Game Theory - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte folgendes Spiel: Zwei Unternehmen, A und B, entscheiden gleichzeitig, ob sie in einen neuen Markt eintreten. Die Auszahlungen (in Millionen Euro) für die beiden Unternehmen hängen von den kombinierten Entscheidungen ab. Wenn beide Unternehmen eintreten, konkurrieren sie um den Markt und machen jeweils einen Gewinn von 1. Wenn nur ein Unternehmen eintritt, hat es den Markt für sich allein und macht einen Gewinn von 5, während das andere Unternehmen einen Gewinn von 0 macht. Wenn keines der Unternehmen eintritt, machen beide einen Gewinn von 2. Die Auszahlungsmatrix sieht wie folgt aus:

• A tritt ein, B tritt ein: (1,1)
• A tritt ein, B tritt nicht ein: (5,0)
• A tritt nicht ein, B tritt ein: (0,5)
• A tritt nicht ein, B tritt nicht ein: (2,2)

a)

Teilaufgabe (a): Stelle die Auszahlungsmatrix für dieses Spiel in Tabellenform dar. Zeige die Auszahlungen für jeweils beide Unternehmen, abhängig von ihren Strategien.

Lösung:

Teilaufgabe (a): Auszahlungsmatrix in TabellenformStelle die Auszahlungsmatrix für das beschriebene Spiel in einer Tabelle dar, um die Auszahlungen für beide Unternehmen je nach ihren Strategien übersichtlich zu präsentieren.Hier ist die Auszahlungsmatrix:

	B tritt ein	B tritt nicht ein
A tritt ein	(1, 1)	(5, 0)
A tritt nicht ein	(0, 5)	(2, 2)

b)

Teilaufgabe (b): Finde alle Nash-Gleichgewichte dieses Spiels. Verwende die formale Definition des Nash-Gleichgewichts: Ein Strategienprofil \(S^* = (S_1^*, ..., S_n^*)\) ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn gilt: \[ \forall i \: u_i(S_i^*, S_{-i}^*) \geq u_i(S_i, S_{-i}^*) \text{ für alle } S_i \in S_i. \]

Lösung:

Teilaufgabe (b): Finden der Nash-GleichgewichteUm die Nash-Gleichgewichte zu finden, überprüfen wir jedes Paar von Strategien, um zu sehen, ob ein Unternehmen einen Anreiz hat, seine Strategie zu wechseln.Hier sind die Strategiepaare und ihre Auszahlungen:

• (A tritt ein, B tritt ein): (1, 1)
• (A tritt ein, B tritt nicht ein): (5, 0)
• (A tritt nicht ein, B tritt ein): (0, 5)
• (A tritt nicht ein, B tritt nicht ein): (2, 2)

Wir überprüfen die Bedingung des Nash-Gleichgewichts für jedes Paar:1. Paar: (A tritt ein, B tritt ein)

• Unternehmen A: Wenn A tritt nicht ein, bekommt es 0 (weniger als 1).
• Unternehmen B: Wenn B tritt nicht ein, bekommt es 0 (weniger als 1).

Also hat keiner der beiden einen Anreiz zu wechseln. Somit ist (A tritt ein, B tritt ein) ein Nash-Gleichgewicht.2. Paar: (A tritt ein, B tritt nicht ein)

• Unternehmen A: Wenn A tritt nicht ein, bekommt es 2 (weniger als 5).
• Unternehmen B: Wenn B tritt ein, bekommt es 5 (mehr als 0).

Da Unternehmen B einen Anreiz hat, seine Strategie zu wechseln, ist dies kein Nash-Gleichgewicht.3. Paar: (A tritt nicht ein, B tritt ein)

• Unternehmen A: Wenn A tritt ein, bekommt es 5 (mehr als 0).
• Unternehmen B: Wenn B tritt nicht ein, bekommt es 2 (weniger als 5).

Auch hier haben beide Unternehmen einen Anreiz, ihre Strategien zu ändern, daher ist dies kein Nash-Gleichgewicht.4. Paar: (A tritt nicht ein, B tritt nicht ein)

• Unternehmen A: Wenn A tritt ein, bekommt es 1 (weniger als 2).
• Unternehmen B: Wenn B tritt ein, bekommt es 1 (weniger als 2).

Auch hier hat keiner der beiden einen Anreiz zu wechseln. Somit ist (A tritt nicht ein, B tritt nicht ein) ein Nash-Gleichgewicht. Schlussfolgerung: Das Spiel hat zwei Nash-Gleichgewichte:

• (A tritt ein, B tritt ein)
• (A tritt nicht ein, B tritt nicht ein)

c)

Teilaufgabe (c): Nutze die Nutzenfunktionen der Unternehmen A und B, um zu überprüfen, ob \(S^* = (Eintreten, Eintreten)\) ein Nash-Gleichgewicht ist. Berechne explizit die Nutzen für beide Unternehmen, falls eines der Unternehmen seine Strategie einseitig ändert.

Lösung:

Teilaufgabe (c): Überprüfung, ob \((Eintreten, Eintreten)\) ein Nash-Gleichgewicht istUm zu überprüfen, ob \((Eintreten, Eintreten)\) ein Nash-Gleichgewicht ist, müssen wir die Nutzenfunktionen der Unternehmen A und B betrachten und sicherstellen, dass sich die individuellen Nutzen nicht verbessern, wenn eines der Unternehmen seine Strategie einseitig ändert.Aktuelle Strategien und Auszahlungen:

• A tritt ein, B tritt ein: \((1,1)\)

Nun überprüfen wir, welche Nutzen A und B haben, falls sie ihre Strategien einseitig ändern:1. Unternehmen A ändert seine Strategie:

• Unternehmen B bleibt bei seiner Strategie (tritt ein).
• Wenn A austritt (statt einzutreten), ändert sich die Auszahlung zu: \((0,5)\)
• Unternehmen A's Nutzen, wenn es austritt: \(u_A(nicht \,eintreten, \,eintreten) = 0\)
• Vergleich: \( u_A(eintreten, \,eintreten) = 1 \geq u_A(nicht \,eintreten, \,eintreten) = 0 \)
• Unternehmen A's Nutzen würde sinken, wenn es austritt.

2. Unternehmen B ändert seine Strategie:

• Unternehmen A bleibt bei seiner Strategie (tritt ein).
• Wenn B austritt (statt einzutreten), ändert sich die Auszahlung zu: \((5,0)\)
• Unternehmen B's Nutzen, wenn es austritt: \(u_B(eintreten, \,nicht \,eintreten) = 0\)
• Vergleich: \(u_B(eintreten, \,eintreten) = 1 \geq u_B(eintreten, \,nicht \,eintreten) = 0 \)
• Unternehmen B's Nutzen würde sinken, wenn es austritt.

Schlussfolgerung:Da weder Unternehmen A noch Unternehmen B ihre Strategien ändern, um ihren Nutzen zu verbessern, wenn die aktuelle Strategie \((Eintreten, Eintreten)\) ist, bleibt dies ein Nash-Gleichgewicht.Nutzenberechnungen:

• \(u_A (eintreten, \,eintreten) = 1\)
• \(u_A (nicht \,eintreten, \,eintreten) = 0\)
• \(u_B (eintreten, \,eintreten) = 1\)
• \(u_B (eintreten, \,nicht \,eintreten) = 0\)

d)

Teilaufgabe (d): Diskutiere die Stabilität der gefundenen Nash-Gleichgewichte. Welche strategischen Überlegungen könnten dazu führen, dass ein Unternehmen seine Entscheidung ändert? Beziehe dich dabei auf die zugrunde liegenden Anreize und die resultierenden Nutzenfunktionen.

Lösung:

Teilaufgabe (d): Diskussion der Stabilität der gefundenen Nash-GleichgewichteIn vorherigen Aufgaben haben wir zwei Nash-Gleichgewichte identifiziert:

• (A tritt ein, B tritt ein)
• (A tritt nicht ein, B tritt nicht ein)

Nun wollen wir die Stabilität dieser Nash-Gleichgewichte diskutieren und strategische Überlegungen betrachten, die dazu führen könnten, dass ein Unternehmen seine Entscheidung ändert.(1) Nash-Gleichgewicht: (A tritt ein, B tritt ein)

• In dieser Situation konkurrieren beide Unternehmen um den Markt und erhalten jeweils einen Gewinn von 1.
• Unternehmen A und Unternehmen B haben keine Anreize, ihre Entscheidung einseitig zu ändern, wie in Teilaufgabe (c) gezeigt wurde, da jede Änderung ihren Gewinn verringern würde.
• Dieses Nash-Gleichgewicht ist daher stabil, solange beide Unternehmen rational handeln und keine zusätzlichen Informationen oder Änderungen im Markt auftreten.

(2) Nash-Gleichgewicht: (A tritt nicht ein, B tritt nicht ein)

• Hier entscheiden beide Unternehmen, nicht in den Markt einzutreten und erhalten jeweils einen Gewinn von 2.
• Auch hier haben beide Unternehmen keine Anreize, ihre Entscheidung einseitig zu ändern, da ein Unternehmen, das eintritt, während das andere Unternehmen draußen bleibt, einen geringeren Gewinn (0) erhält.
• Dieses Nash-Gleichgewicht ist ebenfalls stabil, basierend auf den gegebenen Auszahlungen.

Strategische Überlegungen und Anreize:

• Zweifel an der Strategie des anderen Unternehmens: Wenn ein Unternehmen Zweifel daran hat, ob das andere Unternehmen bei seiner Entscheidung bleibt, könnte es versucht sein, seine Strategie zu ändern. Solche Zweifel könnten durch fehlende Kommunikation oder Unsicherheit über die Marktbedingungen verstärkt werden.
• Änderungen im Marktumfeld: Neue Informationen oder Veränderungen im Markt könnten die Nutzenfunktionen der Unternehmen ändern, wodurch ein zuvor stabiles Nash-Gleichgewicht destabilisiert wird. Beispielsweise könnten Änderungen in der Nachfrage die Attraktivität des Markteintritts verändern.
• Externe Einflüsse und Kooperationen: Externe Akteure oder potenzielle Kooperationen könnten zusätzliche Anreize schaffen. Wenn z.B. ein drittes Unternehmen in den Markt eintreten möchte und ein Unternehmen zur Kooperation gewinnen kann, könnte dies die Entscheidungen und damit die Nash-Gleichgewichte beeinflussen.

Fazit:Die beiden gefundenen Nash-Gleichgewichte sind stabil unter den angenommenen Bedingungen. Strategische Überlegungen, wie Unsicherheit über die Entscheidungen des anderen Unternehmens oder Änderungen im Marktumfeld, könnten jedoch dazu führen, dass Unternehmen ihre Entscheidungen ändern. Es ist wichtig, dass die Unternehmen laufend die Marktentwicklungen beobachten und gleichzeitig die potentiellen Reaktionen der Konkurrenz in ihre Entscheidungen einbeziehen.

Aufgabe 2)

Kontext: In einem Markt konkurrieren zwei Unternehmen, A und B. Beide Unternehmen können entweder eine hohe (H) oder eine niedrige (L) Produktionsmenge wählen. Die Auszahlungen (Gewinn in Millionen Euro) für die möglichen Strategiekombinationen sind in der folgenden Auszahlungsmatrix gegeben: Auszahlungsmatrix:

	A wählt H	A wählt L
B wählt H	(2, 2)	(4, 1)
B wählt L	(1, 4)	(3, 3)

Bestimme das Nash-Gleichgewicht für das Spiel und zeige die Lösungswege mit verschiedenen Methoden auf.

a)

Teilaufgabe 1: Nutze die Beste-Antwort-Methode, um das Nash-Gleichgewicht zu finden. Zeige alle Schritte und erkläre, warum keiner der Spieler durch einseitiges Abweichen seinen Nutzen verbessern kann.

Lösung:

• Teilaufgabe 1: Nutze die Beste-Antwort-Methode, um das Nash-Gleichgewicht zu finden. Zeige alle Schritte und erkläre, warum keiner der Spieler durch einseitiges Abweichen seinen Nutzen verbessern kann.

Schritte zur Bestimmung des Nash-Gleichgewichts:

1. Analysiere die möglichen Strategien für beide Unternehmen (A und B).
2. Bestimme die besten Antworten für Unternehmen A auf die Entscheidungen von Unternehmen B.
3. Bestimme die besten Antworten für Unternehmen B auf die Entscheidungen von Unternehmen A.
4. Identifiziere die Strategiepaare, bei denen beide Unternehmen ihre beste Antwort geben (Nash-Gleichgewicht).

• 1. Analysiere die möglichen Strategien:

• Die möglichen Strategien für Unternehmen A sind: Hohe (H) oder Niedrige (L) Produktionsmenge.
• Die möglichen Strategien für Unternehmen B sind: Hohe (H) oder Niedrige (L) Produktionsmenge.

• 2. Beste Antworten für Unternehmen A:

• Wenn Unternehmen B die hohe Produktionsmenge (H) wählt: - Auszahlung für A bei H: 2 - Auszahlung für A bei L: 4Beste Antwort: L

• Wenn Unternehmen B die niedrige Produktionsmenge (L) wählt: - Auszahlung für A bei H: 1 - Auszahlung für A bei L: 3Beste Antwort: L

• 3. Beste Antworten für Unternehmen B:

• Wenn Unternehmen A die hohe Produktionsmenge (H) wählt: - Auszahlung für B bei H: 2 - Auszahlung für B bei L: 1Beste Antwort: H

• Wenn Unternehmen A die niedrige Produktionsmenge (L) wählt: - Auszahlung für B bei H: 4 - Auszahlung für B bei L: 3Beste Antwort: H

• 4. Identifizierung der Nash-Gleichgewichte:

Zwei Strategiepaare müssen betrachtet werden, bei denen beide Unternehmen ihre beste Antwort geben:

• Strategiepaar (H, H): Unternehmen A wählt H und Unternehmen B wählt H - Auszahlung für A: 2 - Auszahlung für B: 2
• Strategiepaar (L, L): Unternehmen A wählt L und Unternehmen B wählt H - Auszahlung für A: 3 - Auszahlung für B: 3

• Vergleich der Auszahlungspaare:
• Im strategischen Paar (L, L) erreicht Unternehmen A eine Auszahlung von 3, was gleich ist wie im Fall (L, L).
• Vorläufiges wäre (L, L) das Nash-Gleichgewicht, weil beide Unternehmen ihre Strategien nicht ändern können, um ihre Auszahlungen zu erhöhen, indem keine alternativen besseren Strategien existieren.

Die Identifizierung, ob alternativ (H, H) oder tatsächlich (L,L) das nash-Gleichgewicht sind, weil beide Unternehmen ihre eigene optimale Strategie aufgrund dieser Erwägungen beibehalten.

• Daher:
• Nash-Gleichgewicht: Ohne Abweichen (als einzelnes Unternehmen) wird der Nutzen nicht mehr verbessern können, weil (L, L) optimal scheint.

Begründung: Alle möglichen Produktionsmenge werden individuell betrachtet und für keine alternative Strategien erhöhen beide ihren Gewinn.

b)

Teilaufgabe 2: Verwende das iterierte Entfernen dominierter Strategien, um das Nash-Gleichgewicht zu bestimmen. Zeige jede Iteration und erkläre die Logik hinter der Entfernung von Strategien.

Lösung:

• Teilaufgabe 2: Verwende das iterierte Entfernen dominierter Strategien, um das Nash-Gleichgewicht zu bestimmen. Zeige jede Iteration und erkläre die Logik hinter der Entfernung von Strategien.

Schritte zur Bestimmung des Nash-Gleichgewichts durch iteratives Entfernen dominierter Strategien:

• Identifiziere für jedes Unternehmen (A und B) die dominierten Strategien.
• Entferne die dominierten Strategien iterativ aus der Auszahlungsmatrix.
• Untersuche die verbleibenden Strategien, um das Nash-Gleichgewicht zu bestimmen.

• 1. Identifiziere die dominierten Strategien:

• Eine Strategie ist dominiert, wenn es für alle möglichen Entscheidungen des Gegners eine andere Strategie gibt, die einen höheren Gewinn liefert.

• Für Unternehmen A:
• Strategie H: Auszahlungen sind (2 bei B wählt H, 1 bei B wählt L)
• Strategie L: Auszahlungen sind (4 bei B wählt H, 3 bei B wählt L)
• Strategie H wird durch Strategie L dominiert, weil 4 > 2 und 3 > 1.

• Für Unternehmen B:
• Strategie H: Auszahlungen sind (2 bei A wählt H, 4 bei A wählt L)
• Strategie L: Auszahlungen sind (1 bei A wählt H, 3 bei A wählt L)
• Strategie L wird durch Strategie H dominiert, weil 2 > 1 und 4 > 3.

• 2. Entferne die dominierten Strategien:

• Entferne Strategie H für Unternehmen A:

	A wählt L
B wählt H	(4, 1)
B wählt L	(3, 3)

• Entferne Strategie L für Unternehmen B:

	A wählt L
B wählt H	(4, 1)

• Die einzige verbleibende Strategie ist (A wählt L, B wählt H).
• 3. Bestimme das Nash-Gleichgewicht:
• Nachdem alle dominierten Strategien entfernt wurden, bleibt nur das Strategiepaar (A wählt L, B wählt H) übrig.
• Dieses Strategiepaar ist das Nash-Gleichgewicht.
Begründung:
• In diesem Nash-Gleichgewicht kann kein Unternehmen durch einseitiges Abweichen seine Auszahlung verbessern.
• - Wenn Unternehmen A von L zu H abweicht, sinkt seine Auszahlung von 4 auf 2.
• - Wenn Unternehmen B von H zu L abweicht, sinkt seine Auszahlung von 1 auf 3.
Schlussfolgerung:
• Durch das iterative Entfernen dominierten Strategien ist das Nash-Gleichgewicht (A wählt L, B wählt H) gefunden.

c)

Teilaufgabe 3: Erkläre, wie man das Nash-Gleichgewicht mit der algebraischen Methode finden kann. Löse die entsprechenden Gleichungen der besten Antworten und zeige, wie das Gleichgewicht erreicht wird.

Lösung:

• Teilaufgabe 3: Erkläre, wie man das Nash-Gleichgewicht mit der algebraischen Methode finden kann. Löse die entsprechenden Gleichungen der besten Antworten und zeige, wie das Gleichgewicht erreicht wird.
Schritte zur Bestimmung des Nash-Gleichgewichts durch die algebraische Methode:
• Bilde die Reaktionsfunktionen (beste Antwort) für beide Unternehmen:
• Setze die Bedingung, dass sich beide Unternehmen in einem Gleichgewichtszustand befinden.
• Löse das System von Gleichungen, um die Strategien zu finden.
• 1. Reaktionsfunktion für Unternehmen A:
• Die Auszahlungsmatrix für Unternehmen A lautet:

	A wählt H	A wählt L
B wählt H	2	4
B wählt L	1	3

• Wenn Unternehmen B H wählt, sind die Auszahlungen für A:
• - bei A wählt H: 2
• - bei A wählt L: 4
• Beste Antwort für A wenn B H wählt: A wählt L, da 4 > 2.
• Wenn Unternehmen B L wählt, sind die Auszahlungen für A:
• - bei A wählt H: 1
• - bei A wählt L: 3
• Beste Antwort für A wenn B L wählt: A wählt L, da 3 > 1.
• 2. Reaktionsfunktion für Unternehmen B:
• Die Auszahlungsmatrix für Unternehmen B lautet:

	A wählt H	A wählt L
B wählt H	2	1
B wählt L	4	3

• Wenn Unternehmen A H wählt, sind die Auszahlungen für B:
• - bei B wählt H: 2
• - bei B wählt L: 1
• Beste Antwort für B wenn A H wählt: B wählt H, da 2 > 1.
• Wenn Unternehmen A L wählt, sind die Auszahlungen für B:
• - bei B wählt H: 4
• - bei B wählt L: 3
• Beste Antwort für B wenn A L wählt: B wählt H, da 4 > 3.
• 3. Bestimmung des Nash-Gleichgewichts:
• Setze die Reaktionsfunktionen der beiden Unternehmen gleich, um das Gleichgewicht zu finden:
• A's Antwort hängt von B's Entscheidung wie folgt:
• - Wenn B H wählt, A wählt L.
• - Wenn B L wählt, A wählt H.
• B's Antwort hängt von A's Entscheidung wie folgt:
• - Wenn A H wählt, B wählt H.
• - Wenn A L wählt, B wählt H.
• Durch das Gleichsetzen der Antwortfunktionen:
• - A wählt L wenn B H wählt- B wählt H wenn A L wählt.
• Das einzige Punkt wo beide erfüllen: (A L, B H).
• - Wenn B wählt H, A wählt L.
• - Wenn A wählt H, B wählt L.
• Damit das Nash-Gleichgewicht (A wählt L, B wählt H):
Schlussfolgerung: Durch die algebraische Methode ermittelt: Das Nash-Gleichgewicht ist (A wiehlt L, B wählt H)

Aufgabe 3)

Betrachten Sie das folgende strategische Spiel mit zwei Spielern, Spieler 1 und Spieler 2. Die Strategiemengen der Spieler sind S1 = {A, B} und S2 = {X, Y}. Die Auszahlungen der Spieler sind in der folgenden Normalform-Matrix dargestellt:

	X	Y
A	(2, 3)	(0, 2)
B	(1, 1)	(3, 0)

a)

1. Bestimmen Sie die beste Antwort jedes Spielers auf jede Strategie des anderen Spielers. Geben Sie die beste Antwort in Form von {s1: BA(s2), s2: BA(s1)} an, wobei BA die beste Antwort und s1 bzw. s2 die jeweilige Strategie des anderen Spielers darstellt.

Lösung:

1. Bestimmen Sie die beste Antwort jedes Spielers auf jede Strategie des anderen Spielers.Um die beste Antwort jedes Spielers auf jede Strategie des anderen Spielers zu bestimmen, müssen wir die Auszahlungsmatrix analysieren und die Strategie identifizieren, die die höchste Auszahlung für den jeweiligen Spieler liefert.

• Strategiemenge von Spieler 1 (S1): {A, B}
• Strategiemenge von Spieler 2 (S2): {X, Y}

	X	Y
A	(2, 3)	(0, 2)
B	(1, 1)	(3, 0)

• Für Spieler 1:
  • Wenn Spieler 2 X wählt:- Spieler 1 erhält 2 bei Wahl von A.- Spieler 1 erhält 1 bei Wahl von B.Da 2 > 1, ist die beste Antwort von Spieler 1 auf X: A.
  • Wenn Spieler 2 Y wählt:- Spieler 1 erhält 0 bei Wahl von A.- Spieler 1 erhält 3 bei Wahl von B.Da 3 > 0, ist die beste Antwort von Spieler 1 auf Y: B.
• Für Spieler 2:
  • Wenn Spieler 1 A wählt:- Spieler 2 erhält 3 bei Wahl von X.- Spieler 2 erhält 2 bei Wahl von Y.Da 3 > 2, ist die beste Antwort von Spieler 2 auf A: X.
  • Wenn Spieler 1 B wählt:- Spieler 2 erhält 1 bei Wahl von X.- Spieler 2 erhält 0 bei Wahl von Y.Da 1 > 0, ist die beste Antwort von Spieler 2 auf B: X.
Somit sind die besten Antworten wie folgt zusammengefasst:
• Für Spieler 1: {X: A, Y: B}
• Für Spieler 2: {A: X, B: X}

b)

2. Identifizieren Sie alle Nash-Gleichgewichte dieses Spiels. Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich unter Einbeziehung der Konzepte der beste Antwort und Nash-Gleichgewicht.

Lösung:

2. Identifizieren Sie alle Nash-Gleichgewichte dieses Spiels.Ein Nash-Gleichgewicht ist ein Strategienpaar (eine für jeden Spieler) bei dem keiner der Spieler einen Anreiz hat, seine Strategie einseitig zu ändern, da die gewählte Strategie die beste Antwort auf die Strategie des anderen Spielers ist.Um die Nash-Gleichgewichte zu identifizieren, prüfen wir zunächst, ob es Paare gibt, bei denen jede Strategie die beste Antwort auf die Strategie des anderen Spielers ist. Hier ist die Auszahlungsmatrix zur Veranschaulichung:

	X	Y
A	(2, 3)	(0, 2)
B	(1, 1)	(3, 0)

1. Paar (A, X):
• Beste Antwort von Spieler 1 auf X: A (2 > 1)
• Beste Antwort von Spieler 2 auf A: X (3 > 2)
Das Paar (A, X) ist ein Nash-Gleichgewicht.2. Paar (A, Y):
• Beste Antwort von Spieler 1 auf Y: B (3 > 0)
• Beste Antwort von Spieler 2 auf A: X (3 > 2)
Das Paar (A, Y) ist kein Nash-Gleichgewicht, da die beste Antwort von Spieler 1 auf Y B ist.3. Paar (B, X):
• Beste Antwort von Spieler 1 auf X: A (2 > 1)
• Beste Antwort von Spieler 2 auf B: X (1 > 0)
Das Paar (B, X) ist kein Nash-Gleichgewicht, da die beste Antwort von Spieler 1 auf X A ist.4. Paar (B, Y):
• Beste Antwort von Spieler 1 auf Y: B (3 > 0)
• Beste Antwort von Spieler 2 auf B: X (1 > 0)
Das Paar (B, Y) ist kein Nash-Gleichgewicht, da die beste Antwort von Spieler 2 auf B X ist.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das einzige Nash-Gleichgewicht in diesem Spiel bei (A, X) liegt.
• Nash-Gleichgewichte: (A, X)

Aufgabe 4)

Kooperative Spiele: Shapley-WertAngenommen, es gibt ein kooperatives Spiel mit den Spielern A, B und C. Die Nutzenfunktion für die Koalitionen sei wie folgt definiert:

• v({A}) = 1, v({B}) = 2, v({C}) = 3
• v({A, B}) = 5, v({A, C}) = 6, v({B, C}) = 7
• v({A, B, C}) = 10
Benutze den Shapley-Wert, um herauszufinden, wie der Gesamtnutzen von 10 fair unter den Spielern A, B und C aufgeteilt werden kann.

a)

Berechne den Shapley-Wert für Spieler A. Verwende dabei die gegebene Formel: \( \phi_i(v) = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!} [v(S \cup \{i\}) - v(S)] \) und die Nutzenfunktion der Koalitionen.

Lösung:

Kooperative Spiele: Shapley-WertUm den Shapley-Wert für Spieler A zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel:

• a) Den Shapley-Wert für Spieler A berechnen:1. Bestimme alle möglichen Koalitionen S, denen A beitreten kann:S = {}, {B}, {C}, {B, C}2. Berechne den marginalen Beitrag von Spieler A zu jeder Koalition S:v(S ∪ {A}) - v(S)- Wenn S = {}, dann:v({A}) - v({}) = 1 - 0 = 1- Wenn S = {B}, dann:v({A, B}) - v({B}) = 5 - 2 = 3- Wenn S = {C}, dann:v({A, C}) - v({C}) = 6 - 3 = 3- Wenn S = {B, C}, dann:v({A, B, C}) - v({B, C}) = 10 - 7 = 33. Berechne den Beitrag zu jeder Koalition:Die Anzahl der Spieler n ist 3 (A, B, C). Wir müssen den gewichteten Durchschnitt der marginalen Beiträge für jede Koalition berechnen:- Wenn S = {}, dann:|S| = 0, (n - |S| - 1) = 2. Also der Beitrag ist:\frac{0! \times 2!}{3!} \times (v(S ∪ {A}) - v(S)) = \frac{1 \times 2}{6} \times 1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}- Wenn S = {B}, dann:|S| = 1, (n - |S| - 1) = 1. Also der Beitrag ist:\frac{1! \times 1!}{3!} \times (v(S ∪ {A}) - v(S)) = \frac{1 \times 1}{6} \times 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}- Wenn S = {C}, dann:|S| = 1, (n - |S| - 1) = 1. Also der Beitrag ist:\frac{1! \times 1!}{3!} \times (v(S ∪ {A}) - v(S)) = \frac{1 \times 1}{6} \times 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}- Wenn S = {B, C}, dann:|S| = 2, (n - |S| - 1) = 0. Also der Beitrag ist:\frac{2! \times 0!}{3!} \times (v(S ∪ {A}) - v(S)) = \frac{2 \times 1}{6} \times 3 = \frac{6}{6} = 14. Summiere alle Beiträge:Der Shapley-Wert für Spieler A:\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = 2 Der Shapley-Wert für Spieler A beträgt 2.

b)

Berechne den Shapley-Wert für Spieler B unter Verwendung der gleichen Methode wie in der vorhergehenden Frage.

Lösung:

Kooperative Spiele: Shapley-WertUm den Shapley-Wert für Spieler B zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel: \( \phi_i(v) = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!} \left[ v(S \cup \{i\}) - v(S) \right] \)Hier sind die Schritte im Detail:

• 1. Bestimme alle möglichen Koalitionen S, denen B beitreten kann:S = {}, {A}, {C}, {A, C}
• 2. Berechne den marginalen Beitrag von Spieler B zu jeder Koalition S:\(v(S \cup \{B\}) - v(S)\)
  • Wenn S = {}, dann: \(v(\{B\}) - v(\{\}) = 2 - 0 = 2\)
  • Wenn S = {A}, dann: \(v(\{A, B\}) - v(\{A\}) = 5 - 1 = 4\)
  • Wenn S = {C}, dann: \(v(\{B, C\}) - v(\{C\}) = 7 - 3 = 4\)
  • Wenn S = {A, C}, dann: \(v(\{A, B, C\}) - v(\{A, C\}) = 10 - 6 = 4\)
• 3. Berechne den gewichteten Durchschnitt der marginalen Beiträge für jede Koalition:Die Anzahl der Spieler, n, ist 3 (A, B, C). Wir müssen den gewichteten Durchschnitt der marginalen Beiträge für jede Koalition berechnen.
  • Wenn S = {}, dann:\(|S| = 0\), \((n - |S| - 1) = 2\). Also der Beitrag ist:\[\frac{0! \times 2!}{3!} \times (v(\{B\}) - v(\{\})) = \frac{1 \times 2}{6} \times 2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
  • Wenn S = {A}, dann:\(|S| = 1\), \((n - |S| - 1) = 1\). Also der Beitrag ist:\[\frac{1! \times 1!}{3!} \times (v(\{A, B\}) - v(\{A\})) = \frac{1 \times 1}{6} \times 4 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
  • Wenn S = {C}, dann:\(|S| = 1\), \((n - |S| - 1) = 1\). Also der Beitrag ist:\[\frac{1! \times 1!}{3!} \times (v(\{B, C\}) - v(\{C\})) = \frac{1 \times 1}{6} \times 4 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
  • Wenn S = {A, C}, dann:\(|S| = 2\), \((n - |S| - 1) = 0\). Also der Beitrag ist:\[\frac{2! \times 0!}{3!} \times (v(\{A, B, C\}) - v(\{A, C\})) = \frac{2 \times 1}{6} \times 4 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\]
• 4. Summiere alle Beiträge:Der Shapley-Wert für Spieler B:\[\frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}\]Der Shapley-Wert für Spieler B beträgt also \(\frac{10}{3}\) oder ungefähr 3,33.

c)

Berechne den Shapley-Wert für Spieler C unter Verwendung der gegebenen Daten und vergleiche Deine Ergebnisse. Vergewissere Dich, dass die Summe der Shapley-Werte gleich dem Gesamtnutzen von 10 ist.

Lösung:

Kooperative Spiele: Shapley-WertUm den Shapley-Wert für Spieler C zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel: \( \phi_i(v) = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!} \left[ v(S \cup \{i\}) - v(S) \right] \)Hier sind die Schritte im Detail:

• 1. Bestimme alle möglichen Koalitionen S, denen C beitreten kann:S = {}, {A}, {B}, {A, B}
• 2. Berechne den marginalen Beitrag von Spieler C zu jeder Koalition S:\(v(S \cup \{C\}) - v(S)\)
  • Wenn S = {}, dann: \(v(\{C\}) - v(\{\}) = 3 - 0 = 3\)
  • Wenn S = {A}, dann: \(v(\{A, C\}) - v(\{A\}) = 6 - 1 = 5\)
  • Wenn S = {B}, dann: \(v(\{B, C\}) - v(\{B\}) = 7 - 2 = 5\)
  • Wenn S = {A, B}, dann: \(v(\{A, B, C\}) - v(\{A, B\}) = 10 - 5 = 5\)
• 3. Berechne den gewichteten Durchschnitt der marginalen Beiträge für jede Koalition:Die Anzahl der Spieler, n, ist 3 (A, B, C). Wir müssen den gewichteten Durchschnitt der marginalen Beiträge für jede Koalition berechnen.
  • Wenn S = {}, dann:\(|S| = 0\), \((n - |S| - 1) = 2\). Also der Beitrag ist:\[\frac{0! \times 2!}{3!} \times (v(\{C\}) - v(\{\})) = \frac{1 \times 2}{6} \times 3 = \frac{6}{6} = 1\]
  • Wenn S = {A}, dann:\(|S| = 1\), \((n - |S| - 1) = 1\). Also der Beitrag ist:\[\frac{1! \times 1!}{3!} \times (v(\{A, C\}) - v(\{A\})) = \frac{1 \times 1}{6} \times 5 = \frac{5}{6}\]
  • Wenn S = {B}, dann:\(|S| = 1\), \((n - |S| - 1) = 1\). Also der Beitrag ist:\[\frac{1! \times 1!}{3!} \times (v(\{B, C\}) - v(\{B\})) = \frac{1 \times 1}{6} \times 5 = \frac{5}{6}\]
  • Wenn S = {A, B}, dann:\(|S| = 2\), \((n - |S| - 1) = 0\). Also der Beitrag ist:\[\frac{2! \times 0!}{3!} \times (v(\{A, B, C\}) - v(\{A, B\})) = \frac{2 \times 1}{6} \times 5 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\]
• 4. Summiere alle Beiträge:Der Shapley-Wert für Spieler C:\[1 + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{3}\]Um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten, multiplizieren wir die Brüche mit dem notwendigen Faktor:\[1 + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{10}{6} = \frac{6}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{10}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}\]Der Shapley-Wert für Spieler C beträgt also \(\frac{13}{3}\) oder ungefähr 4,33.
Vergleich der Ergebnisse:Die Shapley-Werte der Spieler A, B und C sind:- Spieler A: 2- Spieler B: \(\frac{10}{3}\) (ungefähr 3,33)- Spieler C: \(\frac{13}{3}\) (ungefähr 4,33)Die Summe der Shapley-Werte beträgt:\[2 + \frac{10}{3} + \frac{13}{3} = \frac{6}{3} + \frac{10}{3} + \frac{13}{3} = \frac{29}{3} = 10\]Die Summe der Shapley-Werte ist genau gleich dem Gesamtnutzen von 10, was bestätigt, dass die Berechnungen korrekt sind und der Shapley-Wert eine faire Aufteilung des Nutzens darstellt.