Mathematics for Economists - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die folgenden Vektoren und Matrizen:\( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} \), \( \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix} \) und die Matrizen \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \ 6 & 5 & 4 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \).

b)

b) Bestimme das Produkt der beiden Matrizen \( A \) und \( B \). Berechne explizit die Elemente der resultierenden Matrix.

Lösung:

Um das Produkt der Matrizen A und B zu berechnen, multiplizierst Du jede Zeile der Matrix A mit jeder Spalte der Matrix B und summierst die Produkte. Die Matrizen seien wie folgt definiert:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} 

 B = \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \ 6 & 5 & 4 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} 

Das Produkt der Matrizen A und B ergibt eine neue Matrix C, wobei:

 C = A \times B 

Die Elemente der resultierenden Matrix C berechnen sich wie folgt:

• Erste Zeile, erste Spalte: (1×9) + (2×6) + (3×3) = 9 + 12 + 9 = 30
• Erste Zeile, zweite Spalte: (1×8) + (2×5) + (3×2) = 8 + 10 + 6 = 24
• Erste Zeile, dritte Spalte: (1×7) + (2×4) + (3×1) = 7 + 8 + 3 = 18
• Zweite Zeile, erste Spalte: (4×9) + (5×6) + (6×3) = 36 + 30 + 18 = 84
• Zweite Zeile, zweite Spalte: (4×8) + (5×5) + (6×2) = 32 + 25 + 12 = 69
• Zweite Zeile, dritte Spalte: (4×7) + (5×4) + (6×1) = 28 + 20 + 6 = 54
• Dritte Zeile, erste Spalte: (7×9) + (8×6) + (9×3) = 63 + 48 + 27 = 138
• Dritte Zeile, zweite Spalte: (7×8) + (8×5) + (9×2) = 56 + 40 + 18 = 114
• Dritte Zeile, dritte Spalte: (7×7) + (8×4) + (9×1) = 49 + 32 + 9 = 90

Die resultierende Matrix C ist:

 C = \begin{pmatrix} 30 & 24 & 18 \ 84 & 69 & 54 \ 138 & 114 & 90 \end{pmatrix} 

Aufgabe 3)

Stell Dir vor, ein Unternehmen möchte die mittlere Wartezeit ihrer Kunden an der Hotline analysieren. Es wird angenommen, dass die Wartezeiten in Minuten unabhängig voneinander und identisch normalverteilt sind mit einem Erwartungswert von 12 Minuten und einer Standardabweichung von 3 Minuten. Für die Analyse wird eine Stichprobe von 100 Kundengesprächen ausgewertet.

a)

Erkläre mithilfe des Gesetzes der großen Zahlen, was Du über das Stichprobenmittel der mittleren Wartezeiten erwarten kannst, wenn die Stichprobengröße sehr groß wird. Formuliere dabei die zugrunde liegende Formel und erläutere sie.

Lösung:

Das Gesetz der großen Zahlen ist ein fundamentales Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie, das aufzeigt, wie sich das arithmetische Mittel einer großen Anzahl von Zufallsvariablen verhält, wenn die Stichprobengröße zunimmt. Es gibt zwei Formen dieses Gesetzes: die schwache und die starke Form, wobei beide im Kern besagen, dass das Stichprobenmittelwert, je größer die Stichprobe wird, immer näher am Erwartungswert liegt.

Gegeben sei eine Zufallsvariable (Wartezeit in Minuten) \(X\), die normalverteilt ist mit einem Erwartungswert \(\mu = 12\) Minuten und einer Standardabweichung \(\sigma = 3\) Minuten. Nehmen wir an, wir haben eine Stichprobe von \(n\) unabhängigen Beobachtungen \(X_1, X_2, ..., X_n\).

Das arithmetische Mittel dieser Stichprobe, auch als Stichprobenmittel \(\bar{X}\) bezeichnet, berechnet sich durch:

• \(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)

Nach dem Gesetz der großen Zahlen gilt:

• \(\lim_{{n \to \infty}} \bar{X} = \mu\) nahezu sicher.

Das bedeutet, dass das Stichprobenmittel \(\bar{X}\) mit zunehmender Stichprobengröße \(n\) immer näher an den Erwartungswert \(\mu\) heranrückt. Für unser Beispiel mit einer durchschnittlichen Wartezeit von 12 Minuten und einer Stichprobe von 100 Kundengesprächen erwarten wir daher, dass das Mittel der Wartezeiten \(\bar{X}\) nahe bei 12 Minuten liegt. Je größer die Stichprobengröße wird, desto genauer wird \(\bar{X}\) an den tatsächlichen Erwartungswert heranreichen.

b)

Nehmen wir an, das Unternehmen möchte den Durchschnitt und die Verteilung der Wartezeiten veranschaulichen. Nutze den zentralen Grenzwertsatz, um zu begründen, warum die Verteilung des Stichprobenmittels von 100 Kundengesprächen annähernd normalverteilt sein wird. Gebe die zentrale Formel an und erkläre sie.

Lösung:

Der zentrale Grenzwertsatz (Central Limit Theorem, CLT) ist eines der wichtigsten Resultate in der Statistik. Er beschreibt, warum das arithmetische Mittel einer großen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen annähernd normalverteilt ist, selbst wenn die Ausgangsvariablen keine Normalverteilung aufweisen.

Das bedeutet, unabhängig von der Verteilung der Grundgesamtheit wird bei ausreichender Stichprobengröße das Mittel der Stichprobe normalverteilt sein.

Gegeben sei eine Zufallsvariable \(X\), die normalverteilt ist mit einem Erwartungswert \(\mu = 12\) Minuten und einer Standardabweichung \(\sigma = 3\) Minuten. Wir betrachten das arithmetische Mittel einer Stichprobe von \(n = 100\) Kundengesprächen.

Das arithmetische Mittel dieser Stichprobe, auch Stichprobenmittel \(\bar{X}\) genannt, wird berechnet als:

• \(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\)

Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt für große Stichproben \(n\):

• \(\bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\)

Dies bedeutet, dass das Stichprobenmittel \(\bar{X}\) annähernd normalverteilt ist mit:

• Erwartungswert \(\mu = 12\) Minuten.
• Varianz \(\frac{\sigma^2}{n} = \frac{3^2}{100} = 0,09\) Minuten².
• Standardabweichung \(\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \sqrt{0,09} = 0,3\) Minuten.

Da die Stichprobengröße \(n = 100\) relativ groß ist, werden die mittleren Wartezeiten \(\bar{X}\) annähernd normalverteilt sein, selbst wenn die ursprüngliche Verteilung nicht perfekt normal wäre. Dies erleichtert die Analyse stark, da viele statistische Methoden Normalverteilungen voraussetzen.

Das Unternehmen kann daher annehmen, dass die Verteilung des Stichprobenmittels der Wartezeiten von 100 Kundengesprächen annähernd normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 12 Minuten und einer Standardabweichung von 0,3 Minuten.

c)

Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der mittleren Wartezeit nach dem Zentralen Grenzwertsatz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die mittlere Wartezeit der 100 Stichproben zwischen 11.5 und 12.5 Minuten liegt? Veranschauliche Deine Antwort mit einer Berechnung.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der mittleren Wartezeit zu berechnen und die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass die mittlere Wartezeit einer Stichprobe von 100 Kundengesprächen zwischen 11.5 und 12.5 Minuten liegt, verwenden wir den zentralen Grenzwertsatz. Dieser besagt, dass das arithmetische Mittel einer großen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen annähernd normalverteilt ist.

Gegeben sind:

• Erwartungswert \(\mu = 12\) Minuten.
• Standardabweichung \(\sigma = 3\) Minuten.
• Stichprobengröße \(n = 100\).

Nach dem zentralen Grenzwertsatz ergibt sich die Standardabweichung des Stichprobenmittels als:

• \(\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = 0.3\) Minuten.

Das Stichprobenmittel \(\bar{X}\) ist daher normalverteilt mit:

• \(\bar{X} \sim N(12, 0.3^2)\).

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass \(\bar{X}\) zwischen 11.5 und 12.5 Minuten liegt, standardisieren wir diese Werte zur Standardnormalverteilung \(Z\):

Die Standardisierung erfolgt durch:

• \(Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}\)

Für die Grenzen 11.5 und 12.5 Minuten ergibt sich:

• \(Z_{11.5} = \frac{11.5 - 12}{0.3} = \frac{-0.5}{0.3} \approx -1.67\)
• \(Z_{12.5} = \frac{12.5 - 12}{0.3} = 1.67\)

Mithilfe der Standardnormalverteilungstabelle oder einer Software wie Python berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten:

• \(P(Z \leq -1.67) \approx 0.0475\)
• \(P(Z \leq 1.67) \approx 0.9525\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher:

• \(P(11.5 < \bar{X} < 12.5) = P(Z \leq 1.67) - P(Z \leq -1.67) = 0.9525 - 0.0475 = 0.905\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die mittlere Wartezeit der 100 Stichproben zwischen 11.5 und 12.5 Minuten liegt, beträgt also etwa 90.5%.

 import scipy.stats as stats  mu = 12  sigma = 3  n = 100  sigma_x_bar = sigma / (n ** 0.5)  z1 = (11.5 - mu) / sigma_x_bar  z2 = (12.5 - mu) / sigma_x_bar  p1 = stats.norm.cdf(z1)  p2 = stats.norm.cdf(z2)  probability = p2 - p1  print(f'Wahrscheinlichkeit: {probability * 100:.2f}%')  

Aufgabe 4)

Ein dynamisches System kann durch die folgenden Differentialgleichungen beschrieben werden:

\[\frac{dx}{dt} = f(x, y)\]

\[\frac{dy}{dt} = g(x, y)\]

Untersuche die Stabilität des Gleichgewichtspunkts dieses Systems. Führe dazu die folgenden Schritte durch:

a)

(a) Bestimme die Gleichgewichtspunkte des Systems, indem Du die Funktionen \(f(x, y)\) und \(g(x, y)\) gleich null setzt. Zeige alle Berechnungsschritte auf.

Lösung:

Um die Gleichgewichtspunkte des dynamischen Systems zu bestimmen, müssen wir die Funktionen f(x, y) und g(x, y) gleich null setzen und das resultierende Gleichungssystem lösen. Das heißt, wir suchen nach den Werten von x und y, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

\[f(x, y) = 0\]

\[g(x, y) = 0\]

• Schritt 1: Schreibe die Gleichungen explizit auf.
• Schritt 2: Setze f(x, y) und g(x, y) auf null.
• Schritt 3: Löse das resultierende Gleichungssystem nach x und y.

Angenommen, die speziellen Formen von f(x, y) und g(x, y) sind wie folgt:

\[f(x, y) = ax + by + c\]

\[g(x, y) = dx + ey + f\]

Dann setzen wir diese Gleichungen gleich null:

\[ax + by + c = 0\]

\[dx + ey + f = 0\]

• Schritt 4: Löse das lineare Gleichungssystem:
• Multipliziere die erste Gleichung mit e und die zweite Gleichung mit b, um die x-Terme zu eliminieren:

\[ae*x + be*y + ce = 0\]

\[bd*x + be*y + bf = 0\]

• Ziehe die zweite Gleichung von der ersten ab:

\[ae*x + be*y + ce - (bd*x + be*y + bf) = 0\]

\[(ae - bd)x + (ce - bf) = 0\]

• Löse nach x:

\[x = \frac{bf - ce}{ae - bd}\]

• Setze den Wert von x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um y zu finden:
• Zum Beispiel in die erste Gleichung:

\[a * \left(\frac{bf - ce}{ae - bd}\right) + by + c = 0\]

\[\frac{a(bf - ce) + by(ae - bd) + c(ae - bd)}{ae - bd} = 0\]

\[by(ae - bd) = -a(bf - ce) - c(ae - bd)\]

\[y = \frac{-a(bf - ce) - c(ae - bd)}{b(ae - bd)}\]

• Zusammengefasst sind die Gleichgewichtspunkte:

\[\left(x = \frac{bf - ce}{ae - bd}, \; y = \frac{-a(bf - ce) - c(ae - bd)}{b(ae - bd)}\right)\]

Damit haben wir die Gleichgewichtspunkte des Systems bestimmt.

b)

(b) Linearisere das System um die gefundenen Gleichgewichtspunkte und bestimme die Jacobimatrix. Berechne die Eigenwerte der Jacobimatrix für jeden Gleichgewichtspunkt. Zeige alle Zwischenschritte und Formeln.

Lösung:

Um die Stabilität des Gleichgewichtspunkts eines dynamischen Systems zu untersuchen, müssen wir das System um die Gleichgewichtspunkte linearisieren und die Jacobimatrix berechnen. Anschließend sind die Eigenwerte der Jacobimatrix für jeden Gleichgewichtspunkt zu bestimmen. Gehen wir die Schritte der Reihe nach durch:

• Schritt 1: Linearisierung des Systems um die gefundenen Gleichgewichtspunkte.
• Schritt 2: Berechnung der Jacobimatrix \(J\).
• Schritt 3: Berechnung der Eigenwerte der Jacobimatrix.

Angenommen, wir haben die Funktionen \(f(x, y)\) und \(g(x, y)\) sowie die Gleichgewichtspunkte \((x^*, y^*)\) gefunden aus dem vorherigen Teilschritt:

• Wir wollen nun die Jacobimatrix \(J\) am Gleichgewichtspunkt bestimmen.

Die Jacobimatrix J besteht aus den partiellen Ableitungen der Funktionen \(f(x, y)\) und \(g(x, y)\):

\[J = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \  \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix}\]

Setzen wir die Gleichgewichtspunkte \((x^*, y^*)\) in die Jacobimatrix ein:

\[J(x^*, y^*) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) & \frac{\partial f}{\partial y}(x^*, y^*) \  \frac{\partial g}{\partial x}(x^*, y^*) & \frac{\partial g}{\partial y}(x^*, y^*) \end{pmatrix}\]

Um die Stabilität zu bestimmen, müssen wir die Eigenwerte der Jacobimatrix finden. Die Eigenwerte \(\lambda\) einer Matrix \(J\) erfüllen die charakteristische Gleichung:

\[\text{det}(J - \lambda I) = 0\]

Dabei ist \(I\) die Einheitsmatrix und \(\det\) der Determinant.

Dies ergeben wir:

\[\text{det} \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) - \lambda & \frac{\partial f}{\partial y}(x^*, y^*) \ \frac{\partial g}{\partial x}(x^*, y^*) & \frac{\partial g}{\partial y}(x^*, y^*) - \lambda \end{pmatrix} = 0\]

Lösen wir dies, um die charakteristische Gleichung zu erhalten:

\[(\frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) - \lambda)(\frac{\partial g}{\partial y}(x^*, y^*) - \lambda) - \frac{\partial f}{\partial y}(x^*, y^*) \cdot \frac{\partial g}{\partial x}(x^*, y^*) = 0\]

Dies ergibt die quadratische Gleichung:

\[\lambda^2 - (\frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) + \frac{\partial g}{\partial y}(x^*, y^*))\lambda + \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) \cdot \frac{\partial g}{\partial y}(x^*, y^*) - \frac{\partial f}{\partial y}(x^*, y^*) \cdot \frac{\partial g}{\partial x}(x^*, y^*)\right) = 0\]

Die Lösungen dieser Gleichung sind die Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\):

\[\lambda_{1,2} = \frac{\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) + \frac{\partial g}{\partial y}(x^*, y^*)\right) \pm \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) + \frac{\partial g}{\partial y}(x^*, y^*)\right)^2 - 4\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x^*, y^*) \cdot \frac{\partial g}{\partial y}(x^*, y^*) - \frac{\partial f}{\partial y}(x^*, y^*) \cdot \frac{\partial g}{\partial x}(x^*, y^*)\right)}}}{2}\]

Die Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) geben uns Aufschluss über die Stabilität des Gleichgewichtspunkts.

• Wenn beide Eigenwerte negativ sind, ist der Gleichgewichtspunkt asymptotisch stabil.
• Wenn beide Eigenwerte positiv sind, ist der Gleichgewichtspunkt instabil.
• Wenn ein Eigenwert positiv und der andere negativ ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt, der instabil ist.

Damit haben wir die Eigenwerte der Jacobimatrix für jeden Gleichgewichtspunkt berechnet und können ihre Stabilität bestimmen.

c)

(c) Basiert auf den berechneten Eigenwerten, klassifiziere die Stabilität des Gleichgewichtspunkts. Bestimme, ob der Punkt stabil, asymptotisch stabil oder instabil ist. Erläutere das Ergebnis in Bezug auf die Eigenwertanalyse.

Lösung:

Um die Stabilität des Gleichgewichtspunkts zu klassifizieren, verwenden wir die berechneten Eigenwerte der Jacobimatrix. Diese Eigenwerte geben uns wichtige Informationen darüber, wie sich das System in der Nähe des Gleichgewichtspunkts verhält.

• Schritt 1: Analysiere die berechneten Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\).
• Schritt 2: Klassifiziere die Stabilität basierend auf den Werten der Eigenwerte.
• Schritt 3: Erläutere das Ergebnis.

Die Klassifizierung der Stabilität basiert auf den Vorzeichen der Eigenwerte:

• Wenn beide Eigenwerte negativ sind, ist der Gleichgewichtspunkt asymptotisch stabil. Dies bedeutet, dass das System zum Gleichgewichtspunkt strebt und dort verbleibt, wenn es einmal erreicht ist.
• Wenn beide Eigenwerte positiv sind, ist der Gleichgewichtspunkt instabil. Das System bewegt sich von diesem Punkt weg.
• Wenn ein Eigenwert positiv und der andere negativ ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt, der instabil ist. Dies bedeutet, dass es Richtungen gibt, in denen das System zum Gleichgewichtspunkt strebt, und andere Richtungen, in denen es sich von ihm wegbewegt.
• Wenn die Eigenwerte komplexe Zahlen sind, hängt die Stabilität von den Realteilen der Eigenwerte ab:
• Wenn die Realteile der komplexen Eigenwerte negativ sind, ist der Gleichgewichtspunkt asymptotisch stabil.
• Wenn die Realteile der komplexen Eigenwerte positiv sind, ist der Gleichgewichtspunkt instabil.

Fassen wir zusammen, wie wir die Stabilität klassifizieren:

Angenommen, die Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) wurden berechnet:

• Fall 1: Beide Eigenwerte sind negativ

\(\lambda_1 \lt 0\) und \(\lambda_2 \lt 0\) → Der Gleichgewichtspunkt ist asymptotisch stabil.

• Fall 2: Beide Eigenwerte sind positiv

\(\lambda_1 \gt 0\) und \(\lambda_2 \gt 0\) → Der Gleichgewichtspunkt ist instabil.

• Fall 3: Ein Eigenwert ist positiv, der andere ist negativ

\(\lambda_1 \gt 0\) und \(\lambda_2 \lt 0\) oder \(\lambda_1 \lt 0\) und \(\lambda_2 \gt 0\) → Der Gleichgewichtspunkt ist ein Sattelpunkt und instabil.

• Fall 4: Komplexe Eigenwerte

\(\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta\) mit Realteil \(\alpha\).

\(\alpha \lt 0\) → Der Gleichgewichtspunkt ist asymptotisch stabil.

\(\alpha \gt 0\) → Der Gleichgewichtspunkt ist instabil.

Dieses Vorgehen hilft Dir, die Stabilität des Gleichgewichtspunkts des Systems basierend auf den Eigenwerten der Jacobimatrix zu klassifizieren.