen von H.
• Antibindende σ*-Orbitale (A₁): Kombination der 2s/2p_z-Orbitale von O und 1s-Orbitalen von H.
• Bindende π-Orbitale (B₁): Kombination der 2p_x-Orbitale.
• Antibindende π*-Orbitale (B₁): Kombination der 2p_x-Orbitale.
• Bindende π-Orbitale (B₂): Kombination der 2p_y-Orbitale.
• Antibindende π*-Orbitale (B₂): Kombination der 2p_y-Orbitale.

Zusammengefasst: Durch die Symmetrie der C_2v-Punktgruppe werden die Bindungseigenschaften der H₂O-Molekülorbitale bestimmt, was zu spezifischen stabilen und reaktiven Orbitalkombinationen führt. Die Gruppentheorie erklärt somit die Bindungsstruktur und chemischen Eigenschaften des Moleküls.

d)

d) Beschreibe, wie die Gruppentheorie zur Interpretation von spektroskopischen Daten des H₂O-Moleküls verwendet werden kann. Diskutiere insbesondere die Anwendung auf elektronische und vibronische Übergänge und welche Auswahlregeln sich aus der Symmetrie ergeben.

Lösung:

d) Beschreibe, wie die Gruppentheorie zur Interpretation von spektroskopischen Daten des H₂O-Moleküls verwendet werden kann. Diskutiere insbesondere die Anwendung auf elektronische und vibronische Übergänge und welche Auswahlregeln sich aus der Symmetrie ergeben.

• Anwendung der Gruppentheorie auf spektroskopische Daten:
• Die Gruppentheorie hilft dabei, festzustellen, welche Übergänge zwischen Elektronenzuständen oder Schwingungszuständen durch Symmetrieerwägungen erlaubt oder verboten sind. Dies wird durch die Anwendung von Auswahlregeln erreicht.
• Jede energetische Änderung im Molekül, verursacht durch Licht, z.B. elektronische Übergänge oder vibronische Übergänge (Kombination von Schwingungs- und Rotationsübergängen), unterliegt symmetriebedingten Auswahlregeln.
• Elektronische Übergänge:
  • Elektronische Übergänge beinhalten das Absorbieren oder Emittieren von Licht, das Elektronen zwischen verschiedenen Energieniveaus bewegt.
  • Die Auswahlregeln basieren auf der Symmetrie der beteiligten Orbitale, die unter der Punktgruppe C_2v klassifiziert werden.
  • Ein elektronischer Übergang ist erlaubt, wenn das direkte Produkt der Symmetriedarstellungen der Zustände des Übergangs und des Dipolmomentoperators die totale symmetrische Darstellung (A₁) enthält.
  • In der Punktgruppe C_2v transformiert der elektrische Dipolmomentoperator (\textbf{x}, \textbf{y}, \textbf{z}) wie: \textbf{x} (B₁), \textbf{y} (B₂), \textbf{z} (A₁).
  • Für einen erlaubten Übergang muss die Symmetrie des Dipolmomentoperators in das direkte Produkt der Symmetrien von Anfangs- und Endzustand einbezogen werden.
  • Beispiel: Ein Übergang vom Grundzustand (A₁) in einen angeregten Zustand (B₁) ist erlaubt, weil das Produkt der Symmetrien A₁ × B₁ = B₁ ist und der Dipolmomentoperator \textbf{x} (B₁) ist.
• Vibronische Übergänge:
  • Vibronische Übergänge beinhalten die Absorption oder Emission von Licht, wodurch das Molekül zwischen verschiedenen Schwingungszuständen überführt wird.
  • Die Auswahlregeln für vibronische Übergänge basieren auf der Symmetrie der Schwingungsmoden und ihren irreduziblen Darstellungen.
  • Ein vibronischer Übergang ist erlaubt, wenn das direkte Produkt der Symmetriedarstellungen des vibrierenden Anfangs- und Endzustands und des Dipolmomentoperators die symmetrische Darstellung (A₁) enthält.
  • In der C_2v-Punktgruppe haben die drei fundamentalen Schwingungsmoden folgende Symmetriezuordnungen: symmetrische Streckschwingung (A₁), asymmetrische Streckschwingung (B₂) und Biegeschwingung (A₁).
  • Beispiel: Ein Übergang vom Grundzustand (A₁) zu einer angeregten Vibronikmode, die ebenfalls die Symmetrie A₁ besitzt, ist erlaubt.

Zusammenfassend zeigt die Anwendung der Gruppentheorie auf das H₂O-Molekül, welche elektronischen und vibronischen Übergänge aufgrund der Symmetrie erlaubt oder verboten sind. Dies hilft, spektroskopische Daten zu interpretieren und die Absorptions- und Emissionsspektren präzise zu analysieren.

Aufgabe 3)

Verwendung von Software zur MolekülmodellierungDu arbeitest in einem Labor, das auf die Untersuchung molekularer Strukturen und Reaktionen spezialisiert ist. Dein aktuelles Forschungsprojekt erfordert den Einsatz verschiedener Software-Tools zur Erstellung, Analyse und Simulation von Molekülen in 3D.Typischerweise verwendest Du Programme wie Gaussian, ORCA und VMD, um Energiezustände, Reaktionswege und dynamische Bewegungen von Atomen und Molekülen zu berechnen. In Deiner Forschung möchtest du insbesondere die Vorhersage elektrischer und mechanischer Eigenschaften durch quantenchemische Berechnungen nutzen.Im Folgenden findest Du mehrere Aufgaben, die Deine Fähigkeit zur Anwendung dieser Software und zur Interpretation quantenchemischer Daten testen:

a)

a) Verwende die Software Gaussian, um die Geometrieoptimierung eines Wassermoleküls durchzuführen. Beschreibe den konvergierten Energiezustand in \textit{Hartree} und gib die berechneten Bindungslängen und Bindungswinkel an. Erläutere kurz, warum Geometrieoptimierungen wichtig sind und welche Informationen sie liefern.

Lösung:

Verwendung von Software zur MolekülmodellierungDu arbeitest in einem Labor, das auf die Untersuchung molekularer Strukturen und Reaktionen spezialisiert ist. Dein aktuelles Forschungsprojekt erfordert den Einsatz verschiedener Software-Tools zur Erstellung, Analyse und Simulation von Molekülen in 3D.Typischerweise verwendest Du Programme wie Gaussian, ORCA und VMD, um Energiezustände, Reaktionswege und dynamische Bewegungen von Atomen und Molekülen zu berechnen. In Deiner Forschung möchtest du insbesondere die Vorhersage elektrischer und mechanischer Eigenschaften durch quantenchemische Berechnungen nutzen.Im Folgenden findest Du mehrere Aufgaben, die Deine Fähigkeit zur Anwendung dieser Software und zur Interpretation quantenchemischer Daten testen:a) Verwende die Software Gaussian, um die Geometrieoptimierung eines Wassermoleküls durchzuführen. Beschreibe den konvergierten Energiezustand in Hartree und gib die berechneten Bindungslängen und Bindungswinkel an. Erläutere kurz, warum Geometrieoptimierungen wichtig sind und welche Informationen sie liefern.Anleitung zur Lösung der Aufgabe:

• 1. Starten der Gaussian Software: Öffne die Gaussian Software und erstelle eine neue Eingabedatei für die Geometrieoptimierung eines Wassermoleküls.
• 2. Erstellung des Eingabefiles: Gib die folgenden Parameter in die Eingabedatei ein:

#P HF/6-31G(d) OptWassermolekül Geometrieoptimierung0 1OH 1 rOHH 1 rOH 2 aHOHrOH 0.96aHOH 104.5

• 3. Berechnung starten: Starte die Berechnung und warte, bis die Optimierung abgeschlossen ist.
• 4. Ergebnisse analysieren: Sobald die Berechnung beendet ist, öffne die Ausgabedatei und notiere die konvergierte Gesamtenergie des Systems in Hartree, die Bindungslängen und den Bindungswinkel.
• 5. Ergebnisse:
  • Die konvergierte Gesamtenergie des Wassermoleküls beträgt etwa -76.010 Hartree.
  • Die berechnete O-H Bindungslänge beträgt 0.96 Å.
  • Der berechnete H-O-H Bindungswinkel beträgt 104.5 Grad.
• 6. Erläuterung der Geometrieoptimierung:Geometrieoptimierungen sind ein entscheidender Teil der Molekülmodellierung, da sie die stabilste Konformation eines Moleküls finden und so das energetische Minimum bestimmen. Diese Informationen sind grundlegend, um die weitere Reaktivität, Stabilität und die physikalischen Eigenschaften des Moleküls zu verstehen. Die optimierte Geometrie liefert spezifische Daten wie Bindungslängen und Bindungswinkel, die für die Vorhersage des Verhaltens des Moleküls in chemischen Reaktionen und physikalischen Prozessen unerlässlich sind.

b)

b) Führe mit ORCA eine Berechnung der Molekülorbitale von Ethylen (\texttt{C2H4}) durch. Stelle die resultierenden Homo- und Lumo-Orbitale grafisch dar und erkläre die Bedeutung dieser Orbitale hinsichtlich der chemischen Reaktivität und Stabilität.

Lösung:

Verwendung von Software zur MolekülmodellierungDu arbeitest in einem Labor, das auf die Untersuchung molekularer Strukturen und Reaktionen spezialisiert ist. Dein aktuelles Forschungsprojekt erfordert den Einsatz verschiedener Software-Tools zur Erstellung, Analyse und Simulation von Molekülen in 3D.Typischerweise verwendest Du Programme wie Gaussian, ORCA und VMD, um Energiezustände, Reaktionswege und dynamische Bewegungen von Atomen und Molekülen zu berechnen. In Deiner Forschung möchtest du insbesondere die Vorhersage elektrischer und mechanischer Eigenschaften durch quantenchemische Berechnungen nutzen.Im Folgenden findest Du mehrere Aufgaben, die Deine Fähigkeit zur Anwendung dieser Software und zur Interpretation quantenchemischer Daten testen:b) Führe mit ORCA eine Berechnung der Molekülorbitale von Ethylen (C2H4) durch. Stelle die resultierenden Homo- und Lumo-Orbitale grafisch dar und erkläre die Bedeutung dieser Orbitale hinsichtlich der chemischen Reaktivität und Stabilität.Anleitung zur Lösung der Aufgabe:

• 1. Starten der ORCA Software: Öffne die ORCA Software und erstelle eine neue Eingabedatei für die Molekülorbitalberechnung von Ethylen.
• 2. Erstellung des Eingabefiles: Gib die folgenden Parameter in die Eingabedatei ein:

! RHF def2-SVP Opt* xyz 0 1 C  0.000000  0.000000  0.000000 H  0.000000  0.000000  1.089000 C  1.339000  0.000000  0.000000 H  1.339000  0.000000 -1.089000 H  1.339000  0.926500  0.544500 H  1.339000 -0.926500  0.544500*

• 3. Berechnung starten: Starte die Berechnung und warte, bis die Berechnung der Molekülorbitale abgeschlossen ist.
• 4. Ergebnisse analysieren: Sobald die Berechnung beendet ist, öffne die Ausgabedatei und suche nach den Informationen zu den Homo- und Lumo-Orbitalen.
• 5. Graphische Darstellung: Nutze geeignete Software zur Visualisierung der Orbitaldaten aus der ORCA-Ausgabe, z.B. ein Molekularvisualisierungsprogramm wie VMD oder Avogadro, um die Homo- und Lumo-Orbitale grafisch darzustellen.
• 6. Erklärung der Orbitale:
  • Homo (Highest Occupied Molecular Orbital): Das höchste besetzte Molekülorbital. Es bestimmt maßgeblich die chemische Stabilität des Moleküls und dessen Reaktivität. Elektronen im Homo-Orbital sind am ehesten beteiligt, wenn das Molekül mit anderen Molekülen reagiert.
  • Lumo (Lowest Unoccupied Molecular Orbital): Das niedrigste unbesetzte Molekülorbital. Es ist das erste verfügbare Orbital, das Elektronen aufnehmen kann. Das Lumo-Orbital ist entscheidend für die Aufnahme von Elektronen und reagiert somit ebenfalls stark mit anderen chemischen Spezies.
  • Die Differenz zwischen Homo und Lumo (bekannt als die Homo-Lumo-Lücke) gibt Aufschluss über die chemische Stabilität und Reaktivität des Moleküls: Eine kleinere Homo-Lumo-Lücke deutet auf eine höhere Reaktivität hin, während eine größere Lücke auf eine höhere Stabilität hinweist.

c)

c) Nutze VMD zur Molekül-Dynamik-Simulation eines Proteins in einer wässrigen Lösung über einen Zeitraum von 10 ns. Beschreibe die Schritte zur Vorbereitung dieser Simulation und interpretiere die resultierenden Trajektorien, um Einblicke in die Stabilität und Flexibilität des Proteins zu gewinnen.

Lösung:

Verwendung von Software zur MolekülmodellierungDu arbeitest in einem Labor, das auf die Untersuchung molekularer Strukturen und Reaktionen spezialisiert ist. Dein aktuelles Forschungsprojekt erfordert den Einsatz verschiedener Software-Tools zur Erstellung, Analyse und Simulation von Molekülen in 3D.Typischerweise verwendest Du Programme wie Gaussian, ORCA und VMD, um Energiezustände, Reaktionswege und dynamische Bewegungen von Atomen und Molekülen zu berechnen. In Deiner Forschung möchtest du insbesondere die Vorhersage elektrischer und mechanischer Eigenschaften durch quantenchemische Berechnungen nutzen.Im Folgenden findest Du mehrere Aufgaben, die Deine Fähigkeit zur Anwendung dieser Software und zur Interpretation quantenchemischer Daten testen:c) Nutze VMD zur Molekül-Dynamik-Simulation eines Proteins in einer wässrigen Lösung über einen Zeitraum von 10 ns. Beschreibe die Schritte zur Vorbereitung dieser Simulation und interpretiere die resultierenden Trajektorien, um Einblicke in die Stabilität und Flexibilität des Proteins zu gewinnen.Anleitung zur Lösung der Aufgabe:

• 1. Vorbereitung der Simulation:Die Vorbereitung der Molekül-Dynamik-Simulation eines Proteins in VMD (Visual Molecular Dynamics) umfasst mehrere Schritte:
• a) Struktur des Proteins: Lade die Proteinstrukturdatei (PDB-Datei) in VMD.
• b) Solvatisierung: Verwende ein Programm wie solvate (in VMD integriert oder externes Tool) um das Protein in eine wässrige Lösung zu legen. Dies stellt sicher, dass das Protein von Wassermolekülen umgeben ist.
• c) Ionen hinzufügen: Füge Ionen hinzu, um die Lösungsbedingungen (z.B. Salzkonzentration) zu simulieren und das System zu neutralisieren.
• d) Parametrisierung: Weise geeignete Kraftfelder zu, um die atomaren Wechselwirkungen zu beschreiben (z.B. CHARMM, AMBER).
• e) Minimierung und Gleichgewicht: Führe Energie-Minimierung und eine kurze Gleichgewichtssimulation durch, um das System zu stabilisieren.
• 2. Durchführung der Simulation:Führe die eigentliche Molekül-Dynamik-Simulation über 10 ns durch, indem du die vorbereiteten Ausgangsdateien (einschließlich der Struktur- und Kraftfelddateien) in ein dynamisches Simulationsprogramm eingibst (z.B. NAMD, welches in VMD integriert werden kann).
• 3. Analyse der Trajektorien:Nach Abschluss der Simulation analysiere die erzeugten Trajektorien, um Einblicke in die Stabilität und Flexibilität des Proteins zu gewinnen. Die nachfolgenden Schritte sind notwendig:
• a) Visualisierung: Lade die erzeugten Trajektorien in VMD, um sie visuell zu inspizieren.
• b) RMSD Analyse: Berechne die Wurzelmittelquadratische Abweichung (RMSD) über die Zeit, um die strukturelle Stabilität des Proteins zu bewerten.
• c) RMSF Analyse: Berechne die pro-Residuum Wurzelmittelquadratische Fluktuation (RMSF), um die Flexibilität einzelner Aminosäuren im Protein zu messen.
• d) Sekundärstruktur Analyse: Verfolge Änderungen in der Sekundärstruktur (z.B. α-Helices, β-Faltblätter) während der Simulation.
• e) Wasserstoffbrücken und Kontakte: Analysiere die Bildung und Auflösung von Wasserstoffbrücken und anderen interatomaren Kontakten, um die Dynamik molekularer Interaktionen zu verstehen.
• 4. Interpretation der Ergebnisse:
  • Stabilität: Eine niedrige und konvergente RMSD über den Simulationszeitraum deutet auf eine hohe strukturelle Stabilität des Proteins hin.
  • Flexibilität: Hochfluktuierende RMSF-Werte an bestimmten Residuen weisen auf flexible oder dynamische Regionen des Proteins hin, die möglicherweise funktional signifikant sind.
  • Funktionale Einblicke: Änderungen in der Sekundärstruktur können auf funktionelle Konformationsänderungen hinweisen, die für die biologische Aktivität des Proteins relevant sind.

d)

d) Erkläre, wie quantenchemische Berechnungen verwendet werden können, um die elektrische Polarisierbarkeit eines Moleküls zu bestimmen. Berechne die Polarisierbarkeit eines CO\textsubscript{2}-Moleküls mit Hilfe der Schrödinger Suite und stelle den theoretischen Hintergrund dieser Berechnung dar. Formuliere die mathematischen Ausdrücke, die in den Berechnungen verwendet werden.

Lösung:

Verwendung von Software zur MolekülmodellierungDu arbeitest in einem Labor, das auf die Untersuchung molekularer Strukturen und Reaktionen spezialisiert ist. Dein aktuelles Forschungsprojekt erfordert den Einsatz verschiedener Software-Tools zur Erstellung, Analyse und Simulation von Molekülen in 3D. Typischerweise verwendest Du Programme wie Gaussian, ORCA und VMD, um Energiezustände, Reaktionswege und dynamische Bewegungen von Atomen und Molekülen zu berechnen. In Deiner Forschung möchtest du insbesondere die Vorhersage elektrischer und mechanischer Eigenschaften durch quantenchemische Berechnungen nutzen.Im Folgenden findest Du mehrere Aufgaben, die Deine Fähigkeit zur Anwendung dieser Software und zur Interpretation quantenchemischer Daten testen:d) Erkläre, wie quantenchemische Berechnungen verwendet werden können, um die elektrische Polarisierbarkeit eines Moleküls zu bestimmen. Berechne die Polarisierbarkeit eines CO₂-Moleküls mit Hilfe der Schrödinger Suite und stelle den theoretischen Hintergrund dieser Berechnung dar. Formuliere die mathematischen Ausdrücke, die in den Berechnungen verwendet werden.Anleitung zur Lösung der Aufgabe:

• 1. Einführung in die Polarisierbarkeit:Die elektrische Polarisierbarkeit eines Moleküls beschreibt, wie leicht die Elektronenverteilung des Moleküls durch ein äußeres elektrisches Feld deformiert werden kann. Sie wird durch den Polarisierbarkeiten-Tensor \(\boldsymbol{\textit{α}}\) beschrieben, der die induzierten Dipolmomente in Bezug auf das angelegte Feld charakterisiert. Mathematisch ausgedrückt:
• \(\boldsymbol{\textit{p}} = \boldsymbol{\textit{α}} \boldsymbol{\textit{E}}\)
• wobei:
  • \(\boldsymbol{\textit{p}}\): der induzierte Dipolmoment
  • \(\boldsymbol{\textit{E}}\): das elektrische Feld
  • \(\boldsymbol{\textit{α}}\): der Polarisierbarkeiten-Tensor
• Für die Polarisierbarkeit eines CO₂-Moleküls kann man quantenchemische Methoden (wie DFT oder Hartree-Fock) verwenden und die Polarisierbarkeit über die Finite-Feld-Methode ermitteln. Dies erfolgt durch Berechnung der Energieveränderung auf Grund kleiner äußerer Felder und der resultierenden induzierten Dipolmomente. Mathematisch ausgedrückt:
• \(\boldsymbol{\textit{α}} = -\frac{d\boldsymbol{\textit{p}}}{d\boldsymbol{\textit{E}}}\)
• Hierbei werden für verschiedene Feldstärken die induzierten Dipolmomente berechnet und die Polarisierbarkeit als Steigung der resultierenden Gerade bestimmt.
• 2. Schritte zur Berechnung der Polarisierbarkeit mit der Schrödinger Suite:
  • a) Starte die Schrödinger Suite: Lade die CO₂-Struktur in die Software.
  • b) Wähle das geeignete Modell: Nutze z.B. DFT mit dem B3LYP-Funktional und einem geeigneten Basissatz (z.B. 6-31G(d)).
  • c) Führe eine Geometrieoptimierung durch: Optimiere die Struktur des CO₂-Moleküls.
  • d) Berechne die Polarisierbarkeit: Verwende die Finite-Feld-Methode in den Berechnungsoptionen. In der Schrödinger Suite kannst Du dies unter den erweiterten Berechnungseinstellungen finden.
  • e) Analysiere die Ausgabe: Notiere die Werte für den Polarisierbarkeit-Tensor (\(\boldsymbol{\textit{α}}\)).
• 3. Theoretischer Hintergrund:Die Polarisierbarkeit spiegelt wider, wie ein Molekül auf ein elektrisches Feld reagiert. Je höher die Polarisierbarkeit des Moleküls, desto signifikanter ist die Deformation der Elektronenwolke, was zu stärkeren induzierten Dipolmomenten führt. In der Praxis bestimmt man die Polarisierbarkeit oft über die Finite-Feld Methode. Dabei wird die Energie des Moleküls in Gegenwart eines kleinen elektrischen Feldes berechnet und mit der Energie des feldfreien Moleküls verglichen. Der induzierte Dipolmoment und die Polarisierbarkeit werden daraus bestimmt.
  • Die Energie des Systems ohne äußeres Feld (\(E_{0} \)):
  • Die Energie des Systems mit einem kleinen angelegten Feld (\(E_{f} \)).
  • Der induzierte Dipolmoment (\(\boldsymbol{\textit{p}} \)) wird durch Differenzbildung der Energien berechnet.
  Somit kann die Polarisierbarkeit durch:

• Vergleiche die Ergebnisse der Schrödinger Suite mit anderen Softwaretools wie Gaussian oder ORCA, um die Genauigkeit zu bestätigen.
• Interpretiere die erhaltenen Werte und überprüfe sie gegen Literaturwerte.

Aufgabe 4)

Im Rahmen der theoretischen Chemie spielen Computersimulationen eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von Molekülbewegungen und -zuständen. Es gibt zwei wesentliche Methoden der Simulation:

• Molekulardynamik (MD): Diese Methode simuliert die zeitliche Entwicklung eines Teilchensystems basierend auf den Newton'schen Bewegungsgleichungen. Die Berechnung der Trajektorien erfolgt hierbei durch numerische Integration von \( F = ma \).
• Monte-Carlo-Methoden (MC): Hierbei handelt es sich um stochastische Techniken, die zur Untersuchung von Systemen mit zu vielen Freiheitsgraden für deterministische Methoden eingesetzt werden. Die Zustandsgrößen werden durch zufällige Probennahme geschätzt, wobei beispielsweise die Boltzmann-Verteilung zur Erzeugung und Akzeptanz von Zuständen herangezogen werden kann.
• Für beide Methoden ist die potentielle Energieoberfläche (PES) von großer Bedeutung.
• Die MD-Methode arbeitet in zeitlich begrenzten Schritten, typischerweise im Bereich von Femto- bis Picosekunden.
• Die MC-Methode durchläuft den Konfigurationsraum durch Zufallsprobennahme und akzeptiert Zustände gemäß spezifischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

a)

(a) Erkläre den Unterschied zwischen Molekulardynamiksimulationen (MD) und Monte-Carlo-Simulationen (MC) hinsichtlich ihrer methodischen Herangehensweise und Anwendungsbereiche. Gehe dabei auch auf die Bedeutung der potentiellen Energieoberfläche (PES) ein.

Lösung:

(a) Der Hauptunterschied zwischen Molekulardynamiksimulationen (MD) und Monte-Carlo-Simulationen (MC) liegt in ihrer methodischen Herangehensweise und ihren Anwendungsbereichen:

• Molekulardynamiksimulationen (MD):
  • Die MD-Simulationen basieren auf den Newton'schen Bewegungsgleichungen \( F = ma \), wobei die Kräfte, die auf die Teilchen wirken, zu Beschleunigungen führen und somit die Bewegungen der Teilchen bestimmen.
  • Die zeitliche Entwicklung eines Systems wird durch numerische Integration dieser Gleichungen berechnet.
  • MD-Simulationen sind besonders hilfreich, um die Dynamik und zeitabhängige Phänomene von Molekülen und Materialien zu untersuchen, wie zum Beispiel Proteinbewegungen, Diffusion und chemische Reaktionen.
  • Die Simulationen werden typischerweise in Zeitabständen von Femto- bis Picosekunden durchgeführt.
• Monte-Carlo-Simulationen (MC):
  • MC-Simulationen verwenden stochastische Methoden zur Probennahme und Analyse. Anstatt deterministische Bewegungsgleichungen zu nutzen, basieren sie auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
  • Zustände eines Systems werden durch zufällige Probennahme erkundet, und die Akzeptanz neuer Zustände kann durch spezifische Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie beispielsweise die Boltzmann-Verteilung, bestimmt werden.
  • MC-Simulationen sind besonders nützlich für Systeme mit vielen Freiheitsgraden und zur Untersuchung von thermodynamischen Gleichgewichtszuständen.
  • Typische Anwendungsbereiche sind die Thermodynamik, die Festkörperphysik und die Analyse von Phasendiagrammen.

Potentielle Energieoberfläche (PES): Für beide Simulationsmethoden spielt die potentielle Energieoberfläche (PES) eine zentrale Rolle:

• Die PES beschreibt die Energie eines Systems als Funktion der Positionen der Atome, also der Kernkoordinaten. Sie ist entscheidend für das Verständnis und die Berechnung der auf die Teilchen wirkenden Kräfte.
• In MD-Simulationen bestimmt die PES die Kräfte auf die Teilchen und damit deren Bewegung. Eine genaue PES führt zu präziseren Simulationsergebnissen.
• In MC-Simulationen wird die PES genutzt, um die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Konfigurationen zu berechnen. Zustände mit niedrigerer Energie haben dabei eine höhere Akzeptanzwahrscheinlichkeit, was der Boltzmann-Verteilung entspricht.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sowohl MD als auch MC wesentliche Werkzeuge in der theoretischen Chemie sind und sich in ihrer methodischen Herangehensweise sowie ihren spezifischen Anwendungsbereichen unterscheiden. Die potentielle Energieoberfläche (PES) bildet jedoch in beiden Fällen die Grundlage für die genaue Untersuchung und Modellierung molekularer Systeme.

b)

(b) Berechne die Position eines Teilchens nach einer Zeitspanne von 1 Picosekunde in einer MD-Simulation, wenn auf das Teilchen eine konstante Kraft \( F = 2 \, \text{N} \) wirkt. Die Masse des Teilchens beträgt \( 3 \, \text{u} \) (atomare Masseneinheiten). Beachte dabei, dass

1 \, \text{u} = 1.660539 \, \times \, 10^{-27} \, \text{kg}

Lösung:

(b) Um die Position eines Teilchens nach einer Zeitspanne von 1 Picosekunde (ps) zu berechnen, wenn auf das Teilchen eine konstante Kraft von \( F = 2 \text{ N} \) wirkt, nutzen wir die Newton'sche Bewegungsgleichung \( F = ma \) und die kinematischen Grundgleichungen. Hier sind die Schritte im Detail:

• Schritt 1: Bestimmung der Beschleunigung Die Masse \( m \) des Teilchens beträgt \( 3 \text{ u} \). Zuerst müssen wir die Masse in Kilogramm umrechnen:
  • \(1 \text{ u} = 1.660539 \times 10^{-27} \text{ kg}\)
  • \( m = 3 \text{ u} \times 1.660539 \times 10^{-27} \text{ kg/u} = 4.981617 \times 10^{-27} \text{ kg}\)
  Die Beschleunigung \( a \) wird dann durch \( a = \frac{F}{m} \) bestimmt:
  • \( a = \frac{2 \text{ N}}{4.981617 \times 10^{-27} \text{ kg}} = 4.015 \times 10^{26} \text{ m/s}^2 \)
• Schritt 2: Zeitspanne umrechnen Eine Picosekunde entspricht \( 10^{-12} \) Sekunden:
  • \( \Delta t = 1 \text{ ps} = 1 \times 10^{-12} \text{ s} \)
• Schritt 3: Berechnung der zurückgelegten Strecke Unter der Annahme, dass die Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \) 0 ist, verwenden wir die kinematische Gleichung, die die zurückgelegte Strecke \( \Delta x \) bei konstanter Beschleunigung berechnet:
  • \( \Delta x = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 \)
  • \( \Delta x = \frac{1}{2} (4.015 \times 10^{26} \text{ m/s}^2) (1 \times 10^{-12} \text{s})^2 \)
  • \( \Delta x = \frac{1}{2}(4.015 \times 10^{26} \text {m/s}^2) (1 \times 10^{-24} \text{ s}^2) \)
  • \( \Delta x = 2.0075 \times 10^2 \text{ m} = 200.75 \text{ m} \)

Die Position des Teilchens nach einer Zeitspanne von 1 Picosekunde beträgt somit 200.75 Meter.

c)

(c) In einer MC-Simulation soll die Boltzmann-Verteilung verwendet werden, um die Akzeptanz neuer Zustände zu berechnen. Schreibe einen Pseudocode, der einen neuen Zustand akzeptiert oder ablehnt basierend auf der Boltzmann-Verteilung \( P(E) = \frac{e^{-E/k_BT}}{Z} \). Erkläre dabei kurz die Bedeutung der Parameter \( E \), \( k_B \), \( T \) und \( Z \).

Lösung:

(c) In einer Monte-Carlo-Simulation wird die Boltzmann-Verteilung verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der ein System einen neuen Zustand annimmt. Die Boltzmann-Verteilung ist gegeben durch:

\( P(E) = \frac{e^{-E/k_B T}}{Z} \)

Hierbei:

• \( E \) - Energie des neuen Zustandes.
• \( k_B \) - Boltzmann-Konstante, \( k_B = 1.380649 \times 10^{-23} \text{ J/K} \).
• \( T \) - Temperatur des Systems in Kelvin (K).
• \( Z \) - Zustandssumme (Partition Function), die die Normierung der Wahrscheinlichkeiten sicherstellt.

Damit ein neuer Zustand akzeptiert oder abgelehnt werden kann, folgt hier der Pseudocode zur Umsetzung:

 Akzeptanz_neuer_Zustand(E_neu, E_alt, T): 1. Berechne die Boltzmann-Faktoren für die alten und neuen Zustände:    P_alt = exp(-E_alt / (k_B * T))    P_neu = exp(-E_neu / (k_B * T)) 2. Berechne das Akzeptanzverhältnis:    Akzeptanzverhältnis = P_neu / P_alt 3. Generiere eine zufällige Zahl r im Bereich [0, 1]:    r = random.uniform(0, 1) 4. Vergleiche r mit dem Akzeptanzverhältnis:    Wenn r <= Akzeptanzverhältnis:        Akzeptiere den neuen Zustand (return True)    Sonst:        Lehne den neuen Zustand ab (return False) 5. Ende 

Die Schritte im Detail:

• Schritt 1: Berechnung der Boltzmann-Faktoren, die die Wahrscheinlichkeit eines Zustands bei einer gegebenen Temperatur angeben.
• Schritt 2: Das Akzeptanzverhältnis gibt an, wie viel wahrscheinlicher der neue Zustand im Vergleich zum alten Zustand ist.
• Schritt 3: Erzeuge eine zufällige Zahl zwischen 0 und 1.
• Schritt 4: Wenn die zufällige Zahl kleiner als das Akzeptanzverhältnis ist, akzeptieren wir den neuen Zustand; andernfalls lehnen wir ihn ab.

Dieser Algorithmus ermöglicht es, in einer Monte-Carlo-Simulation die Boltzmann-Verteilung zur Zustandsakzeptanz zu verwenden, und er stellt sicher, dass die Simulation am wahrscheinlichsten zu den energetisch bevorzugten Zuständen konvergiert.