Symmetry and Group Theory - Cheatsheet

Definition und Eigenschaften von Gruppen

Definition:

Eine Gruppe ist ein mathematisches Konstrukt, das aus einer Menge und einer Verknüpfung besteht, welche gewisse Axiome erfüllt.

Details:

• Menge: Sammlung von Elementen
• Verknüpfung: Binäre Operation, die zwei Elemente verknüpft
• Axiome: Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements, Existenz eines inversen Elements
• Abgeschlossenheit: Für alle a, b in der Gruppe ist a * b ebenfalls in der Gruppe
• Assoziativität: (a * b) * c = a * (b * c)
• Neutrales Element: Es gibt ein e, sodass a * e = e * a = a
• Inverses Element: Für jedes a gibt es ein b, sodass a * b = b * a = e

Symmetrieoperationen: Rotationen, Reflexionen und Inversionen

Definition:

Symmetrieoperationen (Drehungen, Spiegelungen, Inversionen) ändern die Orientierung eines Moleküls, wobei seine Form erhalten bleibt.

Details:

• Rotationen: Drehung um eine Achse um einen bestimmten Winkel, z.B. 120° (C_n-Achsen).
• Reflexionen: Spiegelung in einer Symmetrieebene (σ).
• Inversion: Inversion durch das Molekülzentrum (i).
• Erhalt der Molekülidentität nach Operation ist Voraussetzung für Symmetrie.

Punktgruppen und ihre Klassifikation

Definition:

Beschreiben die Symmetrieeigenschaften von Molekülen und Kristallen, eingeteilt durch die möglichen Symmetrieoperationen an einem Punkt.

Details:

• Beinhaltet Symmetrieoperationen: Inversion, Spiegelung, Drehung, Drehspiegelung
• Zwei Hauptkategorien: Punktgruppen ohne Drehachsen (C, S, σ) und mit Drehachsen (Cn, Dn, T, O, I)
• Schoenflies- und Hermann-Mauguin-Symbolik zur Bezeichnung
• Kommutative Gruppen
• Bestimmen die physikalischen und chemischen Eigenschaften von Molekülen

Homomorphismen und Isomorphismen

Definition:

Homomorphismen und Isomorphismen sind Abbildungen zwischen Gruppen, die Struktur erhalten.

Details:

• Homomorphismus: Abbildung \( \varphi: G \rightarrow H \), bei der gilt \( \varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \varphi(g_2) \) für alle \( g_1, g_2 \) in \( G \).
• Homomorphismus-Eigenschaften: Bewahrt Operationen, kann surjektiv oder injektiv sein.
• Isomorphismus: Bijektiver Homomorphismus, \( G \) und \( H \) sind strukturell identisch (isomorph).
• Beispiel: Isomorphismus zwischen symmetrischen Gruppen \( S_3 \) und \( D_3 \).

Darstellung von Symmetrieoperationen in Matrizenform

Definition:

Symmetrieoperationen in der Quantenchemie und Kristallographie oftmals in Form von Matrizen ausgedrückt.

Details:

• Symmetrieoperation: Transformation, die eine chemische Struktur in sich selbst überführt.
• Typische Symmetrieoperationen: Identität, Rotation, Spiegelung, Inversion.
• Matrizenform: Jede Symmetrieoperation durch eine spezielle Matrix darstellbar.
• Matrizen multiplizieren, um kombinierte Operationen darzustellen.
• Matrixdarstellung für Identität: \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]
• Rotation um 90° um z-Achse: \[\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]
• Spiegelung an xy-Ebene: \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \]
• Anwendung: Untersuchung der Molekülsymmetrie, Gruppentheorie, Charaktertabellen.

Symmetrieanalysen mithilfe von Charaktertafeln

Definition:

Verwendung von Charaktertafeln zur Untersuchung von Symmetrieeigenschaften in Molekülen; basiert auf Gruppentheorie.

Details:

• Charaktertafel: Tabellarische Darstellung der irreduziblen Darstellungen einer Symmetriegruppe
• Verwendung zur Bestimmung der Symmetrie von Molekülorbitalen und Schwingungsmodi
• Zeilen: Irreduzible Darstellungen
• Spalten: Symmetrieoperationen der Gruppe
• Charaktere: Werte in der Tabelle zeigen, wie die Symmetrieoperationen auf die Darstellungen wirken
• Direkte Anwendung bei der Lösung des Schrödinger-Gleichung für Moleküle
• Wichtige Begriffe: irreduzible Darstellung (\textit{irrep}), Charakter, Symmetrieoperation
• Projektionsoperatoren zur Bestimmung der Symmetrie von Funktionen verwenden

Erhaltungssätze und symmetrische Operatoren in der Quantenmechanik

Definition:

Erhaltungssätze erklären, warum bestimmte physikalische Größen in einem System zeitlich konstant bleiben. Symmetrische Operatoren sind mathematische Werkzeuge zur Beschreibung dieser Erhaltungsgrößen.

Details:

• Erhaltungssätze resultieren aus Symmetrien (Noether-Theorem).
• Wichtige Erhaltungsgrößen: Energie, Impuls, Drehimpuls.
• Operator A ist symmetrisch, wenn \(\forall \psi, \varphi\) in Hilbertraum: \(\bra{\psi}A\varphi\rangle = \bra{\varphi}A\psi\rangle\).
• Hamilton-Operator H beschreibt Energie des Systems: \[H\psi = E\psi\].
• Erhaltungsgröße G, wenn \[\frac{d}{dt} \bra{\psi}G\psi\rangle = 0\] und \[\left[G, H\right] = 0\].

Verwendung von Charaktertafeln zur Bestimmung von irreduziblen Darstellungen

Definition:

Verwendung von Charaktertafeln, um irreduzible Darstellungen zu identifizieren; wichtig in der Symmetrieanalyse.

Details:

• Charaktertafel: Tabelle von Spuren (Charakteren) der Darstellungen eines Gruppen-Einheitsoperators.
• Zeilen: irreduzible Darstellungen.
• Spalten: Konjugationsklassen.
• Orthogonalitätsbeziehungen: innerhalb der Zeilen (Orthogonalität irreduzibler Darstellungen) und Spalten (Charaktere für verschiedene Konjugationsklassen).
• Hauptformel: \(\frac{1}{\text{Größenordnung der Gruppe}} \times \text{Summe der Produkte der Charaktere in den selben Konjugationsklassen} = \text{Delta-Kronecker-Produkt}\)
• Analyse: Nutzbar zur Untersuchung von Spektren und Molekülorbitalen in der Chemie.