Quantum Chemistry 2 - Cheatsheet

Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung

Definition:

Wellenfunktion beschreibt den Zustand eines Quantensystems; Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion.

Details:

• Wellenfunktion \( \Psi(x,t) \) liefert Wahrscheinlichkeitsdichte: \[ |\Psi(x,t)|^2 \]
• Schrödinger-Gleichung: \[\hat{H} \Psi = E \Psi \]
• freie Teilchen: \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} \]
• Eigenwertproblem: Stationäre Zustände durch \(\hat{H} \Psi = E \Psi\)
• Operatoren: wichtige Operatoren wie Impulsoperator \( \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \)

Heisenbergsche Unschärferelation

Definition:

Bezieht sich auf die Unmöglichkeit, den genauen Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig zu bestimmen.

Details:

• Mathematisch: \( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)
• \( \Delta x \): Ort-Unsicherheit
• \( \Delta p \): Impuls-Unsicherheit
• \( \hbar \): Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum
• Fundamentales Prinzip der Quantenmechanik
• Begrenzt die Genauigkeit gleichzeitiger Messungen

Charaktertabellen und ihre Verwendung

Definition:

Charaktertabellen beschreiben die Symmetrie-Eigenschaften von Molekülen und deren Energieniveaus unter Berücksichtigung der Gruppentheorie.

Details:

• Enthalten Darstellungen der Symmetrieoperationen einer Punktgruppe.
• Ermöglichen Zuordnung der Molekülorbitale zu irreduziblen Darstellungen.
• Nützlich zur Bestimmung der erlaubten Übergänge in Spektren (Auswahlregeln).
• Wichtig für die Analyse der Schwingungsmoden (IR-/Raman-Spektroskopie).
• Spalten: Irreduzible Darstellungen und Symmetrieoperationen.
• Zeilen: Charaktere (Spur der Matrizen).
• Generelle Struktur:

Tau  | E  | C2(z) | ...----|----|-------|----A1  | 1  |  1     | ...A2  | 1  | -1     | ...

Molekülorbitaltheorie

Definition:

Theorie zur Beschreibung der Elektronenverteilung in Molekülen durch Kombination atomarer Orbitale zu molekularen Orbitalen.

Details:

• Linearkombination der Atomorbitale (LCAO): \( \psi = c_A \psi_A + c_B \psi_B \)
• Bindende und antibindende Orbitale: \( \psi_+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_A + \psi_B) \), \( \psi_- = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_A - \psi_B) \)
• Elektronendichte in bindenden MO höher zwischen Atomen, in antibindenden niedriger
• HOMO (Highest Occupied Molecular Orbital) und LUMO (Lowest Unoccupied Molecular Orbital)
• Stabilität des Moleküls: Bindungsordnung \( BO = \frac{1}{2}(N_b - N_a) \)

Hartree-Fock-Methode

Definition:

Self-konsistente Feld Methode zur Annäherung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für Systeme von Elektronen in einem statischen Potential.

Details:

• Näherung: Ein Elektron bewegt sich im mittleren Feld der anderen Elektronen
• Slater-Determinante zur Darstellung des Mehrteilchen-Wellenfunktions
• Variationsprinzip zur Minimierung der Gesamtenergie
• Ergebnis: System von gekoppelten, selbstkonsistenten Hartree-Fock-Gleichungen
• Fock-Operator: \(F = h + \frac{1}{2} \sum_{j} (J_j - K_j)\)
• Iterativer Prozess, bis Konvergenz erreicht ist

Dichtefunktionaltheorie

Definition:

Dichtefunktionaltheorie (DFT): Quantitative Methode zur Bestimmung der Elektronenstruktur in Vielteilchensystemen durch die Verwendung der Elektronendichte anstatt der Wellenfunktion.

Details:

• Grundgleichungen: Kohn-Sham-Gleichungen
• Hohenberg-Kohn-Theoreme: Legen die Grundlage, dass die Elektronendichte die Systemeigenschaften bestimmt
• Austausch-Korrelationsfunktional: Unbekannte Komponente in DFT; genaue Form unbekannt, approximiert in der Praxis
• Berechnung: Reduziert die Komplexität im Vergleich zu Hartree-Fock-Methoden
• Praktische Anwendung: Materialwissenschaft, Chemie, Festkörperphysik

Perturbationstheorie und Störungsrechnung

Definition:

Methode zur näherungsweisen Lösung von Quantenmechanischen Problemen, bei denen das System als kleine Störung eines genau lösbaren Systems betrachtet wird.

Details:

• Startpunkt: Unpertubiertes System (eigene Lösungen und Energien)
• Störungsoperator wird hinzugefügt: \( H = H_0 + \lambda H' \)
• Störparameter \( \lambda \) als kleiner Wert angenommen
• Störungstheorie erster Ordnung: Korrektur der Energien \( E = E_0 + \lambda E_1 \)
• Störungstheorie zweiter Ordnung: Weitere Korrekturen \( E = E_0 + \lambda E_1 + \lambda^2 E_2 \)
• Einfache Systeme als Grundlage (Teilchen im Kasten, harmonischer Oszillator)

Einführung in Quantenchemie-Software

Definition:

Einführung in Software-Tools zur Simulation und Berechnung quantenchemischer Systeme.

Details:

• Beispielsoftware: Gaussian, Q-Chem, ORCA, MOLCAS
• Grundlagen der Nutzung: Input-Dateien, Ausführen von Berechnungen, Interpretation der Ergebnisse
• Wichtige Konzepte: Hartree-Fock-Methode, Dichtefunktionaltheorie (DFT), Molekülorbitaltheorie
• Typische Berechnungen: Energie, Geometrieoptimierung, Vibrationsspektren
• Wichtig: korrektes Definieren der Basissets und Konfigurationsparameter