Lebensversicherung - Exam

Aufgabe 1)

Eine Lebensversicherung bietet sowohl einen finanziellen Schutz im Todesfall als auch Investitionsmöglichkeiten. Übliche Arten von Lebensversicherungsprodukten umfassen die Risikolebensversicherung, die Kapitallebensversicherung und die fondsgebundene Lebensversicherung. Die mathematischen Grundlagen zur Berechnung der Prämien und der Barwerte sind von zentraler Bedeutung. Weitere wichtige Aspekte beinhalten die vertraglichen Elemente wie Versicherungssumme, Laufzeit und Prämienhöhe sowie die regulatorischen Rahmenbedingungen wie Solvency II und das Versicherungsgesetz. Zudem wird die steuerliche Behandlung, einschließlich der Kapitalertragssteuer und Steuerfreiheit unter bestimmten Bedingungen, betrachtet.

a)

a) Angenommen, Du möchtest eine Kapitallebensversicherung mit einer Laufzeit von 20 Jahren abschließen. Die garantierte Versicherungssumme beträgt 100.000 €. Die Versicherungsgesellschaft kalkuliert mit einem Zinssatz von 2% pro Jahr. Berechne den Barwert der Versicherungssumme bei Vertragsbeginn.

Hinweis: Der Barwert eines Betrages F, der in t Jahren fällig wird, kann mit folgender Formel berechnet werden: \[ PV = \frac{F}{(1 + i)^t} \ \text{, wobei } PV \text{ der Barwert, } F \text{ der zukünftige Betrag, } i \text{ der Zinssatz und } t \text{ die Laufzeit in Jahren ist.} \] Berechne den Barwert für die angegebenen Parameter.

Lösung:

Lösung:

Um den Barwert der Versicherungssumme von 100.000 € bei einer Laufzeit von 20 Jahren und einem Zinssatz von 2% zu berechnen, nutzen wir die gegebene Formel:

• Formel:

  \[ PV = \frac{F}{(1 + i)^t} \]

• Gegebene Werte:

• F: 100.000 € (Versicherungssumme)
• i: 2% oder 0,02 (Zinssatz pro Jahr)
• t: 20 Jahre (Laufzeit)

• Berechnungsschritte:

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

\[ PV = \frac{100.000}{(1 + 0,02)^{20}} \]

Berechne zuerst den Nenner:

(1 + 0,02)^{20} = 1,02^{20} 

Nehmen wir die Potenzierung vor:

1,02^{20} ≈ 1,485947

Teile nun den zukünftigen Betrag durch das Ergebnis:

PV = \frac{100.000}{1,485947} ≈ 67.275,03 € 

• Ergebnis:

Der Barwert der Versicherungssumme bei Vertragsbeginn beträgt ungefähr 67.275,03 €.

b)

b) Erläutere den Unterschied zwischen einer Risikolebensversicherung und einer Kapitallebensversicherung hinsichtlich der Leistungsauszahlung und der Prämienstruktur. Welche Vor- und Nachteile haben die beiden Versicherungsarten?

Lösung:

Lösung:

• Unterschied zwischen Risikolebensversicherung und Kapitallebensversicherung:

1. Risikolebensversicherung:

• Leistungsauszahlung: Ein festgelegter Betrag wird nur im Todesfall des Versicherten während der Vertragslaufzeit an die Begünstigten ausgezahlt.
• Prämienstruktur: Die Prämien sind in der Regel niedriger, da lediglich das Todesfallrisiko abgedeckt wird und keine Sparkomponente enthalten ist.

Vorteile:

• Kostengünstiger Schutz im Todesfall.
• Einfache und transparente Vertragsbedingungen.

Nachteile:

• Keine Auszahlung bei Überleben der Vertragslaufzeit.
• Kein Aufbau von Ersparnissen oder eine Kapitalanlage.

2. Kapitallebensversicherung:

• Leistungsauszahlung: Eine festgelegte Summe wird entweder im Todesfall oder bei Ablauf der Versicherungsdauer an den Versicherten bzw. die Begünstigten ausgezahlt.
• Prämienstruktur: Die Prämien sind höher, da neben dem Todesfallschutz auch eine Sparkomponente zur Kapitalbildung enthalten ist.

Vorteile:

• Sorgt sowohl für Todesfallschutz als auch für eine Kapitalanlage.
• Auszahlung erfolgt entweder im Todesfall oder bei Ablauf der Laufzeit.
• Möglichkeit der steuerbegünstigten Sparanlage je nach Land und Gesetzgebung.

Nachteile:

• Höhere Prämien im Vergleich zur Risikolebensversicherung.
• Weniger flexible Sparmöglichkeiten als bei reinen Investments.
• Eventuell geringere Rendite im Vergleich zu anderen Anlagen.

• Zusammenfassung:

Die Risikolebensversicherung bietet kostengünstigen Schutz im Todesfall, ohne Sparkomponente. Die Kapitallebensversicherung kombiniert Todesfallschutz mit einer Kapitalanlage, was höhere Prämien erfordert, jedoch auch eine Leistungsauszahlung bei Vertragsende oder Todesfall garantiert.

c)

c) Diskutiere die Bedeutung von Solvency II für Lebensversicherungsunternehmen. Wie beeinflusst Solvency II die finanzielle Stabilität und die Produktgestaltung der Lebensversicherungen? Gehe auch auf die Auswirkungen auf die Prämienhöhe ein.

Lösung:

Lösung:

• Bedeutung von Solvency II für Lebensversicherungsunternehmen:

Solvency II ist ein umfassender regulatorischer Rahmen in der Europäischen Union, der darauf abzielt, die finanzielle Stabilität und das Risikomanagement von Versicherungsunternehmen zu verbessern. Der Rahmen besteht aus drei Säulen, die jeweils unterschiedliche Aspekte des Versicherungswesens abdecken:

• Säule 1: Quantitative Anforderungen Hierzu zählen die Kapitalanforderungen, die den Versicherern auferlegt werden, um sicherzustellen, dass sie über ausreichende finanzielle Mittel zur Deckung ihrer Risiken verfügen. Dies wird durch die Berechnung der Solvabilitätskapitalanforderung (SCR) und der Mindestkapitalanforderung (MCR) erreicht.
• Säule 2: Qualitative Anforderungen Diese betreffen das Governance-System der Unternehmen, einschließlich des Risikomanagements und der internen Kontrollen. Versicherer müssen regelmäßig Risikobeurteilungen durchführen und Maßnahmen ergreifen, um Risiken zu minimieren.
• Säule 3: Transparenz und Marktdisziplin Unternehmen müssen ausführliche Berichte über ihre finanzielle Lage, Risiken und das Risikomanagement veröffentlichen. Dies fördert Transparenz und erleichtert die Bewertung durch Aufsichtsbehörden und Marktteilnehmer.

• Einfluss auf die finanzielle Stabilität:

Solvency II stärkt die finanzielle Stabilität von Lebensversicherungsunternehmen, indem es sicherstellt, dass sie über ausreichendes Kapital verfügen, um ihre Verpflichtungen auch in Stresssituationen zu erfüllen. Durch den verstärkten Fokus auf Risikomanagement müssen Versicherer proaktiv Risiken identifizieren und steuern, was die Wahrscheinlichkeit von Insolvenzen reduziert.

• Einfluss auf die Produktgestaltung:

Die Einführung von Solvency II hat auch die Gestaltung von Lebensversicherungsprodukten beeinflusst:

• Produkte müssen oft so konzipiert werden, dass sie den Kapitalanforderungen entsprechen, was dazu führen kann, dass riskante oder komplexe Produkte weniger attraktiv für Versicherer werden.
• Es kann eine Verstärkung des Angebots von Produkten mit garantierten Leistungen geben, da diese besser mit den Solvency II-Anforderungen harmonieren.
• Versicherer können innovative Produkte entwickeln, die dem modernen Risikomanagement entsprechen und gleichzeitig das Kapital effizient nutzen.

• Auswirkungen auf die Prämienhöhe:

Die strengen Kapitalanforderungen von Solvency II können zu höheren Kosten für die Versicherer führen, da sie mehr Kapital vorhalten müssen. Diese höheren Kosten können teilweise an die Kunden weitergegeben werden, was zu höheren Prämien führt. Allerdings kann dies auch die Sicherheit und Stabilität der Versicherer erhöhen, was für Kunden ebenfalls von Vorteil ist.

Zusammengefasst trägt Solvency II wesentlich zur Stabilität und zum Vertrauen in den Lebensversicherungssektor bei, indem es sicherstellt, dass Unternehmen in der Lage sind, ihren Verpflichtungen nachzukommen und gleichzeitig besser auf Risiken vorbereitet sind. Dies hat Auswirkungen auf die Prämienhöhe und die Produktgestaltung, die sich dem neuen regulatorischen Umfeld anpassen müssen.

Aufgabe 2)

Du bist als Versicherungsberater tätig und sollst für einen Kunden verschiedene Vertragsarten der Lebensversicherung erläutern und anhand ihrer wesentlichen Merkmale den passenden Vertrag empfehlen.

a)

Erläutere die Unterschiede zwischen einer klassischen Kapitallebensversicherung und einer Risikolebensversicherung. Gehe dabei auf die Aspekte Sparanteil, Risikoschutz und Auszahlung im Leistungsfall ein.

Lösung:

Klassische Kapitallebensversicherung vs. Risikolebensversicherung

• Sparanteil:Eine klassische Kapitallebensversicherung kombiniert den Todesfallschutz mit einem Sparanteil. Ein Teil der eingezahlten Beiträge wird angespart und verzinst, sodass am Ende der Vertragslaufzeit eine Auszahlung erfolgt. Bei einer Risikolebensversicherung gibt es keinen Sparanteil. Die Beiträge decken ausschließlich das Todesfallrisiko ab.

• Risikoschutz:Beide Versicherungsarten bieten Risikoschutz im Todesfall, jedoch in unterschiedlicher Form. Die Risikolebensversicherung bietet einen reinen Todesfallschutz, der nur im Todesfall des Versicherten während der Vertragslaufzeit greift. Die Kapitallebensversicherung bietet ebenfalls einen Todesfallschutz, jedoch wird zusätzlich ein Kapital angespart, das am Ende der Laufzeit ausgezahlt wird, auch wenn der Versicherte noch lebt.

• Auszahlung im Leistungsfall:Bei einer klassischen Kapitallebensversicherung erfolgt die Auszahlung entweder bei Ablauf der Vertragslaufzeit (Erlebensfall) oder bei Tod des Versicherten während der Vertragslaufzeit (Todesfall). Im Erlebensfall erhält der Versicherte das angesparte Kapital und die erwirtschafteten Zinsen. Im Todesfall erhalten die Begünstigten eine vereinbarte Versicherungssumme sowie eventuell anfallende Überschüsse. Bei einer Risikolebensversicherung erfolgt eine Auszahlung nur im Todesfall während der Vertragslaufzeit. In diesem Fall erhalten die Begünstigten die vereinbarte Versicherungssumme. Es gibt keine Auszahlung im Erlebensfall, da kein Kapital angespart wird.

Zusammengefasst lässt sich sagen, dass die klassische Kapitallebensversicherung sowohl einen Sparanteil als auch einen Risikoschutz bietet, während die Risikolebensversicherung sich auf den reinen Todesfallschutz konzentriert und keine Kapitalansparung beinhaltet.

b)

Ein Kunde interessiert sich für eine fondsgebundene Lebensversicherung. Erläutere die Funktionsweise dieser Versicherungsart und die Risiken und Chancen, die mit dieser Vertragsart verbunden sind.

Lösung:

Fondsgebundene Lebensversicherung: Funktionsweise, Risiken und Chancen

• Funktionsweise:Die fondsgebundene Lebensversicherung kombiniert den Versicherungsschutz im Todesfall mit einer Sparfunktion, die in Investmentfonds angelegt wird. Die Kunden zahlen regelmäßig Beiträge, von denen ein Teil zur Deckung des Versicherungsschutzes und Verwaltungskosten verwendet wird. Der verbleibende Teil wird in vom Kunden ausgewählte Investmentfonds investiert. Der Wert des Vertrages hängt somit von der Wertentwicklung dieser Fonds ab.

• Chancen:Die fondsgebundene Lebensversicherung bietet die Möglichkeit, durch die Investition in Fonds von der Kapitalmarktentwicklung zu profitieren. Bei guter Wertentwicklung der Fonds können hohe Renditen erzielt werden. Außerdem besteht oft die Möglichkeit, zwischen verschiedenen Fondsarten zu wählen, um die Anlage den persönlichen Präferenzen und der eigenen Risikobereitschaft anzupassen.

• Risiken:Die Hauptgefahr bei dieser Versicherungsart besteht im Risiko der Kapitalmarktschwankungen. Bei ungünstiger Entwicklung der ausgewählten Fonds kann es zu Verlusten kommen, sodass das angesparte Kapital am Ende der Laufzeit geringer ausfällt als die ursprünglich eingezahlten Beiträge. Im Gegensatz zu klassischen Kapitallebensversicherungen gibt es keine garantierte Auszahlungssumme im Erlebensfall. Das bedeutet, dass die Auszahlungshöhe stark von der Entwicklung der zugrundeliegenden Fonds abhängt. Zudem sind oft höhere Verwaltungskosten und Fondsmanagementgebühren zu berücksichtigen.

Zusammengefasst bietet die fondsgebundene Lebensversicherung die Chance auf höhere Renditen durch Investitionen am Kapitalmarkt, geht jedoch mit dem Risiko von Wertschwankungen und möglichen Verlusten einher. Diese Vertragsart eignet sich daher besonders für risikobewusste Kunden, die die Möglichkeit haben, ihre Anlagestrategie flexibel anzupassen und die kurzfristigen Schwankungen am Kapitalmarkt aushalten können.

c)

Ein anderer Kunde möchte seinen Ruhestand absichern und fragt nach einer sofort beginnenden Lebensversicherung. Berechne für diesen Kunden die zu erwartende monatliche Rentenzahlung, wenn er eine Einmalzahlung von 100.000 Euro leistet und eine garantierte Verzinsung von 2% p.a. erzielt wird. Nutze dabei die Formel für die Berechnung der Rentenzahlungen und stelle alle Zwischenschritte deiner Berechnungen dar.

Lösung:

Berechnung der monatlichen Rentenzahlung für eine sofort beginnende Lebensversicherung

Um die monatliche Rentenzahlung zu berechnen, müssen wir die Einmalzahlung, die garantierte Verzinsung und die Laufzeit berücksichtigen. Da der Kunde eine sofort beginnende Lebensversicherung wünscht und keine spezifische Laufzeit angegeben ist, nehmen wir an, dass die Rente lebenslang gezahlt wird. Wir verwenden die Formel für die Berechnung einer lebenslangen Rentenzahlung:

• Formel für die monatliche Rentenzahlung:

P = \frac{A \times r}{1 - (1 + r)^{-n}}

• Dabei ist:A = Einmalzahlungr = monatlicher Zinssatzn = Anzahl der Rentenzahlungen (Lebensjahre * 12)

Im Folgenden sind die einzelnen Schritte zur Berechnung der monatlichen Rentenzahlung dargestellt:

• 1. Einmalzahlung (A):100.000 Euro
• 2. Jährlicher Zinssatz:2% p.a.
• 3. Monatlicher Zinssatz (r):

  ---

   r = \frac {2 \times 0.01}{12} = 0.0016667

• 4. Anzahl der Rentenzahlungen (n): Gehen wir davon aus, dass der Kunde 20 Jahre lang Rente bezieht, dann gilt:

  = 20 * 12 = 240 

• 5. Berechnung der monatlichen Rentenzahlung (P): Die monatliche Rentenzahlung P wird wie folgt berechnet:

P = \frac {100.000 \times 0.0016667}{1 - (1 + 0.0016667)^{-240}}

Nun rechnen wir die einzelnen Schritte durch:

1 - (1 + 0.0016667)^{-240} = 1 - (1.0016667)^{-240} ≈ 1 - 0.67032 = 0.32968

\frac {100.000 \times 0.0016667}{0.32968} ≈ \frac {166.67}{0.32968} ≈ 505.61 Euro/ Monat

Der Kunde kann mit einer monatlichen Rentenzahlung von etwa 505.61 Euro rechnen unter der Annahme, dass er 20 Jahre lang Rente bezieht und eine garantierte Verzinsung von 2% p.a. erreicht wird.

Aufgabe 3)

Angenommen sei eine Lebensversicherung mit den folgenden Parametern:

• Der Diskontierungsfaktor beträgt \( v = \frac{1}{1+0,03} \).
• Die jährliche Sterbewahrscheinlichkeit für eine bestimmte Altersgruppe sei \( q_x = 0,01 \).
• Die Verwaltungskosten betragen 5% der Prämie.
• Der versicherungsmathematische Barwert der zukünftigen Leistungen beträgt \( A_x = 20.000 \) Euro.
• Der Barwert der zukünftigen Prämien beträgt \( \ddot{a}_x = 10.000 \) Euro.

Auf Basis dieser Informationen beantworten Sie bitte die folgenden Fragen:

b)

Berücksichtige die Verwaltungskosten und berechne die jährliche Prämie unter Annahme, dass diese 5% der Prämie betragen.

Lösung:

Um die jährliche Prämie P unter Berücksichtigung der Verwaltungskosten zu berechnen, verwenden wir die allgemeine Prämienformel, angepasst um die Verwaltungskosten:

• \(P_{netto} = \frac{A_x}{\ddot{a}_x}\)
• \(P_{brutto} = \frac{P_{netto}}{1 - Kostenanteil}\)

Hierbei steht:

• A_x für den versicherungsmathematischen Barwert der zukünftigen Leistungen (20.000 Euro)
• \ddot{a}_x für den Barwert der zukünftigen Prämien (10.000 Euro)
• Kostenanteil für die Verwaltungskosten als Prozentsatz (5% bzw. 0,05)

Zuerst berechnen wir die Netto-Prämie (ohne Verwaltungskosten):

• \(P_{netto} = \frac{A_x}{\ddot{a}_x} = \frac{20.000}{10.000} = 2\)

Nun berechnen wir die Brutto-Prämie (inklusive Verwaltungskosten):

• \(P_{brutto} = \frac{P_{netto}}{1 - Kostenanteil} = \frac{2}{1 - 0,05} = \frac{2}{0.95} \approx 2,1053\)

Die jährliche Prämie P unter Berücksichtigung der Verwaltungskosten beträgt somit ungefähr 2,11 Euro.

c)

Diskutiere, wie sich eine Erhöhung der Sterbewahrscheinlichkeit \( q_x \) auf die Prämienhöhe auswirken würde. Veranschauliche dies mathematisch.

Lösung:

Eine Erhöhung der Sterbewahrscheinlichkeit q_x würde eine Erhöhung der Prämienhöhe zur Folge haben. Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir den Einfluss einer erhöhten Sterbewahrscheinlichkeit auf den versicherungsmathematischen Barwert der zukünftigen Leistungen A_x und die Prämienberechnung.

1. Einfluss auf den Versicherungsmathematischen Barwert (\(A_x\))

Der versicherungsmathematische Barwert der zukünftigen Leistungen berechnet sich in Abhängigkeit von der Sterbewahrscheinlichkeit. Wenn die Sterbewahrscheinlichkeit q_x steigt, dann steigt auch der Wert A_x entsprechend.

• Dieser Zusammenhang lässt sich darstellen als:
• \(A_x = \text{Leistung} \times v^k \times q_x\)

Hierbei steht:

• v = \frac{1}{1 + i} für den Diskontierungsfaktor
• k für die Anzahl der Jahre
• q_x für die Sterbewahrscheinlichkeit

Mit einer Erhöhung von q_x wird also der Barwert A_x größer:

• \(A_x' > A_x\)

2. Einfluss auf die Prämienhöhe (\(P\))

Anschließend berechnet sich die jährliche Prämie P wie zuvor nach der angepassten Prämienformel:

• \(P = \frac{A_x}{\texttt{\text{\ddot{a}_x}}}\)

Nach einer Erhöhung von q_x ändert sich A_x:

• \(P' = \frac{A_x'}{\ddot{a}_x}\)

Da A_x' größer ist als A_x, wird auch die neue Prämie P' größer sein als die ursprüngliche Prämie P:

• \(P' > P\)

Mathematische Veranschaulichung:

• Neuer Barwert der zukünftigen Leistungen (bei erhöhter Sterbewahrscheinlichkeit):
• \(A_x' = \text{Leistung} \times v^k \times q_x'\)
• Neue Prämie (bei erhöhter Sterbewahrscheinlichkeit):
• \(P' = \frac{\text{Leistung} \times v^k \times q_x'}{\ddot{a}_x}\)

Da q_x' größer als q_x ist, ergibt sich eine größere jährliche Prämie P' im Vergleich zur ursprünglichen Prämie P.

Zusammengefasst: Eine Erhöhung der Sterbewahrscheinlichkeit q_x führt zu einem höheren versicherungsmathematischen Barwert A_x und damit zu einer höheren jährlichen Prämie P.

Aufgabe 4)

Sterbetafeln und ihre Anwendung in der LebensversicherungIn der Lebensversicherung sind Sterbetafeln ein zentrales Werkzeug, um die Mortalität verschiedener Altersgruppen zu analysieren und darauf basierend Prämien, Reserven und Risiken zu bewerten. Die Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x wird anhand der Formel \( q_x = \frac{D_x}{L_x} \) ermittelt, wobei D_x die Anzahl der Todesfälle und L_x die Anzahl der Überlebenden im Alter x darstellt. Die Wahrscheinlichkeit, das Alter x+n zu erreichen, ist definiert als \( p_{x,n} = \frac{L_{x+n}}{L_x} \) Ein weiteres wesentliches Konzept in der Lebensversicherung ist die Berechnung der Lebenswartung, also des Erwartungswertes der verbleibenden Lebensdauer ab einem bestimmten Alter.

a)

Gegeben sei eine Sterbetafel mit den folgenden Daten:

• Alter x=30: L_x = 90,000, D_x = 500
• Alter x=35: L_{x+5} = 85,000, D_{x+5} = 600

Berechne die Sterbewahrscheinlichkeit für eine 30-jährige Person und die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der nächsten fünf Jahre zu überleben.

Lösung:

Sterbetafeln und ihre Anwendung in der LebensversicherungIn der Lebensversicherung sind Sterbetafeln ein zentrales Werkzeug, um die Mortalität verschiedener Altersgruppen zu analysieren und darauf basierend Prämien, Reserven und Risiken zu bewerten. Die Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x wird anhand der Formel (q_x = \frac{D_x}{L_x})ermittelt, wobei D_x die Anzahl der Todesfälle und L_x die Anzahl der Überlebenden im Alter x darstellt. Die Wahrscheinlichkeit, das Alter x+n zu erreichen, ist definiert als (p_{x,n} = \frac{L_{x+n}}{L_x}) Ein weiteres wesentliches Konzept in der Lebensversicherung ist die Berechnung der Lebenswartung, also des Erwartungswertes der verbleibenden Lebensdauer ab einem bestimmten Alter. Teilaufgabe: Gegeben sei eine Sterbetafel mit den folgenden Daten:

• Alter x=30: L_x = 90,000, D_x = 500
• Alter x=35: L_{x+5} = 85,000, D_{x+5} = 600

Berechne die Sterbewahrscheinlichkeit für eine 30-jährige Person und die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der nächsten fünf Jahre zu überleben.Berechnung der Sterbewahrscheinlichkeit und Überlebenswahrscheinlichkeit:

1. Sterbewahrscheinlichkeit für eine 30-jährige Person: Die Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x wird mit Hilfe der Formel (q_x = \frac{D_x}{L_x}) berechnet:
   • Daten: D_x = 500, L_x = 90,000
   • Sterbewahrscheinlichkeit q₃₀ = (q_{30} = \frac{500}{90,000} = \frac{5}{900} = 0.00556)
   Sterbewahrscheinlichkeit q₃₀ ≈ 0.00556 (oder 0.556%).
2. Wahrscheinlichkeit, innerhalb der nächsten fünf Jahre zu überleben: Die Wahrscheinlichkeit, das Alter x+n zu erreichen, wird durch die Formel (p_{x,n} = \frac{L_{x+n}}{L_x}) definiert:
   • Daten: L_{x+5} = 85,000, L_x = 90,000
   • Wahrscheinlichkeit p_30,5 = (p_{30,5} = \frac{85,000}{90,000} = \frac{85}{90} = 0.9444)
   Wahrscheinlichkeit p_30,5 ≈ 0.9444 (oder 94.44%). Zusammenfassend:
   • Die Sterbewahrscheinlichkeit für eine 30-jährige Person beträgt etwa 0.00556 (oder 0.556%).
   • Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb der nächsten fünf Jahre zu überleben, beträgt etwa 0.9444 (oder 94.44%).

b)

Erkläre den Unterschied zwischen der Sterbewahrscheinlichkeit q_x und der Überlebenswahrscheinlichkeit p_{x,n} und diskutiere, wie beide in der Prämienkalkulation einer Lebensversicherung verwendet werden.

Lösung:

Sterbetafeln und ihre Anwendung in der LebensversicherungIn der Lebensversicherung sind Sterbetafeln ein zentrales Werkzeug, um die Mortalität verschiedener Altersgruppen zu analysieren und darauf basierend Prämien, Reserven und Risiken zu bewerten. Die Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x wird anhand der Formel (q_x = \frac{D_x}{L_x})ermittelt, wobei D_x die Anzahl der Todesfälle und L_x die Anzahl der Überlebenden im Alter x darstellt. Die Wahrscheinlichkeit, das Alter x+n zu erreichen, ist definiert als (p_{x,n} = \frac{L_{x+n}}{L_x})Ein weiteres wesentliches Konzept in der Lebensversicherung ist die Berechnung der Lebenswartung, also des Erwartungswertes der verbleibenden Lebensdauer ab einem bestimmten Alter.Teilaufgabe:Erkläre den Unterschied zwischen der Sterbewahrscheinlichkeit q_x und der Überlebenswahrscheinlichkeit p_{x,n} und diskutiere, wie beide in der Prämienkalkulation einer Lebensversicherung verwendet werden.Unterschied zwischen der Sterbewahrscheinlichkeit q_x und der Überlebenswahrscheinlichkeit p_{x,n}:

• Sterbewahrscheinlichkeit q_x: Die Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x, bezeichnet als q_x, gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person im Alter x innerhalb eines bestimmten Zeitraums (normalerweise eines Jahres) stirbt. Sie wird berechnet durch: (q_x = \frac{D_x}{L_x}) D_x steht für die Anzahl der Todesfälle im Alter x und L_x für die Anzahl der überlebenden Personen im Alter x.
• Überlebenswahrscheinlichkeit p_{x,n}: Die Überlebenswahrscheinlichkeit, bezeichnet als p_{x,n}, gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person im Alter x das Alter x+n erreicht. Sie wird berechnet durch: (p_{x,n} = \frac{L_{x+n}}{L_x}) L_{x+n} steht für die Anzahl der überlebenden Personen im Alter x+n und L_x für die Anzahl der überlebenden Personen im Alter x.

Verwendung in der Prämienkalkulation einer Lebensversicherung:In der Lebensversicherung spielen beide Wahrscheinlichkeiten eine zentrale Rolle:

• Sterbewahrscheinlichkeit q_x: Die Sterbewahrscheinlichkeit q_x wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu schätzen, dass eine versicherte Person während der Versicherungsdauer stirbt. Diese Wahrscheinlichkeit ist entscheidend für die Berechnung der Sterbegeldversicherung, bei der die Versicherungssumme im Todesfall ausgezahlt wird. Höhere Sterbewahrscheinlichkeiten führen zu höheren Prämien, da das Risiko für die Versicherungsgesellschaft größer ist.
• Überlebenswahrscheinlichkeit p_{x,n}: Die Überlebenswahrscheinlichkeit p_{x,n} wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine versicherte Person eine bestimmte Altersgrenze erreicht. Diese Wahrscheinlichkeit ist wichtig für die Berechnung von Rentenversicherungen, bei denen die Versicherungssumme ab einem bestimmten Alter in regelmäßigen Abständen ausgezahlt wird. Höhere Überlebenswahrscheinlichkeiten führen zu höheren Prämien für Rentenversicherungen, da die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlungen für längere Zeit geleistet werden müssen, steigt.

Zusammenfassend:

• Die Sterbewahrscheinlichkeit q_x beeinflusst die Prämien für Lebens- und Sterbegeldversicherungen.
• Die Überlebenswahrscheinlichkeit p_{x,n} bestimmt die Prämien für Rentenversicherungen und Versicherungsprodukte, die auf dem Erreichen eines bestimmten Alters basieren.

c)

Nehmen wir an, die Lebenswartung einer 30-jährigen Person basierend auf einer erweiterten Sterbetafel beträgt 45 Jahre. Berechne den Erwartungswert der verbleibenden Lebensdauer und erkläre, wie dieser in der Risikobewertung einer Lebensversicherungspolice verwendet wird.

Lösung:

Sterbetafeln und ihre Anwendung in der LebensversicherungIn der Lebensversicherung sind Sterbetafeln ein zentrales Werkzeug, um die Mortalität verschiedener Altersgruppen zu analysieren und darauf basierend Prämien, Reserven und Risiken zu bewerten. Die Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x wird anhand der Formel (q_x = \frac{D_x}{L_x}) ermittelt, wobei D_x die Anzahl der Todesfälle und L_x die Anzahl der Überlebenden im Alter x darstellt. Die Wahrscheinlichkeit, das Alter x+n zu erreichen, ist definiert als (p_{x,n} = \frac{L_{x+n}}{L_x}) Ein weiteres wesentliches Konzept in der Lebensversicherung ist die Berechnung der Lebenswartung, also des Erwartungswertes der verbleibenden Lebensdauer ab einem bestimmten Alter.Teilaufgabe:Nehmen wir an, die Lebenswartung einer 30-jährigen Person basierend auf einer erweiterten Sterbetafel beträgt 45 Jahre. Berechne den Erwartungswert der verbleibenden Lebensdauer und erkläre, wie dieser in der Risikobewertung einer Lebensversicherungspolice verwendet wird.Berechnung des Erwartungswertes der verbleibenden Lebensdauer:Der Erwartungswert der verbleibenden Lebensdauer für eine 30-jährige Person beträgt 45 Jahre. Das bedeutet, dass eine 30-jährige Person im Durchschnitt bis zum Alter von 75 Jahren leben wird (30 + 45 = 75 Jahre).Verwendung in der Risikobewertung einer Lebensversicherungspolice:

• Prämienkalkulation: Der Erwartungswert der verbleibenden Lebensdauer ist ein zentraler Faktor für die Berechnung der Versicherungsprämie. Versicherungsunternehmen müssen berücksichtigen, wie lange sie voraussichtlich Leistungen erbringen müssen. Eine längere Lebenswartung bedeutet längere Auszahlungszeiträume bei Rentenversicherungen oder längere Wartezeiten bis zum Eintritt des Versicherungsfalls bei Lebensversicherungen, was die Prämien beeinflusst.
• Reservierung: Versicherungsunternehmen verwenden den Erwartungswert der verbleibenden Lebensdauer, um Rückstellungen für zukünftige Auszahlungen zu bilden. Dies stellt sicher, dass genügend Mittel vorhanden sind, um alle zukünftigen Verpflichtungen zu erfüllen.
• Risikobewertung: Der Erwartungswert der verbleibenden Lebensdauer hilft Versicherungsunternehmen, das Risiko einer Police zu bewerten. Bei einer Person mit einer längeren verbleibenden Lebensdauer besteht ein höheres Risiko für das Versicherungsunternehmen in Bezug auf die Dauer der Leistungserbringung, insbesondere bei Rentenversicherungen. Dies kann zu einer Anpassung der Prämien führen oder Auswirkungen auf die Annahmepolitik haben.

Zusammengefasst spielt der Erwartungswert der verbleibenden Lebensdauer eine zentrale Rolle in der Prämienkalkulation, Reservierung und Risikobewertung einer Lebensversicherungspolice. Je nach Länge der erwarteten Lebensdauer variieren die finanziellen Verpflichtungen des Versicherungsunternehmens, was direkte Auswirkungen auf die Kosten und das Management der Versicherungspolicen hat.

d)

Eine Lebensversicherungsgesellschaft plant, eine neue Police für 30-jährige Personen herauszugeben, die bis zum 65. Lebensjahr eine konstante jährliche Prämie zahlen sollen. Diskutiere, welche Faktoren bei der Festlegung der Prämie berücksichtigt werden müssen und welche Rolle die Sterbetafeln dabei spielen.

Lösung:

Sterbetafeln und ihre Anwendung in der LebensversicherungIn der Lebensversicherung sind Sterbetafeln ein zentrales Werkzeug, um die Mortalität verschiedener Altersgruppen zu analysieren und darauf basierend Prämien, Reserven und Risiken zu bewerten. Die Sterbewahrscheinlichkeit im Alter x wird anhand der Formel (q_x = \frac{D_x}{L_x})ermittelt, wobei D_x die Anzahl der Todesfälle und L_x die Anzahl der Überlebenden im Alter x darstellt. Die Wahrscheinlichkeit, das Alter x+n zu erreichen, ist definiert als (p_{x,n} = \frac{L_{x+n}}{L_x}) Ein weiteres wesentliches Konzept in der Lebensversicherung ist die Berechnung der Lebenswartung, also des Erwartungswertes der verbleibenden Lebensdauer ab einem bestimmten Alter.Teilaufgabe:Eine Lebensversicherungsgesellschaft plant, eine neue Police für 30-jährige Personen herauszugeben, die bis zum 65. Lebensjahr eine konstante jährliche Prämie zahlen sollen. Diskutiere, welche Faktoren bei der Festlegung der Prämie berücksichtigt werden müssen und welche Rolle die Sterbetafeln dabei spielen.Faktoren bei der Festlegung der Prämie:Die Festlegung der Prämie für die neue Lebensversicherungspolice hängt von verschiedenen Faktoren ab, die wiederum durch die Daten aus den Sterbetafeln beeinflusst werden. Die wichtigsten Faktoren sind:

• Sterbewahrscheinlichkeit (q_x): Die Sterbewahrscheinlichkeit für die relevanten Altersgruppen (30 bis 65 Jahre) muss ermittelt werden. Wenn q_x hoch ist, steigt das Risiko für die Versicherung, und somit auch die benötigte Prämie.
• Überlebenswahrscheinlichkeit (p_{x,n}): Diese Wahrscheinlichkeit hilft zu bestimmen, wie viele Personen voraussichtlich bis zum Alter von 65 Jahren überleben und weiterhin Prämien zahlen.
• Lebenserwartung: Die Lebenserwartung für die versicherten Personen ist ebenfalls wichtig, da sie das Risiko und die voraussichtliche Leistungsdauer beeinflusst.
• Versicherungssumme: Die Höhe der Versicherungssumme, die im Todesfall ausgezahlt wird, beeinflusst die Prämienhöhe stark. Höhere Versicherungssummen bedeuten höhere Prämien.
• Verwaltungskosten: Die Kosten für die Verwaltung der Police müssen ebenfalls berücksichtigt werden. Diese beinhalten Ausgaben für Verwaltung, Vertrieb und andere operationelle Kosten.
• Zinsen und Kapitalmarkt: Erwartete Renditen aus investierten Prämienzahlungen können die Prämienhöhe beeinflussen. Höhere erwartete Renditen können niedrigere Prämien ermöglichen.
• Gesundheitszustand: Der allgemeine Gesundheitszustand und eventuelle Gesundheitsprüfungen der Antragsteller können das Risiko weiter differenzieren.
• Rückstellungen: Versicherer müssen genügend finanzielle Rücklagen bilden, um zukünftige Forderungen erfüllen zu können. Diese Rücklagen basieren auf Sterbewahrscheinlichkeiten und anderen versicherungsmathematischen Annahmen.

Rolle der Sterbetafeln:Sterbetafeln sind das Herzstück bei der Berechnung von Prämien für Lebensversicherungspolicen. Sie liefern die notwendigen statistischen Daten, um die oben genannten Faktoren genau zu berechnen. Im Detail:

• Sterbetafeln liefern die Sterbewahrscheinlichkeiten (q_x), die für jede Altersgruppe entscheidend sind.
• Sie liefern die Daten zur Überlebenswahrscheinlichkeit (p_{x,n}), die benötigt werden, um die zukünftigen Prämieneinnahmen und potenziellen Auszahlungen abzuschätzen.
• Die Daten aus den Sterbetafeln helfen bei der Berechnung der Lebenserwartung, die bestimmt, wie lange die Versicherungen voraussichtlich Leistungen erbringen müssen.

Zusammenfassend spielen Sterbetafeln eine entscheidende Rolle bei der Festlegung der Prämien für Lebensversicherungspolicen. Sie bieten die Basisdaten, um die Risiken und Wahrscheinlichkeiten, die mit dem Leben der Versicherten verbunden sind, genau zu berechnen. Versicherer nutzen diese Berechnungen, um sicherzustellen, dass die Prämien sowohl rentabel als auch wettbewerbsfähig sind und gleichzeitig das finanzielle Risiko minimiert wird.