Extremwertstatistik mit Anwendungen in Finanzund Versicherungsmärkten - Exam

Aufgabe 1)

Angenommen, wir untersuchen die maximalen monatlichen Verluste eines Investmentportfolios über einen Zeitraum von mehreren Jahren. Diese maximalen monatlichen Verluste können als Extremwertverteilungen modelliert werden, um zukünftige Risiken zu quantifizieren. Verwenden wir die Typ-I- (Gumbel), Typ-II- (Fréchet) und Typ-III- (Weibull) Verteilungen, um das Verhalten dieser extremen finanziellen Ereignisse zu beschreiben und vorherzusagen.

a)

Gegeben sei die Verteilungsfunktion der Typ-I- (Gumbel) Extremwertverteilung: \[ F(x) = e^{-e^{-(x-\beta)/\tau}} \]

• Berechne den Quantilwert für ein Konfidenzniveau von 95% ( x_{0.95} ). Angenommen, die Parameter der Verteilung sind \(\beta = 2\) und \(\tau = 1.5\).
• Erkläre den Schritt-für-Schritt-Prozess zur Bestimmung dieses Quantilwerts.

Lösung:

Um den Quantilwert für ein Konfidenzniveau von 95% (\( x_{0.95} \)) zu berechnen, nehmen wir die gegebene Verteilungsfunktion der Typ-I- (Gumbel) Extremwertverteilung:

Gegebene Verteilungsfunktion:

\[ F(x) = e^{-e^{-(x-\beta)/\tau}} \]

Gegebene Parameter:

• \(\beta = 2\)
• \(\tau = 1.5\)

Schritt-für-Schritt-Prozess zur Bestimmung des Quantilwerts (\(x_{0.95}\)):

1. Identifizieren des Konfidenzniveaus: \(P = 0.95\).
2. Setze die Verteilungsfunktion gleich dem Konfidenzniveau:

\[ F(x) = 0.95 \]

3. Drücke die Gleichung aus:

\[ 0.95 = e^{-e^{-(x - \beta)/\tau}} \]

4. Wende den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an, um die Exponentialfunktion zu entfernen:

\[ \text{ln}(0.95) = -e^{-(x - \beta)/\tau} \]

5. Isoliere die innere Exponentialfunktion :

\[ -e^{-(x - \beta)/\tau} = \text{ln}(0.95) \]

6. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit -1:

\[ e^{-(x - \beta)/\tau} = -\text{ln}(0.95) \]

7. Wende den natürlichen Logarithmus erneut an:

\[ -(x - \beta)/\tau = \text{ln}(-\text{ln}(0.95)) \]

8. Um die Variable \(x\) zu isolieren, multipliziere beide Seiten mit \(\tau\) :

\[ -(x - 2)/1.5 = \text{ln}(-\text{ln}(0.95)) \]

9. Multipliziere dann beide Seiten der Gleichung mit -1:

\[ (x - 2)/1.5 = -\text{ln}(-\text{ln}(0.95)) \]

10. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 1.5:

\[ x - 2 = 1.5 \times -\text{ln}(-\text{ln}(0.95)) \]

11. Zum Schluss füge \( \beta \) auf beiden Gleichungsseiten hinzu:

\[ x = 2 + 1.5 \times -\text{ln}(-\text{ln}(0.95)) \]

Berechnung:

1. Bestimme den inneren Logarithmus:

\[ \text{ln}(0.95) = -0.05129329438755058 \]

2. Wende den natürlichen Logarithmus auf das Ergebnis an:

\[ \text{ln}(-\text{ln}(0.95)) = \text{ln}(0.05129329438755058) = -2.970195249042857 \]

3. Multipliziere diesen Wert mit 1.5:

\[ 1.5 \times -2.970195249042857 = -4.455292873564286 \]

4. Füge den Wert von \(\beta \) hinzu:

\[ x = 2 + -4.455292873564286 = -2.455292873564286 \]

Daher ist der Quantilwert für ein Konfidenzniveau von 95%:

\[ x_{0.95} = -2.455292873564286 \]

b)

Für den Typ-III (Weibull) Extemwertverteilung: \[ F(x) = \begin{cases} e^{-(\tau - x)^\beta} & x \le \tau \ 1 & x > \tau \end{cases} \] Sei angenommen, dass \(\beta = 1.2\) und \(\tau = 30\).

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der monatliche Verlust größer als 25 ist (\( P(X > 25) \)), indem Du die Verteilungsfunktion benutzt.
• Erläutere, warum es in der Versicherungs- und Finanzmarktanalyse wichtig ist, solche Berechnungen durchzuführen.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass der monatliche Verlust größer als 25 ist (\( P(X > 25) \)), verwenden wir die gegebene Verteilungsfunktion der Typ-III (Weibull) Extremwertverteilung:

Gegebene Verteilungsfunktion:

\[ F(x) = \begin{cases} e^{-(\tau - x)^\beta} & x \le \tau \ 1 & x > \tau \end{cases} \]

Gegebene Parameter:

• \( \beta = 1.2 \)
• \( \tau = 30 \)

Schritte zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit (\( P(X > 25) \)):

1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Verlust kleiner oder gleich 25 ist (\( P(X \le 25) \)):

Da 25 kleiner als 30 ist (\( 25 \le 30 \)), verwenden wir den ersten Teil der Verteilung:

\[F(25) = e^{-(30 - 25)^{1.2}}\]

2. Berechne den Ausdruck:

\[ 30 - 25 = 5 \]

\[ 5^{1.2} \]

\[ 5^{1.2} \, \approx \, 6.777 \]

Setze dies in die Exponentialfunktion ein:

\[ e^{-6.777} \, \approx \, 0.0011 \]

3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Verlust größer als 25 ist (\( P(X > 25) \)):

\[ P(X > 25) = 1 - F(25) \]

\[ P(X > 25) = 1 - 0.0011 \, \approx \, 0.9989 \]

Berechnungsergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass der monatliche Verlust größer als 25 ist, beträgt:

\[ P(X > 25) = 0.9989 \, = \, 99.89\text{\textpercent} \]

Bedeutung solcher Berechnungen in der Versicherungs- und Finanzmarktanalyse:

• Quantifizierung von Risiken: Diese Berechnungen helfen Versicherern und Finanzanalysten, die Wahrscheinlichkeit seltener, aber schwerwiegender Ereignisse abzuschätzen. Dies ist entscheidend für das Risikomanagement und die Entwicklung von Strategien zur Risikominimierung.
• Preisgestaltung von Versicherungsprodukten: Die Kenntnis der Wahrscheinlichkeiten extremer Verluste hilft bei der Festlegung angemessener Versicherungsprämien, um sicherzustellen, dass sowohl die Versicherungsnehmer als auch die Unternehmen finanziell geschützt sind.
• Kapitalreserven: Finanzinstitute müssen Kapitalreserven bereithalten, um potenzielle Verluste abzudecken. Das Verständnis der Extremwertverteilungen hilft bei der Bestimmung der erforderlichen Kapitalreservegrößen.
• Regulierungsanforderungen: Viele Aufsichtsbehörden verlangen von Finanzinstituten, dass sie das Risiko extremer Verluste quantifizieren und entsprechende Maßnahmen ergreifen. Solche Berechnungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Einhaltung dieser Anforderungen.
• Entscheidungsfindung: Die Erkenntnisse aus Extremwertverteilungen unterstützen Entscheidungsträger bei der Festlegung von Notfallplänen und bei der Einschätzung der finanziellen Stabilität während Marktkrisen.

Aufgabe 2)

Ein Unternehmen analysiert die extremen täglichen Preisänderungen einer bestimmten Aktie über einen Zeitraum von 5 Jahren. Die Daten müssen modelliert werden, um Risiken und mögliche Versicherungsmittel zu bestimmen. Zu diesem Zweck soll die Extremwertverteilung ermittelt und auf Basis der Gumbel-, Fréchet- und Weibull-Verteilungen angewendet werden. Angenommen, die empirischen Daten der maximalen täglichen Preisänderungen folgen einer dieser Verteilungen.

a)

a) Berechne die Verteilungsfunktion der Fréchet-Verteilung für die gegebenen maximalen täglichen Preisänderungen. Angenommen, der Parameter \( \beta \) beträgt 2. Zeichne außerdem das Verteilungsdiagramm für verschiedene Werte von x.

Lösung:

Lösung:

Um die Verteilungsfunktion der Fréchet-Verteilung zu berechnen, betrachten wir die Definition der Fréchet-Verteilung. Die Verteilungsfunktion (CDF) der Fréchet-Verteilung mit dem Parameter \( \beta \) lautet:

\[ F(x; \beta) = \begin{cases} e^{-x^{-\beta}} & x > 0 \ 0 & x \leq 0 \end{cases} \]

Wenn wir \( \beta = 2 \) annehmen, wird die Verteilungsfunktion:

\[ F(x; 2) = \begin{cases} e^{-x^{-2}} & x > 0 \ 0 & x \leq 0 \end{cases} \]

Wir können nun einige Werte für \( x \) berechnen:

• Für \( x = 1 \): \( F(1; 2) = e^{-1^{-2}} = e^{-1} \approx 0.3679 \
• Für \( x = 2 \): \( F(2; 2) = e^{-2^{-2}} = e^{-1/4} \approx 0.7788 \
• Für \( x = 3 \): \( F(3; 2) = e^{-3^{-2}} = e^{-1/9} \approx 0.8948 \
• Für \( x = 4 \): \( F(4; 2) = e^{-4^{-2}} = e^{-1/16} \approx 0.9394 \

Um das Verteilungsdiagramm für verschiedene Werte von \( x \) zu zeichnen, können wir Python verwenden. Hier ist der Code, um das Diagramm darzustellen:

 import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef frechet_cdf(x, beta):    return np.where(x > 0, np.exp(-x**(-beta)), 0)x = np.linspace(0.1, 5, 100)beta = 2y = frechet_cdf(x, beta)plt.plot(x, y, label='\( \beta = 2 \)')plt.xlabel('x')plt.ylabel('F(x; \beta)')plt.title('Fréchet-Verteilungsfunktion')plt.legend()plt.grid(True)plt.show() 

Dieser Code erzeugt ein Diagramm der Fréchet-Verteilungsfunktion für \( \beta = 2 \). Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeit der extremen täglichen Preisänderungen auf Basis der Fréchet-Verteilung.

b)

b) Leite die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Weibull-Verteilung aus der gegebenen Verteilungsfunktion ab. Berechne die Dichte für die parameterisierten Werte \( \beta = 1.5 \) und \( \tau = 1 \).

Lösung:

Lösung:

Die Weibull-Verteilung ist eine der häufig verwendeten Extremwertverteilungen in der Risikomodellierung. Bevor wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) herleiten, beginnen wir mit der Verteilungsfunktion (CDF) der Weibull-Verteilung.

Die Verteilungsfunktion der Weibull-Verteilung mit den Parametern \( \beta \) und \( \tau \) lautet:

\[ F(x; \beta, \tau) = 1 - e^{-(x/\tau)^{\beta}} \]

Um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Weibull-Verteilung abzuleiten, differenzieren wir die Verteilungsfunktion nach \( x \):

\[ f(x; \beta, \tau) = \frac{d}{dx} F(x; \beta, \tau) \]

Das ergibt:

\[ f(x; \beta, \tau) = \frac{d}{dx} \left( 1 - e^{-(x/\tau)^{\beta}} \right) \]

Da \( 1 \) eine Konstante ist, bleibt nur der derivative Teil:

\[ f(x; \beta, \tau) = - \frac{d}{dx} \left( e^{-(x/\tau)^{\beta}} \right) \]

Kettenregel anwenden:

\[ f(x; \beta, \tau) = - e^{-(x/\tau)^{\beta}} \frac{d}{dx} \left( -(x/\tau)^{\beta} \right) \]

Der innere Term differenzieren:

\[ \frac{d}{dx} \left( -(x/\tau)^{\beta} \right) = - \beta (x/\tau)^{\beta - 1} \frac{1}{\tau} \]

Einsetzen ergibt:

\[ f(x; \beta, \tau) = e^{-(x/\tau)^{\beta}} \beta \frac{x^{\beta - 1}}{\tau^{\beta}} \]

Also lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Weibull-Verteilung:

\[ f(x; \beta, \tau) = \beta \frac{x^{\beta - 1}}{\tau^{\beta}} e^{-(x/\tau)^{\beta}} \]

Nun berechnen wir die Dichte für die parameterisierten Werte \( \beta = 1.5 \) und \( \tau = 1 \). Wir setzen \( \beta = 1.5 \) und \( \tau = 1 \) in die PDF ein:

\[ f(x; 1.5, 1) = 1.5 \frac{x^{0.5}}{1.0^{1.5}} e^{-(x/1.0)^{1.5}} \]

Dies vereinfacht sich zu:

\[ f(x; 1.5, 1) = 1.5 x^{0.5} e^{-x^{1.5}} \]

Um nun die Dichte für einen bestimmten Wert von \( x \) zu berechnen, setzen wir die gewünschten \( x \)-Werte in die Gleichung ein.

• Für \( x = 1 \): \( f(1; 1.5, 1) = 1.5 \cdot 1^{0.5} e^{-1^{1.5}} = 1.5 e^{-1.0} \approx 0.5519 \)
• Für \( x = 2 \): \( f(2; 1.5, 1) = 1.5 \cdot 2^{0.5} e^{-2^{1.5}} = 1.5 \cdot \sqrt{2} e^{-2.8284} \approx 0.1430 \)

Diese Ergebnisse zeigen die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Weibull-Verteilung bei den gegebenen Parametern \( \beta = 1.5 \) und \( \tau = 1 \).

c)

c) Modelliere die Daten mit der Gumbel-Verteilung und berechne die geschätzte extremste Preisänderung, die in den nächsten 10 Jahren auftreten könnte. Stelle die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten grafisch dar.

Lösung:

Lösung:

Zur Modellierung der Daten mit der Gumbel-Verteilung und zur Berechnung der geschätzten extremsten Preisänderung in den nächsten 10 Jahren müssen wir zunächst die Gumbel-Verteilung definieren.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Gumbel-Verteilung für maximale Werte lautet:

\[ f(x; \mu, \beta) = \frac{1}{\beta} e^{-\left(\frac{x - \mu}{\beta} + e^{-\left(\frac{x - \mu}{\beta}\right)}\right)} \]

Die Verteilungsfunktion (CDF) lautet:

\[ F(x; \mu, \beta) = e^{-e^{-\left(\frac{x - \mu}{\beta}\right)}} \]

Für die Schätzung der extremsten Preisänderung in den nächsten 10 Jahren nutzen wir das Quantil der Verteilung. Nehmen wir an, dass wir die Parameter \( \mu \) und \( \beta \) aus den historischen Daten geschätzt haben. Beispielsweise seien \( \mu = 0 \) und \( \beta = 1 \). Dann suchen wir das Quantil für eine extrme Wahrscheinlichrierenz, sagen wir beim 99.9%-Quantil.

Das Quantil \( q \) wird für eine gegebene Wahrscheinlichkeit \( p \) wie folgt berechnet:

\[ q = \mu - \beta \ln(-\ln(p)) \]

Für \( p = 0.999 \):

• \( q = 0 - 1 \cdot \ln(-\ln(0.999)) \approx 6.907 \)

Das bedeutet, die extremste Preisänderung, die in den nächsten 10 Jahren auftreten könnte, ist ungefähr 6.907. Wir können nun die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten grafisch darstellen. Hier ist der Python-Code zur Visualisierung:

 import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.stats import gumbel_rmu = 0beta = 1x = np.linspace(-5, 20, 1000)y = gumbel_r.cdf(x, loc=mu, scale=beta)# Grafische Darstellungplt.plot(x, y, label='Gumbel CDF')plt.axvline(x=6.907, color='r', linestyle='--', label='99.9%-Quantil')plt.xlabel('Preisänderung')plt.ylabel('Wahrscheinlichkeit')plt.title('Gumbel CDF der extremen täglichen Preisänderungen')plt.legend()plt.grid(True)plt.show() 

Dieser Code zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Extremwert-Gumbel-Verteilung und markiert das 99,9%-Quantil für die Modellierung extremster Preisänderungen in den nächsten 10 Jahren.

d)

d) Diskutiere, welche der drei Verteilungen – Gumbel, Fréchet oder Weibull – am besten geeignet ist, um die extremen täglichen Preisänderungen in Finanzmärkten zu modellieren. Begründe Deine Wahl anhand der Eigenschaften und Parameter der Verteilungen.

Lösung:

Lösung:

Bei der Diskussion darüber, welche der drei Verteilungen – Gumbel, Fréchet oder Weibull – am besten geeignet ist, um extreme tägliche Preisänderungen in Finanzmärkten zu modellieren, müssen wir die Merkmale und spezifischen Eigenschaften jeder Verteilung in Betracht ziehen.

• Gumbel-Verteilung: Die Gumbel-Verteilung ist eine der häufig verwendeten Extremwertverteilungen und eignet sich besonders gut für die Modellierung der maximalen oder minimalen Werte einer Stichprobe. Sie hat zwei Parameter: den Lageparameter \( \mu \) und den Skalenparameter \( \beta \). Die Gumbel-Verteilung hat den Vorteil, dass sie relativ einfach zu handhaben ist und für viele verschiedene Datenarten gut passt. Diese Verteilung ist in der Finanzmarktanalyse weit verbreitet, weil sie Extremwertsituationen ohne schwere Tails gut erfassen kann.
• Fréchet-Verteilung: Die Fréchet-Verteilung ist speziell für schwere Tails und große extremale Ereignisse geeignet. Sie hat ebenfalls zwei Parameter: den Skalenparameter \( \sigma \) und den Formparameter \( \alpha \). Diese Verteilung ist besonders gut geeignet, wenn die Daten eine starke Asymmetrie aufweisen und es um sehr extreme Ereignisse geht (z.B. schwere Markteinbrüche oder -spitzen). Finanzdaten, die stark ausgeprägte Extremereignisse aufweisen, lassen sich gut mit der Fréchet-Verteilung modellieren.
• Weibull-Verteilung: Die Weibull-Verteilung kann sowohl für maximal- als auch minimalwertige Daten verwendet werden und hat drei Parameter: den Formparameter \( \alpha \), den Skalenparameter \( \beta \) und den Lageparameter \( \gamma \). Die Flexibilität dieser Verteilung macht sie nützlich für viele Arten von Daten, einschließlich finanzieller Extremwerte. Die Weibull-Verteilung ist besonders nützlich, wenn die Daten exponentielle oder schnell fallende Tails aufweisen.

Wahl der besten Verteilung:

Bei der Wahl zwischen den drei Verteilungen für die Modellierung extremer täglicher Preisänderungen in Finanzmärkten kommt es auf die Eigenschaften der betrachteten Daten an:

• Wenn die Daten normale Extremereignisse ohne besonders ausgeprägte Ausreißer aufweisen, ist die Gumbel-Verteilung bestens geeignet, da sie einfach zu handhaben ist und häufig in der Finanzanalyse verwendet wird.
• Wenn die betrachteten Daten starke und häufige Extremereignisse aufweisen, wäre die Fréchet-Verteilung besser geeignet, da sie speziell für schwere Tails und extreme Ausreißer ausgelegt ist.
• Wenn die Daten extremale Ereignisse aufweisen, die jedoch weniger stark ausgeprägt sind und ein exponentielles Abfallen zeigen, wäre die Weibull-Verteilung möglicherweise die beste Wahl.

Da Finanzmärkte oft starke und selten auftretende Ausreißer (wie z.B. Finanzkrisen) aufweisen, könnte die Fréchet-Verteilung am besten geeignet sein, um sehr schwere Tails und extreme Ereignisse in den Daten zu modellieren. Für weniger ausgeprägte Tails oder häufig auftretende extreme Werte könnten die Gumbel- oder Weibull-Verteilungen geeigneter sein.

Aufgabe 3)

In dieser Aufgabe sollst Du den Blockmaxima-Ansatz und den Peaks-over-Threshold (POT)-Ansatz in der Extremwertstatistik mit Anwendungen in Finanz- und Versicherungsmärkten näher untersuchen. Die Daten wurden aus Finanzmärkten über mehrere Jahre gesammelt, und die Extremereignisse sollen modelliert und analysiert werden. Dabei stehen Dir zum einen der Blockmaxima-Ansatz, bei dem die Daten in Zeitblöcke unterteilt und die Maxima in jedem Block analysiert werden, und zum anderen der POT-Ansatz zur Verfügung, bei dem ein Schwellenwert gesetzt wird und alle Werte darüber analysiert werden.

a)

Erläutere den Unterschied zwischen dem Blockmaxima-Ansatz und dem Peaks-over-Threshold-Ansatz. Welche mathematischen Verteilungen werden jeweils verwendet, und welche Ergebnisse konvergieren sie im Grenzfall?

Lösung:

Unterschied zwischen dem Blockmaxima-Ansatz und dem Peaks-over-Threshold (POT)-Ansatz

• Blockmaxima-Ansatz:
  • Bei diesem Ansatz werden die Daten in gleich große Zeitblöcke unterteilt.
  • Für jeden Block wird das Maximum der Datenwerte bestimmt.
  • Die Folge der Blockmaxima wird dann statistisch analysiert.
  • Mathematisch folgt dieser Ansatz oft der Gumbel-Verteilung, der Fréchet-Verteilung oder der Weibull-Verteilung, je nachdem, welche der Extremwertverteilungen auf die Daten passt.
  • Im Grenzfall konvergieren die Blockmaxima-Beobachtungen gemäß dem Extremwerttheorem zur Generalisierten Extremwertverteilung (GEV).
• Peaks-over-Threshold (POT)-Ansatz:
  • Bei diesem Ansatz wird ein bestimmter Schwellenwert festgelegt.
  • Alle Werte, die diesen Schwellenwert überschreiten, werden als Extremereignisse betrachtet.
  • Die Höhen der Spitzen über dem Schwellenwert werden untersucht.
  • Dieser Ansatz folgt der Generalisierten Pareto-Verteilung (GPV).
  • Im Grenzfall konvergieren die Spitzen der Werte über dem Schwellenwert zur Generalisierten Pareto-Verteilung gemäß dem Pickands-Balkema-de Haan-Theorem.

b)

Gegeben seien folgende Monats-Maximum-Renditen von Aktien über ein Jahr: 0.05, 0.07, 0.02, 0.09, 0.04, 0.10, 0.03, 0.08, 0.06, 0.11, 0.01, 0.12. Teile die Daten in Quartalsblöcke und berechne die Blockmaxima für jeden Block. Bestimme anschließend die Verteilung, gegen die diese Blockmaxima konvergieren sollen, und begründe Deine Wahl.

Lösung:

Schritt 1: Daten in Quartalsblöcke unterteilen

• Die Daten sind Monats-Maximum-Renditen über ein Jahr: 0.05, 0.07, 0.02, 0.09, 0.04, 0.10, 0.03, 0.08, 0.06, 0.11, 0.01, 0.12.
• Wir unterteilen diese Daten in Quartalsblöcke (jeweils 3 Monate pro Block):
• Block 1: 0.05, 0.07, 0.02
• Block 2: 0.09, 0.04, 0.10
• Block 3: 0.03, 0.08, 0.06
• Block 4: 0.11, 0.01, 0.12

Schritt 2: Blockmaxima berechnen

• Block 1 Maximum: max(0.05, 0.07, 0.02) = 0.07
• Block 2 Maximum: max(0.09, 0.04, 0.10) = 0.10
• Block 3 Maximum: max(0.03, 0.08, 0.06) = 0.08
• Block 4 Maximum: max(0.11, 0.01, 0.12) = 0.12

Die Blockmaxima sind somit: 0.07, 0.10, 0.08, 0.12.

Schritt 3: Bestimmung der Verteilung

• Im Extremwerttheorem wird im Grenzfall gezeigt, dass die Verteilung der Blockmaxima, unabhängig von der Ausgangsverteilung, einer der sogenannten Generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) folgen sollte.
• Die GEV kann in drei Typen unterteilt werden:
  • Gumbel-Verteilung (Leicht tail)
  • Fréchet-Verteilung (Heavy tail)
  • Weibull-Verteilung (Bounded tail)
• Ohne weitere Informationen über die Verteilung der Ausgangsdaten (außer dass es sich um Renditen handelt, die in der Regel rechtsschief und heavy-tailed sind), würde man oft die Fréchet-Verteilung in Betracht ziehen, da diese für heavy-tailed Daten geeignet ist.

Daher konvergieren die Blockmaxima gegen eine Generalisierte Extremwertverteilung, wobei im Kontext von Finanzmarktdaten oft eine Fréchet-Verteilung angenommen wird.

c)

Nehmen wir an, dass ein Schwellenwert von 0.07 gewählt wird, um Extremereignisse in den oben genannten Monatsrückgaben zu modellieren. Bestimme die Werte, die über dem Schwellenwert liegen, und passe eine Generalisierte Pareto-Verteilung (GPD) diesen Daten an. Welche Parameter der GPD sind zu schätzen, und wie würdest Du dies tun?

Lösung:

Schritt 1: Werte über dem Schwellenwert identifizieren

• Die gegebenen Monats-Maximum-Renditen sind: 0.05, 0.07, 0.02, 0.09, 0.04, 0.10, 0.03, 0.08, 0.06, 0.11, 0.01, 0.12.
• Der Schwellenwert ist: 0.07.
• Die Werte, die über dem Schwellenwert von 0.07 liegen, sind: 0.09, 0.10, 0.08, 0.11, 0.12.

Die Werte, die über dem Schwellenwert liegen, sind somit: 0.09, 0.10, 0.08, 0.11, 0.12.

Schritt 2: Anpassung einer Generalisierten Pareto-Verteilung (GPD)

• Die Generalisierte Pareto-Verteilung wird durch die folgenden Parameter charakterisiert:
• Skalenparameter (\textit{scale parameter}, \textit{σ}): Dieser Parameter gibt die Streuung der Verteilung an.
• Formparameter (\textit{shape parameter}, \textit{ξ}): Dieser Parameter bestimmt die Schwere der Verteilung.

Schritt 3: Schätzung der Parameter der GPD

• Die Parameter \textit{σ} (Skalenparameter) und \textit{ξ} (Formparameter) können mithilfe statistischer Methoden wie der Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE) geschätzt werden.
• Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE):
• MLE ist eine Methode zur Schätzung der Parameter einer statistischen Verteilung, indem die Werte der Parameter gefunden werden, die die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten maximieren.
• Für die GPD lautet die Dichtefunktion, wenn \textit{ξ} ≠ 0:

f(x; σ, ξ) = \frac{1}{σ} \bigg(1 + ξ \frac{x - u}{σ}\bigg)^{-1/ξ - 1} \text{ für } x ≥ u \text{ und } \bigg(1 + ξ \frac{x - u}{σ}\bigg) > 0

f(x; σ) = \frac{1}{σ} e^{-\frac{x - u}{σ}} \text{ für } x ≥ u

Die Schätzung dieser Parameter durch MLE liefert die am besten passende Generalisierte Pareto-Verteilung für die gegebenen Daten.

d)

Vergleiche die Anwendbarkeit des Blockmaxima-Ansatzes und des POT-Ansatzes für die Risikoabschätzung in der Versicherungsbranche. Diskutiere Vor- und Nachteile beider Ansätze und gib jeweils ein Beispiel, wann welcher Ansatz besser geeignet wäre.

Lösung:

Vergleich der Anwendbarkeit des Blockmaxima-Ansatzes und des Peaks-over-Threshold (POT)-Ansatzes für die Risikoabschätzung in der Versicherungsbranche

• Blockmaxima-Ansatz:
  • Bei diesem Ansatz werden die Daten in gleich große Zeitblöcke unterteilt, und das Maximum in jedem Block wird analysiert.
  • Vorteile:
    • Einfach zu implementieren und zu verstehen.
    • Nützlich, wenn man große Zeiträume in Betracht ziehen möchte und an den extremen Extremwerten interessiert ist.
  • Nachteile:
    • Viele wichtige Informationen gehen verloren, da nur die Maxima betrachtet werden.
    • Es besteht die Gefahr, dass Extremereignisse, die nicht Blockmaxima sind, übersehen werden.
  • Beispiel:
    • Wenn eine Versicherungsgesellschaft jährliche maximale Schadensereignisse über einen langen Zeitraum hinweg analysieren möchte, kann der Blockmaxima-Ansatz geeignet sein.
    • Zum Beispiel zur Analyse der maximalen jährlichen Schadenskosten durch Naturkatastrophen wie Erdbeben oder Stürme.
• Peaks-over-Threshold (POT)-Ansatz:
  • Bei diesem Ansatz wird ein Schwellenwert gesetzt, und alle Werte darüber werden analysiert.
  • Vorteile:
    • Nutzung aller Datenpunkte oberhalb des Schwellenwerts, was zu einer präziseren Analyse führen kann.
    • Besser geeignet für die Modellierung und Analyse häufiger Extremereignisse.
  • Nachteile:
    • Die Wahl des geeigneten Schwellenwerts kann schwierig sein und erfordert eine sorgfältige Analyse.
    • Komplexer in der Implementierung als der Blockmaxima-Ansatz.
  • Beispiel:
    • Wenn eine Versicherungsgesellschaft extrem hohe Schadensforderungen durch Überschwemmungen über einen bestimmten Schwellenwert (z.B. EUR 50,000) analysieren möchte, ist der POT-Ansatz besser geeignet.
    • Durch die Analyse aller Schadensforderungen über dem Schwellenwert kann die Gesellschaft genauere probabilistische Modelle entwickeln.

Zusammenfassung: Beide Ansätze haben ihre Stärken und Schwächen, und die Wahl hängt von der spezifischen Anwendung ab. Der Blockmaxima-Ansatz ist einfacher und kann für sehr große Zeitrahmen nützlich sein, während der POT-Ansatz eine detailliertere und präzisere Analyse der extremen Ereignisse ermöglicht, die häufiger auftreten.

Aufgabe 4)

Die Identifikation extremer Ereignisse in finanziellen Zeitreihen ist von entscheidender Bedeutung, um das Risiko plötzlicher und erheblicher Marktbewegungen abzuschätzen. Hierzu wird die Extremwerttheorie (EVT) eingesetzt, um die Randverteilungen solcher Ereignisse zu analysieren. Zwei der wichtigsten Methoden in der EVT sind die Block-Maxima-Methode und die Peak-Over-Threshold (POT)-Methode. Während die Block-Maxima-Methode die maximalen Werte in Blöcken analysiert und Modelle wie die Gumbel-, Fréchet- und Weibull-Verteilungen verwendet, konzentriert sich die POT-Methode auf Werte oberhalb eines bestimmten Schwellenwertes (Threshold). Ein besonders wichtiges Maß im Risikomanagement ist der Value-at-Risk (VaR), welcher das Quantil bei einem bestimmten Konfidenzniveau angibt, genauso wie der Expected Shortfall (ES), der den durchschnittlichen Verlust oberhalb des VaR beschreibt. Die folgende Übung beinhaltet sowohl theoretische als auch praktische Aspekte der EVT zur Identifizierung und Quantifizierung extremer finanzieller Ereignisse.

a)

a) Angenommen, die täglichen Renditen eines bestimmten Finanzinstruments folgen einer unbekannten Verteilung. Du entscheidest Dich, die Block-Maxima-Methode zu verwenden, um die extremen Renditen über monatliche Intervalle zu analysieren.

• (i) Beschreibe die Schritte, die notwendig sind, um die monatlichen Maxima zu berechnen und die entsprechende Extremwertverteilung zu modellieren.
• (ii) Angenommen, Du hast die Maxima für 120 Monate berechnet, wie würdest Du überprüfen, welche der Gumbel-, Fréchet- oder Weibull-Verteilungen die Maxima am besten modelliert?

Lösung:

Aufgabe Die Identifikation extremer Ereignisse in finanziellen Zeitreihen ist von entscheidender Bedeutung, um das Risiko plötzlicher und erheblicher Marktbewegungen abzuschätzen. Hierzu wird die Extremwerttheorie (EVT) eingesetzt, um die Randverteilungen solcher Ereignisse zu analysieren. Zwei der wichtigsten Methoden in der EVT sind die Block-Maxima-Methode und die Peak-Over-Threshold (POT)-Methode. Während die Block-Maxima-Methode die maximalen Werte in Blöcken analysiert und Modelle wie die Gumbel-, Fréchet- und Weibull-Verteilungen verwendet, konzentriert sich die POT-Methode auf Werte oberhalb eines bestimmten Schwellenwertes (Threshold). Ein besonders wichtiges Maß im Risikomanagement ist der Value-at-Risk (VaR), welcher das Quantil bei einem bestimmten Konfidenzniveau angibt, genauso wie der Expected Shortfall (ES), der den durchschnittlichen Verlust oberhalb des VaR beschreibt. Die folgende Übung beinhaltet sowohl theoretische als auch praktische Aspekte der EVT zur Identifizierung und Quantifizierung extremer finanzieller Ereignisse. a) Angenommen, die täglichen Renditen eines bestimmten Finanzinstruments folgen einer unbekannten Verteilung. Du entscheidest Dich, die Block-Maxima-Methode zu verwenden, um die extremen Renditen über monatliche Intervalle zu analysieren.

• (i) Beschreibe die Schritte, die notwendig sind, um die monatlichen Maxima zu berechnen und die entsprechende Extremwertverteilung zu modellieren.
• (ii) Angenommen, Du hast die Maxima für 120 Monate berechnet, wie würdest Du überprüfen, welche der Gumbel-, Fréchet- oder Weibull-Verteilungen die Maxima am besten modelliert?

• Daten sammeln: Sammle die täglichen Renditen des Finanzinstruments für den gesamten Zeitraum (z.B. mehrere Jahre).
• Monatliche Intervalle definieren: Teile die täglichen Renditen in monatliche Intervalle auf.
• Monatliche Maxima berechnen: Für jedes monatliche Intervall berechne das Maximum der täglichen Renditen. Dies ergibt eine Zeitreihe der monatlichen Maxima.
• Identifikation der Extremwertverteilung: Wende die Theorie der Extremwertverteilungen (Gumbel-, Fréchet- und Weibull-Verteilungen) an, um die monatlichen Maxima zu modellieren. Dies beinhaltet das Schätzen der Parameter jeder Verteilung (z.B. durch Maximum Likelihood Estimation, MLE).
• Anpassungsgüte prüfen: Verwende statistische Tests und grafische Methoden (z.B. QQ-Plots), um zu überprüfen, wie gut die ermittelten Verteilungen die Daten beschreiben.

• Maximum Likelihood Estimation (MLE): Schätze die Parameter jeder der drei Verteilungen (Gumbel, Fréchet, Weibull) basierend auf den 120 monatlichen Maxima durch MLE.
• Goodness-of-Fit-Tests: Verwende statistische Tests wie den Kolmogorov-Smirnov-Test, Anderson-Darling-Test oder Cramér-von-Mises-Test, um die Anpassungsgüte jeder Verteilung zu bewerten.
• AIC/BIC: Vergleiche die Akaike-Informationskriterium (AIC) und das Bayes'sche Informationskriterium (BIC) für jede Verteilung. Die Verteilung mit dem niedrigsten AIC/BIC-Wert wird als die beste Modellanpassung angesehen.
• QQ-Plots: Erstelle QQ-Plots (Quantile-Quantile-Plots) für jede Verteilung, um visuell zu überprüfen, welche Verteilung die Daten am besten beschreibt.
• Ausschlusskriterien: Nutze ggf. weitere fortgeschrittene Ausschlusskriterien, wie die Verwendung von Tail-Weibull-Plot oder Probability-Weighted Moments (PWM).