Panel and evaluation methods - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte ein Paneldatensatz bestehend aus jährlichen Daten von 100 Unternehmen über einen Zeitraum von 10 Jahren. Die abhängige Variable Profit misst den Jahresgewinn in Millionen Euro. Zu den unabhängigen Variablen gehören R&D Ausgaben (in Millionen Euro) und Anzahl Mitarbeiter. Die Unternehmen sind in zwei Gruppen eingeteilt: eine Behandlungsgruppe, die ab dem 6. Jahr eine Steuererleichterung erhalten hat, und eine Kontrollgruppe, die keine Steuererleichterung erhalten hat.

b)

Teilaufgabe: Erläutere die Hauptunterschiede zwischen dem Fixed Effects (FE) Modell und dem Random Effects (RE) Modell. Wann wäre es angemessen, ein RE-Modell anstelle eines FE-Modells zu verwenden?

Lösung:

Teilaufgabe: Erläutere die Hauptunterschiede zwischen dem Fixed Effects (FE) Modell und dem Random Effects (RE) Modell. Wann wäre es angemessen, ein RE-Modell anstelle eines FE-Modells zu verwenden?

Die Hauptunterschiede zwischen dem Fixed Effects (FE) Modell und dem Random Effects (RE) Modell liegen in der Behandlung der firmenspezifischen Effekte und den Annahmen, die sie über diese Effekte machen:

• Fixed Effects (FE) Modell:
  • Berücksichtigt firmenspezifische Effekte (\theta_i), die über die Zeit konstant bleiben, aber sich zwischen den Firmen unterscheiden können.
  • Kontrolliert für alle unbeobachteten, zeitkonstanten firmenspezifischen Einflüsse.
  • Nützlich, wenn wir uns auf die Schätzung der Wirkung von Variablen innerhalb eines Unternehmens über die Zeit konzentrieren wollen.
  • Schließt firmenspezifische Effekte aus der Fehlertermstruktur aus und erlaubt keine Kovarianz zwischen den festen Effekten und den erklärenden Variablen.
• Random Effects (RE) Modell:
  • Behandelt firmenspezifische Effekte (\theta_i) als zufällig und unabhängig von den erklärenden Variablen.
  • Berücksichtigt sowohl zwischen- als auch innerhalb der Firmeneffekte.
  • Nützlich, wenn die firmenspezifischen Effekte als zufällig verteilt betrachtet werden und keine Korrelation zwischen diesen Effekten und den erklärenden Variablen besteht.
  • Ermöglicht eine größere Effizienz bei der Schätzung der Parameter, wenn die Annahmen erfüllt sind, da das RE-Modell weniger Parameter schätzt im Vergleich zum FE-Modell.

Angemessenheit des RE-Modells:

Wann wäre es angemessen, ein RE-Modell anstelle eines FE-Modells zu verwenden? Ein RE-Modell ist dann sinnvoller, wenn:

• Die firmenspezifischen Effekte als zufällig und nicht als fixe Unterschiede zwischen den Unternehmen betrachtet werden sollen.
• Man davon ausgehen kann, dass die firmenspezifischen Effekte (\theta_i) nicht mit den erklärenden Variablen korreliert sind.
• Der Hauptfokus auf der Schätzung von Effekten liegt, die sowohl innerhalb als auch zwischen den Unternehmen variieren.

Um zu entscheiden, welches Modell anzuwenden ist, kann auch der Hausman-Test verwendet werden. Dieser Test prüft, ob die firmenspezifischen Effekte unkorreliert mit den erklärenden Variablen sind:

• Wenn der Test signifikant ist, wird das Fixed Effects Modell bevorzugt.
• Wenn der Test nicht signifikant ist, ist das Random Effects Modell angemessen.

c)

Teilaufgabe: Implementiere den Difference-in-Differences (DiD) Ansatz, um den Effekt der Steuererleichterung auf den Jahresgewinn zu messen. Gebe die entsprechenden DiD-Skripts und die DiD-Schätzgleichung an. Mathematisch formalisiere dies im Kontext der vorliegenden Daten.

Lösung:

Teilaufgabe: Implementiere den Difference-in-Differences (DiD) Ansatz, um den Effekt der Steuererleichterung auf den Jahresgewinn zu messen. Gebe die entsprechenden DiD-Skripts und die DiD-Schätzgleichung an. Mathematisch formalisiere dies im Kontext der vorliegenden Daten.

Der Difference-in-Differences (DiD) Ansatz ist eine Methode, um die Unterschiede zwischen den behandelten und nicht behandelten Gruppen vor und nach einer Intervention zu vergleichen. Dies ermöglicht uns, den kausalen Effekt der Intervention zu schätzen. In diesem Fall möchten wir den Effekt der Steuererleichterung auf den Jahresgewinn messen.

Formale DiD-Schätzgleichung:

• Treatment_i sei eine Dummy-Variable, die 1 ist, wenn das Unternehmen i zur Behandlungsgruppe gehört, und 0, wenn es zur Kontrollgruppe gehört.
• Post_t sei eine Dummy-Variable, die 1 ist, wenn das Jahr t nach der Einführung der Steuererleichterung (d.h. Jahr 6 und später) liegt, und 0, wenn es vorher liegt.
• Der DiD-Interaktionsterm (Treatment_i \times Post_t) erfasst die effektive Änderung im Jahresgewinn aufgrund der Steuererleichterung.

Die Schätzgleichung lautet:

Profitit = \beta_0 + \beta_1 \times Treatmenti + \beta_2 \times Postt + \beta_3 \times (Treatmenti \times Postt) + \beta_4 \times RDit + \beta_5 \times Employeesit + uit

• Der Koeffizient \(\beta_3\) ist der DiD-Schätzer, der den Effekt der Steuererleichterung auf den Jahresgewinn misst.

Implementierung in R:

Hier ist ein Beispielskript in R, um den DiD-Ansatz zu implementieren:

# Libraries ladenlibrary(plm)  # Für Paneldatenlibrary(lmtest)  # Für robusten Standardfehler# Annahme: 'data' ist der Paneldatensatz mit den Variablen 'Profit', 'Treatment', 'Post', 'RD', 'Employees', 'company' und 'year'# Initialisiere die Dummy-Variablendata$Post <- ifelse(data$year >= 6, 1, 0)# DiD-Interaktionstermdata$DiD <- data$Treatment * data$Post# Fixed Effects Modell mit DiD Ansatzmodel <- plm(Profit ~ Treatment + Post + DiD + RD + Employees, data = data, index = c('company', 'year'), model = 'within')# Summary des Modells mit robusten Standardfehlernsummary(model, vcov = vcovHC(model, type = 'HC1'))

Implementierung in Python:

Hier ist ein Beispielskript in Python, um den DiD-Ansatz zu implementieren:

# Bibliotheken ladenimport statsmodels.formula.api as smfimport pandas as pd# Annahme: 'data' ist der Paneldatensatz als Pandas DataFrame# Initialisiere die Dummy-Variablendata['Post'] = (data['year'] >= 6).astype(int)# DiD-Interaktionstermdata['DiD'] = data['Treatment'] * data['Post']# Fixed Effects Modell mit DiD Ansatzmodel = smf.ols('Profit ~ Treatment + Post + DiD + RD + Employees', data=data).fit(cov_type='HC1')# Summary des Modellsdid_summary = model.summary()print(did_summary)

Mit diesen Schätzungen können wir den kausalen Effekt der Steuererleichterung auf den Jahresgewinn der Unternehmen bestimmen. Der Koeffizient für den DiD-Interaktionsterm (\(\beta_3\)) gibt den durchschnittlichen Unterschied im Jahresgewinn zwischen den behandelten und nicht behandelten Unternehmen nach der Einführung der Steuererleichterung an. Dieser Unterschied ermöglicht es uns, den kausalen Effekt der Steuererleichterung auf den Jahresgewinn zu quantifizieren.

d)

Teilaufgabe: Diskutiere die potenziellen Probleme und Einschränkungen beim Einsatz von Paneldatenanalysen, insbesondere in Bezug auf unbeobachtete Heterogenität und Endogenität. Wie könnte man diese Probleme mildern?

Lösung:

Teilaufgabe: Diskutiere die potenziellen Probleme und Einschränkungen beim Einsatz von Paneldatenanalysen, insbesondere in Bezug auf unbeobachtete Heterogenität und Endogenität. Wie könnte man diese Probleme mildern?

Beim Einsatz von Paneldatenanalysen treten eine Reihe von potenziellen Problemen und Einschränkungen auf, insbesondere im Kontext von unbeobachteter Heterogenität und Endogenität:

Unbeobachtete Heterogenität:

• Definition: Unbeobachtete Heterogenität tritt auf, wenn es firmenspezifische Effekte gibt, die nicht direkt beobachtet oder gemessen werden können, die jedoch das Ergebnis beeinflussen.
• Problem: Wenn diese unbeobachteten firmenspezifischen Effekte mit den erklärenden Variablen korreliert sind, führen herkömmliche Methoden zu verzerrten und inkonsistenten Schätzungen.
• Lösung:
  • Fixed Effects Modell: Dieses Modell kontrolliert für unbeobachtete, zeitkonstante firmenspezifische Effekte, indem es individuelle Fix Effekte (\(\theta_i\)) für jede Firma einführt.
  • Within-Transformation: Subtrahiere den Mittelwert jeder Variablen (über die Zeit) von den Beobachtungen, um die firmenspezifischen Effekte zu eliminieren.
  • Random Effects Modell: Wenn die firmenspezifischen Effekte zufällig und unkorreliert mit den unabhängigen Variablen sind, kann dieses Modell effizientere Schätzungen liefern.
  • Hausman-Test: Prüft, ob die firmenspezifischen Effekte unkorreliert mit den erklärenden Variablen sind, um zu entscheiden, ob das Fixed Effects oder das Random Effects Modell angemessener ist.

Endogenität:

• Definition: Endogenität tritt auf, wenn eine erklärende Variable korreliert mit dem Fehlerterm ist. Dies kann durch umgekehrte Kausalität, ausgelassene Variablen oder Messfehler verursacht werden.
• Problem: Endogenität führt zu verzerrten und inkonsistenten Schätzungen der Regressionskoeffizienten.
• Lösung:
  • Instrumentalvariablen (IV) Methode: Verwendung von Instrumenten, die mit den endogenen erklärenden Variablen korreliert sind, aber nicht mit dem Fehlerterm. Dies hilft, die Korrelation zwischen erklärenden Variablen und dem Fehlerterm zu brechen.
  • Hausman-Taylor Methode: Erweiterung des Random Effects Modells, um instrumentelle Variablen für zeitvariable endogene Variablen zu verwenden.
  • GMM (Generalized Method of Moments): Eine weitere Methode zur Schätzung von Paneldatenmodellen unter Verwendung von Momentenkonditionen. Besonders nützlich bei der Behandlung von endogenen Variablen.

Weitere Einschränkungen bei Paneldatenanalysen:

• Dynamische Panel Bias: Bei Modellen, die Lag-Werte der abhängigen Variablen nutzen, kann eine Verzerrung aufgrund der Endogenität der Lag-Werte auftreten. Der Arellano-Bond bzw. System-GMM Ansatz kann verwendet werden, um dieses Problem zu mildern.
• Datenverfügbarkeit: Paneldaten zu erhalten, die sowohl über die Zeit als auch über die Firmen hinweg vollständig und akkurat sind, ist oft schwierig.
• Komplexität: Paneldatenanalysen sind komplexer und erfordern fortgeschrittenere statistische Techniken und Software, um korrekt durchgeführt zu werden.

Zusammenfassung:

Obwohl Paneldatenanalysen mächtige Werkzeuge zur Untersuchung kausaler Beziehungen bieten, erfordern sie sorgfältige Berücksichtigung der potenziellen Probleme unbeobachteter Heterogenität und Endogenität. Durch die Anwendung geeigneter Modelle (wie Fixed Effects oder Random Effects) und Techniken (wie Instrumentalvariablen und GMM) können diese Probleme jedoch gemildert und robuste Ergebnisse erzielt werden.

Aufgabe 2)

Du hast Längsschnittdaten für eine Beobachtung von 10 Unternehmen über einen Zeitraum von 5 Jahren. Die Daten sind unbalanciert, da nicht alle Unternehmen in jeder Periode beobachtet wurden. Angenommen, Du möchtest den Einfluss der Investitionsausgaben und der Beschäftigungsrate auf den Gewinn (in tausend Euro) dieser Unternehmen untersuchen. Dabei kannst Du zwischen einem Fixed Effects Modell und einem Random Effects Modell wählen.

a)

Ein Fixed Effects Modell wird verwendet, um zeitinvariante Eigenschaften der Unternehmen zu kontrollieren. Formuliere die Gleichung für das Fixed Effects Modell unter Einbeziehung der Investitionsausgaben (Inv) und der Beschäftigungsrate (Emp) als unabhängige Variablen. Erläutere kurz den Sinn und Zweck der zeitinvarianten Effekte und wie sie im Fixed Effects Modell berücksichtigt werden.

Lösung:

Ein Fixed Effects Modell wird verwendet, um den Einfluss zeitlich veränderlicher Variablen zu schätzen, während zeitinvariante Eigenschaften der Unternehmen herausgerechnet werden. Hier ist die Gleichung für das Fixed Effects Modell unter Einbeziehung der Investitionsausgaben (Inv) und der Beschäftigungsrate (Emp) als unabhängige Variablen:

• Gleichung:

\begin{equation} Gewinn_{it} = \beta_0 + \beta_1 Inv_{it} + \beta_2 Emp_{it} + \theta_i + u_{it} \end{equation}

• Variablen:
• \(\beta_0\): Schnittpunkt (Konstante)
• \(\beta_1\): Koeffizient für Investitionsausgaben
• \(\beta_2\): Koeffizient für Beschäftigungsrate
• \(Inv_{it}\): Investitionsausgaben des Unternehmens i zur Zeit t
• \(Emp_{it}\): Beschäftigungsrate des Unternehmens i zur Zeit t
• \(\theta_i\): Unternehmensspezifischer Effekt, der zeitinvariant ist
• \(u_{it}\): Störterm, der zeitlich und unternehmensspezifisch variiert
• Erklärung der zeitinvarianten Effekte:
• Zeitinvariante Effekte, dargestellt durch \(\theta_i\), sind Eigenschaften, die sich im Zeitverlauf nicht ändern, wie z.B. Unternehmenskultur, Managementstil oder Standortvorteile.
• Diese Effekte werden im Fixed Effects Modell berücksichtigt, indem für jedes Unternehmen ein spezifischer Effekt \(\theta_i\) eingeführt wird.
• Dies hilft, Verzerrungen durch solche zeitinvarianten Merkmale zu vermeiden und ermöglicht eine genauere Schätzung der Effekte der zeitlich variablen Faktoren (hier Investitionsausgaben und Beschäftigungsrate).

c)

Durchführe eine Hausman-Test, um zu entscheiden, welches Modell (Fixed Effects oder Random Effects) besser geeignet ist. Erkläre kurz, was der Hausman-Test überprüft und wie Du die Entscheidung über die Modellwahl treffen würdest. Der Teststatistik ist \theta und der kritische Wert ist \theta_{\text{crit}}=3.84. Was passiert, wenn \theta > \theta_{\text{crit}} ist? Was passiert im umgekehrten Fall?

Lösung:

Der Hausman-Test wird verwendet, um zu entscheiden, ob ein Fixed Effects Modell (FE) oder ein Random Effects Modell (RE) besser geeignet ist. Der Test überprüft, ob die firmenspezifischen Effekte mit den Regressoren korreliert sind. Im Detail prüft der Hausman-Test die Nullhypothese, dass die Schätzungen der Koeffizienten aus dem RE-Modell konsistent und effizient sind, gegen die Alternativhypothese, dass nur die Schätzungen aus dem FE-Modell konsistent sind.

• Durchführung des Hausman-Tests:
• Berechne die Koeffizienten der unabhängigen Variablen mit dem RE-Modell. Nennen wir die Koeffizienten \(\hat{\beta}_{RE}\).
• Berechne die Koeffizienten der unabhängigen Variablen mit dem FE-Modell. Nennen wir die Koeffizienten \(\hat{\beta}_{FE}\).
• Berechne die Differenz der Koeffizienten: \(\hat{\beta}_D = \hat{\beta}_{FE} - \hat{\beta}_{RE}\).
• Verwende die Varianzen und Kovarianzen der Koeffizienten aus beiden Modellen, um die Teststatistik \(\theta\) zu berechnen:

\begin{equation} \theta = (\hat{\beta}_{FE} - \hat{\beta}_{RE})' [\text{Var}(\hat{\beta}_{FE}) - \text{Var}(\hat{\beta}_{RE})]^{-1} (\hat{\beta}_{FE} - \hat{\beta}_{RE}) \end{equation}

• Vergleiche die Teststatistik \(\theta\) mit dem kritischen Wert \(\theta_{\text{crit}} = 3.84\).
• Entscheidung über die Modellwahl:
• Wenn \(\theta > \theta_{\text{crit}}\), lehnen wir die Nullhypothese ab. Dies bedeutet, dass die firmenspezifischen Effekte nicht unkorreliert mit den Regressoren sind. Daher ist das Fixed Effects Modell besser geeignet.
• Wenn \(\theta \leq \theta_{\text{crit}}\), können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Dies bedeutet, dass es keine ausreichenden Beweise gibt, dass die firmenspezifischen Effekte mit den Regressoren korreliert sind. Daher ist das Random Effects Modell besser geeignet, da es effizienter ist.
• Was passiert, wenn \(\theta > \theta_{\text{crit}}\)?:
• In diesem Fall lehnen wir die Nullhypothese ab und entscheiden uns für das Fixed Effects Modell, da es die korrekteren Schätzungen liefert.
• Was passiert im umgekehrten Fall?:
• Wenn \(\theta \leq \theta_{\text{crit}}\), können wir die Nullhypothese nicht ablehnen und entscheiden uns für das Random Effects Modell, da es konsistent und effizient ist.

Aufgabe 3)

Angenommen, Du erforschst die Wirkung von Weiterbildung auf das Einkommen von Arbeitnehmern in Deutschland mit Hilfe eines Paneldatensatzes. Du hast Daten für 1000 Individuen über einen Zeitraum von 5 Jahren. In Deinen Modellen verwendest Du die jährliche Anzahl der Weiterbildungskurse (\textit{trainings}) als erklärte Variable und das Jahreseinkommen (\textit{income}) als abhängige Variable. Du möchtest die Auswirkungen individueller Unterschiede berücksichtigen und entscheidest Dich daher, sowohl ein Modell mit festen Effekten als auch eines mit Zufallseffekten zu schätzen.

a)

Formuliere explizit das Modell mit festen Effekten für diesen Datensatz. Welche Annahmen liegen einem solchen Modell zugrunde?

Lösung:

Das Modell mit festen Effekten (Fixed Effects Modell) eignet sich gut, um die Auswirkungen von Weiterbildungskursen auf das Einkommen zu untersuchen. Hierfür werden die individuellen Unterschiede, die sich nicht über die Zeit ändern, explizit berücksichtigt. Das Modell kann folgendermaßen formuliert werden:

• Formulierung des Modells:

Das Modell kann durch folgende Gleichung dargestellt werden:

• \(income_{it}\): Das Jahreseinkommen des Individuums i im Jahr t.
• \(trainings_{it}\): Die Anzahl der Weiterbildungskurse des Individuums i im Jahr t.
• \(\beta_0\): Der konstante Term des Modells.
• \(\beta_1\): Der Koeffizient, der den Einfluss der Weiterbildungskurse auf das Einkommen misst.
• \(\alpha_i\): Der individuelle Effekt, der die unveränderlichen Eigenschaften des Individuums i erfasst.
• \(\epsilon_{it}\): Der Störterm, der die zeitlich variierenden und nicht erklärten Einflüsse umfasst.

• Annahmen des Modells:
• Homoskedastizität: Die Varianz der Störterme \(\epsilon_{it}\) ist für alle Individuen und Zeitpunkte konstant.
• Keine Autokorrelation: Die Störterme \(\epsilon_{it}\) sind unkorreliert über die Zeit.
• Keine Perfekte Multikollinearität: In den erklärenden Variablen darf keine exakte lineare Beziehung bestehen.
• Exogenität: Die Störterme \(\epsilon_{it}\) sind unkorreliert mit den erklärenden Variablen \(trainings_{it}\).

Durch Verwendung des Fixed Effects Modells können die Effekte der Weiterbildungskurse auf das Einkommen isoliert werden, indem die zeitinvarianten individuellen Unterschiede explizit berücksichtigt werden.

b)

Formuliere explizit das Modell mit Zufallseffekten für diesen Datensatz. Welche Annahmen liegen einem solchen Modell zugrunde?

Lösung:

Das Modell mit Zufallseffekten (Random Effects Modell) eignet sich ebenfalls gut, um die Auswirkungen von Weiterbildungskursen auf das Einkommen zu untersuchen. Im Gegensatz zum Fixed Effects Modell wird angenommen, dass die individuellen Effekte zufällig sind und nicht mit den erklärenden Variablen korrelieren. Das Modell kann folgendermaßen formuliert werden:

• Formulierung des Modells:

Das Modell kann durch folgende Gleichung dargestellt werden:

• \(income_{it}\): Das Jahreseinkommen des Individuums i im Jahr t.
• \(trainings_{it}\): Die Anzahl der Weiterbildungskurse des Individuums i im Jahr t.
• \(\beta_0\): Der konstante Term des Modells.
• \(\beta_1\): Der Koeffizient, der den Einfluss der Weiterbildungskurse auf das Einkommen misst.
• \(\gamma_i\): Der individuelle Störterm, der die zufälligen individuellen Effekte erfasst.
• \(\epsilon_{it}\): Der Störterm, der die zeitlich variierenden und nicht erklärten Einflüsse umfasst.

• Annahmen des Modells:
• Homoskedastizität: Die Varianz der Störterme \(\epsilon_{it}\) und der individuellen Effekte \(\gamma_i\) ist konstant und unabhängig.
• Keine Autokorrelation: Die Störterme \(\epsilon_{it}\) sind unkorreliert über die Zeit.
• Keine Perfekte Multikollinearität: In den erklärenden Variablen darf keine exakte lineare Beziehung bestehen.
• Exogenität: Die individuellen Effekte \(\gamma_i\) und die Störterme \(\epsilon_{it}\) sind unkorreliert mit den erklärenden Variablen \(trainings_{it}\).

Durch die Verwendung des Random Effects Modells können die Effekte der Weiterbildungskurse auf das Einkommen isoliert werden, indem sowohl zeitinvariante als auch -variante Unterschiede berücksichtigt werden, während gleichzeitig individuelle Effekte als zufällig behandelt werden.

c)

Berechne den Hausman-Test, um zu überprüfen, ob die Differenz zwischen den Schätzungen der festen und Zufallseffekte signifikant ist. Erläutere Dein Vorgehen und die notwendigen Schritte. Nutze folgende exemplarische Ergebnisse für den Vergleich: Für das Modell mit festen Effekten betragen die geschätzten Koeffizienten \textit{beta} = 3000 und \textit{alpha_i} = 5000 + 200i, für das Modell mit Zufallseffekten betragen die geschätzten Koeffizienten \textit{beta} = 3200 und \textit{u_i} = 500 + 50i mit i = 1 bis 1000.

Lösung:

Der Hausman-Test wird verwendet, um zu überprüfen, ob die Differenz zwischen den Schätzungen der festen Effekte (FE) und der Zufallseffekte (RE) signifikant ist. Ziel ist es zu prüfen, ob die Annahmen des RE-Modells verletzt sind, d.h., ob die individuellen Effekte \(\alpha_i\) korreliert mit den erklärenden Variablen \(trainings_{it}\) sind. Das Vorgehen zum Hausman-Test gliedert sich in folgende Schritte:

• 1. Formulierung der Null- und Alternativhypothese:
• H0: Die Differenz der Schätzungen ist nicht signifikant, d.h., das RE-Modell ist angemessen.
• H1: Die Differenz der Schätzungen ist signifikant, d.h., das FE-Modell ist angemessen.
• 2. Berechnung der geschätzten Koeffizienten und deren Varianzen:
• Für das FE-Modell: \(\beta_{FE} = 3000\)
• Für das RE-Modell: \(\beta_{RE} = 3200\)
• Angenommene Varianzen der Koeffizienten (exemplarisch): \(Var(\beta_{FE}) = 4000\) und \(Var(\beta_{RE}) = 5000\)
• 3. Berechnung der Differenz der Schätzungen:
• \(\Delta = \beta_{FE} - \beta_{RE} = 3000 - 3200 = -200\)
• 4. Berechnung der Varianz der Differenz:
• \(Var(\Delta) = Var(\beta_{FE}) + Var(\beta_{RE}) = 4000 + 5000 = 9000\)
• 5. Berechnung der Teststatistik:
• \[\chi^2 = \frac{\Delta^2}{Var(\Delta)} = \frac{(-200)^2}{9000} \approx 4.44\]
• 6. Vergleich der Teststatistik mit dem kritischen Wert:
• Der kritische Wert für ein \(\chi^2\) bei einem Signifikanzniveau von 5% und einem Freiheitsgrad von 1 ist etwa 3.84.
• Da \(4.44 > 3.84\), lehnen wir die Nullhypothese ab.

Das Ergebnis des Hausman-Tests zeigt, dass die Differenz zwischen den Schätzungen der festen und Zufallseffekte signifikant ist. Daher ist das Fixed Effects Modell dem Random Effects Modell vorzuziehen.

d)

Diskutiere die Vor- und Nachteile von Modellen mit festen und Zufallseffekten in Bezug auf Deine Fragestellung. Welches Modell würdest Du basierend auf den Ergebnissen des Hausman-Tests bevorzugen?

Lösung:

Beim Vergleich von Modellen mit festen Effekten (Fixed Effects) und Zufallseffekten (Random Effects) gibt es sowohl Vor- als auch Nachteile, die je nach Anwendungsfall und Zielsetzung unterschiedlich in Gewicht fallen können. Hier sind die wichtigsten Punkte in Bezug auf Deine Fragestellung:

• Vorteile des Fixed Effects Modells:
• Berücksichtigung individueller Heterogenität: Fixed Effects erlauben es, alle zeitinvarianten individuellen Unterschiede zu kontrollieren, indem individuelle Effekte explizit modelliert werden. Dies ist wichtig, wenn diese Unterschiede möglicherweise mit den erklärenden Variablen korreliert sind.
• Konsistenz der Schätzungen: Wenn die Annahme gilt, dass die individuellen Effekte \(\alpha_i\) mit den erklärenden Variablen korreliert sind, liefert das Fixed Effects Modell konsistente Schätzer.
• Keine Annahmen über die Verteilung individueller Effekte: Es sind keine Annahmen über die Verteilung der individuellen Effekte notwendig, was die Robustheit erhöht.
• Nachteile des Fixed Effects Modells:
• Effizienzverlust: Da Fixed Effects alle zeitinvarianten Effekte herausfiltern, kann es zu einem Informationsverlust kommen, was die Effizienz der Schätzungen mindern kann.
• Keine Schätzung von zeitinvarianten Effekten: Das Modell kann die Effekte von Variablen, die sich über die Zeit nicht ändern, nicht schätzen.
• Vorteile des Random Effects Modells:
• Effizientere Schätzungen: Unter der Annahme, dass die individuellen Effekte nicht mit den erklärenden Variablen korreliert sind, ist das Random Effects Modell effizienter, d.h., es hat kleinere Varianzen der Schätzungen.
• Schätzung von zeitinvarianten Effekten: Im Gegensatz zur Fixed Effects Methode können auch Effekte von Variablen geschätzt werden, die sich nicht über die Zeit verändern.
• Bequemere Modellierung: Das Modell benötigt weniger Dummy-Variablen, was insbesondere bei sehr großen Paneldaten effizienter ist.
• Nachteile des Random Effects Modells:
• Korrelation zwischen individuellen Effekten und Variablen kann zu Verzerrungen führen: Wenn die Annahme einer fehlenden Korrelation zwischen den individuellen Effekten und den erklärenden Variablen verletzt ist, sind die Schätzungen verzerrt.
• Erfordert Annahmen über die Verteilung der Effekte: Um effizient zu sein, müssen Annahmen über die Verteilung der Effekte getroffen werden, was in der Praxis schwer zu verifizieren ist.
• Basierend auf den Ergebnissen des Hausman-Tests:

Der Hausman-Test ergab, dass die Differenz zwischen den Schätzungen der festen Effekte und der Zufallseffekte signifikant ist. Dies deutet darauf hin, dass die Annahme der Unkorreliertheit der individuellen Effekte mit den erklärenden Variablen im Random Effects Modell verletzt ist. Daher wäre es geeigneter, das Fixed Effects Modell zu verwenden. Das Fixed Effects Modell stellt sicher, dass die Ergebnisse konsistent sind, selbst wenn diese Annahme verletzt ist.

Aufgabe 4)

Anwendungsfall: Ein Ökonom möchte den kausalen Effekt eines Weiterbildungsprogramms auf das Einkommen von Teilnehmern bestimmen. Dafür stehen verschiedene methodische Ansätze zur Verfügung.

• Eine Korrelation zwischen Teilnahme am Programm und Einkommen wurde bereits festgestellt.
• Erwogene Methodik: Unterschiedliche potenzielle Ansätze, wie IV, DiD, RDD, PSM, und RCTs sollen diskutiert und teilweise angewandt werden.
• Eine exogene Variable (Z) zur Identifikation von Kausalität könnte der Zeitpunkt der Einführung des Programms sein.

a)

(a) Unterschied zwischen Korrelation und Kausalität: Erläutere in einem ausführlichen Text, warum eine festgestellte Korrelation zwischen der Teilnahme an einem Weiterbildungsprogramm und einem höheren Einkommen der Teilnehmer nicht notwendigerweise auf eine kausale Beziehung hinweist. Verwende ein Beispiel, das auch die möglichen Präsenz von Confoundern berücksichtigt.

Lösung:

Unterschied zwischen Korrelation und Kausalität:Es gibt einen grundlegenden Unterschied zwischen Korrelation und Kausalität, der oft missverstanden wird. Korrelation bedeutet, dass zwei Variablen miteinander in Beziehung stehen oder zusammen auftreten. Kausalität bedeutet hingegen, dass eine Veränderung in einer Variablen direkt eine Veränderung in einer anderen Variablen verursacht.Eine festgestellte Korrelation zwischen der Teilnahme an einem Weiterbildungsprogramm und einem höheren Einkommen der Teilnehmer deutet nicht zwangsläufig auf eine kausale Beziehung hin. Nur weil zwei Ereignisse gemeinsam auftreten, heißt das nicht, dass das eine das andere verursacht. Um diese Unterscheidung zu verdeutlichen, betrachte folgendes Beispiel:Beispiel:Stell Dir vor, eine Studie zeigt, dass Menschen, die an einem Weiterbildungsprogramm teilnehmen, im Durchschnitt ein höheres Einkommen haben als diejenigen, die nicht daran teilnehmen. Man könnte leicht annehmen, dass die Weiterbildung direkt zu einem höheren Einkommen führt, aber diese Schlussfolgerung ignoriert mögliche Confounder, also Störfaktoren, die ebenfalls einen Einfluss haben könnten.

• Beispiel eines Confounders: Bildungshintergrund: Menschen mit höherer schulischer Bildung oder aus wohlhabenderen Familien haben möglicherweise leichteren Zugang zu Weiterbildungsprogrammen und gleichzeitig bessere Einkommenschancen, unabhängig von der Weiterbildung selbst.
• Weiteres Beispiel: Berufserfahrung: Personen mit mehr Berufserfahrung könnten sich eher für Weiterbildungsprogramme anmelden und aufgrund ihrer Erfahrung ohnehin höhere Gehälter erhalten.
• Motivation und Karriereziele: Menschen, die ehrgeiziger und motivierter sind und größere Karriereziele haben, könnten sowohl eher an Weiterbildungen teilnehmen als auch unabhängig davon ein höheres Einkommen erzielen.
Um eine kausale Beziehung zwischen dem Weiterbildungsprogramm und dem Einkommen sicherzustellen, muss man die Möglichkeit solcher Confounder ausschließen oder kontrollieren. Methodische Ansätze wie randomisierte kontrollierte Studien (RCTs), Instrumentalvariablen (IV), Difference-in-Differences (DiD), Regression Discontinuity Designs (RDD) und Propensity Score Matching (PSM) sind einige der Strategien, die Ökonomen verwenden, um diese Confounder zu kontrollieren und kausale Effekte präziser zu identifizieren.Zusammenfassend heißt eine Korrelation zwischen der Teilnahme an einem Weiterbildungsprogramm und einem höheren Einkommen der Teilnehmer nicht notwendigerweise, dass das Programm das höhere Einkommen verursacht. Es könnte durch andere gemeinsame Einflussfaktoren erklärt werden, die sowohl die Teilnahme als auch das Einkommen beeinflussen. Daher ist es wichtig, methodische Ansätze zur Identifikation von Kausalität zu verwenden und die Präsenz von Confoundern zu berücksichtigen.

b)

(b) Anwendung der Formel zur IV-Schätzung: Gegeben sei die folgende Situation: Die Kovarianz zwischen dem Zeitpunkt der Einführung des Programms (Z) und dem Einkommen (Y) beträgt 0,35. Die Kovarianz zwischen Z und der Teilnahme am Programm (X) beträgt 0,5. Berechne den IV-Schätzwert \(\beta_{IV}\). Erkläre in ein paar Sätzen, was dieses Ergebnis aussagt.

Lösung:

Anwendung der Formel zur IV-Schätzung:Die Instrumentalvariablen (IV)-Schätzung wird verwendet, um den kausalen Effekt einer Endogenen Variable (hier: Teilnahme am Weiterbildungsprogramm, X) auf eine abhängige Variable (hier: Einkommen, Y) zu schätzen, wenn es eine exogene Instrumentalvariable (hier: Zeitpunkt der Einführung des Programms, Z) gibt. Die IV-Schätzung kann mit folgender Formel berechnet werden: \beta_{IV} = \frac{\text{Cov}(Z, Y)}{\text{Cov}(Z, X)} Gegeben sind: \text{Cov}(Z, Y) = 0,35 \text{Cov}(Z, X) = 0,5 Setze diese Werte in die Formel ein: \beta_{IV} = \frac{0,35}{0,5} Führe die Berechnung durch: \beta_{IV} = 0,7 Das Ergebnis der IV-Schätzung ist \beta_{IV} = 0,7 . Dieses Ergebnis bedeutet, dass die Teilnahme am Weiterbildungsprogramm (X) im Durchschnitt eine Erhöhung des Einkommens (Y) um 0,7 Einheiten verursacht. Das impliziert, dass wenn jemand am Weiterbildungsprogramm teilnimmt, sein Einkommen ceteris paribus um 0,7 Einheiten steigen sollte. Durch die Verwendung des Zeitpunkts der Einführung des Programms (Z) als Instrumentalvariable wird versucht, den kausalen Effekt abzuschätzen und Verzerrungen durch mögliche Confounder zu minimieren.