Extremwertstatistik mit Anwendungen in Finanzund Versicherungsmärkten - Cheatsheet

Grundlagen der Extremwertverteilung

Definition:

Grundverständnis der Verteilung extremer Ereignisse und ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Details:

• Die Extremwertverteilung beschreibt das Verhalten von Maximal- oder Minimalwerten in statistischen Daten.
• Drei Typen von Extremwertverteilungen: Gumbel, Fréchet und Weibull.
• Wichtige Formeln: Fisher-Tippett-Grenzwertsatz.
• Typ I (Gumbel): \( F(x) = e^{-e^{-(x-\beta)/\tau}} \)
• Typ II (Fréchet): \( F(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \ e^{-x^{-\beta}} & x > 0 \ \end{cases} \)
• Typ III (Weibull): \( F(x) = \begin{cases} e^{-(\tau - x)^\beta} & x \le \tau \ 1 & x > \tau \ \end{cases} \)
• Wichtige Anwendungen in den Bereichen Versicherungsmathematik und Finanzmarktanalysen.

Gumbel-Verteilung, Fréchet-Verteilung und Weibull-Verteilung

Definition:

Gumbel-Verteilung, Fréchet-Verteilung und Weibull-Verteilung sind spezifische Extremwertverteilungen, die in der Extremwertstatistik zur Modellierung extremer Ereignisse, z. B. in Finanz- und Versicherungsmärkten, verwendet werden.

Details:

• Gumbel-Verteilung: Modelliert den maximalen Wert aus einer Serie unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen.
• Fréchet-Verteilung: Wird für stark schwankende Daten verwendet, z. B. in Finanzmärkten. Formel für die Verteilungsfunktion: \[ F(x) = e^{-x^{-\beta}} \], Parameter: \( \beta > 0 \).
• Weibull-Verteilung: Kann für Lebensdaueranalysen verwendet werden. Verteilungsfunktion: \[ F(x; \beta, \tau) = 1 - e^{-(x/ \tau)^{\beta}} \], Parameter: \( \beta > 0 \), \( \tau > 0 \).

Blockmaxima-Ansatz und Peaks-over-Threshold-Ansatz

Definition:

Blockmaxima-Ansatz: Extremwerttheorie, nutzt Blockmaxima für Modellierung. Peaks-over-Threshold-Ansatz: Modellierung von Werten über Schwellenwerten.

Details:

• Blockmaxima-Ansatz: Daten in Blöcke teilen, Maximum in jedem Block analysieren.
• Peaks-over-Threshold-Ansatz (POT): Schwellenwert wählen, alle Werte darüber analysieren.
• Mathematische Basis:
• Blockmaxima: Gumbel-, Fréchet-, oder Weibull-Verteilung.
• POT: Generalisierte Pareto-Verteilung (GPD).
• Blockmaxima-Ergebnisse: Konvergenz gegen Generalisierte Extremwertverteilung (GEV).
• POT-Ergebnisse: Konvergenz gegen GPD.
• Anwendungen: Risikoabschätzung in Finanzen und Versicherung.

Identifikation extremer Ereignisse in finanziellen Zeitreihen

Definition:

Identifikation extremer finanzieller Ereignisse, z.B. plötzliche Marktbewegungen; nutzt Extremwerttheorie, um Risiken abzuschätzen.

Details:

• Extremwerttheorie (EVT) zur Analyse von Randverteilungen extremer Ereignisse
• Verwendung von Block-Maxima und Peak-Over-Threshold (POT) Methoden
• Gumbel-, Fréchet- und Weibull-Verteilungen zur Modellierung extremer Ereignisse
• Quantilschätzungen, z.B. Value-at-Risk (VaR) und Expected Shortfall (ES)
• Formeln:
• Für Block-Maxima: \(M_n = \text{max}(X_1, ..., X_n)\)
• Für POT: \(P(X > x \,|\, X > u) \approx (1 + \frac{ξ(x-u)}{σ})^{-1/ξ}\), mit \( u \) als Schwellenwert
• Var Modell: \(VaR_{\alpha} = F_X^{-1}(1 - \alpha) \)

Modellierung der extremen Werte von Aktienrenditen

Definition:

Modellierung der extremen Werte von Aktienrenditen zur Bewertung des Risikos und der Potenziale von seltenen und großen Preisschwankungen in Finanzmärkten.

Details:

• Extreme Value Theory (EVT) zur Analyse der Verteilung extremer Aktienrenditen.
• genutzt werden Block-Maxima-Methoden oder Peaks-over-Threshold (POT) Methode.
• Gumbel, Fréchet und Weibull als mögliche Verteilungen für extreme Werte.
• Generalized Extreme Value (GEV) Verteilung zur Modellierung von Block-Maxima.
• Generalized Pareto-Verteilung (GPV) für die POT Methode.
• Bestimmung des Value at Risk (VaR) und Conditional Value at Risk (CVaR) basierend auf extremen Werten.
• Parameter Schätzung via Maximum-Likelihood Methode oder Hill-Schätzer.

Anwendung von Copulas zur Abhängigkeitsmodellierung

Definition:

Einsatz von Copulas zur Modellierung der Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Risikofaktoren, häufig verwendet in Finanz- und Versicherungsmärkten.

Details:

• Copulas ermöglichen die Trennung von Randverteilungen und Abhängigkeitsstrukturen.
• Beliebte Copula-Typen: Gauss-, t-, und Archimedische Copulas (z.B. Gumbel, Clayton, Frank).
• Formel zur Multivariaten Copulafunktion: \[C(u_1, u_2, ... , u_d) = P(U_1 \leq u_1, U_2 \leq u_2, ..., U_d \leq u_d)\]
• Voraussetzung: Kenntnis der marginalen Verteilungen und der Strukturparameter.
• Endlichkeitseigenschaften: Schließt Sklar's Theorem ein.
• Empirische Copulas für Daten: Schätzungen basierend auf empirischen Verteilungen.
• Praktische Anwendung: Risikomanagement, Portfoliotheorie, Pricing von Finanzderivaten.

Maximum-Likelihood-Schätzung

Definition:

Verfahren zur Parameterschätzung in statistischen Modellen durch Maximierung der Likelihood-Funktion.

Details:

• Likelihood-Funktion: \( L(\theta; x) = f(x | \theta) \)
• Log-Likelihood: \( l(\theta; x) = \log L(\theta; x) \)
• Schätzparameter: \( \hat{\theta}_{ML} = \arg \max_{\theta} l(\theta; x) \)
• Anwendung in Finanz- und Versicherungsmodellen zur Schätzung extremer Ereignisse

Monte-Carlo-Simulationen zur Risikobewertung

Definition:

Monte-Carlo-Simulation zur Risikobewertung verwendet Zufallssamples und statistische Techniken zur Analyse und Bewertung von Risiken in Finanz- und Versicherungsmärkten.

Details:

• Zufallsgenerierung von Input-Werten zur Simulation möglicher Szenarien
• Wiederholung des Prozesses tausende Male zur Erstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Berechnung von Metriken wie Value at Risk (VaR) und Conditional Value at Risk (CVaR)
• Verwendung in Stress-Tests und Szenario-Analysen
• Erfordert hohe Rechenleistung und komplexe Algorithmen