Anwendung statistischer Methoden im Risikomanagement von Finanzinstituten - Cheatsheet

Deskriptive Statistik und Datenanalyse

Definition:

Beschreibt und analysiert Daten, um Muster und Trends zu identifizieren.

Details:

• Lagemaße: Mittelwert (\(\bar{x}\)), Median, Modus
• Streuungsmaße: Varianz (\(s^2\)), Standardabweichung (\(s\)), Spannweite
• Visualisierung: Histogramme, Boxplots, Streudiagramme
• Korrelation: Pearson-Korrelation (\(\rho\)), Spearman-Rangkorrelation
• Datentransformation: Log-Transformation, Standardisierung

Value-at-Risk (VaR)

Definition:

Maß zur Quantifizierung finanzieller Risiken; gibt den maximalen Verlust an, der über einen bestimmten Zeitraum mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird.

Details:

• Formel: \[VaR_{\alpha}(X) = - \inf \{ x \in \mathbb{R} : F_X(x) > \alpha \}\]
• \(\alpha\): Vertrauensniveau, häufig 95% oder 99%
• Zeithorizont: meist 1 Tag, 10 Tage oder 1 Monat
• Methoden zur Berechnung: Historische Simulation, Varianz-Kovarianz-Methode, Monte-Carlo-Simulation
• Limitierungen: keine Aussage über Verluste jenseits des VaR

Grundprinzipien des Backtestings

Definition:

Backtesting: Retrospektive Überprüfung von Handelsstrategien anhand historischer Daten zur Bewertung ihrer Wirksamkeit und Robustheit.

Details:

• Vergleich der prognostizierten Risiken mit tatsächlichen Risiken
• Bestimmung der Genauigkeit und Zuverlässigkeit von Modellen
• Wichtige Schritte: Datenauswahl, Modellbildung, Ergebnisauswertung
• Vergleich der zurückgerechneten Modell-Ergebnisse mit tatsächlichen Marktdaten
• Ergebnisse analysieren, um Anpassungen und Verfeinerungen vorzunehmen
• Vorsicht vor Overfitting: Das Modell soll auf neue Daten anwendbar sein
• Key Metriken: z.B. Sharpe-Ratio, Drawdown, Return
• Backtesting-Werkzeuge: Python, R, Matlab
• Berücksichtigung von Transaktionskosten, Slippage und Marktliquidität

Monte Carlo Simulationen im Risikomanagement

Definition:

Monte Carlo Simulationen: Stochastische Methoden zur Modellierung und Bewertung von Unsicherheiten und Risiken.

Details:

• Verwendung von Zufallszahlen zur Simulation verschiedener Ergebnisse (Szenarien).
• Wichtig für Evaluierung von Finanzrisiken und -renditen.
• Hilft bei der Berechnung von Value at Risk (VaR) und anderen Risikokennzahlen.
• Erfordert großes Sample, um statistisch signifikante Ergebnisse zu erzielen.
• Ergebnisse hängen von den Eingangsdaten und -annahmen ab; Sensitivitätsanalysen wichtig.
• Formel für VaR: \(VaR_{\alpha} = -\inf \{ x \in \mathbb{R} : F_X(x) > \alpha \}\), wobei \(F_X(x)\) die Verteilungsfunktion ist.

Basel III und IV

Definition:

Basel III und IV sind regulatorische Rahmenwerke zur Stärkung der Finanzstabilität durch erhöhte Kapitalanforderungen und andere Risikomanagement-Maßnahmen für Banken.

Details:

• Basel III:
• Erhöhung der Mindestkapitalanforderungen: CET1 auf mindestens 4,5% der RWA.
• Kapitalerhaltungspuffer: zusätzlich 2,5% CET1.
• Countercyclical Buffer: bis zu 2,5% CET1 während wirtschaftlicher Boomphasen.
• Liquidity Coverage Ratio (LCR): Banken müssen ausreichend liquide Mittel für 30 Tage halten.
• Net Stable Funding Ratio (NSFR): langfriste stabile Finanzierungsanforderungen.
• Basel IV:
• Verschärfung der RWAs (risk-weighted assets) Kalkulationsmethoden, z.B. stärkere Betonung standardisierter Ansätze.
• Behandlung des operationellen Risikos und größere Sensibilität gegenüber den zugrundeliegenden Risiken.
• Output-Floor: Untergrenze für interne Modelle auf 72,5% der standardisierten Ansätze.

Expected Shortfall

Definition:

Erwarteter Verlust (Expected Shortfall) bei einer festgelegten Wahrscheinlichkeit über dem Value at Risk (VaR).

Details:

• Berechnet wie folgt: \[ ES_{\alpha} = \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} VaR_{p} dp \]
• Risikomaß, das Extremverluste berücksichtigt und daher konservativer ist als VaR.
• Schließt Verluste ein, die über dem VaR liegen.
• Älterer Name: Conditional Value at Risk (CVaR).

Kovarianz und Korrelation

Definition:

Kovarianz: Maß für die gemeinsame Variabilität zweier Zufallsvariablen; Korrelation: standardisierte Kovarianz, misst die lineare Beziehung zwischen zwei Variablen.

Details:

• Kovarianz: \(\text{cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})\)
• Positive Kovarianz: beide Variablen bewegen sich in die gleiche Richtung
• Negative Kovarianz: Variablen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen
• Korrelation (Pearson): \(\rho_{X,Y} = \frac{\text{cov}(X, Y)}{\text{σ}_X \text{σ}_Y}\)
• Bereich der Korrelation: \([-1, 1]\)
• 1/-1: perfekte positive/negative lineare Beziehung
• 0: keine lineare Beziehung

Modellvalidierung und -kalibrierung

Definition:

Prozesse zur Überprüfung und Anpassung von Modellen, um Genauigkeit und Konsistenz sicherzustellen.

Details:

• Modellvalidierung: Prüfen der Modellannahmen, Methoden und Ergebnisse.
• Modellkalibrierung: Anpassung der Modellparameter, um historische Daten bestmöglich widerzuspiegeln.
• Wichtige Methoden: Backtesting, Stresstests, Sensitivitätsanalysen.
• Häufig verwendete Metriken: MSE (Mean Squared Error), RMSE (Root Mean Squared Error).
• Gängige Tools/Software: R, Python, Matlab.
• Ziel: Sicherstellung der Modellzuverlässigkeit und -robustheit im Risikomanagement.