Mathematics for Economists - Cheatsheet

Vektoren und Matrixoperationen

Definition:

Vektoren als n-dimensionale Größen; Matrixoperationen: Addition, Multiplikation, Transponieren, Inverse.

Details:

• Vektor: \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{pmatrix}\)
• Matrix: \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\)
• Addition: \(A + B = (a_{ij} + b_{ij})\)
• Multiplikation: \(A \cdot B = C, \ C_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{kj}\)
• Transponieren: \(A^T\)
• Inverse: \(A^{-1} \text{(nur wenn det(A) ≠ 0)}\)
• Determinante: \det(A)\

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren geben Aufschluss über die Eigenschaften von Matrizen, insbesondere in Bezug auf lineare Transformationen und Diagonalisierung.

Details:

• Eigenwert \(\lambda\): Lösung der Gleichung \(\det(A - \lambda I) = 0\).
• Eigenvektor \(\mathbf{v}\): Für einen Eigenwert \(\lambda\) gelöst aus der Gleichung \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\).
• Diagonalisierung: Matrix \(A\) kann als \(A = PDP^{-1}\) dargestellt werden, wobei \(D\) eine Diagonalmatrix der Eigenwerte und \(P\) eine Matrix der zugehörigen Eigenvektoren ist.
• Nutzen: Reduktion komplexer Probleme, z.B. zur Lösung von Differentialgleichungen und zur Untersuchung von Stabilität bei Gleichgewichtspunkten.

Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz

Definition:

Gesetz der großen Zahlen und Zentraler Grenzwertsatz erklären, wie sich Wahrscheinlichkeiten und Verteilungen in großen Stichproben verhalten.

Details:

• Gesetz der großen Zahlen: Stichprobenmittelwert nähert sich dem Erwartungswert bei steigender Stichprobengröße.
• Zentraler Grenzwertsatz: Summe/ Durchschnitt von Zufallsvariablen mit genügend großer Stichprobengröße folgt annähernd einer Normalverteilung.
• Formel Gesetz der großen Zahlen: \lim_{{n \to \infty}} \overline{X}_n = \mu
• Formel Zentraler Grenzwertsatz: \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{{i=1}}^{n} X_i \xrightarrow{D} N(0, \sigma^2)

Stabilitätsanalyse in dynamischen Systemen

Definition:

Untersuchung, ob eine Lösung eines dynamischen Systems nach einer kleinen Störung im Zeitverlauf wieder zu ihrem Ausgangszustand zurückkehrt oder sich weiter davon entfernt.

Details:

• Stabilität: Lösung kehrt nach Störung zum Ausgangszustand zurück.
• Asymptotische Stabilität: Lösung nähert sich dem Ausgangszustand über Zeit.
• Instabilität: Lösung entfernt sich nach Störung weiter vom Ausgangszustand.
• Lineare Systeme: Eigenwerte der Jacobimatrix prüfen. Falls alle Realteile negativ, System stabil.
• Nichtlineare Systeme: Linearisierung um Gleichgewichtspunkt, dann Stabilität dieses linearen Systems prüfen.
• Beispiele und Konzepte: Lyapunov-Methoden, Eigenwertanalyse, Phase-Plane-Analyse.

Integrationstechniken (Substitution und partielle Integration)

Definition:

Integrationstechniken zur Vereinfachung und Lösung komplexer Integrale.

Details:

• Substitution: Methode zur Vereinfachung, indem eine Variable ersetzt wird.
• Setze u = g(x) , dann du = g'(x) dx .
• Ursprungsintegral: \int f(g(x)) g'(x) dx
• Transformiertes Integral: \int f(u) du
• Partielle Integration: Methode basierend auf Produktregel der Differentiation.
• \int u \, dv = uv - \int v \, du
• Wähle u und dv so, dass v und du leicht zu bestimmen sind.

Diskrete und stetige Dynamiken

Definition:

Analyse von Systemen über die Zeit in diskreten und kontinuierlichen Schritten.

Details:

• Diskrete Dynamik: Zustandsveränderungen zu diskreten Zeitpunkten.
• Stetige Dynamik: Zustandsveränderungen zu kontinuierlichen Zeitpunkten.
• Diskrete Dynamik: Beschrieben durch Rekursionsgleichungen, z.B. \( x_{t+1} = f(x_t) \).
• Stetige Dynamik: Beschrieben durch Differentialgleichungen, z.B. \( \frac{dx}{dt} = g(x, t) \).
• Anwendungsbeispiele in Ökonomie: Bevölkerungswachstum (diskret), Kapitalakkumulation (stetig).