Quantum Chemistry 2 - Exam

Aufgabe 1)

In dieser Aufgabe sollst Du Dein Wissen über die Wellenfunktion und die Schrödinger-Gleichung anwenden. Die Wellenfunktion beschreibt den Zustand eines Quantensystems und die Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion. Für freie Teilchen gilt die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:

• Die Wellenfunktion \( \Psi(x,t) \) liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte: \( |\Psi(x,t)|^2 \)
• Schrödinger-Gleichung: \( \hat{H} \Psi = E \Psi \)
• Für freie Teilchen gilt: \( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} \)
• Das Eigenwertproblem beschreibt stationäre Zustände durch \( \hat{H} \Psi = E \Psi \)
• Wichtige Operatoren umfassen unter anderem den Impulsoperator \( \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \)

a)

Zeige, dass die Wellenfunktion \(\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \) eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen ist. Berechne dabei die zweite Ableitung der Wellenfunktion nach \(x\) und die erste Ableitung nach \(t\)und setze sie in die Schrödinger-Gleichung ein.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Wellenfunktion \(\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\) eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen ist, folgen wir diesen Schritten:

• Berechne die zweite Ableitung der Wellenfunktion nach \(x\).
• Berechne die erste Ableitung der Wellenfunktion nach \(t\).
• Setze diese Ableitungen in die Schrödinger-Gleichung ein und überprüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.

1. Zweite Ableitung nach x

Die Wellenfunktion lautet:

\(\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\)

Die erste Ableitung der Wellenfunktion nach \(x\) ist:

\(\frac{\partial \Psi}{\partial x} = A \cdot i k e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\)

Die zweite Ableitung der Wellenfunktion nach \(x\) ist:

\(\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = A \cdot i k \cdot i k e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} = - A k^2 e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\)

2. Erste Ableitung nach t

Die Wellenfunktion lautet:

\(\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\)

Die Ableitung nach \(t\) ist:

\(\frac{\partial \Psi}{\partial t} = A \cdot \frac{\partial}{\partial t} \left[ e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \right] = A \cdot i \left( -\frac{\hbar k^2}{2m} \right) e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} = - A \frac{i \hbar k^2}{2m} e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\)

3. Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen lautet:

\(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}\)

Setze die zweite Ableitung nach \(x\) und die erste Ableitung nach \(t\) ein:

\(-\frac{\hbar^2}{2m} (- A k^2 e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}) = i \hbar \left( - A \frac{i \hbar k^2}{2m} e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \right)\)

Vereinfache die linke Seite:

\(\frac{\hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\)

Vereinfache die rechte Seite:

\(- A \frac{i^2 \hbar^2 k^2}{2m} e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} = - A \frac{- \hbar^2 k^2}{2m} e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\)

Beide Seiten sind gleich, somit ist die Gleichung erfüllt:

\(\frac{\hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\)

Damit haben wir gezeigt, dass die Wellenfunktion \(\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}\) eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen ist.

b)

Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte \( | \Psi(x,t) |^2 \) und diskutiere deren physikalische Bedeutung. Was bedeutet die konstante Wahrscheinlichkeit über alle \(x \) hinweg in Bezug auf das freie Teilchen?

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeitsdichte \( | \Psi(x,t) |^2 \) zu berechnen und deren physikalische Bedeutung zu diskutieren, folgen wir diesen Schritten:

c)

Bestimme den Impuls des Teilchens, indem Du den Impulsoperator \( \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\) auf die Wellenfunktion \(\Psi(x,t) \)anwendest. Überprüfe Deine Berechnung.

Lösung:

Bestimmen des Impulses des Teilchens

Um den Impuls des Teilchens zu bestimmen, müssen wir den Impulsoperator \( \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \) auf die Wellenfunktion \( \Psi(x,t) \) anwenden. Die gegebene Wellenfunktion lautet:

\( \Psi(x,t) = A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \)

Nun wenden wir den Impulsoperator an:

• \( \hat{p} \Psi(x,t) = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \left( A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \right) \)

Die Ableitung der Wellenfunktion nach \( x \) ist:

• \( \frac{\partial}{\partial x} \Psi(x,t) = \frac{\partial}{\partial x} \left( A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \right) = A \cdot i k e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \)

Setzen wir dies in den Impulsoperator ein:

• \( \hat{p} \Psi(x,t) = -i \hbar \cdot (A \cdot i k e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})}) \)
• \( = -i \hbar \cdot A \cdot i k e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \)
• \( = \hbar k \cdot A e^{i(kx - \frac{\hbar k^2 t}{2m})} \)
• \( = \hbar k \cdot \Psi(x,t) \)

Damit ergibt sich der Impuls des Teilchens zu:

\( \hat{p} \Psi(x,t) = \hbar k \cdot \Psi(x,t) \)

Überprüfen der Berechnung

Es ist ersichtlich, dass der Impulsoperator auf die Wellenfunktion angewendet das Ergebnis \( \hbar k \cdot \Psi(x,t) \) liefert. Dies zeigt, dass der Impuls des Teilchens durch den Ausdruck \( \hbar k \) gegeben ist, da:

\( \hat{p} \Psi(x,t) = \hbar k \cdot \Psi(x,t) \)

Unsere Berechnungen sind korrekt und der Impuls des Teilchens ist:

• \( p = \hbar k \)

Aufgabe 2)

Die Heisenbergsche Unschärferelation bezieht sich auf die grundsätzliche Begrenzung der Genauigkeit, mit der Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig bestimmt werden können. Diese Beschränkung lautet mathematisch ausgedrückt: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \ \] wobei \Delta x\ die Unsicherheit im Ort, \Delta p\ die Unsicherheit im Impuls und \hbar\ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum bezeichnet. Dieses Prinzip ist ein fundamentales Konzept der Quantenmechanik und hat weitreichende Konsequenzen für die physikalische Vorstellung und Messung subatomarer Teilchen.

a)

Zeige mathematisch anhand von Wellenfunktionen, warum die Heisenbergsche Unschärferelation gilt. Nutze dazu die Fourier-Transformation, um die Beziehung zwischen Ort- und Impulsunschärfe herzuleiten.

Lösung:

Mathematischer Nachweis der Heisenbergschen Unschärferelation mit Hilfe der Fourier-Transformation

• 1. Wellenfunktionen und Fourier-Transformation:Die Wellenfunktion \(\psi(x)\) beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Teilchens im Ortsraum. Über die Fourier-Transformation lässt sich diese Wellenfunktion in den Impulsraum transformieren:\[ \tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-i \frac{px}{\hbar}} dx \]Hier repräsentiert \(\tilde{\psi}(p)\) die Wellenfunktion im Impulsraum.
• 2. Definition der Unschärfen:Die Unsicherheit im Ort \(\Delta x\) ist definiert als die Standardabweichung der Ortsverteilung:\[ \Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} \]Entsprechend ist die Unsicherheit im Impuls \(\Delta p\):\[ \Delta p = \sqrt{\langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2} \]
• 3. Der Zusammenhang zwischen Ort- und Impulsunschärfen:Die Heisenbergsche Unschärferelation ist direkt mit den mathematischen Eigenschaften der Fourier-Transformation verbunden. Genauer gesagt, ergibt sich aus der Analyse von Wellenpaketen:Wir beginnen mit der Beziehung für die Varianzen von \(x\) und \(p\):\[ \text{Var}(x) \cdot \text{Var}(p) \geq \left( \frac{\hbar}{2} \right)^2 \]Dies folgt aus der Tatsache, dass die Fourier-Transformierte einer Funktion und die Funktion selbst zueinander Fourier-konjugiert sind. Damit kommen wir schließlich zur Unschärferelation:\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• 4. Herleitung der Unschärferelation:
  • Betrachte die Wellenfunktion \({\psi} (x)\) und ihre Fourier-Transformierte \({\tilde{\psi}}(p)\).
  • Starte mit der Definition der Varianz:
  \[ \text{Var}(x) = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2 \]\[ \text{Var}(p) = \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2 \]
  • Aus der Theorie der Fourier-Transformation wissen wir, dass:
  \[ \text{Var}(x) \cdot \text{Var}(p) \geq \left( \frac{\hbar}{2} \right)^2 \]
  • Daraus folgt unmittelbar:
  \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
Schlussfolgerung:Die mathematische Herleitung, basierend auf den Grunddefinitionen der Wellenfunktionen und der Fourier-Transformation, zeigt, dass die Heisenbergsche Unschärferelation ein fundamentales Konzept der Quantenmechanik ist. Dieses Konzept beschreibt die Begrenzung der gleichzeitigen Bestimmung des Ortes und des Impulses eines Teilchens:\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

b)

Betrachte ein Elektron in einem harmonischen Oszillatorpotential. Wie geändert sich die Heisenbergsche Unschärferelation, wenn das Elektron sich im Grundzustand vs. einem angeregten Zustand befindet? Berechne die entsprechenden Unsicherheiten für beide Fälle.

Lösung:

Heisenbergsche Unschärferelation im harmonischen OszillatorBetrachten wir ein Elektron in einem harmonischen Oszillatorpotential, so ändert sich die Heisenbergsche Unschärferelation in Abhängigkeit vom quantenmechanischen Zustand des Elektrons. Insbesondere unterscheiden wir zwischen dem Grundzustand und den angeregten Zuständen.

• 1. Grundlagen des harmonischen Oszillators:Die Energie-Eigenzustände des harmonischen Oszillators sind durch die Quantenzahl \(n\) gekennzeichnet und die Energien sind gegeben durch:\[ E_n = \left(n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \]Hierbei ist \(\omega\) die Kreisfrequenz des Oszillators.
• 2. Grundzustand (\(n=0\)):Im Grundzustand ist die Wellenfunktion des Elektrons:\[ \psi_0 (x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \left( - \frac{m \omega x^2}{2 \hbar} \right) \]Die Ortsunschärfe \( \Delta x \) und die Impulsunschärfe \( \Delta p \) können direkt aus der Wellenfunktion berechnet werden:\[ \Delta x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega}} \]\[ \Delta p_0 = \sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}} \]Damit ergibt sich das Produkt der Unschärfen:\[ \Delta x_0 \cdot \Delta p_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega}} \cdot \sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}} = \frac{\hbar}{2} \]
• 3. Angeregte Zustände (\(n>0\)):Für einen angeregten Zustand mit Quantenzahl \(n\) sieht die Wellenfunktion etwas anders aus, insbesondere enthält sie das Hermite-Polynom \(H_n(x)\):\[ \psi_n(x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \exp \left( - \frac{m \omega x^2}{2 \hbar} \right) H_n \left( \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x \right) \]Die Ortsunschärfe \( \Delta x_n \) und die Impulsunschärfe \( \Delta p_n \) sind für die angeregten Zustände allgemeiner:\[ \Delta x_n = \sqrt{\left( n + \frac{1}{2} \right) \frac{\hbar}{m\omega}} \]\[ \Delta p_n = \sqrt{\left( n + \frac{1}{2} \right) m \hbar \omega} \]Damit ergibt sich das Produkt der Unschärfen:\[ \Delta x_n \cdot \Delta p_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \]

Schlussfolgerung:Im Grundzustand (\(n=0\)) eines Elektrons im harmonischen Oszillatorpotential entspricht die Heisenbergsche Unschärferelation genau der minimalen Grenze:\[ \Delta x_0 \cdot \Delta p_0 = \frac{\hbar}{2} \]In einem angeregten Zustand (\(n>0\)) steigt das Produkt der Unschärfen linear mit der Quantenzahl \(n\) an:\[ \Delta x_n \cdot \Delta p_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \]Dies zeigt, dass je höher der angeregte Zustand, desto größer die Unsicherheiten sowohl im Ort als auch im Impuls werden. Die Heisenbergsche Unschärferelation gilt also immer, erreicht jedoch ihr Minimum nur im Grundzustand.

c)

Diskutiere die praktische Bedeutung der Heisenbergschen Unschärferelation für moderne Messinstrumente wie Rastertunnelmikroskope. Wie beeinflusst diese Relation die räumliche Auflösung solcher Geräte?

Lösung:

Praktische Bedeutung der Heisenbergschen Unschärferelation für moderne MessinstrumenteDie Heisenbergsche Unschärferelation ist nicht nur ein theoretisches Konzept der Quantenmechanik, sondern hat auch praktische Auswirkungen auf die Leistungsfähigkeit moderner Messinstrumente wie dem Rastertunnelmikroskop (STM). Diese Geräte ermöglichen die Untersuchung von Oberflächen auf atomarer Ebene, und die Unschärferelation beeinflusst ihre räumliche Auflösung erheblich.

• 1. Funktionsweise des Rastertunnelmikroskops (STM):Ein Rastertunnelmikroskop verwendet eine extrem feine Spitzen-Elektrode, die nahe an eine Probenoberfläche gebracht wird. Durch den quantenmechanischen Tunneleffekt können Elektronen zwischen der Spitze und der Probe tunneln, was zu einem messbaren Tunnelstrom führt. Die Größe des Tunnelstroms hängt stark vom Abstand zwischen Spitze und Probe ab und ermöglicht somit die Abbildung der Oberflächenstruktur.
• 2. Einfluss der Heisenbergschen Unschärferelation auf die räumliche Auflösung:Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass \( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \), wobei \( \Delta x \) die Unsicherheit im Ort und \( \Delta p \) die Unsicherheit im Impuls eines Teilchens ist.
  • Wenn man die Position eines Elektrons (oder der STM-Spitze) sehr genau bestimmen möchte, wird \( \Delta x \) sehr klein. Dies führt zu einer Erhöhung der Unsicherheit im Impuls \( \Delta p \), gemäß der Unschärferelation.
  • Eine hohe Impulsunschärfe \( \Delta p \) bedeutet, dass das Elektron eine breitere Verteilung von Geschwindigkeiten hat, was wiederum die Präzision der Positionsmessung verringern kann.
  • Dies setzt der räumlichen Auflösung des STM eine physikalische Grenze. Trotz technischer Verbesserungen bleibt diese Grenze aufgrund der quantenmechanischen Natur der Teilchendynamik bestehen.
• 3. Technologische Herausforderungen und Lösungen:Um die Effekte der Unschärferelation zu minimieren und die bestmögliche Auflösung zu erreichen, wurden verschiedene technische Maßnahmen entwickelt:
• Ultrastabile Mechaniken und Vibrationsdämpfung: Um die externe Unsicherheit (wie Vibrationen) zu minimieren, werden extrem präzise und stabile Mechaniken verwendet.
• Temperaturkontrolle: Niedrige Temperaturen reduzieren die thermische Bewegung der STM-Spitze und der Probe, was die Präzision erhöht.
• Optimierung der Spitzengeometrie: Die Spitze des STM wird so scharf wie möglich optimiert, um die Ortsunschärfe \( \Delta x \) zu minimieren.
• 4. Praktische Bedeutung und Anwendungen: Trotz der Einschränkungen durch die Heisenbergsche Unschärfe hat das STM viele revolutionäre Anwendungen gefunden:
• Materialwissenschaften: Untersuchung von atomaren Oberflächenstrukturen und Defekten.
• Nanotechnologie: Manipulation und Bau von nanostrukturierten Materialien auf atomarer Ebene.
• Halbleiterforschung: Untersuchung von Oberflächeneigenschaften und elektronischen Zuständen in Halbleitern.

Schlussfolgerung:Die Heisenbergsche Unschärferelation setzt eine fundamentale Grenze für die räumliche Auflösung von Messinstrumenten wie dem Rastertunnelmikroskop (STM). Trotz technologischer Fortschritte bleibt diese Grenze aufgrund der quantenmechanischen Prinzipien bestehen. Dennoch erlauben moderne STMs die Abbildung und Manipulation von Oberflächen auf atomarer Ebene, was sie für verschiedene wissenschaftliche und technologische Anwendungen unverzichtbar macht.

d)

Ein Teilchen befindet sich in einem Zustand mit einer Ortungsunschärfe von \Delta x = 1 \times 10^{-10} m\. Berechne die minimale Impulsunschärfe \Delta p\ für dieses Teilchen. Nutze dazu das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} Js\.

Lösung:

Berechnung der minimalen Impulsunschärfe \( \Delta p \) eines TeilchensGegeben ist die Ortungsunschärfe \( \Delta x = 1 \times 10^{-10} \text{ m} \) und das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum \( \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \text{ Js} \). Wir nutzen die Heisenbergsche Unschärferelation, um die minimale Impulsunschärfe \( \Delta p \) zu berechnen.Die Heisenbergsche Unschärferelation lautet:\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

• 1. Einsetzen der gegebenen Unschärfe:\( \Delta x = 1 \times 10^{-10} \text{ m} \)\( \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \text{ Js} \)
• 2. Umstellen nach der minimalen Impulsunschärfe \( \Delta p \):\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
• 3. Einsetzen der bekannten Werte:\[ \Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 1 \times 10^{-10}} \text{ Js/m} \]
• 4. Durchführen der Division:\[ \Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} \text{ Js/m} \]\[ \Delta p \geq \frac{1.0545718}{2} \times 10^{-24} \text{ Js/m} \]\[ \Delta p \geq 0.5272859 \times 10^{-24} \text{ Js/m} = 5.272859 \times 10^{-25} \text{ kg m/s} \]

Ergebnis:Die minimale Impulsunschärfe \( \Delta p \) für ein Teilchen mit einer Ortungsunschärfe von \( \Delta x = 1 \times 10^{-10} \text{ m} \) beträgt:\[ \Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-25} \text{ kg m/s} \]

Aufgabe 3)

Ein Wassermolekül (H₂O) gehört zur Punktgruppe C_2v. Diese Punktgruppe hat die Symmetrieoperationen E, C₂ (Rotation um 180° um die z-Achse), σ_v (Spiegelung in der yz-Ebene), und σ'_v (Spiegelung in der xz-Ebene).

Die Charaktertabelle der C_2v Punktgruppe ist wie folgt:

  C2v   |  E  |  C2  |  σv   |  σ'v  ---------------------  A1   |  1  |    1    |    1      |    1        A2   |  1  |    1    |   -1      |   -1        B1   |  1  |   -1    |    1      |   -1        B2   |  1  |   -1    |   -1      |    1      

Das Wassermolekül hat drei Schwingungsmoden, die als v₁ (symmetrische Streckung), v₂ (Biege-Moden) und v₃ (antisymmetrische Streckung) bezeichnet werden. Die Aufgabe besteht darin, diese Schwingungsmoden den irreduziblen Darstellungen zuzuordnen und die IR- und Raman-Aktivität zu bestimmen.

a)

Unter Verwendung der Charaktertabelle, die jede Symmetrieoperation der Punktgruppe C_2v beschreibt, ordne die Schwingungsmoden v₁ (symmetrische Streckung), v₂ (Biegen) und v₃ (antisymmetrische Streckung) des H₂O Moleküls den irreduziblen Darstellungen der Punktgruppe zu.

Lösung:

Um die Schwingungsmoden v₁ (symmetrische Streckung), v₂ (Biege-Moden) und v₃ (antisymmetrische Streckung) des H₂O Moleküls den irreduziblen Darstellungen der Punktgruppe C_2v zuzuordnen, müssen wir die Auswirkungen der Symmetrieoperationen auf die Schwingungsmoden analysieren.

Die Charaktertabelle der C_2v Punktgruppe sieht wie folgt aus:

 C2v   |  E  |  C2  |  σv   |  σ'v  ---------------------  A1   |  1  |    1    |    1      |    1        A2   |  1  |    1    |   -1      |   -1        B1   |  1  |   -1    |    1      |   -1        B2   |  1  |   -1    |   -1      |    1      

1. Symmetrische Streckung (v₁): Diese Mode ist symmetrisch bezüglich aller Symmetrieoperationen (E, C₂, σ_v, σ'_v), da sie die gleiche Form beibehält. Daher gehört sie zur irreduziblen Darstellung A₁.
2. Biegemoden (v₂): Diese Mode ist ebenfalls symmetrisch bezüglich der Spiegelung in der yz-Ebene (σ_v), aber antisymmetrisch bezüglich der Spiegelung in der xz-Ebene (σ'_v). Dies entspricht der irreduziblen Darstellung A₁ für die z-gerichtete Biegung oder der irreduziblen Darstellung B₂ für die x-gerichtete Biegung.
3. Antisymmetrische Streckung (v₃): Diese Mode ist antisymmetrisch bezüglich der C₂-Rotation und der Spiegelung in der xz-Ebene (σ'_v), aber symmetrisch bezüglich der Spiegelung in der yz-Ebene (σ_v). Daher gehört sie zur irreduziblen Darstellung B₂.

b)

Bestimme die IR-Aktivität der genannten Schwingungsmoden. Überprüfe, ob die entsprechenden Übergänge den Auswahlregeln genügen.

Lösung:

Um die IR-Aktivität der Schwingungsmoden v₁ (symmetrische Streckung), v₂ (Biegen) und v₃ (antisymmetrische Streckung) des H₂O-Moleküls zu bestimmen, müssen wir prüfen, ob die Schwingungsmoden sogenannte IR-aktiven Übergänge haben. Dies bedeutet, dass die Schwingungsmoden mit einem Wechsel des Dipolmoments einhergehen müssen.

Die Auswahlregeln für IR-Aktivität besagen, dass eine Mode dann IR-aktiv ist, wenn sie mit der x-, y- oder z-Richtung transformiert und somit das Dipolmoment in diesen Richtungen ändern kann.

Wir ordnen die Symmetrie der Moden der irreduziblen Darstellung der Punktgruppe C_2v wie folgt zu:

• v₁ (symmetrische Streckung) gehört zur Darstellungen A₁.
• v₂ (Biegung) gehört zur Darstellungen A₁ oder B₂, je nach Richtung.
• v₃ (antisymmetrische Streckung) gehört zur Darstellung B₂.

Die irreduziblen Darstellungen A₁ und B₂ haben die folgenden Charakterisierungen in Bezug auf die x, y, z-Richtungen:

• A₁: symmetrisch bezüglich aller Achsen, z (IR-aktiv für z-Richtung durch E, C₂, σ_v, σ'_v)
• A₂: nicht IR-aktiv
• B₁: x-Richtung
• B₂: y-Richtung

IR-Aktivität der Schwingungsmoden:

• Symmetrische Streckung (v₁): Diese Mode gehört zur Darstellung A₁ und ist IR-aktiv in der z-Richtung.
• Biegemoden (v₂): Wenn diese Mode zur Darstellung A₁ gehört (z.B. die z-Richtung), ist sie IR-aktiv. Wenn sie zur Darstellung B₂ gehört (y-Richtung), ist sie ebenfalls IR-aktiv.
• Antisymmetrische Streckung (v₃): Diese Mode gehört zur Darstellung B₂ und ist IR-aktiv in der y-Richtung.

Zusammenfassend kann man sagen, dass alle drei Schwingungsmoden (v₁, v₂, v₃) des H₂O Moleküls IR-aktiv sind.

c)

Bestimme die Raman-Aktivität der genannten Schwingungsmoden. Überprüfe, ob die entsprechenden Übergänge den Auswahlregeln genügen.

Lösung:

Um die Raman-Aktivität der Schwingungsmoden v₁ (symmetrische Streckung), v₂ (Biege-Moden) und v₃ (antisymmetrische Streckung) des H₂O-Moleküls zu bestimmen, müssen wir die Auswahlregeln für Raman-Aktivität berücksichtigen. Für eine Schwingungsmoden Raman-aktiv zu sein, muss die entsprechende irreduzible Darstellung in der Symmetrie der Polarisierbarkeitstensoren (α_xx, α_yy, α_zz, α_xy, α_xz, α_yz) enthalten sein.

Wir ordnen die Symmetrie der Moden den irreduziblen Darstellungen der Punktgruppe C_2v wie folgt zu:

• v₁ (symmetrische Streckung) gehört zur Darstellung A₁.
• v₂ (Biegemoden) gehört zur Darstellung A₁ oder B₂, je nach Richtung.
• v₃ (antisymmetrische Streckung) gehört zur Darstellung B₂.

Die irreduziblen Darstellungen und die Polarisierbarkeitstensoren der Punktgruppe C_2v sind wie folgt:

• A₁: α_xx, α_yy, α_zz (symmetrisch)
• A₂: α_xy (antisymmetrisch)
• B₁: α_zx (antisymmetrisch)
• B₂: α_zy (antisymmetrisch)

Raman-Aktivität der Schwingungsmoden:

• Symmetrische Streckung (v₁): Diese Mode gehört zur Darstellung A₁ und ist Raman-aktiv, da A₁ in den symmetrischen Tensoren α_xx, α_yy, α_zz enthalten ist.
• Biegemoden (v₂): Wenn diese Mode zur Darstellung A₁ gehört (z.B., z-Richtung), ist sie Ramon-aktiv. Wenn sie zur Darstellung B₂ gehört (y-Richtung), ist sie ebenfalls Raman-aktiv, da B₂ in α_zy enthalten ist.
• Antisymmetrische Streckung (v₃): Diese Mode gehört zur Darstellung B₂ und ist Raman-aktiv, da B₂ in α_zy enthalten ist.

Zusammenfassend kann man sagen, dass alle drei Schwingungsmoden (v₁, v₂, v₃) des H₂O Moleküls Raman-aktiv sind.

d)

Zeige anhand einer der Schwingungsmoden, wie Du die Aktivität (IR oder Raman) durch Verwenden der Symmetrieoperationen und der Charaktertabelle vorgehst, schrittweise erläutern samt aller notwendigen Berechnungen.

Lösung:

Um die Aktivität (IR oder Raman) einer Schwingungsmode zu bestimmen, können wir die Symmetrieoperationen und die Charaktertabelle verwenden. Hier zeigen wir dies am Beispiel der symmetrischen Streckung v₁ des H₂O-Moleküls.

Das Wassermolekül gehört zur Punktgruppe C_2v. Diese Punktgruppe hat die Symmetrieoperationen E, C₂ (Rotation um 180° um die z-Achse), σ_v (Spiegelung in der yz-Ebene), und σ'_v (Spiegelung in der xz-Ebene). Die Charaktertabelle der Punktgruppe ist wie folgt:

  C2v   |  E  |  C2  |  σv   |  σ'v  ---------------------  A1   |  1  |    1    |    1      |    1        A2   |  1  |    1    |   -1      |   -1        B1   |  1  |   -1    |    1      |   -1        B2   |  1  |   -1    |   -1      |    1      

Schrittweises Vorgehen:

1. Zuordnung der Schwingungsmoden: Die symmetrische Streckung v₁ ist symmetrisch bezüglich aller Symmetrieoperationen (E, C₂, σ_v, σ'_v), da sich die Form des Moleküls nicht ändert. Daher gehört v₁ zur irreduziblen Darstellung A₁.
2. IR-Aktivität: Eine Mode ist IR-aktiv, wenn sie eine Änderung im Dipolmoment verursacht. Dies entspricht den irreduziblen Darstellungen, die mit den x-, y- oder z-Richtungen transformieren:

• A₁: Transformiert wie z
• A₂: Nicht IR-aktiv
• B₁: Transformiert wie x
• B₂: Transformiert wie y

Da die Darstellung A₁ wie z transformiert, ist die symmetrische Streckung v₁ IR-aktiv in der z-Richtung.

Raman-Aktivität: Eine Mode ist Raman-aktiv, wenn sie eine Änderung im Polarisierbarkeitstensor verursacht. Dies entspricht den irreduziblen Darstellungen, die in den Tensoren α_xx, α_yy, α_zz, α_xy, α_yz, α_zx enthalten sind:

• A₁: α_xx, α_yy, α_zz (symmetrischer Tensor)
• A₂: α_xy (antisymmetrischer Tensor)
• B₁: α_xz (antisymmetrischer Tensor)
• B₂: α_yz (antisymmetrischer Tensor)

Da die Darstellung A₁ in den symmetrischen Tensoren α_xx, α_yy und α_zz enthalten ist, ist die symmetrische Streckung v₁ Raman-aktiv.

Zusammenfassung:

Die symmetrische Streckung v₁ des H₂O-Moleküls gehört zur irreduziblen Darstellung A₁ und ist sowohl IR- als auch Raman-aktiv.

Aufgabe 4)

Die Molekülorbitaltheorie beschreibt die Elektronenverteilung in Molekülen durch die Kombination atomarer Orbitale zu molekularen Orbitalen. Dabei erfolgt die lineare Kombination der Atomorbitale (LCAO) nach der Gleichung: \[\psi = c_A \psi_A + c_B \psi_B\] Weiterhin werden bindende und antibindende Orbitale durch folgende Gleichungen beschrieben: \[ \psi_+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_A + \psi_B) \] \[ \psi_- = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_A - \psi_B) \] Elektronendichte ist in bindenden molekularen Orbitalen höher zwischen den Atomen, während sie in antibindenden Orbitalen niedriger ist. Wichtige Konzepte sind HOMO (Highest Occupied Molecular Orbital) und LUMO (Lowest Unoccupied Molecular Orbital). Die Stabilität des Moleküls kann durch die Bindungsordnung beschrieben werden, die nach folgender Formel berechnet wird: \[ BO = \frac{1}{2}(N_b - N_a) \] wobei \( N_b \) die Anzahl der Elektronen in bindenden Orbitalen und \( N_a \) die Anzahl der Elektronen in antibindenden Orbitalen ist.

a)

(a) Betrachte das Molekül H₂. Bestimme die Wellenfunktion des bindenden und des antibindenden Molekülorbitals unter Verwendung der LCAO-Methode. Berechne die Bindungsordnung für das Molekül H₂.

Lösung:

Die Aufgabenstellung verlangt von uns, die Wellenfunktion des bindenden und antibindenden Molekülorbitals für das Molekül H₂ unter Verwendung der linearen Kombination atomarer Orbitale (LCAO) zu bestimmen. Außerdem sollen wir die Bindungsordnung berechnen.

Bestimmung der Wellenfunktionen

• Für das Molekül H₂ kombinieren wir die Atomorbitale der beiden Wasserstoffatome (H) zu molekularen Orbitalen.
• Die Wellenfunktion des bindenden Molekülorbitals, \(\psi_+\), wird durch die LCAO-Methode definiert als:

\( \psi_+ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_A + \psi_B) \)

Die Wellenfunktion des antibindenden Molekülorbitals, \(\psi_-\), lautet:

\( \psi_- = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_A - \psi_B) \)

Berechnung der Bindungsordnung

• Für das Molekül H₂ gibt es insgesamt zwei Elektronen.
• Im bindenden Molekülorbital (\(\psi_+\)\) befinden sich beide Elektronen, also \(N_b = 2\).
• Im antibindenden Molekülorbital (\(\psi_-\)\) befindet sich kein Elektron, also \(N_a = 0\).
• Die Bindungsordnung (BO) wird nach folgender Formel berechnet:

\( BO = \frac{1}{2}(N_b - N_a) \)

Setzen wir die Anzahl der Elektronen in die Formel ein:

\( BO = \frac{1}{2}(2 - 0) = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \)

Die Bindungsordnung für das Molekül H₂ beträgt also 1. Das bedeutet, dass es eine stabile Einfachbindung zwischen den beiden Wasserstoffatomen gibt.

b)

(b) Erkläre, warum das HOMO-LUMO-Konzept wichtig für die Reaktivität von Molekülen ist. Gib ein Beispiel für eine chemische Reaktion, bei der das HOMO und LUMO eine entscheidende Rolle spielen.

Lösung:

Das HOMO-LUMO-Konzept ist ein zentrales Konzept in der Molekülorbitaltheorie, um die Reaktivität von Molekülen zu verstehen und vorherzusagen.

Wichtigkeit des HOMO-LUMO-Konzepts:

• HOMO (Highest Occupied Molecular Orbital): Das höchste besetzte Molekülorbital ist das energetisch höchste Orbital, das Elektronen enthält. Es ist oft das bereitwilligste Orbital, Elektronen abzugeben und reagiert daher leicht mit Elektronenakzeptoren.
• LUMO (Lowest Unoccupied Molecular Orbital): Das niedrigste unbesetzte Molekülorbital ist das energetisch niedrigste Orbital, das Elektronen aufnehmen kann. Es nimmt daher bevorzugt Elektronen von Elektronendonoren auf.
• Der Energiedifferenz zwischen HOMO und LUMO (auch als Bandlücke bezeichnet) beeinflusst die Reaktivität des Moleküls; eine kleinere Differenz bedeutet in der Regel höhere Reaktivität, da weniger Energie benötigt wird, um eine Reaktion auszulösen.
• Elektronentransfer: Reaktionen, die auf einem Elektronentransfer basieren, werden durch die Interaktion zwischen dem HOMO des einen Reaktanten und dem LUMO des anderen Reaktanten bestimmt.

Beispiel für eine chemische Reaktion:

Diels-Alder-Reaktion:

• Die Diels-Alder-Reaktion ist eine [4+2] Cycloaddition zwischen einem konjugierten Dien (Elektronendonor) und einem Dienophil (Elektronenakzeptor).
• In dieser Reaktion spielen das HOMO des Dienes und das LUMO des Dienophils eine entscheidende Rolle:
• Das HOMO des Dienes ist typischerweise energetisch höher als das LUMO des Dienophils, was die Reaktion erleichtert.
• Die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Orbitalen führt zu einem stabilen Übergangszustand und letztendlich zur Bildung eines cyclischen Produkts.
• Dieses Beispiel zeigt, wie die energetische Ausrichtung von HOMO und LUMO die Reaktivität und den Mechanismus der Reaktion bestimmen können.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das HOMO-LUMO-Konzept wertvolle Einblicke in die elektronische Struktur von Molekülen bietet und somit der Vorhersage und Erklärung ihrer chemischen Reaktivität dient.

c)

(c) Berechne unter Verwendung der LCAO-Methode die Wellenfunktionen für das Molekül He₂. Bestimme die Bindungsordnung und erkläre, warum das Molekül He₂ in der Natur nicht existiert.

Lösung:

In dieser Aufgabe sollen wir die Wellenfunktionen für das Molekül He₂ unter Verwendung der LCAO-Methode berechnen. Zusätzlich soll die Bindungsordnung bestimmt und erklärt werden, warum das Molekül He₂ in der Natur nicht existiert.

Bestimmung der Wellenfunktionen:

• Wir kombinieren die Atomorbitale der beiden Heliumatome (He) zu molekularen Orbitalen.
• Die Wellenfunktion des bindenden Molekülorbitals, \( \psi_+ \), ist gegeben durch:

\( \psi_+ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_A + \psi_B) \)

Die Wellenfunktion des antibindenden Molekülorbitals, \( \psi_- \), ist:

\( \psi_- = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_A - \psi_B) \)

Berechnung der Bindungsordnung:

• Für das Molekül He₂ gibt es insgesamt vier Elektronen (da jedes Heliumatom zwei Elektronen besitzt).
• Im bindenden Molekülorbital (\( \psi_+ \)) befinden sich zwei Elektronen, also \( N_b = 2 \).
• Im antibindenden Molekülorbital (\( \psi_- \)) befinden sich ebenfalls zwei Elektronen, also \( N_a = 2 \).
• Die Bindungsordnung (BO) wird nach folgender Formel berechnet:

\( BO = \frac{1}{2}(N_b - N_a) \)

Setzen wir die Anzahl der Elektronen in die Formel ein:

\( BO = \frac{1}{2}(2 - 2) = \frac{1}{2} \times 0 = 0 \)

Die Bindungsordnung für das Molekül He₂ beträgt also 0. Dies bedeutet, dass es keine stabile Bindung zwischen den beiden Heliumatomen gibt.

Erklärung, warum He₂ in der Natur nicht existiert:

• Eine Bindungsordnung von 0 bedeutet, dass es keine energetische Stabilität in der Verbindung gibt. Die Anzahl der Elektronen in den bindenden und antibindenden Orbitalen gleicht sich aus, wodurch keine Nettobindung entsteht.
• Da es keine stabile Bindung gibt, ist das Molekül He₂ energetisch ungünstig und existiert somit nicht in der Natur.
• Heliumatome sind auch Edelgase mit vollständig gefüllten äußeren Elektronenschalen, was sie sehr unreaktiv macht und dazu führt, dass sie keine Bindungen eingehen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Molekül He₂ aufgrund seiner Bindungsordnung von 0 und der unreaktiven Natur von Helium nicht existieren kann.