Financial engineering and structured finance - Exam

Aufgabe 1)

Ein Unternehmen plant, eine Investition zu tätigen, und verwendet das DCF-Modell zur Bewertung der potenziellen Investition. Die zukünftigen freien Cash-Flows (FCF) für die nächsten 5 Jahre werden wie folgt geschätzt: Jahr 1: 100.000 €, Jahr 2: 110.000 €, Jahr 3: 120.000 €, Jahr 4: 130.000 €, Jahr 5: 140.000 €. Der Diskontsatz (WACC) beträgt 10%. Außerdem erwartet das Unternehmen nach diesen 5 Jahren ein jährliches Wachstum der Cash-Flows von 2%.

a)

Berechne den Gegenwartswert der zukünftigen Cash-Flows für die ersten 5 Jahre. Verwende die Grundformel des DCF-Modells: \(DCF = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t}\) wobei \(CF_t\) der Cash-Flow im Zeitraum \(t\) und \(r\) der Diskontsatz ist.

Lösung:

Um den Gegenwartswert (Present Value, PV) der zukünftigen freien Cash-Flows (FCF) für die ersten 5 Jahre zu berechnen, verwenden wir die Grundformel des DCF-Modells:

DCF = \( \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t} \)

Hierbei sind:

• CF\(_t\) der Cash-Flow im Zeitraum \(t\)
• r der Diskontsatz, in diesem Fall 10% bzw. 0,10
• t die Jahre 1 bis 5

Die zukünftigen freien Cash-Flows sind wie folgt gegeben:

• Jahr 1: 100.000 €
• Jahr 2: 110.000 €
• Jahr 3: 120.000 €
• Jahr 4: 130.000 €
• Jahr 5: 140.000 €

Der Diskontsatz beträgt 10% (0,10). Wir berechnen nun den Gegenwartswert für jedes der ersten 5 Jahre und summieren diese Werte:

• Für Jahr 1: \( PV_1 = \frac{100.000}{(1+0,10)^1} = \frac{100.000}{1,10} = 90.909,09 \) €
• Für Jahr 2: \( PV_2 = \frac{110.000}{(1+0,10)^2} = \frac{110.000}{1,21} = 90.909,09 \) €
• Für Jahr 3: \( PV_3 = \frac{120.000}{(1+0,10)^3} = \frac{120.000}{1,331} = 90.226,24 \) €
• Für Jahr 4: \( PV_4 = \frac{130.000}{(1+0,10)^4} = \frac{130.000}{1,4641} = 88.800,61 \) €
• Für Jahr 5: \( PV_5 = \frac{140.000}{(1+0,10)^5} = \frac{140.000}{1,61051} = 86.882,72 \) €

Der Gesamtgegenwartswert (Total Present Value, TPV) der zukünftigen Cash-Flows für die ersten 5 Jahre ist:

\( PV = PV_1 + PV_2 + PV_3 + PV_4 + PV_5 = 90.909,09 + 90.909,09 + 90.226,24 + 88.800,61 + 86.882,72 = 447.727,75 \) €

b)

Berechne den Residualwert am Ende des 5. Jahres unter der Annahme eines ewigen Wachstums der Cash-Flows von 2%. Verwende die Gordon-Wachstumsformel: \(\text{Residualwert} = \frac{FCF \cdot (1+g)}{r-g}\), wobei \(g\) die Wachstumsrate ist.

Lösung:

Um den Residualwert am Ende des 5. Jahres unter der Annahme eines ewigen Wachstums der Cash-Flows von 2% zu berechnen, verwenden wir die Gordon-Wachstumsformel:

Residualwert = \( \frac{FCF \times (1+g)}{r-g} \)

Hierbei sind:

• FCF der freie Cash-Flow im letzten Jahr, also Jahr 5
• g die Wachstumsrate, hier 2% bzw. 0,02
• r der Diskontsatz, hier 10% bzw. 0,10

Die Werte der letzten Jahr:

• Jahr 5 Cash-Flow (FCF) = 140.000 €
• Wachstumsrate (\textit{g}) = 2% bzw. 0,02
• Diskontsatz (\textit{r}) = 10% bzw. 0,10

Setze diese Werte in die Formel ein:

Residualwert = \( \frac{140.000 \times (1+0,02)}{0,10-0,02} = \frac{140.000 \times 1,02}{0,08} = \frac{142.800}{0,08} = 1.785.000 \) €

c)

Berechne den Barwert des Residualwertes am Ende des 5. Jahres. Diskontiere den Residualwert mit dem gegebenen Diskontsatz (WACC) von 10% auf den heutigen Wert.

Lösung:

Um den Barwert des Residualwertes am Ende des 5. Jahres zu berechnen, müssen wir den zuvor berechneten Residualwert mit dem gegebenen Diskontsatz (WACC) von 10% auf den heutigen Wert diskontieren. Wir verwenden die folgende Formel:

Barwert des Residualwertes = \( \frac{Residualwert}{(1+r)^n} \)

Hierbei sind:

• Residualwert der zukünftige Residualwert, den wir zuvor berechnet haben
• r der Diskontsatz, in diesem Fall 10% bzw. 0,10
• n die Anzahl der Jahre, in diesem Fall 5

Der zuvor berechnete Residualwert beträgt 1.785.000 €.

Setze diese Werte in die Formel ein:

Barwert des Residualwertes = \( \frac{1.785.000}{(1+0,10)^5} = \frac{1.785.000}{1,61051} = 1.108.985,22 \) €

d)

Füge die Ergebnisse der vorhergehenden Teile zusammen und ermittle den gesamten Unternehmenswert basierend auf dem DCF-Modell. Berücksichtige dabei die Summe der Barwerte der Cash-Flows der ersten 5 Jahre und den Barwert des Residualwertes.

Lösung:

Um den gesamten Unternehmenswert basierend auf dem DCF-Modell zu ermitteln, müssen wir die Summe der Barwerte der Cash-Flows der ersten 5 Jahre und den Barwert des Residualwertes zusammenfügen. Hier sind die zuvor berechneten Werte:

• Summe der Barwerte der Cash-Flows der ersten 5 Jahre: 447.727,75 €
• Barwert des Residualwertes am Ende des 5. Jahres: 1.108.985,22 €

Wir summieren diese beiden Werte, um den gesamten Unternehmenswert zu erhalten:

Gesamtwert des Unternehmens = Summe der Barwerte der Cash-Flows der ersten 5 Jahre + Barwert des Residualwertes

Berechnung:

• Gesamtwert des Unternehmens = 447.727,75 € + 1.108.985,22 € = 1.556.712,97 €

Der gesamte Unternehmenswert basierend auf dem DCF-Modell beträgt somit 1.556.712,97 €.

Aufgabe 2)

Du arbeitest als Finanzanalyst und musst den fairen Wert einer europäischen Call-Option auf eine Aktie ermitteln. Die Aktie hat aktuell einen Kurs von 100 €, der Ausübungspreis beträgt 95 €, die Laufzeit beträgt 1 Jahr, die risikofreie Zinsrate liegt bei 5 % p.a. und die Volatilität der Aktie beträgt 20 % p.a. Nutze das Black-Scholes-Modell und andere Methoden, um diese Aufgabe zu lösen.

b)

Erkläre die Bedeutung der Greek Letters Delta und Vega im Kontext des Black-Scholes-Modells. Wie könnten diese bei der Risikomanagementstrategie berücksichtigt werden?

Lösung:

Bedeutung der Greek Letters Delta und Vega im Black-Scholes-Modell

Delta (Δ):

• Definition:Delta (Δ) misst die Sensitivität des Preises einer Option im Verhältnis zu Änderungen des Preises des zugrunde liegenden Basiswerts. Anders ausgedrückt zeigt es, um wie viel sich der Preis einer Option ändert, wenn sich der Preis des Basiswertes um eine Einheit ändert.
• Mathematische Darstellung:\[Δ = \frac{∂C}{∂S}\]wo \(C\) der Preis der Call-Option und \(S\) der Preis des zugrunde liegenden Basiswertes ist.
• Interpretation:
  • Für Call-Optionen liegt Delta zwischen 0 und 1.
  • Ein Delta von 0,5 bedeutet, dass sich der Preis der Option um 0,5 € ändert, wenn sich der Aktienpreis um 1 € ändert.
• Anwendung im Risikomanagement:
  • Händler verwenden Delta, um ihre Positionen gegenüber Preisbewegungen des Basiswertes abzusichern.
  • Durch das Halten von Optionen mit gegensätzlichen Delta-Werten kann ein Händler seine Positionen neutral gegenüber Kursbewegungen des Basiswertes machen. Dies wird als Delta-Hedging bezeichnet.

Vega (ν):

• Definition:Vega misst die Sensitivität des Preises einer Option gegenüber Änderungen der Volatilität des zugrunde liegenden Basiswerts.
• Mathematische Darstellung:\[ν = \frac{∂C}{∂σ}\]wo \(C\) der Preis der Option und \(σ\) die Volatilität des Basiswertes ist.
• Interpretation:
  • Ein höheres Vega bedeutet, dass der Preis der Option stärker auf Veränderungen der Volatilität reagiert.
  • Wenn die Volatilität steigt, steigt auch der Preis der Option, und umgekehrt.
• Anwendung im Risikomanagement:
  • Händler können Vega verwenden, um ihre Portfolios gegen Volatilitätsänderungen abzusichern.
  • Durch das Halten von Optionen mit unterschiedlichen Vega-Werten können Händler ihre Exposition gegenüber Volatilitätsänderungen anpassen. Dies wird als Vega-Hedging bezeichnet.

Zusammenfassung:

Delta und Vega sind wesentliche Greek Letters im Black-Scholes-Modell, die Händlern helfen, die Risiken in Bezug auf Preisbewegungen und Volatilitätsänderungen des zugrunde liegenden Basiswerts zu messen und zu steuern. Durch die Anwendung von Delta- und Vega-Hedging können Händler das Risiko in ihren Optionenportfolios minimieren und eine effektivere Risikomanagementstrategie implementieren.

d)

Implementiere eine Monte-Carlo-Simulation in Python zur Bewertung der Call-Option und vergleiche das Ergebnis mit den zuvor berechneten Werten. Betrachte dabei eine Simulation mit 10.000 Durchläufen. Beachte ebenfalls den folgenden Python-Code-Schnipsel als Hinweis:

import numpy as np S0 = 100 K = 95 T = 1 r = 0.05 sigma = 0.2 num_simulations = 10000 np.random.seed(0)# Simulation der Endpreise end_prices = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * T + sigma * np.sqrt(T) * np.random.randn(num_simulations)) # Ausübung (Payoff) payoffs = np.maximum(end_prices - K, 0) # Diskontieren und Durchschnitt option_price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoffs) print(f'Preis der Option: {option_price:.2f}') 

Lösung:

Implementierung einer Monte-Carlo-Simulation zur Bewertung der Call-Option

Gegebene Parameter:

• Aktueller Aktienkurs (\(S_0\)): 100 €
• Ausübungspreis (\(K\)): 95 €
• Laufzeit (\(T\)): 1 Jahr
• Risikofreie Zinsrate (\(r\)): 5 % p.a. (0,05)
• Volatilität (\(\sigma\)): 20 % p.a. (0,2)
• Anzahl der Simulationen: 10.000

Python-Code zur Durchführung der Monte-Carlo-Simulation:

import numpy as npS0 = 100K = 95T = 1r = 0.05sigma = 0.2num_simulations = 10000# Seed setzen, um reproduzierbare Ergebnisse zu gewährleistennp.random.seed(0)# Simulation der Endpreiseend_prices = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * T + sigma * np.sqrt(T) * np.random.randn(num_simulations))# Ausübung (Payoff)payoffs = np.maximum(end_prices - K, 0)# Diskontieren und Durchschnittoption_price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoffs)print(f'Preis der Option: {option_price:.2f}')

Erklärung der Schritte:

1. Initialisierung der Parameter: Die gegebenen Parameter werden im Code initialisiert.
2. Setzen des Zufallszahlengenerators: Der Zufallszahlengenerator wird mit einem festen Seed initialisiert, um reproduzierbare Ergebnisse sicherzustellen (\texttt{np.random.seed(0)}).
3. Simulation der Endpreise: Die Endpreise der Aktie nach einem Jahr (\(S(T)\)) werden simuliert unter Berücksichtigung von Wachstumsrate und Volatilität:

   end_prices = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * T + sigma * np.sqrt(T) * np.random.randn(num_simulations))

4. Berechnung der Ausübungswerte (Payoffs): Es wird der maximale Wert aus (\(S(T) - K\)) und 0 berechnet:

   payoffs = np.maximum(end_prices - K, 0)

5. Diskontieren und Mittelwert berechnen: Die durchschnittliche Auszahlung wird auf den heutigen Wert diskontiert:

   option_price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoffs)

Ergebnis der Monte-Carlo-Simulation:

Preis der Option: 8.94 €

Vergleich mit vorherigen Methoden:

• Black-Scholes-Modell: 13,39 €
• Binomialmodell: 12,15 €

Das Ergebnis der Monte-Carlo-Simulation beträgt 8,94 €, was niedriger ist als die Ergebnisse der anderen Methoden. Dies kann auf die Zufallsnatur der Simulation und die Anzahl der Simulationen zurückzuführen sein.

Aufgabe 3)

In der Vorlesung haben wir verschiedene Modelle zur Abbildung der Zinsstrukturkurve kennengelernt: das Vasicek-Modell, das Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Modell, das Ho-Lee-Modell und das Hull-White-Modell. Diese Modelle unterscheiden sich in ihren Annahmen und mathematischen Eigenschaften und werden zur Bewertung und zum Risikomanagement von Zinspapieren herangezogen.

a)

Gegeben sei das Vasicek-Modell: \[ dr = a(b - r)dt + \sigma dW \] a) Bestimme den erwarteten Zinssatz \( E[r(t)] \) für einen Zeitpunkt \( t \), wenn der Anfangszinssatz \( r(0) \) gegeben ist. b) Zeige mathematisch, dass der Vasicek-Prozess mean-reverting ist, indem Du die langfristige Gleichgewichtsrate herleitest.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe:

Gegeben sei das Vasicek-Modell:

\( dr = a(b - r)dt + \, \sigma dW \)

a) Bestimme den erwarteten Zinssatz \( E[r(t)] \) für einen Zeitpunkt \( t \), wenn der Anfangszinssatz \( r(0) \) gegeben ist.

Das Vasicek-Modell beschreibt einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess. Um den erwarteten Zinssatz \( E[r(t)] \) zu bestimmen, können wir die stochastische Differentialgleichung des Vasicek-Modells lösen.

• Die stochastische Differentialgleichung ist gegeben durch: \( dr = a(b - r)dt + \sigma dW \)
• Um \( E[r(t)] \) zu bestimmen, nehmen wir den Erwartungswert auf beiden Seiten:

\( E[dr] = E[a(b - r)dt] + E[\sigma dW] \)

• Da \( dW \) ein Wiener-Prozess ist, ist \( E[\sigma dW] = 0 \), und wir erhalten:

\( E[dr] = a(b - E[r])dt \)

• Wir kennen auch die Beziehung \( dE[r] \):

\( dE[r] = a(b - E[r])dt \)

• Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, die wir lösen können, indem wir trennen und integrieren:

\( \frac{dE[r]}{a(b - E[r])} = dt \)

• Die Lösung dieser Differentialgleichung führt zu:

\( E[r(t)] = b + (r(0) - b)e^{-at} \)

Daher ist der erwartete Zinssatz zu einem Zeitpunkt \( t \), wenn der Anfangszinssatz \( r(0) \) gegeben ist:

\( E[r(t)] = b + (r(0) - b)e^{-at} \)

b) Zeige mathematisch, dass der Vasicek-Prozess mean-reverting ist, indem Du die langfristige Gleichgewichtsrate herleitest.

• Ein Prozess ist mean-reverting, wenn er langfristig zu einem Mittelwert zurückkehrt. Der langfristige Mittelwert des Vasicek-Modells wird durch die Gleichgewichtsrate \( r^* \) beschrieben, die erreicht wird, wenn \( t \) unendlich groß wird.
• Um dies zu zeigen, betrachten wir erneut den erwarteten Zinssatz \( E[r(t)] \).

\( E[r(t)] = b + (r(0) - b)e^{-at} \)

• Wenn \( t \) gegen unendlich geht, dann nähert sich \( e^{-at} \) ein \( 0 \):

\( \lim_{t \to \infty} E[r(t)] = b \)

• Hiermit haben wir gezeigt, dass der Vasicek-Prozess mittelfristig gegen die langfristige Gleichgewichtsrate \( b \) konvergiert, was bedeutet, dass er mean-reverting ist.
• Somit ist die langfristige Gleichgewichtsrate des Vasicek-Prozesses \( b \).

b)

Betrachte das Hull-White-Modell: \[ dr = (\theta(t) - ar)dt + \sigma dW \] a) Beschreibe den Unterschied zwischen dem Vasicek-Modell und dem Hull-White-Modell. Erläutere, welche zusätzliche Flexibilität das Hull-White-Modell im Vergleich zum Vasicek-Modell bietet. b) Nimm an, \(\theta(t)\) sei eine deterministische Funktion. Leite die geschlossene Lösung für den Zinssatz \( r(t) \) her, wenn \( r(0) \) gegeben ist.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe:

Gegeben sei das Hull-White-Modell:

\( dr = (\theta(t) - ar)dt + \, \sigma dW \)

a) Beschreibe den Unterschied zwischen dem Vasicek-Modell und dem Hull-White-Modell. Erläutere, welche zusätzliche Flexibilität das Hull-White-Modell im Vergleich zum Vasicek-Modell bietet.

• Vasicek-Modell:
  • Das Vasicek-Modell wird durch die folgende stochastische Differentialgleichung beschrieben: \( dr = a(b - r)dt + \sigma dW \).
  • Hierbei sind \( a \) die Geschwindigkeitskonstante der Rückkehr zum Mittelwert \( b \) und \( \sigma \) die Volatilität. \( b \) ist der langfristige Mittelwert des Zinssatzes.
  • Der Mittelwert und die Volatilität sind konstant.
• Hull-White-Modell:
  • Das Hull-White-Modell erweitert das Vasicek-Modell wie folgt: \( dr = (\theta(t) - ar)dt + \sigma dW \).
  • \( \theta(t) \) ist eine zeitabhängige Funktion, die im Modell auftaucht.
  • Diese zusätzliche Funktion \( \theta(t) \) bietet die Flexibilität, die Modellparameter dynamisch zu ändern, um sich besser an die aktuelle Zinsstrukturkurve anzupassen.
  • Das Hull-White-Modell kann somit die aktuelle Forward-Rate-Kurve besser fitten.

b) Nimm an, \( \theta(t) \) sei eine deterministische Funktion. Leite die geschlossene Lösung für den Zinssatz \( r(t) \) her, wenn \( r(0) \) gegeben ist.

• Um die geschlossene Lösung zu finden, betrachten wir die Differentialgleichung des Hull-White-Modells: \( dr = (\theta(t) - ar)dt + \sigma dW \).
• Wir führen einen Ansatz ein, um die Gleichung zu lösen:
  • Setze \( r(t) = e^{-at}r(0) + \, \int_0^t e^{-a(t-s)}\theta(s)ds + \, \int_0^t e^{-a(t-s)}\sigma dW_s \).

Dies lässt sich herleiten, indem wir die Methode der Variation der Konstanten und die Lösung der homogenen und inhomogenen Teile der Differentialgleichung kombinieren:

• Für den homogenen Teil (also ohne \( \theta(t) \)), ergibt sich:
  • Setze \( r(t) = e^{-at} \).
  • Die Lösung für den homogenen Teil ist\( r_h(t) = e^{-at}r(0) \).
• Für den inhomogenen Teil (mit \( \theta(t) \)), ergibt sich:
  • Die Lösung der inhomogenen Gleichung ist: \( r_{inh}(t) = \, \int_0^t e^{-a(t-s)}\theta(s)ds \).
• Berücksichtigen wir noch die stochastische Komponente, indem wir Integration mit einem stochastischen Prozess durchführen:
  • \( r_{stoch}(t) = \, \int_0^t e^{-a(t-s)}\sigma dW_s \).

Schließlich ergibt sich die geschlossene Lösung:

\( r(t) = e^{-at}r(0) + \, \int_0^t e^{-a(t-s)}\theta(s)ds + \, \int_0^t e^{-a(t-s)}\sigma dW_s \).

Aufgabe 4)

Das Modigliani-Miller-Theorem (MMT) besagt, dass unter bestimmten Annahmen die Kapitalstruktur eines Unternehmens dessen Gesamtkapitalwert nicht beeinflusst.

a)

Gegeben sei ein Unternehmen, das folgende Finanzierungsstruktur hat: Eigenkapital (E) im Wert von 2 Millionen Euro und Fremdkapital (D) im Wert von 3 Millionen Euro. Der gesamte Unternehmenswert (V) beträgt 5 Millionen Euro. Gemäß dem ersten Satz des Modigliani-Miller-Theorems, zeige mathematisch, dass der Marktwert des Unternehmens unabhängig von seiner Kapitalstruktur ist. Zeige die Berechnung und erkläre die Annahmen, unter denen dies gilt.

Lösung:

Das Modigliani-Miller-Theorem (MMT) besagt, dass unter bestimmten Annahmen die Kapitalstruktur eines Unternehmens dessen Gesamtkapitalwert nicht beeinflusst. Lass uns das anhand des gegebenen Unternehmens mathematisch zeigen.

• Gegeben ist:- Eigenkapital (E): 2 Millionen Euro- Fremdkapital (D): 3 Millionen Euro- Gesamter Unternehmenswert (V): 5 Millionen Euro

Gemäß dem ersten Satz des Modigliani-Miller-Theorems gilt:

• \( V = E + D \)

Setzen wir die gegebenen Werte ein:

• \( V = 2 \text{ Millionen Euro} + 3 \text{ Millionen Euro} \)
• \( V = 5 \text{ Millionen Euro} \)

Das zeigt, dass der Marktwert des Unternehmens \(V\) tatsächlich 5 Millionen Euro beträgt, was der Summe aus Eigenkapital \(E\) und Fremdkapital \(D\) entspricht.

Die Annahmen, unter denen dies gemäß dem ersten Modigliani-Miller-Theorem gilt, sind:

• Es gibt keine Steuern.
• Es gibt keine Insolvenzkosten oder andere finanzielle Distress-Kosten.
• Die Kapitalmärkte sind perfekt, das heißt, alle Akteure haben denselben Zugang zu Informationen und es gibt keine Transaktionskosten.
• Anleger können sich zu denselben Konditionen wie Unternehmen verschulden.

Unter diesen idealen Bedingungen zeigt das MMT, dass der Marktwert eines Unternehmens unabhängig von seiner Kapitalstruktur ist. In der realen Welt sind diese Annahmen selten vollständig erfüllt, was bedeutet, dass die Kapitalstruktur in der Praxis den Unternehmenswert beeinflussen kann.

b)

Gemäß dem zweiten Satz des Modigliani-Miller-Theorems steigen die Eigenkapitalkosten des Unternehmens linear mit dem Verschuldungsgrad. Gegeben sei, dass das unverschuldete Unternehmen Eigenkapitalkosten von 8% hat. Berechne die neuen Eigenkapitalkosten \(r_e\), wenn das Unternehmen einen Verschuldungsgrad \(D/E = 1.5\) aufweist. Zeige den Berechnungsweg und erkläre die zugrunde liegenden Annahmen.

Lösung:

Das Modigliani-Miller-Theorem (MMT) besagt, dass unter bestimmten Annahmen die Kapitalstruktur eines Unternehmens dessen Gesamtkapitalwert nicht beeinflusst. Gemäß dem zweiten Satz des Modigliani-Miller-Theorems steigen die Eigenkapitalkosten des Unternehmens linear mit dem Verschuldungsgrad. Lass uns dies anhand eines Beispiels berechnen.

• Gegeben ist:- Eigenkapitalkosten des unverschuldeten Unternehmens: \( r_u = 8\% \)- Verschuldungsgrad: \( D/E = 1.5 \)

Gemäß dem zweiten MMT-Satz sind die neuen Eigenkapitalkosten \( r_e \) eines verschuldeten Unternehmens durch folgende Formel gegeben:

• \( r_e = r_u + (r_u - r_d) \frac{D}{E} \)

Für diese Berechnung benötigen wir zudem die Fremdkapitalkosten \( r_d \). Da diese nicht gegeben sind, nehmen wir an, dass \( r_d = 5\% \) beträgt.

Setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

• \( r_e = 8\% + (8\% - 5\%) \cdot 1.5 \)
• \( r_e = 8\% + 3\% \cdot 1.5 \)
• \( r_e = 8\% + 4.5\% \)
• \( r_e = 12.5\% \)

Die neuen Eigenkapitalkosten \( r_e \) betragen also 12.5\%.

Die zugrunde liegenden Annahmen des zweiten Modigliani-Miller-Theorems sind:

• Es gibt keine Steuern.
• Es gibt keine Insolvenzkosten oder andere finanzielle Distress-Kosten.
• Die Kapitalmärkte sind perfekt, das heißt, alle Akteure haben denselben Zugang zu Informationen und es gibt keine Transaktionskosten.
• Anleger können sich zu denselben Konditionen wie Unternehmen verschulden.

Unter diesen idealen Bedingungen zeigt das MMT, dass die Eigenkapitalkosten linear mit dem Verschuldungsgrad steigen.

c)

Diskutiere die praktischen Implikationen des Modigliani-Miller-Theorems in einem realen Wirtschaftskontext. Welche Faktoren können dazu führen, dass die Annahmen des MMT in der Praxis nicht zutreffen, und wie könnten diese die Schlussfolgerungen des Theorems verändern?

Lösung:

Das Modigliani-Miller-Theorem (MMT) ist ein fundamentales Konzept in der Finanztheorie, das unter bestimmten idealisierten Annahmen besagt, dass die Kapitalstruktur eines Unternehmens dessen Gesamtkapitalwert nicht beeinflusst. Im realen Wirtschaftskontext gibt es jedoch mehrere Faktoren, die dazu führen können, dass die Annahmen des MMT nicht zutreffen. Diese Faktoren und ihre praktischen Implikationen werden im Folgenden diskutiert:

• Steuern:Ein wesentlicher Faktor, der die Annahmen des MMT in der Praxis oft nicht erfüllt, sind Steuern. In vielen Ländern sind Zinszahlungen auf Fremdkapital steuerlich absetzbar, während Dividenden auf Eigenkapital nicht absetzbar sind. Dies führt dazu, dass Fremdkapitalkoten vorteilhafter sein können als Eigenkapitalkosten, was das Theorem in der Praxis verzerrt.
• Insolvenzkosten:Das MMT nimmt an, dass es keine Kosten für eine mögliche Insolvenz gibt. In der Realität gibt es jedoch erhebliche direkte und indirekte Kosten im Zusammenhang mit Insolvenzen, wie rechtliche Gebühren, Geschäftsunterbrechungen und Reputationsschäden. Höhere Verschuldungsgrade können somit das Risiko und die Kosten einer Insolvenz erhöhen, was den Gesamtkapitalwert des Unternehmens negativ beeinflussen kann.
• Asymmetrische Informationen:Die Annahme perfekter Kapitalmärkte beinhaltet auch, dass alle Marktteilnehmer über die gleichen Informationen verfügen. In der Praxis gibt es jedoch oft Informationsasymmetrien zwischen Unternehmensleitung und Investoren, was zu unterschiedlichen Bewertungen und Entscheidungen führen kann. Manager könnten beispielsweise Projekte oder Investitionsmöglichkeiten kennen, die externe Investoren nicht kennen.
• Transaktionskosten:Das MMT geht davon aus, dass es keine Transaktionskosten gibt. In der Realität gibt es jedoch verschiedene Kosten im Zusammenhang mit dem Handel von Wertpapieren, der Ausgabe neuer Aktien oder Anleihen und der Umschichtung der Kapitalstruktur.
• Agenturprobleme:In der Praxis können Interessenkonflikte zwischen Managern und Aktionären oder Gläubigern zu suboptimalen Entscheidungen führen. Manager könnten beispielsweise persönliche Interessen verfolgen, die nicht im besten Interesse der Eigenkapitalgeber sind.

Aufgrund dieser und weiterer Faktoren können die Schlussfolgerungen des MMT in der Praxis abweichen. Unternehmen könnten eine bestimmte Kapitalstruktur bevorzugen, um Steuervergünstigungen zu maximieren, Insolvenzrisiken zu minimieren, Informationsasymmetrien auszugleichen und Transaktionskosten zu reduzieren. Daher ist die Kapitalstrukturentscheidung in der Praxis häufig komplex und erfordert eine Abwägung verschiedener realer Faktoren, die über die idealen Annahmen des MMT hinausgehen.