HZB Photon School - Exam

Aufgabe 2)

Experimentelle Techniken mit SynchrotronstrahlungSynchrotronstrahlung ist hochintensive, kohärente Röntgen-/UV-Strahlung, die breit in der experimentellen Charakterisierung von Materialien eingesetzt wird. Sie ermöglicht Anwendungen wie Kristallographie, Spektroskopie und Streuung aufgrund ihrer hohen Auflösung, niedrigen Detektionsgrenzen und schnellen Datenerfassung. Zu den wichtigsten Techniken zählen Röntgenbeugung (XRD), X-ray Absorption (XAS) und Photoelektronenspektroskopie (XPS).

• Verwendung von Synchrotronstrahlung zur Untersuchung der Struktur und Eigenschaften von Materialien
• Hohe Auflösung und niedrige Detektionsgrenzen
• Anwendungen: Kristallographie, Spektroskopie, Streuung
• Wichtige Techniken: XRD, XAS, XPS

a)

Erkläre den physikalischen Grundprinzip von Synchrotronstrahlung und wie wird sie erzeugt? Was sind die Hauptvorteile von Synchrotronstrahlung im Vergleich zu herkömmlichen Röntgenquellen?

Lösung:

• Physikalischen Grundprinzip von Synchrotronstrahlung: Synchrotronstrahlung entsteht, wenn geladene Teilchen (wie Elektronen) nahezu Lichtgeschwindigkeit erreichen und durch ein magnetisches Feld abgelenkt werden. Die Ladung der Teilchen und ihre schnelle Beschleunigung verursachen die Emission von Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung, die als Synchrotronstrahlung bekannt ist. Diese Strahlung ist extrem intensiv und kohärent und reicht vom Infrarot- über den UV- bis hin zum Röntgenbereich.
• Erzeugung von Synchrotronstrahlung:
  • Zunächst werden Elektronen in einem Linearbeschleuniger oder Zyklotron auf hohe Energien beschleunigt.
  • Anschließend werden diese beschleunigten Teilchen in einen Speicherring eingespeist, wo sie durch magnetische Felder auf einer kreisförmigen Bahn gehalten und weiter beschleunigt werden.
  • In speziell angeordneten Magnetstrukturen, wie Wigglern oder Undulatoren, werden die Elektronen periodisch abgelenkt, wodurch sie Synchrotronstrahlung emittieren.
• Hauptvorteile von Synchrotronstrahlung im Vergleich zu herkömmlichen Röntgenquellen:
  • Hohe Intensität: Synchrotronstrahlung ist viele Größenordnungen intensiver als herkömmliche Röntgenquellen, was eine höhere Empfindlichkeit und schnellere Datenerfassung ermöglicht.
  • Hohe Auflösung: Die schmale Strahldivergenz und die kohärente Natur der Synchrotronstrahlung erlauben eine sehr hohe räumliche Auflösung.
  • Breites Spektrum: Synchrotronstrahlung deckt ein breites Spektrum an Wellenlängen von Infrarot bis Röntgenstrahlen ab, was vielseitige Anwendungsmöglichkeiten bietet.
  • Feinjustierbare Wellenlänge: Durch die Verwendung von Monochromatoren kann die Wellenlänge der Synchrotronstrahlung präzise eingestellt werden, was für spezifische experimentelle Anforderungen sehr nützlich ist.
  • Polarisierte Strahlung: Synchrotronstrahlung kann polarisiert sein, was für bestimmte spektroskopische und streuungstechnische Anwendungen vorteilhaft ist.

b)

Eine typische Anwendung von Röntgenbeugung (XRD) ist die Bestimmung der Kristallstruktur eines Materials. Beschreibe die Grundlagen der Methode und wie die Auflösung beeinflusst wird. Wie berechnet man den Netzebenenabstand (d), wenn der Beugungswinkel (\theta) und die Wellenlänge (\lambda) bekannt sind? Leite die notwendige mathematische Beziehung her und gebe die Formel an.

Lösung:

• Grundlagen der Röntgenbeugung (XRD):XRD ist eine Technik zur Bestimmung der Kristallstruktur eines Materials. Wenn Röntgenstrahlen ein kristallines Material treffen, werden sie an den regelmäßig geordneten Atomen des Kristallgitters gestreut. Diese gestreuten Strahlen interferieren konstruktiv bei bestimmten Winkeln und erzeugen ein Beugungsmuster, das Informationen über die Struktur und die Abstände der Netzebenen im Kristall liefert.
• Auflösung bei der Röntgenbeugung:Die Auflösung der XRD-Messungen wird von mehreren Faktoren beeinflusst:
• Die Wellenlänge \(\text{\lambda}\) der Röntgenstrahlung: Kürzere Wellenlängen ermöglichen eine höhere Auflösung.
• Qualität und Größe des Kristalls: Ein perfekter Kristall ohne Defekte führt zu schärferen Beugungssignalen.
• Instrumentelle Präzision: Die Genauigkeit der Detektoren und die Ausrichtung des Strahls beeinflussen die Genauigkeit der Messergebnisse maßgeblich.
• Berechnung des Netzebenenabstands (\(d\)):Der Netzebenenabstand kann mit dem Braggschen Gesetz berechnet werden. Das Braggsche Gesetz lautet:
• \(n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin(\theta)\)
• Hierbei stehen:
• \(d\): Netzebenenabstand
• \(\theta\): Beugungswinkel
• \(\lambda\): Wellenlänge der Röntgenstrahlen
• \(n\): Beugungsordnung, in der Regel 1
• Umformung des Braggschen Gesetzes zur Berechnung von \(d\):Zunächst wird das Braggsche Gesetz nach \(d\) aufgelöst:
• \(n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin(\theta)\)
• Dann wird durch \(2 \cdot \sin(\theta)\) geteilt:
• \(d = \frac{n \cdot \lambda}{2 \cdot \sin(\theta)}\)
• Speziell für die erste Ordnung (\(n = 1\)):
• \(d = \frac{\lambda}{2 \cdot \sin(\theta)}\)

c)

Bei der X-ray Absorption Spectroscopy (XAS) wird die Absorption von Röntgenstrahlen durch ein Material gemessen. Erkläre die Unterschiede zwischen XANES (X-ray Absorption Near Edge Structure) und EXAFS (Extended X-ray Absorption Fine Structure). Welche Information über das Material kann aus jeder dieser beiden Techniken gewonnen werden?

Lösung:

• X-ray Absorption Spectroscopy (XAS): Bei der XAS wird die Absorptionsfähigkeit eines Materials für Röntgenstrahlen gemessen. Wenn ein Röntgenstrahl auf ein Material trifft, wird ein Teil der Strahlung durch das Material absorbiert, was zu einer Veränderung der Intensität des transmittierten Strahls führt. Diese Absorption hängt von der Energie der Röntgenstrahlen und dem atomaren und elektronischen Aufbau des Materials ab.
• Unterschiede zwischen XANES und EXAFS:
  • XANES (X-ray Absorption Near Edge Structure): Dieser Teil des Absorptionsspektrums umfasst den Bereich kurz vor und nach der Absorptionskante (Schwellenenergie) eines bestimmten Elements. XANES liefert Informationen über die lokale geometrische und elektronische Struktur in der Nähe des absorbierenden Atoms. Es ermöglicht die Untersuchung von Oxidationszuständen, Koordinationsgeometrien und elektronischen Strukturen.
  • EXAFS (Extended X-ray Absorption Fine Structure): EXAFS umfasst den hochenergetischen Bereich nach der Absorptionskante. Die Oszillationen im EXAFS-Spektrum entstehen durch Interferenzen von Röntgenwellen, die vom Zielatom und seinen benachbarten Atomen gestreut werden. EXAFS liefert strukturelle Informationen wie Atomabstände, Koordinationszahlen, und die Art der benachbarten Atome um das absorbierende Atom herum.
• Informationen aus XANES und EXAFS:
  • XANES: Diese Methode wird verwendet, um spezifische Details über den chemischen Zustand und die elektronische Struktur eines Elements im Material zu erhalten. Zum Beispiel kann XANES bei der Bestimmung des Oxidationszustands eines Elements oder der Untersuchung von Änderungen in der chemischen Umgebung hilfreich sein.
  • EXAFS: Mit EXAFS können detaillierte Informationen über die mittlere und nahe Umgebung des Absorptionsatoms gewonnen werden, wie etwa die Abstände zu benachbarten Atomen, Koordinationszahlen und die Art dieser Atome. Dies ist besonders nützlich für die Bestimmung der lokalen Struktur und für die Untersuchung von Materialien, die keine langen Reichweitenordnungen haben, wie amorphe Materialien oder flüssige Lösungen.

d)

Bei der Photoelektronenspektroskopie (XPS) werden Elektronen aus einem Material herausgelöst und deren kinetische Energie gemessen. Die Bindungsenergie der Elektronen kann aus der kinetischen Energie und der Energie der einfallenden Photonen berechnet werden. Gegeben sind die kinetische Energie der Elektronen \(E_k\) und die Photonenenergie \(hν\). Führe die Formel her und berechne die Bindungsenergie \(E_b\) der Elektronen.

Lösung:

• Photoelektronenspektroskopie (XPS): Bei der XPS werden Elektronen aus den inneren Schalen eines Atoms durch Bestrahlung mit Photonen (z.B. Röntgenstrahlen) herausgelöst. Die kinetische Energie (\text{E_k}) der herausgelösten Elektronen wird gemessen. Aus dieser kinetischen Energie und der bekannten Energie der einfallenden Photonen (\text{hv}) kann die Bindungsenergie (\text{E_b}) der Elektronen berechnet werden.
• Herleitung der Formel zur Berechnung der Bindungsenergie: Die Energieerhaltung bei der Photoemission besagt, dass die Energie der einfallenden Photonen gleich der Summe aus der Bindungsenergie der Elektronen und deren kinetischer Energie ist.
• Daher lautet die Energieerhaltungsgleichung:
• \( \text{hv} = \text{E_k} + \text{E_b} \)
• Hierbei sind:
• \( \text{hv} \) die Energie der einfallenden Photonen
• \( \text{E_k} \) die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen
• \( \text{E_b} \) die Bindungsenergie der Elektronen
• Um die Bindungsenergie \( \text{E_b} \) zu berechnen, wird die Gleichung nach \( \text{E_b} \) aufgelöst:
• \( \text{E_b} = \text{hv} - \text{E_k} \)
• Beispiel zur Berechnung der Bindungsenergie:
• Angenommen, die kinetische Energie des Elektrons \( \text{E_k} \) beträgt 200 eV und die Photonenenergie \( \text{hv} \) beträgt 1000 eV. Die Berechnung der Bindungsenergie erfolgt wie folgt:
• \( \text{E_b} = 1000 \text{ eV} - 200 \text{ eV} \)
• \( \text{E_b} = 800 \text{ eV} \)
• Daher beträgt die Bindungsenergie der Elektronen \( 800 \text{ eV} \).

Aufgabe 3)

Ein Freie-Elektronen-Laser (FEL) ist ein spezieller Typ von Laser, der hochrelativistische freie Elektronen benutzt, um Licht zu erzeugen. Diese Elektronen werden durch Undulatoren, periodische Magnetfeldanordnungen, geleitet. Während die Elektronen ihre Flugbahn im Undulator ändern, erzeugen sie Synchrotronstrahlung. Die Wellenlänge des emittierten Lichts wird durch die folgende Formel beschrieben:

 \[ \lambda = \frac{\lambda_u}{2 \gamma^2} \left(1 + \frac{K^2}{2}\right) \] 

wobei \( \lambda_u \) die Periodenlänge des Undulators, \( \gamma \) der Lorentz-Faktor und \( K \) der Undulator-Parameter ist. Ein großer Vorteil des FELs ist die Einstellbarkeit der Wellenlänge durch Anpassung der Elektronenenergie und der Magnetfeldstärke.

a)

Subexercise 1: Berechne die Wellenlänge des emittierten Lichts für einen FEL, wenn die Undulator-Periodenlänge \( \lambda_u \) 2 cm beträgt, der Lorentz-Faktor \( \gamma \) 1000 und der Undulator-Parameter \( K \) 1. Verwende die oben angegebene Formel.

Lösung:

Lösung für Subexercise 1:Um die Wellenlänge des emittierten Lichts bei einem Freie-Elektronen-Laser (FEL) zu berechnen, nutzen wir die folgende gegebene Formel:

\[ \lambda = \frac{\lambda_u}{2 \gamma^2} \left(1 + \frac{K^2}{2}\right) \]

Wir haben folgende Werte gegeben:

• \( \lambda_u \) = 2 cm
• \( \gamma \) = 1000
• \( K \) = 1

Zuerst berechnen wir den Ausdruck \( \frac{K^2}{2} \):

\[ K^2 = 1^2 = 1 \]\[ \frac{K^2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Das setzen wir nun in die Gesamtformel ein:

\[ \lambda = \frac{2 \text{ cm}}{2 \times (1000)^2} \left(1 + 0.5\right) \]

Weiter berechnen wir den Nenner:

\[ 2 \times (1000)^2 = 2 \times 1,000,000 = 2,000,000 \]

Das setzen wir wieder in die Formel ein:

\[ \lambda = \frac{2 \text{ cm}}{2,000,000} \times 1.5 \]

Und nun berechnen wir den Bruch:

\[ \frac{2 \text{ cm}}{2,000,000} = 0.000001 \text{ cm} \]

Abschließend berechnen wir das Produkt:

\[ \lambda = 0.000001 \text{ cm} \times 1.5 = 0.0000015 \text{ cm} = 1.5 \times 10^{-6} \text{ cm} \]

Die Wellenlänge des emittierten Lichts bei diesem FEL beträgt also 1.5 nm (Nanometer).

b)

Subexercise 2: Erkläre, wie die Wellenlänge des emittierten Lichts angepasst werden kann, wenn man die Elektronenenergie oder das Magnetfeld des Undulators verändert. Nutze dabei die Formel:

 \[ \lambda = \frac{\lambda_u}{2 \gamma^2} \left(1 + \frac{K^2}{2}\right) \] 

Lösung:

Lösung für Subexercise 2:Um zu verstehen, wie die Wellenlänge \( \lambda \) des emittierten Lichts in einem Freie-Elektronen-Laser (FEL) durch Anpassung der Elektronenenergie oder der Magnetfeldstärke des Undulators verändert werden kann, untersuchen wir die gegebene Formel:

\[ \lambda = \frac{\lambda_u}{2 \gamma^2} \left(1 + \frac{K^2}{2}\right) \]

Hierbei sind:

• \( \lambda_u \): die Periodenlänge des Undulators
• \( \gamma \): der Lorentz-Faktor
• \( K \): der Undulator-Parameter

Anpassung der Elektronenenergie:\( \gamma \) ist der Lorentz-Faktor der freien Elektronen, der direkt mit der Elektronenenergie \( E \) zusammenhängt, wobei \( \gamma \propto E \).Eine Erhöhung der Elektronenenergie führt zu einem höheren \( \gamma \), was bedeutet, dass \( \gamma^2 \) ebenfalls zunimmt. Da \( \gamma^2 \) im Nenner der Formel steht, verringert sich die Wellenlänge \( \lambda \), wenn \( \gamma \) zunimmt. Umgekehrt führt eine Verringerung der Elektronenenergie zu einem kleineren \( \gamma \) und somit zu einer größeren Wellenlänge \( \lambda \).Zusammengefasst:

• Höhere Elektronenenergie -> höheres \( \gamma \) -> kürzere Wellenlänge
• Niedrigere Elektronenenergie -> niedrigeres \( \gamma \) -> längere Wellenlänge

Anpassung des Magnetfelds (Undulator-Parameter \( K \)):Der Undulator-Parameter \( K \) ist proportional zur Magnetfeldstärke \( B \) im Undulator. Eine Erhöhung der Magnetfeldstärke führt zu einem höheren \( K \), was aufgrund des Faktors \( \frac{K^2}{2} \) eine Erhöhung des gesamten Ausdrucks \( 1 + \frac{K^2}{2} \) zur Folge hat. Dadurch wird der Zähler der Formel größer und somit die Wellenlänge \( \lambda \) ebenfalls größer.Eine Verringerung der Magnetfeldstärke führt zu einem kleineren \( K \) und somit zu einer kleineren Wellenlänge \( \lambda \).Zusammengefasst:

• Höheres Magnetfeld \( B \) -> höheres \( K \) -> längere Wellenlänge
• Niedrigeres Magnetfeld \( B \) -> niedrigeres \( K \) -> kürzere Wellenlänge

Ein großer Vorteil des FELs liegt also in der Flexibilität, die Wellenlänge des emittierten Lichts breit durch Änderungen der Elektronenenergie oder der Magnetfeldstärke zu steuern.

c)

Subexercise 3: Angenommen, der Lorentz-Faktor \( \gamma \) wird auf 1200 erhöht und der Wert von \( K \) bleibt konstant bei 1. Berechne die neue Wellenlänge des emittierten Lichts. Vergleiche diese neue Wellenlänge mit der in Subexercise 1 und erkläre den physikalischen Grund für die Veränderung.

Lösung:

Lösung für Subexercise 3:Um die neue Wellenlänge des emittierten Lichts zu berechnen, wenn der Lorentz-Faktor \( \gamma \) auf 1200 erhöht wird und der Undulator-Parameter \( K \) konstant bei 1 bleibt, verwenden wir erneut die gegebene Formel:

\[ \lambda = \frac{\lambda_u}{2 \gamma^2} \left(1 + \frac{K^2}{2}\right) \]

Wir haben folgende Werte:

• \( \lambda_u \) = 2 cm
• \( \gamma \) = 1200
• \( K \) = 1

Berechnen wir erneut den Ausdruck \( \frac{K^2}{2} \):

\[ K^2 = 1^2 = 1 \]\[ \frac{K^2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Das setzen wir nun in die Gesamtformel ein:

\[ \lambda = \frac{2 \text{ cm}}{2 \times (1200)^2} \left(1 + 0.5\right) \]

Berechnen wir den Nenner:

\[ 2 \times (1200)^2 = 2 \times 1,440,000 = 2,880,000 \]

Setzen wir das wieder in die Formel ein:

\[ \lambda = \frac{2 \text{ cm}}{2,880,000} \times 1.5 \]

Berechnen wir den Bruch:

\[ \frac{2 \text{ cm}}{2,880,000} = 0.0000006944 \text{ cm} \]  (auf 7 Dezimalstellen gerundet)

Schließlich berechnen wir das Produkt:

\[ \lambda = 0.0000006944 \text{ cm} \times 1.5 = 0.0000010416 \text{ cm} \]

Die neue Wellenlänge des emittierten Lichts beträgt also etwa 1.0416 nm (Nanometer).Vergleich mit der Wellenlänge aus Subexercise 1:In Subexercise 1 haben wir eine Wellenlänge von 1.5 nm (Nanometer) berechnet.Durch den Vergleich sehen wir, dass die neue Wellenlänge kleiner ist: 1.0416 nm im Vergleich zu 1.5 nm.Physikalische Erklärung der Veränderung:Die Wellenlänge \( \lambda \) des emittierten Lichts hat sich verringert, als der Lorentz-Faktor \( \gamma \) erhöht wurde. Dies liegt daran, dass der Lorentz-Faktor \( \gamma \) mit der Elektronenenergie zusammenhängt. Eine Erhöhung von \( \gamma \) bedeutet eine höhere Elektronenenergie. In der Formel für \( \lambda \) steht \( \gamma^2 \) im Nenner, und durch den Anstieg von \( \gamma \) wird \( \gamma^2 \) größer. Da der Nenner größer wird, wird der Gesamtausdruck für \( \lambda \) kleiner, was zu einer kürzeren Wellenlänge des emittierten Lichts führt.Zusammengefasst: Eine Erhöhung der Elektronenenergie führt zu einer kürzeren Wellenlänge des emittierten Lichts.

Aufgabe 4)

Freie-Elektronen-Laser (FEL) bieten kohärente Strahlung an, tunable im UV- bis Röntgenbereich, wodurch sie essenziell für Anwendungen in zeitaufgelöster Spektroskopie und Strukturaufklärung sind. FELs zeichnen sich durch ihre sehr hohe Helligkeit und kurze Pulsdauern aus, was sie besonders geeignet für die Untersuchung ultraschneller Prozesse macht.

• Sehr hohe Helligkeit und kurze Pulsdauern, nützlich für die Untersuchung ultraschneller Prozesse.
• Vielfältig einsetzbar in Materialwissenschaften, Biologie, Chemie.
• Nützlich bei der Erforschung von Phänomenen auf der Ebene von Molekülen und Atomen.
• Anwendungen: Röntgenkristallographie, zeitaufgelöste Spektroskopie, bildgebende Verfahren.
• FELs ermöglichen das Untersuchen der Dynamik von Elektronen und Protonen.
• Beispiele bekannter FELs: LCLS, European XFEL.

a)

(A) Erläutere den physikalischen Mechanismus, durch den Freie-Elektronen-Laser (FEL) kohärente Strahlung erzeugen.

• Beschreibe den Aufbau eines Freien Elektronen Lasers und erkläre die Rolle des Undulators.
• Wie wird die Laserfrequenz variiert (tunable)?
• Warum kann ein FEL sehr hohe Helligkeit und kurze Pulsdauern erreichen?

Lösung:

Freie-Elektronen-Laser (FEL) basieren auf der Wechselwirkung eines Elektronenstrahls mit einem periodischen Magnetfeld, das von einem Undulator erzeugt wird. Diese Wechselwirkung führt zur Emission kohärenter Strahlung.

• Aufbau eines Freien Elektronen Lasers: Ein typischer FEL besteht aus einer Elektronenquelle, einem Linearbeschleuniger (Linear Accelerator, Linac) zur Beschleunigung der Elektronen auf relativistische Geschwindigkeiten, und einem Undulator. Der Undulator besteht aus einer Anordnung von Magneten mit alternierenden Magnetfeldern, die dazu führen, dass die Elektronen auf einer wellenförmigen Bahn (Sinuskurve) durch den Undulator oszillieren. Diese beschleunigten Elektronen emittieren Strahlung.
• Rolle des Undulators: Der Undulator ist das Herzstück eines FEL. Die alternierenden Magnetfelder des Undulators zwingen die Elektronen, auf einer wellenförmigen Bahn zu schwingen. Diese Bewegung führt zu einer Emission von Synchrotronstrahlung, die durch konstruktive Interferenz kohärent wird.
• Variation der Laserfrequenz (tunable): Die Laserfrequenz oder Wellenlänge der emittierten Strahlung kann modifiziert werden, indem die Energie der Elektronenstrahlen und/oder die Stärke und Periode des Magnetfelds im Undulator variiert werden. Durch die Änderung der Elektronengeschwindigkeit oder der räumlichen Periode der Magnetfelder kann die erzeugte Strahlung über einen weiten Bereich von Frequenzen justiert werden.
• Hohe Helligkeit und kurze Pulsdauern: FELs erreichen eine sehr hohe Helligkeit und kurze Pulsdauern aufgrund der folgenden Faktoren:
  • Die relativistischen Geschwindigkeiten der Elektronen tragen zu einer hohen Energie der emittierten Photonen bei.
  • Die kohärente Emission durch konstruktive Interferenz führt zu einer Verstärkung der Lichtintensität.
  • Die Synchronisation der Emission der Elektronen führt zu sehr kurzen, intensiven Lichtpulsen.